一道課本例題的探究性學(xué)習(xí)

1、? 1 8?2 z 6中學(xué)數(shù)學(xué)研究2 1年第10 1 <0期/ c a =1。令0,b =, 0 _0 2 , a= 0 0,c z由余弦定 ，+ x,c = y+ a+ + ,a等(-2. a m2 丟 2b理可得：b =+ + '( +2 a)3 .=+ )2 ,b c,?b+ac>bc, °a+ -7卜 ?.>圓錐曲線的這個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)揭示了：只耍焦點(diǎn)f是弦仙的內(nèi)分點(diǎn)，且人=i i 1 i已知， :面a就能求 出圓錐曲 線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)1 b ia .在日常教學(xué)屮，師不僅要善于悉心挖掘統(tǒng)一 教 美，更要及時(shí)地向?qū)W生展現(xiàn)這種統(tǒng)一美，學(xué)生領(lǐng)略 止數(shù)學(xué)統(tǒng) 一美的神

2、奇和無(wú)窮的魅力，喚起他們數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)興趣. 5類 比美 “類 比是一個(gè)偉 大的弓路人"波利亞）“當(dāng)1 （每 理智缺乏可靠論證 的思 路時(shí)，類比這個(gè)方法往往 能 指引我們前進(jìn)”康徳）（ 在數(shù)學(xué)解題過(guò) 程中，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)， 運(yùn)用類比推理，往往能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正 向遷移，巳學(xué) 將 過(guò) 的知識(shí)或 巴掌握 的解題方法遷移過(guò)來(lái)，例如： 倒5已知、均為正實(shí)數(shù)，求證： y z + >個(gè)輔助的幾何圖形可使無(wú)從著手的不等式的證明題豁然開(kāi)朗，一個(gè)奇思妙想使百思不得其解的不等式證明得以完成，時(shí)的快兀與興奮真是難以這 形容，興奮之余，學(xué)生也開(kāi)始感受到數(shù)學(xué)的可愛(ài).例6在直角a bac 中，c = 7,

3、 o a +1 則 cs "2 二 cs=l在三棱錐p b o 2 b ； a c中，a, b, c兩兩互 ppp相垂 直，面p b, p c, p記a面a面ec與面a bc所成角 分析：題好像無(wú)從著 本手，但我們從整體上觀察結(jié)論 知：三角形兩 邊z和大于第“三邊"與其相似，而被開(kāi)方式與余弦定理相類比，從而設(shè)法 構(gòu)造一個(gè)三角形，用幾何知識(shí)證明.分別為，盧由此可類比：o + o + c s , c s c宣 0'=1（者自巳證明）讀類比在數(shù)學(xué)解題 中有著十分重要 的作用.通過(guò) 類比，引 導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題:通過(guò)類比，探求解題 途徑，提高學(xué)生的實(shí)踐能力 和創(chuàng)新精神；通過(guò)

4、類比還可以使我們從三維空間進(jìn)入高維空間，從有形進(jìn)入 無(wú)形，從現(xiàn)實(shí)世界走向虛擬世界.這是何等奇妙的事 情??！ 以上兒點(diǎn)僅是數(shù)學(xué)之美的“山一角"數(shù)學(xué)本 冰，身從形式到內(nèi)容都充滿了美.數(shù)學(xué) 之美是博大精深的.人的愛(ài)美天性在青少年時(shí)期表現(xiàn)尤為突出， 數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)抓住這個(gè)最佳時(shí)期,不失時(shí)機(jī)地向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)之美，從而愉悅他們的心境，陶冶他們的情 讓學(xué)生進(jìn) 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美， a ,圖，z a b = / b 課本例題的探究性學(xué)習(xí)操，激發(fā)他們的興趣，塑造他們的心靈，而 欣賞數(shù)學(xué)美，創(chuàng)造數(shù)學(xué)美！證明：ac =作b c如取_0 _ o 道寧夏彭陽(yáng)縣第三中學(xué)（550 王伯龍7 6 0 ）課堂上，過(guò)教師和學(xué)通生

5、合作探究得出了題h的很多 種證明方法. 由題日本身的特征和證 法中引起了筆者進(jìn)一步探 究的興趣.，j ,數(shù)學(xué)教材 中，有很多?a id=nsogousnap0_10h>例題、習(xí)題都潛在著進(jìn) 步擴(kuò)展和深入探究的功能，學(xué)中應(yīng)充分挖掘課 教 木例題、習(xí)題的潛能，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力.下面是筆者對(duì)人教a版數(shù)學(xué)選修2-1圓錐 曲線與方程一節(jié)的例題4的探 究性學(xué)習(xí)過(guò)程. 題目如圖1過(guò)拋物線y, 2 = 2 x p > 0的焦 p ()d d / f 圖1點(diǎn)f的直線交拋物線于a b兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)a和拋物 線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)d,求 證：直線 d b平行予拋物線的對(duì)稱軸.由拋物線的對(duì)稱

6、性，我們 可用同樣的方法證明，過(guò)點(diǎn)b和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋 物? 20? 中學(xué)數(shù)學(xué)研究2 1第101年0期=1 +y9y =, y 1 譬，2結(jié)i 口2 x一 10合2c ,） 一臺(tái)（+ j 緬= 性質(zhì)5已知橢圓+ = 1口> b > 0()的£4 02_ 式一(+ ) 一(+-)豐口）為橢圓對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，z過(guò)點(diǎn)日且垂直有譬，=譬2=),o2 ,: c直線4左右頂點(diǎn)分別為c k,t ) r,)其中(、 (,(0,0t-于橢圓的對(duì)稱軸，的直線與橢圓交于a e兩過(guò)點(diǎn)， 點(diǎn)，直線 與b k分別與直線z交于點(diǎn)c和點(diǎn)d,則（）1直線c e與直線d a相交丁點(diǎn)g()刪，2=b hm.

7、。叢2 + b,a 2 + 2 1 ： j-b c+ k1 -ck 2:x yx 2 y（一）k 2 一 c1c ) x(x ):a2 一 (=筆；所有+: c +） 一墨，y9以z * ( 1 ,)=0即 a f = / b t , yy +,2 ,ri故結(jié)論f .2.2性質(zhì)6已知雙曲線=1 口>0 6 >02(,)ii ', 一成立.與橢圓做婁縣赫有雙曲緣的如卜性盾.千2的左右頂點(diǎn)分別為gk, £)1(,）其中（、（，0,0 i t4性質(zhì)3如圖4設(shè)雙曲o八，f2 ，2線 _=1 口,0魯一f ( 0 6 >)ii 0/c的左右頂點(diǎn)分別為g、一個(gè) k,準(zhǔn)點(diǎn)為日，過(guò)焦點(diǎn)f的直線交雙曲線于a、兩點(diǎn)。線 直與b k分別與雙曲線的準(zhǔn)線z社0 ）為雙