數(shù)理統(tǒng)計答案(研究生)PPT

1、1 第一章第一章 抽樣和抽樣分布抽樣和抽樣分布 1.1.子樣平均數(shù)和子樣方差的簡化計算如下：子樣平均數(shù)和子樣方差的簡化計算如下：設(shè)子樣值設(shè)子樣值x1,x2,xn的平均數(shù)的平均數(shù) 為和方差為為和方差為作變換作變換 ，得到，得到y(tǒng)1,y2,yn,它的平均它的平均數(shù)為數(shù)為 和方差為和方差為 。試證：。試證： 。 x2xsy2ys222,xyxacy sc siixayc解：由變換解：由變換 ，即，即 iixayciixayciixacy2222222(),11()()()iiiiiiiyiiixa cy nx na cnyx a cycxxa cya cyyyc snnn x而s212. 在五塊條件

2、基本相同的田地上種植某種在五塊條件基本相同的田地上種植某種農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求子樣平均數(shù)和子樣方（單位：斤），求子樣平均數(shù)和子樣方差。差。解：作變換解：作變換 11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211( 8)( 6)356 0345xyiissyyn 33.3.設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是參數(shù)為的泊松分布的母體是參數(shù)為的泊松分布的母體的一個子樣，是子樣平均數(shù)，試求的一個子樣，是子樣平均數(shù)，試求E 和和D 。解：解： XX111( ),()iiiixpExExExnnnn22111()iiii

3、iDxDxDxDxnnnn4.4.設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是區(qū)間（是區(qū)間（-1，1）上均勻分）上均勻分布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值和方差。均值和方差。解：解： 21 121( 1,1),0,2123xUExDx 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn45.5.設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是分布為的正態(tài)母體的一個是分布為的正態(tài)母體的一個子樣，求子樣，求 的概率分布。的概率分布。解：解： 2211()niiYX21( ,),(0,1),.,iinxXNNYY 則y且之間相互獨立22221()()iiiiiixYxy由 分布定義

4、，Y服從自由度為n的 分布。 22( )Yn2516.設(shè)母體設(shè)母體X具有正態(tài)分布具有正態(tài)分布N(0,1)，從此母體從此母體中取一容量為中取一容量為6的子樣（的子樣（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。）。又設(shè)又設(shè) 。試決定常數(shù)。試決定常數(shù)C,使使得隨機變量得隨機變量CY服從服從 分布。分布。解：解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服從N(0,3)且與Z1相互獨立， 2222(0,1),(1)33ZZN且與 相互獨立。由 分布可加性， 22222221212111()(2),33333

5、ZZZZYc 67.7.已知已知 ，求證，求證證明：令證明：令 ( )Xt n2(1, )XFn2( ),(0,1)/UXt nUNn其中2222( ),nUU2且與獨立亦與獨立2222,(1, )/UXFXFnn由 分布定義78設(shè)母體 ,從中抽取容量n的樣本 求（1）n=36時， 解： 2(40,5 )XN(3843)Px25(40,)64xN384040434038435/65/65/6xPxP 2.43.6(3.6)( 2.4)(2.4)0.9918PU （2）n=64時，求 401P x25(40,)64xN解：40184015/85/8582 ( ) 10.89045xP xPp U

6、 8第二章第二章 參數(shù)估計參數(shù)估計1.1.設(shè)母體設(shè)母體X具有負指數(shù)分布，它的分布密度具有負指數(shù)分布，它的分布密度為為 f(x)= ,00,0 xexx其中其中 。試用矩法求的估計量。試用矩法求的估計量。解：解： f(x)= （ ）0( )xe,00,0 xexx001( )xExxf x dxx edx用樣本 估計Ex，則有 x11,xx912.設(shè)母體設(shè)母體X具有幾何分布具有幾何分布,它的分布列為它的分布列為PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2, 先用矩法求先用矩法求p的估計量的估計量,再求再求p的最大似然估的最大似然估計計.解解 :( 1)矩法估計矩法估計12111(1) (1) kkk

