函數(shù)的概念定義域和值域

1、新思維學(xué)校L3團(tuán)隊(duì)專用高一資料L3成功法則：目標(biāo)+興趣+信心+方法+勤奮=成功函數(shù)的概念定義域和值域函數(shù)的概念、表示、定義域和值域一、復(fù)習(xí)回顧1.設(shè)集合4 = 1,2,3,4,5,6,8 = 4,5,6,7,則滿足5?且508工。的集合S為(A) 57(B) 56(C) 49(D)82.集合U =123,4,5,6 , S = 1,4,5/= 2,3,4，則 SD(QT)等 于(A ) 1,4,5,6(B) 1,5(C) 4(D) 123,4,53 .已知全集U=R,集合p=卜k*1,那么G，p =A.-1)B.(i,+oo) C. D*4 .若，則是"3一加2) = 0”的A.充分

2、而不必要條件B.必要而不充分條件 必要條件C.充要條件C.:n既不充分又不5 .若實(shí)數(shù)a,b滿足心0注0,且ab = 0 9 則稱與互 補(bǔ)，記（p（a.b）=y!a2 +b2 -a-b，那么地=0是a與互補(bǔ)A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件6 .設(shè)M =1,2） f N = a2 f 則= 是“N jM ” 則（ ）A.充分不必要條件條件C.充分必要條件B.必要不充分D.疣不充分又不必要條件7 .命題“若/（X）是奇函數(shù)，則f（T）是奇函數(shù)” 的否命題是（）.A.若,（X）偶函數(shù)，則/（T）是偶函數(shù)B .若x）不是奇函數(shù)，則不是奇函 數(shù)C.若/（T）

3、是奇函數(shù)，貝b3是奇函數(shù)D.若-x）不是奇函數(shù)，貝（Jf（x）不是奇函 數(shù)二、知識(shí)梳理1.函數(shù)的概念定義：設(shè)A, B是,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)n在集合B中都有和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/: A f B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y = /(x), XmA,其中x叫做 自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的;與x相對(duì)應(yīng)的v的值叫做函數(shù) 值，函數(shù)值的集合f(x)|x WA叫做函數(shù)的,值域是集合B的。(2).函數(shù)的三要素：、及 o在函數(shù)三要素中起決定性作用的是及,定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了，這個(gè)函數(shù)就確定了。2 .映射設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系使對(duì)于集合A中

4、的 任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)就稱 為從集合A到集合B的一個(gè)映射，記作了:Af B映射是特殊的對(duì)應(yīng)：,函數(shù)是特殊的映射：.3 .函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：、O分段函數(shù)：在定義域的不同區(qū)域有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函 數(shù)。4 .定義域的求法通常情況下，定義域是由使表達(dá)式有意義的所有自變量的值組成的集合, 常見的情況有：得.痂: log" ，(2)/(x)(x £A)形式的函數(shù)其定義域?yàn)锳,而不是由使函數(shù)表達(dá)式有意義的所 有自變量的值構(gòu)成的集合。當(dāng)變量有實(shí)際意義時(shí)，要考慮自變量的實(shí)際意義。5 .求函數(shù)值域或最值的方法單

5、調(diào)性法；配方法；換元法；判別式法；圖像法；不等式法; 導(dǎo)數(shù)法。一、映射的概念新思維學(xué)校L3團(tuán)隊(duì)專用高一資料L3成功法則：目標(biāo)+興趣+信心+方法+勤奮=成功在理解映射概念時(shí)要注意:A中元素必須都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。練習(xí)1 .設(shè)/是集合例到N的映射,下列說法9正確的是A、M中每一個(gè)元素在N中必有象B、N中每一個(gè)元素在M中必有原象C、N中每一個(gè)元素在"中的原象是唯一的 D、N是例中所在元素的象的集合練習(xí)2.點(diǎn)"在映射/的作用下的象是()，則 在/作用下點(diǎn)(3.1)的原象為點(diǎn)；練習(xí)3.若A = 123,4,B = a.b.c 9a,b,c w R

6、9射有一個(gè)，8至心的映射有一個(gè)，A至的函數(shù) 有一個(gè)；練習(xí)4.設(shè)集合M=-1,O,1,/V = 1,2,3,4,5), 映射廣* N滿 足條件“對(duì)任意的 xeAf 9 % + J(x)是奇數(shù)”，這樣的 映射/有 個(gè)；練習(xí)5.設(shè)/：、一，是集合A到集合B的映射，若B=1,2,貝!Iam一定是二、函數(shù)/： A-B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！ 據(jù)此可知函數(shù)圖像與 1軸的垂線至多有一個(gè)公共 點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有 任意個(gè)。練習(xí)6,已知函數(shù)/(x) , xeF 9那么集合 (X,y)I y = f"),xe F)n(x,y)IX = 1 中所含元素的個(gè)數(shù)

7、有 個(gè)；練習(xí)7.若函數(shù),=#一2、+ 4的定義域、值域都是閉區(qū)間2,2/刀，貝!| ) =三、同一函數(shù)的概念構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因 此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們 一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同， 但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”, 那么解析式為）7,值域?yàn)?, 1的“天一函數(shù)共有 個(gè).四、求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：1 .根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì) 數(shù)log.x中入>0,>0且4W1 ,二角形中OvAvi,最大角

