第2章光波在自由空間和波導(dǎo)中的傳播

1、第2章 光波在自由空間和波導(dǎo)中的傳播內(nèi)容提要： 光的傳播是光電信息系統(tǒng)研究的基本問題之一，也是光能夠記錄、存儲(chǔ)、處理和傳送信息的基礎(chǔ)。為了解釋光在光電器件之間傳播現(xiàn)象，需要研究光在自由空間和波導(dǎo)中傳播的行為。本章首先介紹平面波角譜的概念，并從角譜的傳播導(dǎo)出光在自由空間傳播的規(guī)律；同時(shí)利用光的直線傳播和波動(dòng)理論，介紹光在波導(dǎo)中的傳播行為。2.1 球面波和平面波的復(fù)振幅表示我們知道，光是電磁波，求解(1.10)和(1.11)關(guān)于電磁波傳播的波動(dòng)方程，可以準(zhǔn)確解決光的傳播問題。衍射是光波動(dòng)傳播過程的普遍屬性，是光具有波動(dòng)性的具體表現(xiàn)。電磁波是矢量波，精確解決光的衍射問題，必須考慮光波的矢量性。用矢量

2、波處理衍射過程非常復(fù)雜，這是因?yàn)殡姶艌?chǎng)矢量的各個(gè)分量通過麥克斯韋方程聯(lián)系在一起，不能單獨(dú)處理。但是，在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，只要滿足：(1) 衍射孔徑比波長(zhǎng)大得多；(2) 觀察點(diǎn)離衍射孔不太靠近。把光作為標(biāo)量處理的結(jié)果與實(shí)際極其接近。因此，這里只討論光的標(biāo)量衍射理論。從光場(chǎng)的分解可知，任何復(fù)雜的波都可以用球面波或平面波的線性組合來表示，球面波和平面波都是波動(dòng)方程的基本解。因此，可將平面波作為基元函數(shù)來描述衍射現(xiàn)象，這就是研究平面波衍射的角譜方法。2.1.1 球面波的復(fù)振幅表示球面波是波動(dòng)方程的基本解。從點(diǎn)光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)形成球形的波面，稱為球面波。一個(gè)復(fù)雜的光源常常

3、可以看做是許多點(diǎn)光源的集合，它所發(fā)出的光波就是球面波的疊加。這些點(diǎn)光源互不相干時(shí)是光強(qiáng)相加，相干時(shí)則是復(fù)振幅相加。因此，研究球面波的復(fù)振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一組同心球面，每個(gè)點(diǎn)上的振幅與該點(diǎn)到球心的距離成反比。如圖2.1所示，位于平面任意點(diǎn)的單色發(fā)散球面波在光場(chǎng)中任何一點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可寫做 (2.1)式中，為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅；為觀察點(diǎn)離開點(diǎn)光源的距離。對(duì)于會(huì)聚球面波，則有 (2.2)圖2.1 球面波在x-y平面上的等相位線光學(xué)問題中所關(guān)心的是特定平面上的光場(chǎng)分布，例如，衍射場(chǎng)中的孔徑平面和觀察平面，成像系統(tǒng)中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布具有

4、重要意義。在圖2.1中，點(diǎn)光源位于平面上點(diǎn)，考察與其相距z(z>0)的平面上的光場(chǎng)分布，r可寫為 (2.3)當(dāng)x-y平面上只考慮一個(gè)對(duì)S點(diǎn)張角不大的區(qū)域時(shí)，取的一階近似 (2.4)將式(2.4)代入式(2.1)，因?yàn)樗紤]的區(qū)域相對(duì)z很小，各點(diǎn)的光振動(dòng)的振幅近似相等。式(2.1)中分母上的r可用z近似，但在指數(shù)函數(shù)上的相位因子中，由于光的波長(zhǎng)極短，k=數(shù)值很大，近似式(2.4)中第二項(xiàng)不能省略。因此，發(fā)散球面波在x-y平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為 (2.5)在式(2.5)中，exp(jkz)是常量相位因子；隨x-y平面坐標(biāo)變化的項(xiàng)exp為球面波的(二次)相位因子。當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中

5、包含有這種因子時(shí)，一般就可以認(rèn)為距離該平面z處有一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個(gè)平面。x-y平面上等相位線方程為 (2.6)式中，C表示某一常量。不同C值所對(duì)應(yīng)的等相位線構(gòu)成一個(gè)同心圓族，它們是球形波面與x-y平面的交線。相位值相差的同心圓之間的間隔由下式?jīng)Q定 (2.7)因此同心圓族由中心向外愈來愈密集。當(dāng)光源位于x0-y0平面的坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，在傍軸近似下，發(fā)展球面波在x-y平面上的復(fù)振幅分布為 (2.8)若z<0，上式也可以用來表示會(huì)聚球面波，或者寫做 (2.9)它表示經(jīng)過x-y平面向距離|z|處會(huì)聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。2.1.2 平面波的復(fù)振幅表示如圖2.2所示，波矢量k表

