自動控制原理孟華習題解答

1、3.1.已知系統(tǒng)的單位階躍響應為c(t) =1 0.2e-0t -1.2e10t (t _ 0)試求：(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(s)=?(2)阻尼比Z ?無自然振蕩頻率s=?解：(1)由c(t)得系統(tǒng)的單位脈沖響應為 g(t) - -12eV0t 12eJ0tG(s)二 Lg(t) =121s 10s 606002s 70s 600(2)與標準G(S)二2-'n對比得:702 、600= 1.42913.2.設圖3.36 (a)所示系統(tǒng)的單位階躍響應如圖3.36 ( b)所示。試確定系統(tǒng)參數 K1, K2(a)圖3.36 習題3.2圖解：系統(tǒng)的傳遞函數為K1W(s)s(s a)K2ns

2、2 as K1s(s a)又由圖可知：超調量Mp4 一3峰值時間tp =0.1 s代入得ei21% J1 - 匚2K =K2= 0.11解得:In3=咲1 - 2 ；:. 0.33，- .n10二J- 2:33.3，Ki=2 ： 1108.89，a = 2 ：，n 2 0.33 33.321.98，3.3.給定典型二階系統(tǒng)的設計性能指標：超調量 cp-5%，調節(jié)時間ts ： 3s,峰值時間tp <1s,試確定系統(tǒng)極點配置的區(qū)域，以獲得預期的響應特性。解：設該二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 'n則滿足上述設計性能指標:tsn3 <3tp得： 一0.69，二n V -n J - 2由

3、上述各不等式得系統(tǒng)極點配置的區(qū)域如下圖陰影部分所示:234 設一系統(tǒng)如圖3.37所示。(a) 求閉環(huán)傳遞函數 C(s)/R(s),并在S平面上畫出零極點分布圖；(b) 當r(t)為單位階躍函數時，求c(t)并做出c(t)與t的關系曲線。圖3.37 習題3.4圖解：(a)系統(tǒng)框圖化簡之后有C（s）二2 s2 s-0.5s 2.25（s 子 j）（s 迸 j）z2,si,2 一零極點分布圖如下:(b)若r t為單位階躍函數,1L_r t ，則oC(s)2 s'35(s j)(s 235(235j) s(s 匚)8s8 1_A35s35( s235s 35_ X_2 八 35、2. 352

4、八 35、2s ()s ()2 28 cos352 si*352大致曲線圖略。3.5.已知二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為C(s)R(s)s2 2 5S 2分別在下述參數下確定閉環(huán)極點的位置，求系統(tǒng)的單位階躍響應和調整時間。(1)=2,- 'n = 5sJ ；=1.2 , - -n = 5s J ；說明當 > 1.5時，可忽略其中距原點較遠的極點作用的理由。解：(1)4 二 2)>1，閉環(huán)極點可2 =士國 n£©2 _1 =10±5j3W(s 宀-25R(s)s220s 25C(s)二 W(s)R(s)25s220s 25"-1)5(2-、3

5、)T25(2 3)eT1T2e*)1 T2 T1 -1 T1 T2 -1 1-5(2 去 E)te6-43643-5(23)tS ： -1.34, S2 ： -18.66 | s2/S! | 13.95e_5(2£3)tc(t) 11 -1.07735eJ'34t64J3ts 2.29s(2 ) Q =1.2)>1，閉環(huán)極點 S|,2 = 3n 士 n J匚 2 - 1 = -6±5+；0.44W(s)嚅252s 20s 25T115(1.2 - . 0.44)15(1.2, 0.44)eeC(t) =1 T2 T_1T1 T1=1-5(1.2 0.44)t+

6、1.2 .0.4411.2 -、0.44.5(1.2 0.44)t+ 1.2 -、0.44 11.2 、0.44$ -七 5 0.44 ： -2.68, s -9.32ts ：丄(6.45-1.7) =1(6.45 1.2 -1.7) ： 1.2s'n5(3)答：.-1.5 時，S|,2 =門 ±njj2 _1 = 7.5±5塔 1.25。 s & _1.91 ,s -13.09 , |S2/S1,6.85 5,兩個閉環(huán)極點的絕對值相差5倍以上，離原點較遠的極點對應的暫態(tài)分量初值小、衰減快(是距離虛軸較近的極點暫態(tài)分量衰減速度的5倍以上)，因此可以忽略掉。，