8、,最小角彳等。練習(xí)8.函數(shù)尸短的定義域是練習(xí)9.若函數(shù)產(chǎn)的定義域?yàn)镽,則片右+ 4Ax + 3練習(xí)1 0.函數(shù)f(x)的定乂域是L, b>a>0,則函數(shù) F(x) = f(x) + f(-x)的定義域是；練習(xí)11.設(shè)函數(shù)f (x) = lg(ax2 +2x + l) 9 若/的值域是R,求實(shí)數(shù)的取值范月若小)的定義域是R,求實(shí)數(shù)的取值范圍;2 .根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。3 .復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知小)的定義域?yàn)槠鋸?fù)合函數(shù)ftsM 的定 義域由不等式心蚣蟲解出即可;若已知加的定 乂域?yàn)閍，W求/(X)的定乂域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí),求g）的值域（即?。┑亩x域）。練習(xí)12 .若函

9、數(shù)y =于（x）的定義域?yàn)橐?，?的定義域?yàn)榫毩?xí)13.若函數(shù)/（XM）的定義域?yàn)?2»則函數(shù)?。?的定義域?yàn)槲?、求函?shù)值域（最值）的方法：1.配方法一一二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間皿"上的最值；二 是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結(jié)合,注意“兩 看”：一看開口方向;二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系）,練習(xí)14.求函數(shù)=/-2上+5”一 1,2的值域新思維學(xué)校L3團(tuán)隊(duì)專用高一資料L3成功法則：目標(biāo)+興趣+信心+方法+勤奮=成功練習(xí)15 .當(dāng)X e (0,2時(shí)，函數(shù)/(x) = ax2 + 4(。+ l)x

10、 一 3在 x = 2 時(shí) 取得最大值，貝!h的取值范圍是練習(xí)16.已知3) = 3一(254)的圖象過點(diǎn)(2,1),則 F(x) = /-,(x)2-7-,(x2) 的值域?yàn)?2,換元法一一通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變 為簡單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析 式含有根式或三角函數(shù)公式模型的值域?yàn)榫毩?xí)17 .y = 2sin2 x-3cosx-l練習(xí)18.),=2x+i+«t的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)榫毩?xí)19. y = sin x + cos x + sin x>cos x練習(xí)20. y = x+4+，9-的值域?yàn)? .函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界

11、性，來確定所求 函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性,的值域.練習(xí)21 ,求函數(shù)y =y =鼻，片產(chǎn)?1 + sin 01 + 31 + cos 64 .單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指 數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性。練習(xí)22.求y = x-(l<x<9) 9 y X=2-，+1唱G的值域?yàn)? .數(shù)形結(jié)合法一函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、 的取值范圍;練習(xí)23.已知點(diǎn)P(x,y)在圓丁 +上上，求T及x + 2y-2x練習(xí)24.求函數(shù))，=而亍+ J(x+8 1 的值域;練 習(xí) 25.求 函 數(shù) y = Jx2 -6x + 13 + yjx

12、2 +4x+5 及 y J-6x +13 - dx- + 4x+5 的值域。6 .判別式法一一對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用 其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也 可先通過部分分式后，再利用均值不等式:尸；型，可直接用不等式性質(zhì), k +廠練習(xí)26.求的值域2 +廠型，先化簡，再用均值不等式,練習(xí)27.求的值域1 +廠練習(xí)28.求函數(shù)產(chǎn)”的值域x + 3)-土處三型，通常用判別式法；廠 + mx + n練習(xí)29.已知函數(shù)片喝絲沖1的定義域?yàn)镽，值廠+1域?yàn)?, 2,求常數(shù)i的值戶土3 型,可用判別式法或均值不等式nix + n法, 練習(xí)30.求產(chǎn)二

13、一的值域X + 17.不等式法一一利用基本不等式a+ b> 2y/ah(a,b e /?*)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求 積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有 時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。練習(xí)31 .設(shè)x.aay成等差數(shù)列 ,x,b,b?,y成等比數(shù)列,則+七)2的取值范圍是178 .導(dǎo)數(shù)法般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù),如求函數(shù)/(x) = 2x3+4x2-40x提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值 域之間有何關(guān)系?六、分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分 別用幾個(gè)不同的式子來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它 是

14、一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值八%）時(shí), 一定首先要判斷/屬于定義域的哪個(gè)子集，然后 再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義 域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。練習(xí)32,設(shè)函數(shù)的自(x + l)2.(x< 1)4-/x-l.(x> 1)變量1的取值范圍是練習(xí)33.已知/丘禧。），則不等式-爪+2H的解集是七、求函數(shù)解析式的常用方法：1 .待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型（二次函 數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：x） = /+bx + c；頂點(diǎn)式:/(x) = 4(X-7)2+ ；零點(diǎn)式： f(x) = a(x-xA)(x-x2),會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的 表達(dá)形式）。練習(xí)33.已知.（X）為4次函數(shù),且f（x-2） = f（-x-2） 9 且f（0）=1,圖象在x軸上截得的線段長為2四 求/的解析式。2 .代換（配湊）法一一已知形如/（g（x） 的表達(dá)式, 求/（幻的表達(dá)式。練習(xí)34.已知 f （1 -cosx） = sin2 x, 求?。┑慕馕鍪骄毩?xí)35.若火)=，+3