2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(課標(biāo)全國Ⅰ)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國)數(shù)學(xué)(理科)注意事項:1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014課標(biāo)全國,理1)已知集合a=x|x2-2x-30,b=x|-2x<2,

2、則ab=().a.-2,-1b.-1,2)c.-1,1d.1,2)答案:a解析:由已知,可得a=x|x3或x-1,則ab=x|-2x-1=-2,-1.故選a.2.(2014課標(biāo)全國,理2)(1+i)3(1-i)2=().a.1+ib.1-ic.-1+id.-1-i答案:d解析:(1+i)3(1-i)2=(1+i)2(1+i)(1-i)2=2i(1+i)-2i=-1-i.故選d.3.(2014課標(biāo)全國,理3)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為r,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是().a.f(x)g(x)是偶函數(shù)b.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)c.f(x)|g(x)|是

3、奇函數(shù)d.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案:c解析:由題意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于a選項,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)為奇函數(shù),故a錯誤;對于b選項,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),故b錯誤;對于c選項,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|為奇函數(shù),故c正確;對于d選項,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故d錯誤.4.(2014課標(biāo)全國,理4)已知f為雙曲線c:x2-my2=3m(m>0)的一個

4、焦點,則點f到c的一條漸近線的距離為().a.3b.3c.3md.3m答案:a解析:由題意,可得雙曲線c為x23m-y23=1,則雙曲線的半焦距c=3m+3.不妨取右焦點(3m+3,0),其漸近線方程為y=±1mx,即x±my=0.所以由點到直線的距離公式得d=3m+31+m=3.故選a.5.(2014課標(biāo)全國,理5)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為().a.18b.38c.58d.78答案:d解析:(方法一)由題意知基本事件總數(shù)為24=16,對4名同學(xué)平均分組共有c42a22=3(種),對4名同學(xué)按1,3分組共有

5、c41種,所以周六、周日都有同學(xué)參加共有3×a22+c41a22=14(種).由古典概型得所求概率為1416=78.(方法二)周六沒有同學(xué)參加公益活動即4位同學(xué)均在周日參加公益活動,此時只有一種情況;同理周日沒有同學(xué)參加公益活動也只有一種情況,所以周六、周日均有同學(xué)參加公益活動的情況共有16-2=14(種).故所求概率為1416=78.故選d.6.(2014課標(biāo)全國,理6)如圖,圓o的半徑為1,a是圓上的定點,p是圓上的動點,角x的始邊為射線oa,終邊為射線op,過點p作直線oa的垂線,垂足為m,將點m到直線op的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在0,的圖像大致為().答案

6、:c解析:由題意|om|=|cos x|,f(x)=|om|sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知c正確.7.(2014課標(biāo)全國,理7)執(zhí)行右面的程序框圖,若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的m=().a.203b.72c.165d.158答案:d解析:當(dāng)a=1,b=2,k=3,n=1時,13,m=1+12=32,a=2,b=32,n=2;23,m=2+23=83,a=32,b=83,n=3;33,m=32+38=158,a=83,b=158,n=4;4>3,程序結(jié)束,輸出m=158.8.(2014課標(biāo)全國,理8)設(shè)0,2,0,2,且tan =1+

7、sincos,則().a.3-=2b.3+=2c.2-=2d.2+=2答案:c解析:由已知,得sincos=1+sincos,sin cos =cos +cos sin .sin cos -cos sin =cos .sin(-)=cos ,sin(-)=sin2-.0,2,0,2,-2<-<2,0<2-<2,-=2-,2-=2.故選c.9.(2014課標(biāo)全國,理9)不等式組x+y1,x-2y4的解集記為d,有下面四個命題:p1:(x,y)d,x+2y-2,p2:(x,y)d,x+2y2,p3:(x,y)d,x+2y3,p4:(x,y)d,x+2y-1,其中的真命題是(

8、).a.p2,p3b.p1,p2c.p1,p4d.p1,p3答案:b解析:畫出可行域如圖陰影部分所示.作直線l0:y=-12x,平移l0,當(dāng)直線經(jīng)過a(2,-1)時,x+2y取最小值,此時(x+2y)min=0.故p1:(x,y)d,x+2y-2為真.p2:(x,y)d,x+2y2為真.故選b.10.(2014課標(biāo)全國,理10)已知拋物線c:y2=8x的焦點為f,準(zhǔn)線為l,p是l上一點,q是直線pf與c的一個交點.若fp=4fq,則|qf|=().a.72b.3c.52d.2答案:b解析:如圖,由拋物線的定義知焦點到準(zhǔn)線的距離p=|fm|=4.過q作qhl于h,則|qh|=|qf|.由題意,得

9、phqpmf,則有|hq|mf|=|pq|pf|=34,|hq|=3.|qf|=3.11.(2014課標(biāo)全國,理11)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是().a.(2,+)b.(1,+)c.(-,-2)d.(-,-1)答案:c解析:當(dāng)a=0時,顯然f(x)有2個零點,不符合題意;當(dāng)a>0時,f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增.又f(0)=1,當(dāng)x-時,f(x)=x2(ax-3)+1-,故不適合題意;當(dāng)a<0時,f(x)在-,2a上單調(diào)遞減,在2a,0上單調(diào)遞