6、示光波的傳播方向，。在任意時(shí)刻，與波矢量相垂直的平面上振幅和相位為常數(shù)的光波稱為平面波。圖2.2 平面波在x-y平面上的等相位線若空間某點(diǎn)P(x, y, z)的位置矢量為r，則平面波傳播到P點(diǎn)的相位為，該點(diǎn)復(fù)振幅的一般表達(dá)式為 (2.10)當(dāng)觀察面已定，Z 變?yōu)槌?shù)時(shí)，式(2.10)可表示為 (2.11)于是復(fù)振幅可寫為 (2.12)式(2.12)表征了與z軸垂直并距原點(diǎn)z處的任一平面上平面波的復(fù)振幅分布。上式右邊可分成與(x, y)坐標(biāo)有關(guān)的和與(x, y) 坐標(biāo)無關(guān)的A兩部分。前者是表征平面波特點(diǎn)的特征相位因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這種因子時(shí)，即表明有一個(gè)方向余弦為、的平面波

7、經(jīng)過這個(gè)平面；后者即A的模是個(gè)常數(shù)，不像球面波的模與距離成反比。A的幅角則與z坐標(biāo)成正比。平面波等相位線方程為 (2.13)式中，C表示某一常量。不同C值所對(duì)應(yīng)的等相位線是一些平行直線。圖2.2中用虛線表示出相位值相差的一組波面與x-y平面的交線，即等相位線。它們是一組平行等距的斜直線。由于相位值相差的點(diǎn)的光振動(dòng)實(shí)際相同，所以平面上復(fù)振幅分布的基本特點(diǎn)是相位值相差的周期性分布。這是平面波傳播的空間周期性特點(diǎn)在x-y平面上的具體表現(xiàn)，也是下面將要提出的平面波空間頻率概念的基礎(chǔ)。2.2 平面波的角譜及角譜的傳播2.2.1 平面波的空間頻率在單色平面波中，引入與傳播方向有關(guān)的量 (2.14a)平面波

8、的復(fù)振幅的一般表達(dá)式變?yōu)?(2.14b)式(2.14a)定義的為平面波在方向上的空間頻率。可見，空間頻率與平面波有一定的聯(lián)系，如圖2.3所示，一平面波的波矢量為k，時(shí)間頻率為，其等相位面為平面，并與波矢量k垂直。圖中畫出了由原點(diǎn)起沿波矢量方向每傳播一個(gè)波長(zhǎng)周期性重復(fù)出現(xiàn)的兩個(gè)等相位面。相鄰兩等相位面與x、y、z軸的兩交點(diǎn)距離分別為 (2.15)由式(2.15)可知，空間頻率表示在x、y、z軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面空間頻率的物理意義。圖2.3 傳播矢量k位于x0-z平面的平面波在x-y平面上的空間頻率空間頻率的意義可總結(jié)如下：(1) 對(duì)于一列平面波而言，它的空間頻率是一個(gè)

9、常數(shù)，其大小由平面波的傳播方向決定。因此，“單頻信號(hào)”與一列平面波相對(duì)應(yīng)。(2) “多頻信號(hào)”代表各個(gè)方向的不同的平面波的組合，對(duì)于單色波，空間頻率與平面波的方向余弦是一一對(duì)應(yīng)的，因而多頻信號(hào)(復(fù)色信號(hào))可視為方向不同的多個(gè)平面波的疊加?？臻g頻率不同的平面波對(duì)應(yīng)不同的傳播方向，傳播方向與空間頻率一一對(duì)應(yīng)。由于空間頻率與平面波方向相聯(lián)系，即與角度有十分密切的關(guān)系，所以空間頻率可稱為“角頻率”。 如果光沿一個(gè)平面如傳播，對(duì)應(yīng)“零頻”，即光波沿z軸方向傳播；越大，意味著越小，稱為“低頻”；越小，越大，稱為“高頻”；當(dāng)時(shí)，即波沿x軸方向傳播，此時(shí)，稱為極限高頻(見圖2.4)。圖2.4 空間頻率與傳播方

10、向的關(guān)系(3) 光柵線密度越小，則一級(jí)衍射平面波的空間頻率越低。當(dāng)平面波垂直入射到平面光柵上時(shí)，產(chǎn)生的多級(jí)平面衍射波具有不同的傳播方向。由光柵方程dsinq=kl 可知，對(duì)于同樣波長(zhǎng)而言，光柵常數(shù)d越大則一級(jí)衍射波的衍射角越小，由此可知光柵線密度越小則一級(jí)衍射平面波的空間頻率越低。一個(gè)普通光學(xué)圖像可視為由多種空間頻率的光信號(hào)組合而成，低頻分量反映圖像的宏觀結(jié)構(gòu)，高頻分量則反映圖像的精細(xì)結(jié)構(gòu)，也就是圖像的細(xì)節(jié)?？臻g頻率的量綱是長(zhǎng)度單位的倒數(shù)，通常取cm-1或mm-1。2.2.2 平面波的角譜及其物理解釋平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)都可以分解成無窮多個(gè)具有不同傳播方向、不同振幅的平面波加權(quán)的線性組合

