初數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理

1、初二數(shù)學(xué)【教學(xué)進(jìn)度】幾何第二冊(cè)第五章§5.2教學(xué)內(nèi)容平行線分線段成比例定理重點(diǎn)難點(diǎn)剖析一、主要知識(shí)百1 .'平行線分4標(biāo)成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2 .三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，3 .三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng) 線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 .三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2 （即課本例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩 邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得

2、的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.二、重點(diǎn)剖析1.平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時(shí)，它也是直接證明線段成比 例的最重要方法之一。-L1-L2L3定理的基本圖形A /tEF JFqV/圖卜. ABDEABDEBCEF.11/7127/13= = = BCEFACDFACDF對(duì)應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對(duì) 應(yīng)。為了強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)和記憶，可以使用一些簡(jiǎn)單形象化語言記憶上而所列三組比例式： ar np一=一， 可以說成“上比下等于上比下”BC EF, 可以說成“上比全等于上比全”AC DFBC FF，可以說成“下比全等于

3、下比全”等AC DF2 .三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1 （即平行線分線段比例定理的推論） 基本圖形wordDB EC AB AC AB AC.BD 2* DC " 3圖2（1）,圖2 （3）稱為“A”型,圖2（2）稱為“X”型推論中“或兩邊的延長(zhǎng)線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線3 .三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題,（1）這個(gè)定理可以用來判定兩條直線平行.（2）使用時(shí)，一定要注意這個(gè)定理的前提：截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例。4 .平行線分線段成比例定理的逆命題：三條直線截兩條直 線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行.它

4、是一個(gè)假命題，如圖3,其中AB=BCDE=EF,則"="=1,但L、L2> L3不平行。BC EF5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）,這個(gè) 定理也叫做相似三角形預(yù)備定理 DE/BC =這時(shí)，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。當(dāng)平行于三角形一邊的直線截兩邊的延長(zhǎng)線時(shí)，這個(gè)定 理也成立。圖4是最基本的“A”型，課本例6中有型時(shí)常 作平行線，把所要研究的線段中，與其它線段關(guān)系不明顯的線 段平移到關(guān)系明顯的線段上去。典型例題例1、如圖5,在AABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，AD與BE交于點(diǎn)F,若AE:EC=3:4, BD:DC=2:3,求 BF:

5、EF 的值。分析：求兩條線段的比值，可通過平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身 并沒有平行線，故需添加輔助線一一平行線去構(gòu)造比例線段，進(jìn)而求出比值。解：過E作EGBC交AD于G,則在aADC中,.AE 3.AE 3. EG 3'EC - 4AC-7" DC - 7極 EG=3X , DC=7X (X>0),貝lj2214： DB= DC = x7x = x 33314.BD_TV_14BF BD 14又 V EG/7BC, :.=FE EG 9例 2、如圖 6, DEAB, EFBC, AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD。分析根據(jù)

6、條件可知BDEF為平行四邊形，由EFBC,af ff應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得 = 再應(yīng)用比例性AB BC質(zhì)，即可求出EF即BD。解：V DEAB, EF/7BCA四邊形BDEF為平行四邊形,AF EF又 EFBC,:.=:.BD=EFAFAB BCBDBDAF+BF BD+DC 解之，得BD=，(cm)5+3 BD+2例3、如圖7, A、C、E和B、F、D分別是NO的兩邊上的點(diǎn)，且ABED、BC/FE. 求證：AF/CD分析 要證明AFCD,應(yīng)推導(dǎo)出能使AF/CD的比例線段，由題中圖形可知，應(yīng)證明里=竺，而由AB/ED, OC ODBC/FE,容易得到此關(guān)系。證明：AB/ED=2 VBC/

7、FE 工絲=2£ OE ODOF OE由得 OA OD=OB OE 由得 OC OF=OB OE OA OD=OC OF則生=竺 AAF/CD OC OD點(diǎn)評(píng)：本題是采用的是“公比過渡”的方法來解決問題的，“公比”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式中均有一個(gè)公共比， 有時(shí)公比是采用乘積式的形式。例4如圖8梯形ABCD中，AB/CD, M為AB的中點(diǎn)， 分別連結(jié)AB、BD、MD、MC,且AC與MD交于 E, DB與MC交于F,求證EF/CD分析：要證EF/CD,可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，首先觀察EF、CD截哪個(gè)三角形，然后證明它截得兩邊上的對(duì)應(yīng)線段成比例即可。證明：.ABCD, =

8、 又.AM=BM = Z.EF/CDAM EM MB FMEM FM點(diǎn)評(píng) 利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：（1）首先觀察欲證平行線截哪個(gè)三角形（2）再觀察它們截這個(gè)三角形的哪兩邊 （3）最后只須證明這兩條邊上對(duì)應(yīng)線段成比例即可的比作為中間比當(dāng)已知中有相等線段時(shí)，常利用它們和同一條線段（或其它相等線段） 例5如圖9, A1/T.U分別在AABC的三邊BC、AC、AB ±求證:或其延長(zhǎng)線上，目AA'" BB' CCA4' BBf CCf分析 所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類問題, 一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。證