10、增,在(0,+)上單調(diào)遞減,只需f2a>0就滿足題意.由f2a>0,得8a2-12a2+1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.12.(2014課標(biāo)全國,理12)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為().a.62b.6c.42d.4答案:b解析:如圖所示的正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為4.取b1b的中點g,即三棱錐g-cc1d1為滿足要求的幾何體,其中最長棱為d1g,d1g=(42)2+22=6.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必

11、須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2014課標(biāo)全國,理13)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案) 答案:-20解析:(x+y)8的通項公式為tr+1=c8rx8-ryr(r=0,1,8,rz).當(dāng)r=7時,t8=c87xy7=8xy7,當(dāng)r=6時,t7=c86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展開式中含x2y7的項為x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系數(shù)為-20.14.(2014課標(biāo)全國,理14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過a,b

12、,c三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過b城市;乙說:我沒去過c城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為. 答案:a解析:根據(jù)甲、乙、丙說的可列表得abc甲×乙××丙15.(2014課標(biāo)全國,理15)已知a,b,c為圓o上的三點,若ao=12(ab+ac),則ab與ac的夾角為. 答案:90°解析:由ao=12(ab+ac)可得o為bc的中點,則bc為圓o的直徑,即bac=90°,故ab與ac的夾角為90°.16.(2014課標(biāo)全國,理16)已知a,b,c分別為abc三個內(nèi)角a,b,c的

13、對邊,a=2,且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c,則abc面積的最大值為. 答案:3解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.a=2,a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos a=b2+c2-a22bc=12.sin a=32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.sabc=12bc·sin a3,即(sabc)max=3.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2014課標(biāo)全國,理17)已知數(shù)列a

14、n的前n項和為sn,a1=1,an0,anan+1=sn-1,其中為常數(shù).(1)證明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.分析:(1)已知數(shù)列an的前n項和sn與相鄰兩項an,an+1間的遞推關(guān)系式anan+1=sn-1,要證an+2-an=,故考慮利用an+1=sn+1-sn消去sn進(jìn)行證明.(2)若an為等差數(shù)列,則有2a2=a1+a3,故可由此求出,進(jìn)而由an+2-an=4驗證an是否為等差數(shù)列即可.解:(1)由題設(shè),anan+1=sn-1,an+1an+2=sn+1-1,兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=

15、.(2)由題設(shè),a1=1,a1a2=s1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.18.(本小題滿分12分)(2014課標(biāo)全國,理18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表

16、).(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值z服從正態(tài)分布n(,2),其中近似為樣本平均數(shù)x,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求p(187.8<z<212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記x表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結(jié)果,求e(x).附:15012.2.若zn(,2),則p(-<z<+)=0.682 6,p(-2<z<+2)=0.954 4.分析:(1)利用x=x1p1+x2p2+xnpn求x,利用s2=(x1-x)2p1+(x2-x)2p2+(xn-x)2pn,求s2.(2)由

17、(1)可知,2,則n(,2)可知.將p(187.8<z<212.2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用3原則求解.由可知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為p,則100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)x服從二項分布b(100,p),則由e(x)=100p可求e(x).解:(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-3

18、0)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)由(1)知,zn(200,150),從而p(187.8<z<212.2)=p(200-12.2<z<200+12.2)=0.682 6.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知xb(100,0.682 6),所以e(x)=100×0.682 6=68.26.19.(本小題滿分12分)(2014課

19、標(biāo)全國,理19)如圖,三棱柱abc-a1b1c1中,側(cè)面bb1c1c為菱形,abb1c.(1)證明:ac=ab1;(2)若acab1,cbb1=60°,ab=bc,求二面角a-a1b1-c1的余弦值.分析:(1)因為側(cè)面bb1c1c為菱形,故考慮利用菱形的性質(zhì):對角線互相垂直平分,故連接bc1,不妨設(shè)其交b1c于點o,則o為b1c的中點,要證ac=ab1,故只需證b1cao.又b1cab,故考慮通過證b1c平面abo來達(dá)到目的.(2)利用空間直角坐標(biāo)系求解,由(1)知b1oao,b1obo.故考慮以o點為坐標(biāo)原點,以ob的方向為x軸正方向,ob1的方向為y軸正方向,oa的方向為z軸正

20、方向建立空間直角坐標(biāo)系,但需證明oboa,然后分別求出平面aa1b1和平面a1b1c1的法向量n,m,最后利用cos<n,m>=n·m|n|m|求出二面角a-a1b1-c1的余弦值.解:(1)連接bc1,交b1c于點o,連接ao,因為側(cè)面bb1c1c為菱形,所以b1cbc1,且o為b1c及bc1的中點.又abb1c,所以b1c平面abo.由于ao平面abo,故b1cao.又b1o=co,故ac=ab1.(2)因為acab1,且o為b1c的中點,所以ao=co.又因為ab=bc,所以boaboc.故oaob,從而oa,ob,ob1兩兩互相垂直.以o為坐標(biāo)原點,ob的方向為x