11、，沿不同方向傳播的平面波具有不同的空間頻率?；仡櫳险露S傅立葉變換的定義，對(duì)平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)可做空間二維傅立葉變換，可知，平面波就是二維傅里葉變換的核。將平面上任意一個(gè)單色光場(chǎng)函數(shù)分解成不同空間頻率的平面波，這就是平面波的空間頻譜即角譜。角譜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下：設(shè)有一單色光波沿z方向投射到x-y平面上，在z處光場(chǎng)分布為U(x, y, z)，則函數(shù)U(x, y, z)在x-y平面上的二維傅里葉變換是 (2.16)這就是光場(chǎng)復(fù)振幅分布U(x, y, z)的角譜。同時(shí)有逆變換為 (2.17)U(x, y, z)可理解為不同空間頻率的一系列基元函數(shù)的和，其疊加權(quán)重為。由式(2.17)可以看出，基

12、元函數(shù)就是空間頻率為的平面波。權(quán)重因子為該方向平面波即該空間頻率平面波的復(fù)振幅。因此，式(2.17)說明，單色光波在某一平面上的光場(chǎng)分別可以看做是不同傳播方向的平面波的疊加，在疊加時(shí)各平面波有自己的振幅和相位，它們的值分別為角譜的模和幅角。因?yàn)?，則也可利用方向余弦表示為 (2.18)由(2.18)可以看出，空間頻譜是以平面波傳播方向的角度的余弦為自變量，因此將其稱做角譜。2.2.3 平面波角譜的傳播1. 平面波角譜傳播的推導(dǎo)研究角譜的傳播就是要找到z=0平面上的角譜和z=z平面上的之間的關(guān)系?，F(xiàn)在研究一個(gè)與平面平行且離它距離為的平面上的光場(chǎng)的復(fù)振幅分布的角譜。根據(jù)式(2.17)，圖2.5中z=

13、0平面上的光場(chǎng)分布和平面上的光場(chǎng)分布可以分別表示如下圖2.5 復(fù)振幅分布及其角譜的傳播 (2.19) (2.20)在所有的無源點(diǎn)上，必須滿足 (2.21)將式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍茲方程，改變積分與微分的順序，注意到角譜僅是z的函數(shù)，而復(fù)指數(shù)函數(shù)中不含z變量，可以導(dǎo)出必須滿足的微分方程 (2.22a)該二階常微分方程的一個(gè)基本解是式中，由初始條件決定。z=0平面上的角譜為，因而有最后得到 (2.22b) 這是一個(gè)十分重要的結(jié)果，它給出了兩個(gè)平行平面之間角譜傳播的規(guī)律。在由已知平面上的光場(chǎng)分布得到其角譜后，可以利用式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜，再通過傅里葉逆變

14、換求出其光場(chǎng)分布。角譜的傳播公式(2.22b)表明，當(dāng)方向余弦滿足時(shí)，平面波傳播一段距離距離z的效應(yīng)只是改變了各個(gè)角譜分量的相對(duì)相位。 這是由于每個(gè)平面波分量以不同方向傳播，它們到達(dá)給定的點(diǎn)所經(jīng)過的距離不同，引入一個(gè)相位延遲因子。對(duì)于的情況，不能將、解釋為方向余弦。由于是場(chǎng)分布的傅立葉變換，而孔徑平面上對(duì)場(chǎng)施加了邊界條件即卷積，因此可能出現(xiàn)滿足的情況，這時(shí)，式(2.22b)中的平方根是虛數(shù)，于是公式變成 (2.23)式中，。由于是正實(shí)數(shù)，式(2.23)說明，一切滿足的波動(dòng)分量，將隨z的增大而按指數(shù)衰減，在幾個(gè)波長(zhǎng)的距離內(nèi)很快衰減到零。對(duì)應(yīng)于這些傳播方向的波動(dòng)分量稱為倏逝波，它們與在截止頻率以下

15、驅(qū)動(dòng)的微波波導(dǎo)中所產(chǎn)生的波非常相似。在滿足標(biāo)量衍射理論近似的情況下忽略不計(jì)。對(duì)于，即的情況，波動(dòng)分量的傳播方向垂直z軸，它在z軸方向的凈能量流為零。2. 在空間頻域平面波的傳播現(xiàn)象等效于對(duì)光波做空間濾波令，把式(2.22b)改寫為 (2.24)如果將和分別看做一個(gè)線性不變系統(tǒng)的輸出和輸入函數(shù)的頻譜，系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)可由傳遞函數(shù)表征為 (2.25)在滿足標(biāo)量衍射理論近似條件情況下，倏逝波可忽略不計(jì)，因而傳遞函數(shù)可表示為 (2.26)公式(2.26)表明，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個(gè)空間濾波器。如圖2.6所示，在頻譜面上半徑為1/l的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒有影響，但要引

