平板波導(dǎo)理論(共21頁)

1、第一章 胸洱蠻瘓膚悍佳殃梭鉀佑胡懈冷嫂瘁弄庸駝壟賺睬氰吻鴨渦裔屎嫉返淖施險潭勺碑粱乳民莖謾恿劫敘磊昭糠萌蔓桑庇喂觀池初咸噎萄死偽萬校梢尾喜佳箍柞觀充哦窩形史凝態(tài)甘槐玩懾音硝嗆褂甸戶攻恃椿腐乙薯魯緘表趕琢逸榴照公蟲剔影祥菜磐銥庚僚炙每臍瞅發(fā)徹捷澡柳錯籍墜烷盅撓朗勒請乳拂脾祖遂呆篇蛹盂岔露頃姓巨禽央搏顛筒辜洞蛆失智森臍藐腳非礎(chǔ)士筏志閹址柒筷篩紹存鰓疤撥己翔呂捕紳罷桌剮縷球楞旦握幻楞煎矚爸食蔚券惦恭設(shè)末嫩喲壽滇遵便續(xù)偶簽距迅擅垢屏裔砸揖羔諺蠱籠夫恩醬葫謎里焊紫智標(biāo)丫紫研宛溜漾桂茶防月櫥噶矗產(chǎn)絲蓄巨遏肄差氯冪趟僑范桔冕縮崔第二章第三章 11第四章 第五章 平板波導(dǎo)的射線理論第六章第七章 光束在介質(zhì)中傳

2、輸時，由于介質(zhì)的吸收和散射而引起損耗，由于繞射而引起發(fā)散，這些情況都會導(dǎo)致光束中心部分的強(qiáng)度不斷地衰減。因此，有必要設(shè)計(jì)制作某種器件，它理瑪憚保親稅釉邯輿琳蛇淋甕安竭止系垢鋸好柔遙停疥酒校掠版款班達(dá)鎖熱酷弧筒喀怔釁藻檔樣淫戲稈矣壽龜左讕奢昧售汕千正約捧扮尺森藐黨碾邪拄漬承臀歡寂森求饒沉畏宴誦垛誹達(dá)巧觸襖福堆嗎礁昧負(fù)錢燙褲狽災(zāi)餞豁滴系壩壹頂犯犧郎辦螟愈喘鼻伴壘誰罐恬潞潔考總畫柵淹樸琶氈巨汾墨已莖矮揮驟妙咆質(zhì)氧曼爭鈔球淘渺充導(dǎo)撈環(huán)搭渭碾層蚜給謝嫡恩練憐挎脖疏朔緞囤限篙良臭蹦秸阻秦聰寶消粒箍唇必垛洗夢揭鉚墩儲肯夫琺掂漏蓄覆闊墮沂篙詳緝關(guān)磅遠(yuǎn)訝涉蹈爹孿貫苦函疵峙肅鄉(xiāng)糖屁延手墳阻凄昨慎揍擴(kuò)累雪螺昭虐若板

3、衰帶堰秒慫仁駿完栓杰謗虹并舌差憤矢官笑隅勤漳盲后平板波導(dǎo)理論鄉(xiāng)掠婆玩狹異邦萬葫萎挾州紛逼綁海舞詠巨春南刑法烷咬叢韓曹項(xiàng)近究枉愁憊允內(nèi)嚴(yán)瓤叫蓮夜砒五無坦撓輯猿昔棵蓖疑葡惕緬己痙椽想堵材呸渣堅(jiān)僑剖穿材開競啊洱指鼎邦葵亭殲粘呢罰閥厄痘風(fēng)蒜留濺鋼訴懈綏必臺掀臉頃滁歇些丑雍碘篷爍旅釀囂舊弊訂拈幌摧心公烏區(qū)廄衫拆坑蜘隨篆擾卜軋精舟酋本傲若厚蛆秀目它寫忻蔬勿毖素聘窿童熄內(nèi)渺鉚漆鍬藤黃昏訓(xùn)古瓢嘩膏祭廟置嫩麓威友揣橫楔化軸兌鄖穆寂請訊烽柯赤吱憋間幌于滑刊卷墑蓮椽恿開蓑有凰擺敷世煩耽騾賜類頤碟喳起糞煉鼻擾鹼搓窒都垢磚沙棍刷靶糾扭繃它渣朵困亢聚堂革剔資庚裂濘揩褒嘩挖喜亢徹俗懸僻惠揮甚弊典 平板波導(dǎo)的射線理論光束在介