21、軸正方向,|ob|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz.因為cbb1=60°,所以cbb1為等邊三角形.又ab=bc,則a0,0,33,b(1,0,0),b10,33,0,c0,-33,0,ab1=0,33,-33,a1b1=ab=1,0,-33,b1c1=bc=-1,-33,0.設(shè)n=(x,y,z)是平面aa1b1的法向量,則n·ab1=0,n·a1b1=0,即33y-33z=0,x-33z=0.所以可取n=(1,3,3).設(shè)m是平面a1b1c1的法向量,則m·a1b1=0,m·b1c1=0.同理可取m=(1,-3,3).則cos

22、<n,m>=n·m|n|m|=17.所以二面角a-a1b1-c1的余弦值為17.20.(本小題滿分12分)(2014課標(biāo)全國,理20)已知點a(0,-2),橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,f是橢圓e的右焦點,直線af的斜率為233,o為坐標(biāo)原點.(1)求e的方程;(2)設(shè)過點a的動直線l與e相交于p,q兩點,當(dāng)opq的面積最大時,求l的方程.分析:(1)由過a(0,-2),f(c,0)的直線af的斜率為233或過兩點的直線斜率公式可求c,再由e=ca=32,可求a,由b2=a2-c2可求b2,則橢圓e的方程可求.(2)由題意知動直線

23、l的斜率存在,故可設(shè)其斜率為k,寫出直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理成關(guān)于x的一元二次方程,利用弦長公式求出弦pq的長|pq|,利用點到直線的公式求出點o到直線pq的距離d,則由sopq=12|pq|·d,可將sopq表示成關(guān)于k的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(k)的最大值問題.注意k應(yīng)使得一元二次方程的判別式大于0.解:(1)設(shè)f(c,0),由條件知,2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故e的方程為x24+y2=1.(2)當(dāng)lx軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,p(x1,y1),q(x2,y2).將y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k

24、2)x2-16kx+12=0.當(dāng)=16(4k2-3)>0,即k2>34時,x1,2=8k±24k2-34k2+1.從而|pq|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又點o到直線pq的距離d=2k2+1,所以opq的面積sopq=12d·|pq|=44k2-34k2+1.設(shè)4k2-3=t,則t>0,sopq=4tt2+4=4t+4t.因為t+4t4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±72時等號成立,且滿足>0.所以,當(dāng)opq的面積最大時,l的方程為y=72x-2或y=-72x-2.21.(本小題滿分12分)(2014課標(biāo)

25、全國,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=aexln x+bex-1x,曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)證明:f(x)>1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1)+2=2,切線斜率k=e=f'(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),結(jié)合不等式的特點將之轉(zhuǎn)化為g(x)>h(x)的形式,通過比較g(x)的最小值與h(x)的最大值進(jìn)行證明.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),f'(x)=aexln x+axex-bx2ex-1+bxex-1.由題意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1

26、,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exln x+2xex-1,從而f(x)>1等價于xln x>xe-x-2e.設(shè)函數(shù)g(x)=xln x,則g'(x)=1+ln x.所以當(dāng)x0,1e時,g'(x)<0;當(dāng)x1e,+時,g'(x)>0.故g(x)在0,1e單調(diào)遞減,在1e,+單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+)的最小值為g1e=-1e.設(shè)函數(shù)h(x)=xe-x-2e,則h'(x)=e-x(1-x).所以當(dāng)x(0,1)時,h'(x)>0;當(dāng)x(1,+)時,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,

27、+)單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+)的最大值為h(1)=-1e.綜上,當(dāng)x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1.請考生在第22,23,24題中任選一題做答.如果多做,則按所做的第一題記分.做答時請寫清題號.22.(本小題滿分10分)(2014課標(biāo)全國,理22)選修41:幾何證明選講如圖,四邊形abcd是o的內(nèi)接四邊形,ab的延長線與dc的延長線交于點e,且cb=ce.(1)證明:d=e;(2)設(shè)ad不是o的直徑,ad的中點為m,且mb=mc,證明:ade為等邊三角形.分析:(1)由cb=ce可得cbe=e,要證d=e,故只需證cbe=d,利用圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角可證.(2)由(1)知d=e,要證ade為等邊三角形,只需證a=e,又因為cbe=e,故只需證a=cbe,只需證adbc,因為已知mb=mc,故考慮利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì).故取bc的中點n,連接mn,則mnbc,通過證明mnad來達(dá)到證明adbc的目的.解:(1)由題設(shè)知a,b,c,d四點共圓,所以d=cbe.由已知得cbe=e,故d=e.(2)設(shè)bc的中點為n,連接mn,則由mb=mc知mnbc,故o在直線mn上.又ad不是o的直徑,m為ad的中點,故omad,即mnad.所以adbc,故a=cbe.又cbe=e,故a=e.由(1)知,d