16、入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。由此可知，對(duì)空域中比波長(zhǎng)還要小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于1/l的信息，在單色光照明下不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能力是有限的。圖 2.6 傳播現(xiàn)象的有限空間帶寬2.2.4 衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)假設(shè)在z=0平面處有一無窮大的不透明屏，它包含衍射結(jié)構(gòu)，即開一孔，現(xiàn)在研究該衍射屏幕對(duì)光波擾動(dòng)的角譜的影響。定義該孔的透過率函數(shù)為 (2.27)這里，沿z方向傳播的光波入射到該孔徑上的復(fù)振幅為Ui(x, y, 0)，則緊靠孔徑后的平面上出射光場(chǎng)的復(fù)振幅Ut(x, y, 0)為 (2.28)對(duì)上式兩邊做傅里葉變換，并利用傅立葉變

17、換的卷積性質(zhì)，角譜可表示為 (2.29)式中，為孔徑函數(shù)的傅里葉變換。由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，引入使入射光波在空間上受限制的衍射孔徑的效應(yīng)就是展寬了光波的角譜，而不同的角譜分量相應(yīng)于不同方向傳播的平面波分量，故角譜的展寬意味著在出射波中除了包含入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。2.3 用角譜理論推導(dǎo)光在自由空間的傳播2.3.1 標(biāo)量衍射的推導(dǎo)及直觀解釋本節(jié)用平面波角譜理論即從頻域的角度推導(dǎo)常用的衍射公式。前面已經(jīng)討論過頻域的角譜傳播問題，在由已知平面上的光場(chǎng)分布得到其角譜后，可以利用角譜的傳播

18、公式(2.22b)求出它傳播到z=z平面上的角譜。通過傅里葉反變換，最后得到用表示的衍射光場(chǎng)分 (2.30)這就是平面波譜衍射的基本公式。對(duì)孔徑平面的積分實(shí)際上只需對(duì)孔徑內(nèi)的場(chǎng)做積分。式(2.30)的四重積分使用起來仍很不方便，還需要按照菲涅耳的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)?？紤]一列平面波通過一個(gè)孔徑，在孔徑后不同的平面上觀察其輻射的圖樣。如圖2.7所示，在緊靠孔徑后的平面上，光場(chǎng)分布基本上與孔徑的形狀相同，這個(gè)區(qū)域稱為幾何投影區(qū)；隨著傳播距離的增加，衍射圖像與孔的相似性逐漸消失，衍射圖的中心產(chǎn)生亮暗變化，從這個(gè)區(qū)域開始到無窮遠(yuǎn)處，均稱為菲涅耳衍射區(qū)；當(dāng)傳播距離進(jìn)一步增加時(shí)，衍射圖樣的相對(duì)強(qiáng)度關(guān)系不再改變，只

19、是衍射圖的尺寸隨距離的增加而變大，幅度隨之降低，這個(gè)區(qū)域稱為夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)。夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)包含在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，但是通常不太確切地把前者稱做遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，后者稱做近場(chǎng)衍射。圖2.7 按傳播距離劃分衍射區(qū)2.3.2 菲涅耳衍射公式假定孔徑和觀察平面之間距離z遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度，并且只對(duì)z軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察，則有此條件等同于這里，L0=為孔徑的最大尺寸；L1=為觀察區(qū)的最大區(qū)域。這種近似稱為菲涅耳近似或傍軸近似。在這種情況下，對(duì) 展開，只保留(l f )2項(xiàng)，略去高次項(xiàng)，即這樣式(2.30)可寫為 (2.31)上式還可表示為 (2.32)這就是常用的菲涅耳衍射公式。上一節(jié)已證明，因?yàn)椴▌?dòng)的可

20、疊加性，可以把光波的傳播現(xiàn)象看做一個(gè)線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下這一傳遞函數(shù)可進(jìn)一步表示為 (2.33)它表示在菲涅耳近似下角譜傳播的相位延遲。因子代表一個(gè)總體相位延遲，它對(duì)于各種頻率分量都是一樣的，因子代表與頻率有關(guān)的相位延遲，不同的頻率分量，其相位延遲不一樣。2.3.2 夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換在菲涅耳衍射公式中，對(duì)衍射孔采取更強(qiáng)的限制條件，即取 (2.34)則平方相位因子在整個(gè)孔徑上近似為1，于是 (2.35)這就是夫瑯禾費(fèi)衍射公式。在夫瑯禾費(fèi)近似條件下，觀察平面上的場(chǎng)分布等于衍射孔徑上場(chǎng)分布的傅里葉變換和一個(gè)二次相位因子的乘積。對(duì)于僅響應(yīng)光強(qiáng)不響應(yīng)相位的光電