7、-.23.6.設控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為 G(s)二飛 n2，試在S平面上繪出滿足下列各S2 +2L 時 ns+co2要求的系統(tǒng)特征方程式根可能位于的區(qū)域：(1) 1>丸.707 , ' -n 支(2) 0.5> >0, 4> n 絲 0.707> >0.5 , - -n <23.7. 一種測定直流電機傳遞函數的方法是給電樞加一定的電壓，保持勵磁電流不變, 測出電機的穩(wěn)態(tài)轉速；另外要記錄電動機從靜止到速度升 為穩(wěn)態(tài)值的50%或63.2%所需的時間，利用轉速時間曲線（見圖3.38 ）和所測數據，并假設傳遞函數為圖3.38習題3.7圖Ks(s a)可

8、求得K和a的值。若實測結果是：加 10V電壓可得1200r/min的穩(wěn)態(tài)轉速，而達到該值50%的時間為1.2 s,試求電機傳遞函數。提示：注意 T廻=_，其中 .（t）=空，單位是rad/sV（s） s+adt解：由式工廻=丄可得V（s） s+a（s）1010K=s a1s( s 1)a10K八(一a st，（t）二空（1_0上）='0（1 -e訐）a(1.2) =%(1 e.2a) =0.50(1 e°.2a) =0.5a*。58電機傳遞函數為:G(s)10Ka°(s)V(s)=0 =1200r. min 二 20r/s100.58 20st：10= 1.16s(

9、s ' a)1.16s(s 0.58)并確定在右半s38系統(tǒng)的特征方程式如下，要求利用勞斯判據判定每個系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 平面其根的個數及純虛根。 s4 3s3 3s2 2s 0（2）0.02 s3 0.3 s2 s 20 =0（3）s5 '' 2s4 2s3 -44s211s 10 =0432（4）0.1 s 1.25 s 2.6 s 26s 25 =0答案：（1）勞斯表如下：s413 2s332s 7 32s1-47s02勞斯表第一列元素的符號變化兩次，系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）勞斯表如下：3s 0.021s20.320s1-13s020勞斯表第一列元素的符號

10、變化兩次，系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定（3）勞斯表如下：5 s12114 s244103 s-2062 s223 5101 s2338 50 s10勞斯表第一列元素的符號變化兩次，系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定（4）勞斯表如下：SG(S)-&0.1 s +1)(0.2 s+1)采用比例控制器，比例增益為Kp ,試利用勞斯判據確定Kp值的范圍。4 s0.12.6 253 s1.25262 s0.522510S勞斯表第一列元素符號沒有變化，所以系統(tǒng)有兩個正根，系統(tǒng)穩(wěn)定3.9.有一控制系統(tǒng)如圖3.39所示，其中控制對象的傳遞函數是解：G(s)Kp圖3.39 習題3.9圖-s(0.1s 1)

11、(0.2s 1)特征方程為：D(s) = 0.002s3 0.3s2 s Kp=0勞斯表如下:3 S2 S0.0020.30.3 -0.002Kp0.3KpKpS.3 -0.002Kp 要使系統(tǒng)穩(wěn)定只需0i Kp>00，解得 0 ：Kp ：150。3.10.某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為K(s 1) s(Ts 1)(2s 1) 試確定能使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數K、T的取值范圍。解：由系統(tǒng)開環(huán)傳函可知G(s)H(s)二- 1勞斯表如下:由勞斯準則可知,于0，即D(s) -s(Ts 1)(2s 1) K(s 1) = 2Ts3(2 T)s2 (K 1)s K = 03 s2 s1 s2T2 TK2K

12、 (1-K)T 2欲使系統(tǒng)穩(wěn)定,則第一列元素符號不能改變。若第一列元素均大2K (1 _ K)T 20K a0解得 K 0，2(K1) (K -1)T0當 K>1 時 0 : T2（K 1），當 0 ： K ： 1 時,T 0。K -13.11.設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數分別為(1)G（s）G(s) s(s -1)(s 5) 試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益 K的取值范圍（注意 K半K* j解: (1) D(s) =0.2s3 0.8s2 (K -1)s K =03 s2 s勞斯表如下：1s0.2K -10.83K -44K解得：使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍K -。3K取何值閉環(huán)

13、系統(tǒng)都不穩(wěn)定。 D (s) = 0.2s30.8s2 - s K = 0由于特征方程出現小于零的系數，可知無論開環(huán)增益3.12.設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為G(s)二Ks(1s/3)(is/6)若要求閉環(huán)特征方程的根的實部均小于-1,問K值應取在什么范圍？如果要求實部均小于一2,情況又如何？ 解：由反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函18Ks(s 3)(s 6)32D(s)二s 9s 18s 18K =032(1 )令 s=zX 得: D(z) =(Z1) +9(z-1) +18(z-1)+18K z3 6z2 3z 18K -10=03 z2 z1 z0 z勞斯表如下：13618K -1028-18K618