7、kEXkppppppp1px2111(1) )()1(1)iixxxxxx10(2)極大似然估計極大似然估計11(1)(1)iiinxnxniLppppln() ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppx1113.設(shè)母體設(shè)母體X具有在區(qū)間具有在區(qū)間a,b上的均勻分布上的均勻分布,其分布密度為其分布密度為 f(x)= 1,0,axbba其他其中其中a,b是未知參數(shù)是未知參數(shù),試用矩法求試用矩法求a與與b的估計的估計量量.解解:用用 和和 分別估計分別估計EX和和DX得得 21 , ,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS

8、1214.設(shè)母體設(shè)母體X的分布密度為的分布密度為 f(x)= 其中其中 (1) 求求 的最大似然估計量的最大似然估計量; (2) (2)用矩法求用矩法求 的估計量的估計量. 解解: 1,010,xx其他0( )xf x 1,010,xx其他0( )1最大似然估計最大似然估計 1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx 132矩法估計用 估計EX 110( )1EXx f x dxxxdx X1XX145.設(shè)母體X的密度為試求 的最大似然估計;并問所得估計量是否的無偏估計.解：1( ),2xf xex 1111( )()22iixxnnniii

9、Lf xeelnln2lniixLnn 2ln0iixdLnd 得 1iixn 150( )11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的無偏估計.166.設(shè)母體X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整數(shù),試求未知參數(shù)的最大似然估計量. 解:似然函數(shù) 1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或177.設(shè)母體X具有均勻分布密度 ,從中抽得容量為6的子樣數(shù)值 1.3,0.

10、6,1.7,2.2,0.3,1.1,試求母體平均數(shù)和方差的最大似然估計量的值. 解: ， 的最大似然估計 1( ),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DX188.設(shè)母體X的分布密度為 f(x)=(),0,0 xexx試求 的最大似然估計。解：( )Xf x (),0,0 xexx似然函數(shù)()11( )innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 無解為了使L達到最大， ，盡可能小，盡可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx 1912設(shè)母體X服從正態(tài)分布 是從此母體中抽取的一個子樣。試驗證下面三個估計量（1）12( ,1

11、),(,)NXX1122133XX（2）2121344XX（3）3121122XX都是 的無偏估計，并求出每個估計量的方差。問哪一個方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理： 都是 的無偏估計。23和20222222123215135111( )( ),( )( ),( )( )339448222DDD3方差最小為有效對形如1,1,niiiiix xxEx且時以 為最有效2Dxn2113.設(shè)X1,X2,Xn是具有泊松分布 母體的一個子樣。試驗證：子樣方差 是 的無偏估計；并且對任一值也是 的無偏估計，此處 為子樣的平均數(shù)( )P*2S*20,1,(1)XSX解：

12、*2( ),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EXSEXES 2214 .設(shè)X1,X2,Xn為母體 的一個子樣。試選擇適當常數(shù)C,使 為 的無偏估計。解：2( ,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn 2318.從一批電子管中抽取100只,若抽取的電子管的平均壽命為1000小時,標準差s為40小時,試求整批電子

13、管的平均壽命的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).解:n=100, 小時,s=40小時用 估計 ,構(gòu)造函數(shù)1000 x x(0,1)/xuNsn近似給定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.210401000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批電子管的平均壽命置信概率為95%的置信區(qū)間為(992.2,1007.8)小時.2419.隨機地從一批釘子中抽取16枚,測得其長度(單位:cm)為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2

14、.13,2.11,2.14,2.11。設(shè)釘長分布為正態(tài)的，試求母體平均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間 ：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，構(gòu)造函數(shù)0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn給定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041)xun置信區(qū)間為為25（2）若 未知構(gòu)造函數(shù)*(1)/xTt nSn給定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn 母體平均數(shù) 的置信概率為90%的置信區(qū)間為 ，即（2.1250.0075）*0.05(15)