21、探測(cè)器，夫瑯禾費(fèi)衍射就是光場(chǎng)的傅里葉變換。2.4 光波在光波導(dǎo)中的傳播光在光波導(dǎo)中的傳播行為可以用幾何光學(xué)的射線理論和電磁場(chǎng)在受限介質(zhì)中波動(dòng)理論進(jìn)行分析。2.4.1 基于幾何光學(xué)的光纖維導(dǎo)光原理光在光纖中的傳播可以用簡(jiǎn)單的幾何光學(xué)原理即全內(nèi)反射原理來說明。典型光纖的橫截面示意圖如圖2.8所示。光纖由折射率略高的纖芯、折射率略低的包層及表面涂層組成。根據(jù)纖芯折射率徑向分布的不同，光纖可分為階躍折射率分布光纖和漸變折射率分布光纖，如圖2.9所示。圖2.8 光纖的橫截面示意圖 圖2.9 光纖纖芯折射率分布光纖的導(dǎo)光原理可用射線理論與導(dǎo)波理論兩種方法進(jìn)行分析。當(dāng)纖芯直徑遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)時(shí)，基于幾何光學(xué)的

22、射線理論可以很好地解釋光纖的導(dǎo)光原理和特性。當(dāng)纖芯直徑與光波波長(zhǎng)可比擬時(shí)，則須用導(dǎo)波理論進(jìn)行分析。這里，僅對(duì)階躍折射率分布光纖的射線理論分析方法進(jìn)行介紹。圖2.10表示光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑。一束光線以與光纖軸線成的角度入射到芯區(qū)中心，在光纖空氣界面發(fā)生折射，折射光與光纖軸線的夾角由折射定律決定 (2.36)式中，和分別為空氣和纖芯的折射率。折射光到達(dá)光纖芯包層界面時(shí)，若入射角大于臨界角時(shí)，將發(fā)生全反射，若包層折射率為，則定義為 (2.37)所有的光線都將被限制在光纖芯中，這就是光纖導(dǎo)光的基本原理。圖2.10 光波在階躍折射率分布光纖中的傳播路徑下面介紹光纖對(duì)光線的接收角，即數(shù)值

23、孔徑。為實(shí)現(xiàn)全反射，對(duì)光線的入射角有一個(gè)最大值限制，與有關(guān)系式成立。以替代，并利用式(2.32)和式(2.37)可得 (2.38)稱為光纖的數(shù)值孔徑，代表光纖的集光能力。對(duì)于，可近似為 (2.39)式中，為光纖的纖芯與包層相對(duì)折射率差；是光纖的接收角。當(dāng)入射角時(shí)，光線在纖心和包層的界面發(fā)生全內(nèi)反射，因而光線在光纖中傳播時(shí)不會(huì)有嚴(yán)重的衰減；然而，當(dāng)時(shí)，光線在纖心和包層的界面上會(huì)發(fā)生能量泄漏，造成嚴(yán)重的衰減。這就是幾何光學(xué)關(guān)于光線在光纖中傳播的基本原理。由于光纖很長(zhǎng)，因此光在傳播過程中要發(fā)生很多次反射。為了保證低衰減，我們需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小點(diǎn)衰減在多次反射后將導(dǎo)致巨大的衰減。

24、到此為止，我們從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)解釋了光線如何在光纖中傳播。下一個(gè)需要了解的問題是帶寬有多大，對(duì)此可做如下估計(jì)。假設(shè)光纖長(zhǎng)為，當(dāng)入射角時(shí)，光線穿過光纖的最短時(shí)間為tmin。從理論上，tmin由下式給出 (2.40)當(dāng)光線以臨界角入射穿過光纖時(shí)需花費(fèi)的時(shí)間最長(zhǎng)，為時(shí)，光線在光纖中的傳播距離為 (2.41)因此，最大傳播時(shí)間為 (2.42)上述兩種情況下，光纖傳播的時(shí)間差為 (2.43)值得注意的是，傳播時(shí)間差從根本上限制了傳送信息的最大帶寬。為了避免不同傳播時(shí)間的信息相互混淆，最大帶寬為 (2.44)為了對(duì)式(2.44)有一定量的認(rèn)識(shí)，我們來看下面的例子。例2.1 階躍折射率光纖的纖心折射率為，包

25、層折射率為，長(zhǎng)度，請(qǐng)計(jì)算此光纖的最大比特率。解：此光纖的最大比特率為從這個(gè)例子可以看出，遠(yuǎn)小于光學(xué)載波頻率(數(shù)量級(jí)是 Hz)。為了解決這個(gè)問題，必須減小光線沿不同路徑傳播的時(shí)間差。有一種光纖(即單模光纖)，它只允許光線沿一條路線傳播，這樣可以獲得更大的帶寬。不過，簡(jiǎn)單幾何光學(xué)理論不能完全解釋這個(gè)現(xiàn)象，其必須由下節(jié)所描述的更為精確的波動(dòng)理論來闡述。2.4.2 基于光的波動(dòng)光學(xué)的波導(dǎo)導(dǎo)光理論當(dāng)光纖的橫向尺度與光的波長(zhǎng)相比擬，需要更為精確的波動(dòng)光學(xué)理論來分析，尤其是模式理論，才能解釋發(fā)生在光纖中的現(xiàn)象。波動(dòng)光學(xué)法從著名的麥克斯韋方程出發(fā)。光纖是絕緣介質(zhì)，因此它的自由電荷密度，傳導(dǎo)電流密度。另外還可假