9、明：CCr/ A4'7 =>? CCr/ BB'AA1 BA.CC CC BC AC9 BC' + 4C' t =1 ABBB'AB1AAf BB' CC證明：AE平分NBAD :.筆=器 點(diǎn)評(píng)對(duì)于線段倒數(shù)和的證明，常見的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形式，再利用平行線或相似三角ii icc9 cc9形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，如本題中，要證一;+ 一-= -只需證二二+需=1,即將倒數(shù)和的形式化AAf BB' CCA4 BB為線段比的形式。例6如圖10四邊形ABCD中，ZBAD的平分線交BD于E,EFCD 交 BC 于 F,求證：=1 BF

10、 AB分析 結(jié)論是兩個(gè)線段比的差，可分別求出每一組線段的比， 再進(jìn)行減法運(yùn)算。r o在ABCD 中 V EF/CD ；=BE BF-得票噎嘿嘴.喘-奈I例7如圖11, AD為ABC的角平線，BF_LAD的延長(zhǎng)線于F, AMLAD于A交BC的延長(zhǎng)線于M, FC的延長(zhǎng)線交AM于E,求證：AE=EM分析 要證AE=EM,可利用比例緞來證明，而由BFLAF, 可延長(zhǎng)BF交AC延于N,構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)有BF=FN,再由BN/AM, 得比例線段，即可得出結(jié)論，證明：延長(zhǎng) BF 交 AC 的延長(zhǎng)線于 NVAF1BF ，NBFA=NNFA=90° 又: ZBAF=ZNAF, AF=

11、AFAAABFAANF BF=NF BF±AF AM1AF :. BF/AM.BF FC屈一衣EN _FC- CE構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)證題:又 V BF=FN :. EM=AEEM AE點(diǎn)評(píng)（1）有和角平分線垂直線段時(shí)常把它延長(zhǎng), （2）利用比例證明線段相等主要有以下形式 =a = b=>n = cbh ha ca cl d >=>a = c d j = b = d b=dJa=c J例8如圖12把線段AB分成2： 3兩部分分析利用平行線分線段成比例定理作圖作法：1.以點(diǎn)A為端點(diǎn)，作射線AM2 .在AM上順次截AD=2a, DE=3a （a為任意長(zhǎng)）3

12、 .連結(jié)BE,過點(diǎn)D作DC/BE交AB于C,則點(diǎn)C即為所求A 練習(xí)與測(cè)試1 .如圖AABC中，D、E、F分別在AB、AC、BC上, 且 DE/BC, EF/AB, AD=9, EF=6, CF=5,則 BF=2 .直線DE分別交 ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E, 且 AD=4cm, AE=6cm、ABT 2cm, AC=那么DE/BC3 .如圖 DE/BC B（第5題）CDB 3那么把=絲=EC8cD4 .如圖在OABCD中，E在AD上，LRFeF且 4AE=5DE, CE 交 BD 于 F,則絲=DFGH5 .如圖，梯形ABCD中，ADBC,對(duì)角線AC、BD相交于0, CE/AB交BD的延長(zhǎng)

13、線于E, A贏扇-1若 OB=6, OD=3,則 DE=6 .如圖，已知 DC/EF/GHAB,一+11AB=30, CD=6,且 DE： EG： GA=1： 2： 3, E貝lj EF=GH=7 .如圖，在ZJ ABCD中，廣512Oh 02、O3分別為對(duì)角線BD上三點(diǎn)，（第8勘且B0尸OQ2=O2O3=O3D,連結(jié)AO”并延長(zhǎng)交BC十匕、連結(jié)ECh,并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,則AD： FD=-8 .圖，/|匕= BC=4CD,G - ' E若 AE=k EC > 貝lj k=59 .如圖，CD是AABC的角平分線,（第1°題）點(diǎn) E 在 AC 上，=-, AC=10,求

14、DEAB AC 510.如圖，CD是ABC中，E為AC的中點(diǎn)，D為BC上的點(diǎn)，且BD=AB,求證： AB GD11 .已知，C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC 為邊，在AB的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ACD和BCE, AE交CD于F, BD交CG于G,求證FGAB12 .已知，BD為AABC的角平分線，DE/BC,13.交AB已知，于E,求證:如圖（1）,梯形ABCD中,AD/BC, E、F分別在 AB、CD 上,且 EFBC, EF 分另lj交 BD、D(2) 一)AC 于 M、No求證ME=NF 當(dāng)EF向上平移圖（2）各個(gè)位置其他條件不變時(shí), 的結(jié)論是否成立，請(qǐng)證明你的判斷。練習(xí)與測(cè)試參考解答或提示155 21. ： 2. 18cm；34. 9： 4：5. 9：6. 10, 18；7. 9： 1：8. 2：9. 623 5AG AF RC FC10 .提示，過D作DHAC交BG于H點(diǎn)，則=-一，一-=一-，又AE=EC, BD=AB,即可 GD DH BD DH得