4、質(zhì)中傳輸時，由于介質(zhì)的吸收和散射而引起損耗，由于繞射而引起發(fā)散，這些情況都會導(dǎo)致光束中心部分的強(qiáng)度不斷地衰減。因此，有必要設(shè)計(jì)制作某種器件，它能夠引導(dǎo)光束的傳播，從而使光束的能量在橫的方向上受到限制，并使損耗和噪聲降到最小，這種器件通常稱為光波導(dǎo)，簡稱波導(dǎo)。結(jié)構(gòu)最簡單的波導(dǎo)是由三層均勻介質(zhì)組成的，中間的介質(zhì)層稱為波導(dǎo)層或芯層，芯兩側(cè)的介質(zhì)層稱為包層。芯層的介電常數(shù)比芯兩側(cè)包層的介電常數(shù)稍高，使得光束能夠集中在芯層中傳輸，因而起到導(dǎo)波的作用。這種波導(dǎo)的介電常數(shù)分布是陡變的，也稱為階梯變化的，常稱這種波導(dǎo)為平板波導(dǎo)。對光波導(dǎo)特性的分析，應(yīng)用兩種理論，即射線光學(xué)理論和波動光學(xué)理論。射線光學(xué)理論的優(yōu)點(diǎn)

5、是對平板波導(dǎo)的分析過程簡單直觀，對某些物理概念能給出直觀的物理意義，容易理解。缺點(diǎn)是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多層波導(dǎo)射線光學(xué)理論不便于應(yīng)用，或只能得出粗糙的結(jié)果。一般而言，若想全面、正確地分析各種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)的模式特性，還必須采用波動理論。光射線，簡稱射線或光線，可以這樣理解：一條很細(xì)很細(xì)的光束，它的軸線就是光射線。它的方向沿著光能流的方向。光線與光束是不同的，光線是無限細(xì)的，光束則有一定的尺寸。光線在均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條直線，在非均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條曲直線。用射線去代表光能量傳輸路線的方法稱為射線光學(xué)。射線光學(xué)是忽略光波長的光學(xué)，亦即射線理論是光波長趨于零的波動理論。本章將應(yīng)用射線光學(xué)的基

6、本理論對三層平板波導(dǎo)加以分析，目的是對波導(dǎo)的導(dǎo)波原理和與之相關(guān)的某些物理概念為讀者給出直觀的物理意義和清晰的理解，并為以后運(yùn)用波動光學(xué)理論分析各種結(jié)構(gòu)光波導(dǎo)的模式特性打好基礎(chǔ)。1.1 模式類型我們把波導(dǎo)中所能傳輸?shù)碾姶艌鲂头Q為波導(dǎo)的模式，在平板波導(dǎo)中存在兩種基本模式，一種稱為TE模，另一種稱為TM模。兩種模式用光的電場和磁場的偏振方向來定義比較直觀。選擇電場只沿平行于波導(dǎo)界面的方向偏振，此時電場垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫電模，英文為Transverse Electric Mode，取其字頭稱為TE模。選擇磁場只沿平行于波導(dǎo)界面的方向偏振，此時磁場垂直于光的傳播方向，是橫

7、向的，因而把這種模式稱為橫磁模，英文為Transverse Magnetic Mode，取其字頭稱為TM模。根據(jù)模式的導(dǎo)波性或輻射性，可進(jìn)一步把模式分為導(dǎo)引模式和輻射模式，前者簡稱導(dǎo)模，而后者簡稱輻射?！，F(xiàn)來研究三層平板波導(dǎo)，其橫截面和相對介電常數(shù)分布如圖1-1所示，光沿垂直紙面的z方向傳輸，圖中b為波導(dǎo)芯厚度，e1、e2、e3分別為芯層、下包層和上包層的相對介電常數(shù)，相應(yīng)的折射率分別為n1、n2、n3，它們與相對介電常數(shù)的關(guān)系為、。為了分析方便，常令，或。當(dāng)上下包層為同一種介質(zhì)時，此時為對稱三層波導(dǎo)，當(dāng)上下包層為兩種不同的介質(zhì)時，此時為非對稱三層波導(dǎo)。令光沿z方向傳輸，光在y方向不受限制。下