14、K -10欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列元素符號不能改變，大于零：28 18K =0/曰514丿得一<K < J8K-10>099(2 )令 s二z-2, 得: D七-2)3 9("2)2 18(z-2) 18K32-z 3z -6z 18K 一8=0如果要求實部均小于-2，由特征方程可見，a2 = -6 ： 0，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件不成立,無論K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。3.13.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為G(s)2s(s2 +2s + 2)(1)求系統(tǒng)的單位階躍響應；輸入信號為r(t) =1(t)，求系統(tǒng)的誤差函數e(t);解：(1)開環(huán)傳遞函數 G(s)二 一2s(s +

15、2s+2)閉環(huán)傳遞函數W(s) 2s(s +2s +2) +4(s22)(s 2)單位階躍響應C(s)=(s22)(s 2) sKo =1 ,K1.K2S K3s22K2 =K3C(s)二ss 23 s2 2s223s222cos32tin 2t(2 )不考慮擾動作用r(t) =1(t)G(s)2Kp=lim G(s)=: s ：o1一 1 Kp101亠：3.14.某控制系統(tǒng)的結構圖如圖3.40所示。(1)當a=0時，試確定系統(tǒng)的阻尼比Z無阻尼自然振蕩頻率conn和單位斜坡信號作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(2) 當系統(tǒng)具有最佳阻尼比( Z0.707 )時，確 定系統(tǒng)中的a值和單位斜坡信號作用時系統(tǒng)的

16、穩(wěn)態(tài)誤 差。(3) 若要保證系統(tǒng)具有最佳阻尼比(Z0.707 ), 且穩(wěn)態(tài)誤差等于 0.25時，確定系統(tǒng)中的 a值及前向 通道的放大系數應為多少？2解:8當a=0時，G(sr市，W它2s 81?8Kv= lim sG(s) =4 ,單位斜坡信號作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差S01 =0.25。Kv當 Z=0.707 時, G(s)二r , W(s)=s(s +2 +8a)s2(2 8a)s 8J22 n =2 一 ： 8 = 4 = 2 8a，得 a - 0.25 , G(s)=28,Kv=ljmsG(s) = 2,s(s 4)單位斜坡信號作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差essr= 0.5。此時 G(s)s 2 K

17、a),W(s)二Kvs2(2 Ka)s KKv=2- K = 2 Ka2聯立上兩式解得3163.15已知單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為C(s) _bs b°432R(s) s41.25 s35.1 s22.6 s 10(1) 求單位斜坡輸入時，使穩(wěn)態(tài)誤差為零，參數be, b1應滿足的條件;(2) 在(1)求得的參數be, b1下，求單位拋物線輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：(1)等效單位負反饋開環(huán)傳遞函數b|S b0?o=10即開環(huán)傳遞函數為R =2.6G(s) =2.6s+10s2(s2 1.25s 5.1)(2)單位拋物線輸入時Kas2(2.6s 10)s2(s21.25s 5.1)1

18、0_C _5JKa 一 103.16.系統(tǒng)結構圖如圖3.41所示。(1)當r(t) = t， n(t) = t時，試求系統(tǒng)總穩(wěn)態(tài)誤差(2)當 r(t) = 1(t)，n(t) = 0 時，試求 匚p,tp。圖3.41 習題3.16圖解：(1)參考作用下的誤差傳遞函數為1N(s)7巳點八聲*)R(s)41s(2s 1)穩(wěn)態(tài)誤差為=叫 sEr(s) = lim2s2 +sS 2s2 s 4Kv二 lim sG(s) =lim s4ss )0 s(2s 1)=0.25 Kv擾動作用下的誤差傳遞函數為G(S)一孑 1.25s3 5.1s2 (2.6 -bjs 10 -b0根據單位斜坡輸入時，穩(wěn)態(tài)誤差為0得:4R(s) =0,En(S)=_1 G(s) S -LN(s)1 - s(2s 1)穩(wěn)態(tài)誤差為s(2s2 s)2s2 s 4丄=0.25s系統(tǒng)總誤差為(2)當 r(t) = 1(t), n(t) = 0 時，G(s)4 -，s(2s+1)W(s)G(s)2 'n1 G(S) 2s2 s 4 s2 0.5s 2