26、設(shè)光波是簡(jiǎn)諧振蕩波，對(duì)這一線性系統(tǒng)，一般可以用基于傅里葉變換的加權(quán)求和來處理。在這些假設(shè)下，準(zhǔn)單色光場(chǎng)的電場(chǎng)滿足下面的波動(dòng)方程 (2.45)式中，是波數(shù)；是光的時(shí)間角頻率；c是真空中的光速；是光纖的材料折射率，它可能是角頻率的函數(shù)，即。由于一般光纖具有圓柱對(duì)稱性，因此在柱坐標(biāo)下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)是一個(gè)矢量微分方程，為了簡(jiǎn)單起見，首先處理電場(chǎng)在軸方向的分量。這時(shí)，式(2.45)變成下面簡(jiǎn)單的標(biāo)量微分方程 (2.46)在如圖2.10所示的柱坐標(biāo)下，式(2.46)可以寫成 (2.47)式(2.47)是一個(gè)線性偏微分方程，包括三個(gè)變量。可以通過分離變量法求解，即可假設(shè) (2.4

27、8)把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三個(gè)方程 (2.49a) (2.49b) (2.49c) 式中，是整數(shù)；是常數(shù)。式(2.49a)的解是 (2.50)此式描述了光波是如何在軸方向傳播的，一般稱為傳播常數(shù)。式(2.49b)的解是 (2.51)此式描述了光場(chǎng)在徑向是如何變化的。，必須是整數(shù)。式(2.49c) 比較復(fù)雜，對(duì)階躍折射率光纖能得到一個(gè)解析解。在圖2.11中，階躍光纖的折射率分布可描述為 (2.52)圖2.11 柱坐標(biāo)下的光纖式中，是纖心的半徑。把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程組 (2.53a) (2.53b)式(2.53a) 和式(2.53b)可以通

28、過定義兩個(gè)新常數(shù)得到進(jìn)一步簡(jiǎn)化，這兩個(gè)常數(shù)是 (2.54a) (2.54b)把式(2.54a) 和式(2.54b)代入式(2.53a) 和式(2.53b)，得到 (2.55a) (2.55b)式(2.55a)是著名的貝塞爾方程，而式(2.55b)是修正的貝塞爾方程。這兩個(gè)方程的解都是貝塞爾函數(shù)，因此，可以表達(dá)為 (2.56) 式中，是階一類貝塞爾函數(shù)；是階二類貝塞爾函數(shù)；是階二類修正貝塞爾函數(shù)；是階一類修正貝塞爾函數(shù)；均是常數(shù)。當(dāng)時(shí)，由于光能不能為無窮大，必須為零(即)。同樣地，當(dāng)時(shí)，而光能也不能為無窮大，必須為零(即)。這樣，式(2.56)簡(jiǎn)化為 (2.57)貝塞爾函數(shù)和可以通過查貝塞爾函數(shù)

29、表得到，或者可以由其級(jí)數(shù)表達(dá)式用計(jì)算機(jī)算出。它們的級(jí)數(shù)表達(dá)式是 (2.58a) (2.58b) (2.58c) (2.59)把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光場(chǎng)的最終解 (2.60)然后，通過麥克斯韋方程可以求得。下面，利用纖心和包層表面的邊界條件求常數(shù)和。此邊界條件在數(shù)學(xué)上可表述為 (2.61)把式(2.60)代入式(2.61)，可得 (2.62a) (2.62b)式中，撇號(hào)表示對(duì)變量求導(dǎo)。把式(2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(稱為色散關(guān)系式) (2.63)為了理解式(2.63), 把式(2.54)中代入得 (2.64)式(2.64)

30、決定了傳播常數(shù)的可能值，討論如下：(1) 由于因子描述了光在軸方向的傳輸，故稱為傳播常數(shù)。對(duì)于無衰減傳播，必須是實(shí)數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見，假定光僅在一個(gè)方向傳輸，而對(duì)此選定的方向必須大于零。(2) 由條件和，可得；由條件和，可得。這樣就得到導(dǎo)波模式下的全面約束條件 (2.65)(3) 定義為光場(chǎng)傳播常數(shù)為的光纖的有效折射率，把式(2.65)兩邊同乘以，得 (2.66)從式(2.66)可以看出，有效折射率在包層折射率和纖芯折射率之間。(4) 對(duì)一給定的值，可以求得一系列的解，用分別標(biāo)記之。這樣，對(duì)應(yīng)于不同的和，可以得到可能的傳播常數(shù)。由于和都是整數(shù)，是離散的數(shù)值，每一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)可能的傳播模式。例如，表