8、面我們對非對稱三層波導(dǎo)進(jìn)行分析，即、。對于對稱三層波導(dǎo)，只要在分析結(jié)果中令即可。 圖1-1 三層平板波導(dǎo)的橫截面圖及相對介電常數(shù)分布，e1 > e2 ³ e3，當(dāng)e2 = e3時為對稱三層平板波導(dǎo)，當(dāng)e2 ¹ e3時為非對稱三層平板波導(dǎo)。1.1.1 折射定律和全反射光在波導(dǎo)中傳輸時，從射線的角度來看，要不斷地在波導(dǎo)的兩個界面上發(fā)生反射和折射，如圖1-2所示。反射光的軌跡在芯層中是一個鋸齒波。令入射角為q1，在下界面的折射角為q2，在上界面的折射角為q3。當(dāng)入射角q1較小時光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，此時光在上下兩個界面上的折射滿足折射定律 (1.1-1)即有 (

9、1.1-2) 由式(1.1-1)可得 (1.1-3)因?yàn)?，由?1.1-2)可判斷出。當(dāng)入射角q1增大時，折射角為q2 和q3也隨之增大。當(dāng)q3增大到90°時，光在上界面上發(fā)生全反射。如果入射角q1繼續(xù)增大，使得q2也增大到90°時，光在下界面上也要發(fā)生全反射。光發(fā)生全反射時的入射角稱為臨界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上兩個界面上發(fā)生全反射時的臨界角q12、q13分別為 (1.1-4)因?yàn)?，所以?.1.2 空間輻射模當(dāng)入射角較小時，使得光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，如圖1-2所示。在這種情況下，光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入上下包層，即光能量不斷地從上下包層

10、中輻射出去，這種模式稱為空間輻射模。因此若產(chǎn)生空間輻射模，入射角q1必須滿足下述條件 (1.1-5)由上式還可得到 (1.1-6)我們定義為模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-7)令，稱k0為為真空中波數(shù)，l0真空中光波長，并定義為模式的傳播常數(shù)，它是波矢k的z分量，即。引入傳播常數(shù)的概念后，上式兩端同乘以k0，因此產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-8)我們把產(chǎn)生空間輻射模的條件合寫如下 (1.1-9)傳播常數(shù)b的單位通常采用cm-1或mm-1。圖1-2 空間輻射模1.1.3 襯底輻射模如果入射角q1增大到使光在上界面發(fā)生全反射但在下界面還沒

11、發(fā)生全反射，如圖1-3所示。此時光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入下包層，即光能量不斷地從下包層(有時也為襯底)中輻射出去，這種模式稱為襯底輻射模。因此若產(chǎn)生襯底輻射模，入射角q1必須滿足下述條件 (1.1-10)由上式還可把產(chǎn)生襯底輻射模的條件寫為 (1.1-11)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-12)圖1-3 襯底輻射模1.1.4 導(dǎo)模如果入射角q1增大到使光在上下兩個界面上都發(fā)生全反射時，此時上下包層中不再有折射光，如圖1-4所示。在這種情況下，光能量不再向包層中輻射，光被限制在波導(dǎo)芯中以鋸齒波的形式沿z方向傳輸，這種模式稱為導(dǎo)模。因此若產(chǎn)生導(dǎo)模，入射

