華東師大數(shù)學分析答案

1、;.第四章函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)連續(xù)性概念1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)：（ 1）證：（ 1）f ( x)1x 。； （ 2） f ( x)xf (x)1D( ,0) (0, ) ，當 x, x0D 時，有的定義域為x11xx0由三角不等式可得：xx0xx0，xx0x x0故當 xx0x0時，有11xx0xx02xx0x0x0對任意給的正數(shù)，取x020,則x0，當 xD且 xx0時，1x0有f (x)f ( x0 )11xx0可見f ( x) 在 x0連續(xù)，由 x0的任意性知：f (x) 在其定義域內(nèi)連續(xù)。(2) f (x)x 的定義域為 (,), 對任何的 x0(,) ，由于x x0xx0

2、，從而對任給正數(shù)，取，當 xx0時，有f ( x)f ( x0 ) xx0x x0故f (x) 在 x0 連續(xù)，由 x0的任意性知，f (x) 在 (,) 連續(xù)。2指出函數(shù)的間斷點及類型：（ 1） f ( x)x1；（ 2） f ( x)sin x ；（ 3） f ( x) cosx ；xx（ 4） f ( x)sgn x ；（ 5） f ( x)sgn(cos x) ；1,x7x,為有理數(shù)x7（ 6） f ( x)x；（ 7） f ( x)x,7 x 1x,x為無理數(shù)1( x1) sin, 1xx1;.'.解： （ 1） f (x) 在 x0間斷，由于 lim ( x1 ) 不存在，

3、故 x0是 f ( x) 的第二類間斷點。xxsin x（ 2） f ( x) 在 x0間斷，由于lim f ( x)lim1 ，xx0x0lim sin xlimf ( x)1故 x0 是 f( x) 的跳躍間斷點。x0x0x（ 3） f (x) 在 xn間斷， (n0,1, 2,)由于limf (x)lim c o xs 0，limf ( x)lim cosx 0x nxnxnx n故xn是 f (x) 的可去間斷點 (n0,1 ,2,) 。（ 4） f (x) 在 x0 間斷，由于limf ( x)lim sgn x1 ，x 0x 0limf ( x)lim sgn x1 ，故 x0 是

4、 f ( x) 的可去間斷點。x0x0（ 5） f (x) 在 x2k(k0,1 ,2,) 間斷，由于limf ( x)1 ，2x4k12limf ( x)1 ，limf (x)1，limf ( x)1x4 k 1x4k 1x4k 1222故 x2k(k0,1 ,2,) 是 f ( x) 的跳躍間斷點。2（ 6） f (x) 在 x0 的點間斷且若 x00 ，則 limf (x)不存在，故 x0 是 f ( x) 的第二xx0類間斷點。（ 7） f (x) 在 x7及x1間斷，且 limf ( x)7 ， lim f ( x) 不存在， 故 x7 是x7x7f (x) 的第二類間斷點。又因li

5、m f ( x)lim ( x1) sin10 ， lim f ( x) 1，x1x 1x1x 1故是 f (x) 的跳躍間斷點。x 13延拓下列函數(shù)，使在(,) 上連續(xù)：（ 1） f ( x)x38 ；（ 2） f (x)3cos x ；x2x2（3） f ( x)1。x cosx解：（ 1）當 x2 時， f (x) 沒有定義，而 limx38= lim (x 22x4) =12x2x2x2;.'.x3 8 , x 2(,) 上連續(xù)。于是函數(shù)F ( x)x2是 f ( x) 的延拓，且在12,x2（2）當 x0時， f (x)沒有定義，而 lim1cosx1，于是f (x) = l

6、imx22x 0x 01cos x ,x 0函數(shù)F ( x)x2是 f ( x) 的延拓，且在(, ) 上連續(xù)。1 ,x02（3）當 x0時， f (x) 沒有定義，而 limf (x) = lim x cos 10 ，于是x 0x 0x函數(shù)F ( x)xcos 1 , x 0(,) 上連續(xù)。x是 f (x) 的延拓，且在0,x04若 f 在 x0 點連續(xù)，則f， f2 是否也在 x0 連續(xù)？又若f或 f2 在 I 上連續(xù)，那么f 在I 上是否連續(xù)？解：（ 1）若 f 在 x0 點連續(xù)，則 f與 f 2 在 x0連續(xù)。（ i ） f在 x0 點連續(xù)。事實上，由于f 在 x0 點連續(xù)，從而對任給