31、示一個(gè)模式，而表示另一個(gè)模式。(5) 為了得出光纖中傳播的模式數(shù)，定義一個(gè)重要的參數(shù)歸一化頻率 (2.67)當(dāng)時(shí)，式(2.64)中的只有一個(gè)解。換句話說，在這種情況下光纖中只可能有一個(gè)傳輸模式，這種光纖稱為單模光纖。既然只有一個(gè)模式在光纖中傳播，模間色散就不存在，因此在長(zhǎng)距離通信中單模光纖可以有更寬的帶寬。當(dāng)更大時(shí)，光纖中存在的模式數(shù)大約等于 (2.68)這對(duì)應(yīng)于多模光纖的情況。例2.2 設(shè)一光纖的纖心直徑為m，工作波長(zhǎng)m，請(qǐng)計(jì)算其模式數(shù)。解：既然，可以用近似公式來計(jì)算其模式數(shù)因此，在普通的多模光纖中，傳播的模式多達(dá)上千個(gè)。例2.3 一光纖工作在單模狀態(tài)下，求其所允許的最大纖心半徑。已知，工作

32、波長(zhǎng)。解：?jiǎn)文＿\(yùn)行條件是，因此最大半徑是此結(jié)果告訴我們，單模光纖的半徑很小。例2.4 一光纖半徑，相對(duì)折射率差工作波長(zhǎng), 請(qǐng)計(jì)算此光纖的傳輸常數(shù)和有效折射率。 解：根據(jù)相對(duì)折射率差的定義可得波數(shù)為歸一化頻率為因此，光纖中只有一個(gè)模式在傳播，這就是單模光纖的情形。求解方程(2.64)可得到傳播常數(shù)，即求解下式單模光纖只有一個(gè)基模在傳播，它對(duì)應(yīng)于的情況。把代入上面的方程得利用貝塞爾函數(shù)恒等關(guān)系式，即和，此方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。這樣可得 (2.69)方程(2.69)是一個(gè)超越方程，它沒有解析解，采用圖解法可求得傳播常數(shù)b。把方程(2.69)的兩邊分別看做b函數(shù)，用MathCAD程序可以分別畫出它們的曲

33、線圖。如圖2.12所示，兩條曲線的交點(diǎn)就給出了傳播常數(shù)b的值，b=7.103，所以有效折射率?？梢钥闯?，有效折射率小于n1，大于n2，這和理論分析相一致。圖2.12 方程(2.69)的左式和右式作為函數(shù)的曲線圖2.4.3 光纖中的衰減正如在2.4.1節(jié)及2.4.2節(jié)中所討論的，基于全內(nèi)反射原理，光線可以被限制在光纖里。然而，光纖中的一些機(jī)制可能導(dǎo)致衰減，圖2.13說明了衰減是波長(zhǎng)的函數(shù)。當(dāng)工作波長(zhǎng)時(shí)，損耗主要來自瑞利散射，它正比于。而當(dāng)時(shí)，紅外吸收損耗變得越來越大。在處有一個(gè)損耗峰值，這主要是由氫氧根的吸收造成的。因此，為了將損耗減到最少，當(dāng)前的通信系統(tǒng)工作在中心波長(zhǎng)為或1.55的低損耗窗口。

34、圖2.13 光的光學(xué)損耗(或衰減)2.4.4 單模光纖的橫模正如前面幾節(jié)所討論的，電場(chǎng)具有式(2.60)所描述的分布狀態(tài)。本節(jié)將討論單模光纖的場(chǎng)分布。這對(duì)應(yīng)于基模的情況，也就是。把代入式(2.60)，則的歸一化橫向分布為 (2.70)為便于計(jì)算,對(duì)的情況有一個(gè)簡(jiǎn)便的經(jīng)驗(yàn)公式。歸一化電場(chǎng)可以表述為 (2.71)上式是高斯函數(shù)。為了理解式(2.70)和式(2.71),我們來看下面的例子。例2.5 一單模硅光纖半徑，纖心折射率，包層折射率工作波長(zhǎng)。(a) 對(duì)精確的公式即式(2.70)和高斯近似經(jīng)驗(yàn)公式(2.71)，請(qǐng)分別畫橫向電場(chǎng)分布的曲線圖。(b) 如果光纖半徑變?yōu)椋刈銮€圖。解： (a) 首先

35、，計(jì)算式 (2.70) 和式 (2.71) 中的參數(shù)。在(a)情況下，波數(shù)。歸一化頻率。傳播常數(shù)可以用例2.4中所描述的圖解法計(jì)算，結(jié)果為。這樣，可算出參數(shù)和基于這些參數(shù)，用MathCAD程序可以畫出的曲線圖，如圖2.14(a)所示。從圖2.14(a)可以看出，精確公式和經(jīng)驗(yàn)公式之間的差別非常小。這表明，當(dāng)時(shí)，高斯近似是可行的。本例中落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。(b) 依照新的半徑，我們重算了電場(chǎng)分布，如圖2.14(b)所示，兩條曲線有明顯的差別。注意在這種情況下，不屬于區(qū)間1.2,2.4。這再次說明使用式(2.71)時(shí)的必要條件是。在結(jié)束這一節(jié)之前，我們將給出在高斯近似條件下纖芯中的能量百分比 (2.7