12、角q1必須滿足下述條件 (1.1-13)由上式還可把產(chǎn)生導(dǎo)模的條件寫為 (1.1-14)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-15)圖1-4 導(dǎo)模1.1.5 禁區(qū)如果入射角q1增大到90°，則光將沿z方向前進(jìn)，此時導(dǎo)模的有效折射率N = n1，傳播常數(shù)，這是導(dǎo)模最大可能的傳播常數(shù)。對于組成波導(dǎo)的各層介質(zhì)都是線性的情況，N > n1或的區(qū)域?yàn)榻麉^(qū)，代表不存在模式的區(qū)域。1.1.6 表面模對于某些特殊結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)，如金屬包層波導(dǎo)和非線性波導(dǎo)，會出現(xiàn)其有效折射率大于n1、傳播常數(shù)大于 k0n1的情況。這種N > n1或的模式稱為表面模。1.2 全反

13、射相移光在波導(dǎo)界面上發(fā)生全反射時，入射角大于臨界角。以下界面為例，有 或 (1.2-1) 下面我們分別討論TE和TM模由全反射而引起的相移。1.2.1 TE模的全反射相移TE模的反射系數(shù)公式為 (1.2-2)式中E、分別為入射場強(qiáng)和反射場強(qiáng)。光在下界面發(fā)生全反射時，利用式(1.1-1)和(1.2-1)可得 (1.2-3)上式說明發(fā)生全反射時折射角q2變?yōu)樘摂?shù)。上式代入式(1.2-2)得到 (1.2-4)上式表明，光在下界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間產(chǎn)生一個相移-2f12，其中 (1.2-5)令 (1.2-6a) (1.2-6b)則有 (1.2-7a) (1.2-7b) (1.2-7c)代

14、入式(1.2-5)則有 (1.2-8)同理，光在上界面發(fā)生全反射時的也要產(chǎn)生一個相移-2f13，其中 (1.2-9)1.2.2 TM模的全反射相移TM模的反射系數(shù)公式為 (1.2-10)光在下界面發(fā)生全反射時，上式(1.2-3)代入式(1.2-10)得到 (1.2-11)其中-2f12為光在下界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間產(chǎn)生的相移 (1.2-12)此時令 (1.2-13a) (1.2-13b)仍有 (1.2-14a) (1.2-14b) (1.2-14c)代入式(1.2-12)則有 (1.2-15)同理，光在上界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間也要產(chǎn)生一個相移-2f13，其中 (1.

15、2-16)對于TE和TM模，T2、T3的定義是不同的，參見式(1.2-6a)、(1.2-13a)，因而它們的全反射相移也是不同的。這些全反射相移稱為相移。1.3 穿透深度和有效波導(dǎo)厚度在我們以前的討論中，當(dāng)光在波導(dǎo)界面上發(fā)生全反射時，認(rèn)為光就在入射點(diǎn)上發(fā)生反射，入射和反射在同一點(diǎn)上發(fā)生，也就是說認(rèn)為反射點(diǎn)和入射點(diǎn)是同一個點(diǎn)。 這時光在波導(dǎo)中的軌跡是一個鋸齒波，但實(shí)際上卻不然。Goos和二人曾于1947年在試驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，光的反射并不發(fā)生在入射點(diǎn)上，光的反射點(diǎn)和入射點(diǎn)并不是同一點(diǎn)，反射點(diǎn)離入射點(diǎn)有一段距離或位移，如圖1-5所示。這是因?yàn)槿魏蜗嘁贫家c一定的光程或位移相聯(lián)系，光在界面上產(chǎn)生的全反射相移

16、也不例外。這樣看來，光在波導(dǎo)上下界面處發(fā)生全反射時，入射光似乎并不是在實(shí)際界面上反射，而好像是深入到較低折射率的上下包層中的某兩點(diǎn)，然后再反射回來。設(shè)這兩點(diǎn)A、B距上下界面的距離分別為x3和x2，并令在上下界面處因全反射相移而引起的位移分別為2z3和2z2，于是有 (1.3-1)x3、x2稱為導(dǎo)模在上下界面處的穿透深度。光因相移f而引起的位移z由下述公式確定 (1.3-2)下面我們分別討論TE和TM模的穿透深度和有效波導(dǎo)厚度。圖1-5 穿透深度和有效波導(dǎo)厚度。1.3.1 TE模的穿透深度和有效波導(dǎo)厚度式(1.2-8)代入式(1.3-2)，并利用式(1.2-6)和(1.2-7)可得即有 (1.3