15、sxtn2621.假定每次試驗時，出現(xiàn)事件A的概率p相同但未知。如果在60次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)15次，試求概率p的置信區(qū)間（給定置信概率為0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn構(gòu)造函數(shù)(0,1)/xpuNsn近似給定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的置信概率為95%的置信區(qū)間為（0.250.11）2722.對于方差 為已知的正態(tài)母體，問需抽取容量n為多大的子樣，才使母體平均數(shù) 的置信概率為 的置信區(qū)間的長度不大于L?解：2122( ,),XN 已知構(gòu)造函數(shù)(0,1)/xuNn給定置

16、信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信區(qū)間長度 22uLn22224/nuL2823.從正態(tài)母體中抽取一個容量為n的子樣，算得子樣標準差 的數(shù)值。設(shè)（1）n=10, =5.1(2)n=46, =14。試求母體標準差的置信概率為0.99的置信區(qū)間。解：（1）n=10,*s*s*s22( ,), ,XN 未知*25.1s用 估計 ,構(gòu)造函數(shù) 給定置信概率 =99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)0.99p母體 的置信概率為0.99的置信區(qū)間是*2212

17、233(,)(9)ss即(3.150,11.62)29(2)n=46, 時,所求的置信區(qū)間是*14s *2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)3025.設(shè)母體X服從正態(tài)分布 , 和 是子樣X1,X2,Xn的平均數(shù)和方差; 又設(shè) ,且與X1,X2,Xn獨立,試求統(tǒng)計量 的抽樣分布.解:2( ,)N X2nS21( ,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXnn,又 1,nXX服從正態(tài)分布,故 , 1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS與1,nXX獨立31根據(jù)t分布定義11222

18、11(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnn3226.設(shè)X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分別是從分布為 兩個母體中抽取的獨立隨機子樣, 分別表示X和Y的子樣平均數(shù), 和 分別表示X和Y的子樣方差.對任意兩個固定實數(shù) 和 ,試求隨機變量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.33解: 是正態(tài)變量線性組合,仍服從正態(tài)分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互獨立由 分布可加性 ,22222(2)xymSnSmn且

19、與XY獨立根據(jù)t分布定義122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnmnmn3427.從正態(tài)母體中抽取一個n45的大子樣,利用第一章2.2中 分布的性質(zhì)3,證明方差22的置信區(qū)間(給定置信概率為 )是1*2*222(,)221111SSuunn35證明:對正態(tài)母體 的置信概率為 的置信區(qū)間是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn當n45時,2( )2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuunn證畢.3629.

20、隨機地從A批導線中抽取4根,從B批導線中抽取5根,測得其電阻(單位:歐姆)并計算得:* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs設(shè)測試數(shù)據(jù)分別具有分布21(,)N 和22(,)N .試求 的置信概率為95%的12置信區(qū)間.37解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn構(gòu)造函數(shù)給定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.3646t0.025(7)95%P Tt所求置信下限為:*0.025

21、11(7)0.00330.004060.0007645ABxxts 置信上限為:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)為 的置信概率為95%的置信區(qū)間.123831.兩臺機床加工同一種零件,分別抽取6個和9個零件,測得其長度計算得*2*2120.245,0.357ss假定各臺機床零件長度服從正態(tài)分布.試求兩個母體方差之比 的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns構(gòu)造函數(shù)221221*2*212/(1,1)/FF nnSS給定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*212222

22、2(1,1)(1,1)1SSP FnnFnnSS 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信區(qū)間的置信下限為10.2450.1424.820.357置信上限為0.2456.764.640.3573934.從一批某種型號電子管中抽出容量為10的子樣,計算得標準差 (小時).設(shè)整批電子管服從正態(tài)分布.試給出這批管子壽命標準差 的單側(cè)置信上限(置信概率為95%).*45s 解:n=10, (小時)*45s 構(gòu)造函數(shù)*2222(1)(1)nSn給定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求