36、2)式中，由式(2.71)決定。因此，實(shí)際上是歸一化頻率的函數(shù)。可以計(jì)算，當(dāng)時(shí)，纖芯中大約有75%的光能；而當(dāng)V變小時(shí)，纖芯中的光能百分比也隨之減小。圖2.14(a) 近似較好時(shí)橫向電場(chǎng)沿徑向的分布。實(shí)線表示精確解，虛線表示高斯近似解；(b) 近似較差時(shí)橫向電場(chǎng)沿徑向的分布。實(shí)線表示精確解，虛線表示高斯近似解2.4.5 單模光纖的色散在光纖光學(xué)中，色散影響光纖通信系統(tǒng)的比特率及帶寬。由于色散的存在，窄脈沖信號(hào)在光纖中傳播后會(huì)展寬。正如前面章節(jié)所討論的，不同的模式具有不同的傳播常數(shù)。因此，對(duì)一多模光纖來說，一個(gè)窄脈沖輸入可含有不同的模式，而這些模式傳播速度不同。這樣，輸出信號(hào)就增寬了，如圖2.1

37、5所示。這種類型的色散稱為模間色散，其數(shù)值較大。例如，一階躍折射率光纖參數(shù)為長(zhǎng)度，則其輸出信號(hào)展寬為相應(yīng)的最大比特率，因此多模光纖不適用于高速長(zhǎng)距離通信。圖2.15 多模光纖模間色散的圖解幸運(yùn)的是，當(dāng)歸一化頻率時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)單模工作。在這種情況下只有一個(gè)模式，不存在模間色散，因而色散將非常小，但色散仍然不為零，這時(shí)存在由材料色散和波導(dǎo)色散導(dǎo)致的模內(nèi)色散。1. 單模光纖的材料色散任何實(shí)際的光源總是有一定的光譜帶寬，光纖材料的折射率也是波長(zhǎng)的函數(shù)，不同波長(zhǎng)的光將以不同的速度傳播，也就是)，這種色散叫做材料色散。長(zhǎng)距離光纖通信系統(tǒng)采用的光源是單縱模半導(dǎo)體二極管激光器，這種激光器光譜線寬很窄，因此材料色

38、散非常低。材料色散的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 (2.73)例2.6 一全硅光纖長(zhǎng)，激光光源的光譜線寬工作波長(zhǎng)，并且請(qǐng)利用式(2.73)計(jì)算由材料色散和最大比特率導(dǎo)致的脈沖加寬。解：相應(yīng)的最大比特率是。2. 單模光纖的波導(dǎo)色散除了材料色散，單模光纖中還有波導(dǎo)色散。即便是常數(shù)，由于傳播常數(shù)依賴于歸一化頻率V，而V又依賴于，這樣就產(chǎn)生波導(dǎo)色散。波導(dǎo)色散可以寫成 (2.74)(歸一化傳播常數(shù))例2.7 對(duì)一單模階躍折射率光纖，有n1=1.4508，n2=1.446918，a=4.1mm，l=1560nm，Dl=1nm，L=1km。請(qǐng)求其波導(dǎo)色散的大小。解：步驟一：計(jì)算歸一化頻率步驟二：計(jì)算步驟三：計(jì)算單模光纖的總

39、色散是材料色散和波導(dǎo)色散之和。圖2.16給出了標(biāo)準(zhǔn)硅光纖在和時(shí)總色散的曲線圖，色散隨工作波長(zhǎng)而變。對(duì)純硅單模光纖，色散的數(shù)量級(jí)是幾十個(gè)ps/nm-km,遠(yuǎn)比多模光纖的小(幾十個(gè)ns/nm-km)。當(dāng)時(shí)，得到零色散。既然波導(dǎo)色散分布Dw依賴于光纖參數(shù)(如纖心半徑和相對(duì)折射率差)，就有可能設(shè)計(jì)出一種光纖，使得零色散點(diǎn)移到1.55附近，如圖2.16所示。這種光纖稱為色散位移光纖。而設(shè)計(jì)波導(dǎo)使得總色散在一個(gè)較寬的波長(zhǎng)范圍(如從1.3到1.6)相對(duì)較小，這也是可能的。這種光纖稱為色散平坦光纖，如圖2.16所示。圖2.16 不同類型的單模硅光纖的色散(作為工作波長(zhǎng)的函數(shù))參考文獻(xiàn)1. Joseph WGoodman著秦克誠(chéng)，劉培森，陳家璧，曹其智譯傅里葉光學(xué)導(dǎo)論北京：電子工業(yè)出版社，20