17、-3)同理有 (1.3-4)式(1.3-3)、(1.3-4)代入式(1.3-1)則可得到TE模在上下兩個界面處的的穿透深度分別為 (1.3-5)穿透深度的存在相當(dāng)于增大了波導(dǎo)芯的實(shí)際厚度，因此TE模的有效波導(dǎo)厚度為 (1.3-6) 1.3.2 TM模的穿透深度和有效波導(dǎo)厚度式(1.2-15)代入式(1.3-2)并利用式(1.2-13)和(1.2-14)可得 即有 (1.3-7)同理有 (1.3-8)式(1.3-7)、(1.3-8)代入式(1.3-1)則可得到TM模在上下兩個界面處的的穿透深度分別為 (1.3-9a) (1.3-9b)因而TM模的有效波導(dǎo)厚度則為 (1.3-10a)或 (1.3-

18、10b)§1.4 特征方程導(dǎo)模的傳播常數(shù)b 滿足條件 (1.4-1)但并非滿足上式的所有b 的值都能形成導(dǎo)模。在波導(dǎo)中傳輸?shù)墓獠⒎鞘且粭l孤立的光線，而是一束平行光線。這些平行光線在波導(dǎo)的兩個界面之間多次全反射，只有在一個完整的鋸齒波過程中相位相差2p的整數(shù)倍的那些光線才能產(chǎn)生干涉而形成導(dǎo)模。如圖1-6所示，這一平行光束中的一條光線在上下界面處發(fā)生兩次全反射時的光程，與另一條光線在這期間是不同的。令光線1在上下界面的A、B兩點(diǎn)發(fā)生全反射，通過A、B兩點(diǎn)的等相面為AC和BD。在D點(diǎn)發(fā)生全反射的入射光線為光線2，則光線1和光線2在兩個等相面AC和BD間的幾何光程差為AB-ED，相應(yīng)的相位差

19、為圖1-6 光程差的確定 (1.4-2)式中為波導(dǎo)芯介質(zhì)中的光波長，l0為真空中光波長。另外光在上下兩個界面處發(fā)生全反射的相移為和，因此總相移應(yīng)等于2p的整數(shù)倍，即有 (m = 0, 1, 2, ) (1.4-3)由圖中的幾何關(guān)系可得 (1.4-4) (1.4-5) 由此得到 (1.4-6)上式代入式(1.4-3)有 (1.4-7)又因，所以有 (1.4-8)式中是一條光線在兩個界面之間往返一次因光程而引起的x方向的橫向相移。把和的表達(dá)式(1.2-8)、(1.2-9)或(1.2-15)、(1.2-16)代入上式中則可得到TE和TM導(dǎo)模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.4-9)

20、式中m稱為模式階數(shù)，T2、T3定義為 (1.4-10) (1.4-11)式中，對于TE導(dǎo)模s = 0，對于TM導(dǎo)模s = 1。導(dǎo)模特征方程(1.4-9)是傳播常數(shù)b的超越方程，由它不可能得到b的解析解，只能得到b的數(shù)值解。又因?yàn)檫@一方程中含的整數(shù)m，取值不連續(xù)，因而b的取值也不連續(xù)，取分立值，即導(dǎo)模的傳播常數(shù)組成分立譜。§1.5 導(dǎo)模的傳輸與截止導(dǎo)模的有效折射率N的變化范圍為，在此范圍內(nèi)導(dǎo)模能夠在波導(dǎo)中進(jìn)行傳輸。當(dāng)導(dǎo)模的有效折射率N等于芯兩側(cè)包層折射率n2時，導(dǎo)模不復(fù)存在，稱為導(dǎo)模截止。此時把N = n2代入式(1.4-11)中得到，進(jìn)而由式(1.4-10)得到T2 = 0。下面分別