7、正數(shù)，存在正數(shù)，當 xx0時，有f ( x)f (x0 )，而f (x)f (x0 )f ( x)f ( x0 )故當xx0時，有f ( x)f ( x0 )，因此 f 在 x0 點連續(xù)。（ ii） f2在 x0 點連續(xù)。 事實上， 由于 f在 x0 點連續(xù)， 從而由局部有界性知：存在 M0 及0使當 x x01 時，f (x)M（ 1）1有，2有連續(xù)性定義知：對任給正數(shù)，存在正數(shù)2 ，當 x x02有f (x)f ( x0 )M（ 2）先取min1, 2，則當 xx0，上（ 1）與（ 2）式同時成立，因此f 2 (x)f 2 (x0 )f ( x)f ( x0 ) f (x)f ( x0 )

8、f ( x)f ( x0 ) ( f (x)f ( x0 ) );.'.故f 2 在 x0 點連續(xù)。（ 2）逆命題不成立。例如設(shè)f ( x)1,為有理數(shù)，則 f， f 2 均為常數(shù)，故是連續(xù)函數(shù)，x1,為無理數(shù)x但 f (x) 在 (, )任一點都不連續(xù)。5設(shè)當 x0 時， f(x)g( x) ，而 f (0)g (0) ，試證 f 與 g 這兩個函數(shù)中至多有一個在x 0 連續(xù)。證明：（反證）假設(shè)f ( x) 與 g( x) 均在 x0連續(xù)，則 lim f ( x)f (0) ， lim g (x)g (0) ，x0x 0又因 x 0 時， f ( x)g (x) ，于是 lim f

9、( x)lim g (x) ，x0x 0從而f (0)g(0)這與f (0)g (0) 相矛盾。故 f 與 g 這兩個函數(shù)中至多有一個在x0 連續(xù)。6證明：設(shè) f 為區(qū)間 I上的單調(diào)函數(shù)，且x0I為 f的間斷點，則 x0 必是 f 的第一類間斷點。證： 不妨設(shè) f 為區(qū)間 I 上的遞增函數(shù)，于是當xI ，且 xx0 時， f ( x)f ( x0 ) ，從而由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理可知：f ( x00) 存在 ，且 f ( x00)= limf (x)f (x0 )xx0同理可證f ( x00) 存在，且 f ( x00) = limf ( x)f ( x0 )xx0因此 ， x0 是 f的第

10、一類間斷點。7設(shè)函數(shù) f 只有可去間斷點，定義g( x)limf ( y) ，證明 g 為連續(xù)函數(shù)。yx證：設(shè)f 的定義域為區(qū)間 I，則 g( x) 在 I上處處有定義（因f 只有可去間斷點，從而極限處處存在），任取 x0I ，下證 g( x) 在 x0 連續(xù)。由于 g ( x0 )lim f ( y)y x0且 g(x)lim f ( y) （ xI ），從而對任給正數(shù)，存在正數(shù)，當 0 yx0時有y xg( x0 )f ( y) g( x0 )2，2任取 xU 0 ( x0 ,) ，則必存在 U (x, )U 0 (x0 ,) 。于是當yU (x,) 時，由不等式性;.'.質(zhì)知g(

11、x0 )g( x)lim f ( y)g( x0 )2y x2因此當x U 0 ( x0 ,) 時，有 g (x) g( x0 )，故 g( x) 在 x0處連續(xù)。8設(shè) f為 R 上的單調(diào)函數(shù)，定義g( x)f ( x0) ，證明函數(shù) g在 R 上每點都連續(xù)。證：由于f 為 (,) 上的單調(diào)函數(shù)，故f 只有第一類間斷點，故右極限處處存在。于是 g( x) 處處有定義，任取x0 (,) ，下證 g 在 x0 右連續(xù)。由于g( x0 )f (x00) = limf ( y) 且 g( x) = lim f ( y) ，（x）從而對任給正數(shù)y x0yx，存在正數(shù)，當 0yx0時，有 g( x0 )f ( y)g (x0 )，22任取 xU0 (x0 , ) ，則必存在 U0 ( x,)U 0 ( x0 ,) 。于是當 yU0 (x, ) 時，上不等式成立。由極限不等式性質(zhì)知g(x0 )2g(x)lim f ( y)g( x0 )2yx因此當 xU0 ( x0 , ) 時，有g(shù)( x)g( x0 )，故 g (x) 在 x0 處右連續(xù)。9舉出定義在 0,1 上符合下列要求的函數(shù)：（ 1）在1, 1和 1 三點連續(xù)的函數(shù)；234（ 2）只在1 , 1 和 1 三點連續(xù)的函