23、的置信概率為95%的置信上限為29 453 4574.053.3251.82340第三章第三章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗411.從已知標準差 的正態(tài)母體中,抽取容量為n=16的子樣,由它算得子樣平均數(shù) .試在顯著水平0.05下,檢驗假設(shè)H0:2 . 556.27x26解:1.建立原假設(shè)H0: 2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量26) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使05. 096. 12u2uuP即05. 096. 1/00nxP4.由樣本n=16,56.27x代入96. 12 . 14/2 . 52656.272uu接受H0422.從正態(tài)母體 中取100個樣品,計算得) 1 ,(N

24、32. 5x(1)試檢驗H0:(2)計算上述檢驗在 時犯第二類錯誤的概率.5是否成立?)01. 0(8 . 4解 : (1)1.建立原假設(shè)H0: 2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量5) 1 , 0(/0Nnxu3.給定顯著水平 ,有 ,使01. 0575. 22u2uuP即01. 0575. 2/00nxP代入575. 22 . 310/1532. 5u拒絕H043(2)真實 時,8 . 4719. 0)575. 0()575. 0()575. 4()575. 210/18 . 45()575. 210/18 . 45()/()/(212102102)(002021ununxdenHnx接受域4

25、43.某批砂礦的5個樣品中的鎳含量經(jīng)測定為 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24設(shè)測定值服從正態(tài)分布。問在下 能否接受假設(shè)：這批礦砂的(平均)鎳含量為3.25。解：設(shè) ， 未知，計算 .252， =0.013。（1）建立假設(shè) ：（2）在假設(shè)成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量 01. 0),(2Nx2x*s0H25. 345xu ) 1(/)(*0nttnsx（3）給定 ,查得 =4.6041（4）由樣本計算， = =0.34 =5p414341243413434125681建立假設(shè) ：母體X的分布律為上述分布律在 成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量給定顯著水平 ，查得0H)4(25122ii

26、iinpnpm）（0H)4(2772568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(2222222）（由樣本計算，使p7802488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0H接受）（79方差分析習題方差分析習題1.為了對一元方差分析表作簡化計算，對測定值 作變換 ，其中b、c是常數(shù)，且 。試用 表示組內(nèi)離差和組間離差，并用他們表示F的值。i jx0b ijyijijyb xc80解： 由第一章習題3可知 組內(nèi)離差 組間離差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni x

27、xni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQrQrFFQnrQnr812.有四個廠生產(chǎn)1.5伏的3號電池。現(xiàn)從每個工廠產(chǎn)品中各取一子樣，測量其壽命得到數(shù)值如下：生產(chǎn)廠 干電池壽命（小時） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1問四個廠干電池壽命有無顯著差異（ ）？5%82解：1.建立假設(shè) ： 四個水平下母體 2.在 成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量 3.給定顯著水平 ，查 ，使 4.

28、有樣本計算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr來源 離差平方和 自由度均方離差 F組間r-1=320.230.5366組內(nèi)n-r=1637.7總和 663.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,接受 ，四個廠的干電池壽命無顯著差異0H833.抽查某地區(qū)三所小學五年級男學生的身高，得如下數(shù)據(jù)：小學身高數(shù)據(jù)（厘米）第一小學128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小學150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，15

29、5.8第三小學140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4試問該地區(qū)三所小學五年級男學生的平均身高是否有顯著差異（ ）？5%84解： ，I=1,2,3 1.建立假設(shè) ： 2.在 成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量 3.給定顯著水平 ，查 ，使 4.有樣本計算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr來源 離差平方和 自由度均方離差 F組間r-1=2233.084.375組內(nèi)n-r=1553.28總和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ， 所以拒絕 ，認為三所

30、小學五年級男生平均身高有顯著差異0.052,15FF0H854.在一元方差分析中， ，而 ，試求 的無偏估計量及其方差。 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir 10riiini86解：在第i水平下 , 估計量為 而總的平均 的估計量為 的估計量為 是無偏的 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir iixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn871.通過原點的一元回歸的線形模型為 其中各 相互獨立，并且都服從正態(tài)分布 。試由n組觀察值 ，用最小二乘法估計 ，并用矩法估計,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yin2回歸