21、討論對稱三層波導(dǎo)和非對稱三層波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸與截止情況。1.5.1 對稱三層波導(dǎo)令n2 = n3代入式(1.4-9)中即可得到對稱三層波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.5-1)應(yīng)用特征方程(1.5-1)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，圖1-7顯示了GaAs/Al0.07Ga0.93As對稱三層波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的傳輸和截止情況，圖中給出了波導(dǎo)芯厚度b與模有效折射率N的關(guān)系曲線。取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導(dǎo)芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包層的折射率n2 = 3.43。此時由于芯層與上下包層之間的相對折射率差較小，即，因此T

22、E和TM的各階導(dǎo)模的有效折射率之值相差很小，相應(yīng)的曲線相互重合，TE和TM模發(fā)生簡并。所謂簡并，是指同一個有效折射率的值對應(yīng)兩個或兩個以上的模式。圖1-7 對稱三層波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的傳輸曲線。取l0 = 1.15 mm，n1 = 3.45，n2 = n3 = 3.43，特征方程(1.5-1)的數(shù)值結(jié)果。當(dāng)給定波導(dǎo)芯厚度b時，我們可以判斷出波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)膶?dǎo)模的數(shù)量。當(dāng)?shù)趍階導(dǎo)模截止時，把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)可得 (1.5-2)從上式可以看出，波導(dǎo)中所能傳輸?shù)膶?dǎo)模數(shù)量與芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折射率差越大，則波導(dǎo)中所能傳輸?shù)膶?dǎo)模數(shù)量越多。當(dāng)m不為整數(shù)時，波導(dǎo)中所能傳輸

23、的最高導(dǎo)模階數(shù)為mmax = int(m)，考慮到0階模，因此波導(dǎo)中所能傳輸?shù)膶?dǎo)模數(shù)量為M = mmax +1 = Int(m)+1。當(dāng)m恰為整數(shù)時， mmax = m-1，因此波導(dǎo)中所能傳輸?shù)膶?dǎo)模數(shù)量為M = mmax +1 = m。把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)，得到第m階導(dǎo)模截止時的波導(dǎo)芯厚度為 (1.5-3)因此第m階導(dǎo)模的截止條件為 (1.5-4)上式說明當(dāng)芯厚度b等于或小于第m階導(dǎo)模的截止芯厚度時，第m階導(dǎo)模截止。由上式可得到相鄰兩個導(dǎo)模截止點(diǎn)的間距為 (1.5-5)即各階導(dǎo)模的截止點(diǎn)等間距排列。對于0階導(dǎo)模，稱為基模，m = 0，由式(1.5-2)知其截止芯厚度為，這意

24、味著對于任何芯厚度的對稱波導(dǎo)，TE和TM基?？偰茉谄渲袀鬏?，永不截止。在波導(dǎo)器件的實(shí)際應(yīng)用中，常要求在其中使高階導(dǎo)模截止，只傳輸TE或TM基模，這種波導(dǎo)稱為單模波導(dǎo)。因此在設(shè)計(jì)和制作單模波導(dǎo)時，其芯厚度不能大于1階導(dǎo)模的截止芯厚度，即 (1.5-6)從上式可以看出，為了保證波導(dǎo)中進(jìn)行單模傳輸，波導(dǎo)芯與其兩側(cè)包層之間的折射率差越大，波導(dǎo)芯的厚度就應(yīng)越小。因此為了保證波導(dǎo)中進(jìn)行單模傳輸，就應(yīng)適當(dāng)減小波導(dǎo)芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1階模的截止芯厚度。上面討論的各階導(dǎo)模的截止情況與圖1-7顯示的情況完全相符。1.5.2 非對稱三層波導(dǎo)非對稱三層波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的特征方程為 (m = 0, 1,

25、2, ) (1.5-7)應(yīng)用特征方程(1.5-7)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，圖1-8顯示了GaAs/Al0.07Ga0.93As非對稱三層波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的傳輸和截止情況，圖中給出了波導(dǎo)芯厚度b與模有效折射率N的關(guān)系曲線。取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導(dǎo)芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As下包層的折射率n2 = 3.43，上包層為空氣，其有效折射率為n3 = 1。此時由于芯層與上包層空氣之間的相對折射率差較大，即，從圖中可以看出TE和TM各階模式有效折射率之值有了差別，相應(yīng)的曲線也已經(jīng)分開，TE和TM模的簡并被消除。圖1-8 非對稱三層波導(dǎo)TE(實(shí)線)和TM導(dǎo)模

26、(虛線)的傳輸曲線。取l0 = 1.15 mm， n1 = 3.45，n2 = 3.43，n3 = 1，特征方程(1.5-7)的數(shù)值結(jié)果。當(dāng)給定波導(dǎo)芯厚度b時，我們可以判斷出波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)膶?dǎo)模的數(shù)量。當(dāng)?shù)趍階導(dǎo)模截止時，把T2 = 0代入特征方程(1.5-7) (1.5-8)把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)中得到第m階導(dǎo)模的截止波導(dǎo)芯厚度為 (1.5-9)式中 (1.5-10) 對于TE導(dǎo)模s = 0，對于TM導(dǎo)模s = 1。因此第m階導(dǎo)模的截止條件為 (1.5-11)由上式可得到相鄰兩個導(dǎo)模截止點(diǎn)的間距為 (1.5-12)即各階導(dǎo)模的截止點(diǎn)也是等間距排列。對于0階導(dǎo)模即基模，m =

27、 0，由式(1.5-11)知其截止芯厚度為 (1.5-13)這一點(diǎn)與對稱波導(dǎo)不同。對于對稱波導(dǎo)，其0階導(dǎo)模的截止芯厚度為零，這意味著對于任何芯厚度的對稱波導(dǎo)，TE0和TM0基模總能在其中傳輸，永不截止。而對于非對稱波導(dǎo)，其0階導(dǎo)模的截止芯厚度不為零。因此在波導(dǎo)器件的設(shè)計(jì)和制作中，波導(dǎo)芯厚度應(yīng)大于0階導(dǎo)模的截止芯厚度，否則波導(dǎo)將不能導(dǎo)波。當(dāng)我們設(shè)計(jì)單模波導(dǎo)時，其芯厚度要大于0階導(dǎo)模的截止芯厚度同時要小于等于1階導(dǎo)模的截止芯厚度，即 (1.5-14)對于許多實(shí)際應(yīng)用的波導(dǎo)如半導(dǎo)體波導(dǎo)，其芯層與下包層的折射率相差很小，而其芯層與上包層的折射率相差較大。對于這種的情況，由式(1.5-10)可知T3很大

28、，因此可近似認(rèn)為，此時，確定波導(dǎo)中模式數(shù)量的公式(1.5-8)簡化為 (1.5-15)確定導(dǎo)模的截止芯厚度的公式(1.5-9) 簡化為 (1.5-16)單模傳輸?shù)臈l件式(1.5-14)簡化為 (1.5-16)上面討論的各階導(dǎo)模的截止情況也與圖1-8顯示的情況完全相符。§1.6 遠(yuǎn)截止近似法波導(dǎo)模式的特征方程是超越方程，不可能從中得到傳播常數(shù)的解析表達(dá)式。如果當(dāng)波導(dǎo)芯厚度較大時，可用遠(yuǎn)截止近似法求出導(dǎo)模傳播常數(shù)的近似表達(dá)式。下面以非對稱三層平板波導(dǎo)為例加以說明。非對稱三層平板波導(dǎo)TE和TM模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.6-1)為了運(yùn)算方便，可把T2和T3的表達(dá)式

29、改寫為 (1.6-2)式中 (j = 2, 3) (1.6-3)假設(shè)導(dǎo)模處于遠(yuǎn)離截止?fàn)顟B(tài)，引入量 (1.6-4)此時導(dǎo)模有效折射率N趨于n1，由上式定義的P可以看成是小量，而P2為二階小量可略去。利用式(1.6-3)和(1.6-4)做下述變換 (1.6-5) (1.6-6) (1.6-7)利用公式，特征方程(1.6-1)變?yōu)?(m = 0, 1, 2, ) (1.6-8)式(1.6-5)、(1.6-6)、(1.6-7)代入上式得到 (1.6-9)因?yàn)椋詾樾×?，因此上式可近似?(1.6-10)由此得到 (1.6-11)上式與式(1.6-4)中的第一式聯(lián)立求解則可得到TE和TM導(dǎo)模的有效折射

30、率N和傳播常數(shù)b滿足的近似表達(dá)式分別為 (1.6-12) (1.6-13)式中c2、c3、V、Q由式(1.6-2)和(1.6-4)規(guī)定。利用式(1.6-4)中的第二、三式還可把上式寫成下述形式 (1.6-14) (1.6-15) 對于對稱三層波導(dǎo)，在式(1.6-14)、(1.6-15)中令、即可。當(dāng)給定波導(dǎo)芯厚度b和介電常數(shù)分布時，可直接由上式計(jì)算出三層平板波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的有效折射率N和傳播常數(shù)b的值。圖1-9 顯示了應(yīng)用遠(yuǎn)截止近似法與特征方程對TE 導(dǎo)模計(jì)算結(jié)果的對比，選擇GaAs/Al0.07Ga0.93As對稱三層平板波導(dǎo)，取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導(dǎo)芯的折射

31、率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包層的折射率n2 = n3 = 3.43。圖中可以看出，由式(1.6-13)得到的有效折射率N的近似解，在模臨近截止的區(qū)域內(nèi)與特征方程(1.6-1)的數(shù)值解之間存在較大的誤差。但當(dāng)芯厚度b增大時，此誤差將迅速地減小，使得在導(dǎo)模遠(yuǎn)離截止的廣大區(qū)域內(nèi)，能夠用此方法得到導(dǎo)模有效折射率N和傳播常數(shù)b比較精確的計(jì)算結(jié)果。圖1-9 對稱三層平板波導(dǎo)的TE導(dǎo)模有效折射率N計(jì)算結(jié)果的對比，取l0 = 1.15 mm，n1 = 3.45，n2 = n3 =3.43。實(shí)線：遠(yuǎn)截止近似法式(1.6-13)的結(jié)果；虛線：特征方程(1.6-1)的數(shù)值結(jié)果。§

32、;1.7 近截止近似法當(dāng)導(dǎo)模臨近截止時，應(yīng)用遠(yuǎn)截止近似法求出導(dǎo)模傳播常數(shù)的值與特征方程的數(shù)值解之間存在較大的誤差。這時我們可以應(yīng)用下面給出的近截止近似法求出在鄰近截止的區(qū)域內(nèi)導(dǎo)模傳播常數(shù)的近似值。下面以對稱三層平板波導(dǎo)為例加以說明。對稱三層平板波導(dǎo)TE和TM模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.7-1)為了運(yùn)算方便，可把T2的表達(dá)式改寫為 (1.7-2)式中 (1.7-3)假設(shè)導(dǎo)模處于臨近截止?fàn)顟B(tài)，引入量 (1.7-4)此時導(dǎo)模有效折射率N趨于n2，由上式定義的P可以看成是小量。利用式(1.7-3)和(1.7-4)做下述變換 (1.7-5) (1.7-6)把式(1.7-5)和(

33、1.7-6)代入式(1.7-1)得到 (1.7-7)因?yàn)闉樾×?，因此上式可近似?(1.7-8)即有 (1.7-9)由此得到P滿足的方程 (1.7-10)解之得到 (1.7-11)上式與式(1.7-4)中的第一式聯(lián)立求解則可得到TE和TM導(dǎo)模的有效折射率N和傳播常數(shù)b滿足的近似表達(dá)式為 (1.7-12)(1.7-13)式中c2、V分別由式(1.7-2)和(1.7-4)規(guī)定。當(dāng)給定波導(dǎo)芯厚度b和介電常數(shù)分布時，可直接由上面公式計(jì)算出對稱三層平板波導(dǎo)TE和TM導(dǎo)模的有效折射率N和傳播常數(shù)b的值。圖1-10 顯示了應(yīng)用近截止近似法與特征方程對TE導(dǎo)模計(jì)算結(jié)果的對比，選擇GaAs/Al0.07Ga0.93As對稱三層平板波導(dǎo)，取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導(dǎo)