數(shù)學(xué)建模概率模型課件

1、數(shù)學(xué)建模概率模型 數(shù) 學(xué) 建 模 之 概 率 模 型 主講人主講人： Email: 數(shù)學(xué)建模概率模型 現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用或者隨機(jī)因素的影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對(duì)研究對(duì)象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模素對(duì)研究對(duì)象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型

2、。本章討論如何用隨機(jī)變量和概率分布描述隨型。本章討論如何用隨機(jī)變量和概率分布描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型概率模型概率模型。概率模型概率模型數(shù)學(xué)建模概率模型確定性因素和隨機(jī)性因素確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型隨機(jī)模型確定性模型確定性模型隨機(jī)性模型隨機(jī)性模型數(shù)學(xué)建模概率模型概率模型概率模型一、概率論基本知識(shí)一、概率論基本知識(shí)二、概率模型的典型案例二、概率模型的

3、典型案例數(shù)學(xué)建模概率模型一、概率論基礎(chǔ)知識(shí)一、概率論基礎(chǔ)知識(shí)1、古典概型、古典概型)()()|(BPABPBAP例：現(xiàn)有例：現(xiàn)有100100個(gè)零件，其中個(gè)零件，其中9595個(gè)長(zhǎng)度合格，個(gè)長(zhǎng)度合格，9494個(gè)直徑和格，個(gè)直徑和格，9292個(gè)兩個(gè)尺寸都合格。任取一個(gè)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度合格，問直徑個(gè)兩個(gè)尺寸都合格。任取一個(gè)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度合格，問直徑合格的概率。合格的概率。設(shè)設(shè)A=A=長(zhǎng)度合格長(zhǎng)度合格，B=B=直徑合直徑合格格9592)()()|( APABPABP10092)(,10095)( ABPAP條件概率條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率數(shù)學(xué)建模概率模型全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝

4、葉斯公式 設(shè)設(shè)B B1 1,B,B2 2,B,Bn n為樣本空間為樣本空間S S的一個(gè)劃分，且有的一個(gè)劃分，且有P(BP(Bi i)0)0， i=1,2,n,i=1,2,n,則對(duì)則對(duì)E E的任一事件的任一事件A A，有，有: : niiiBAPBPAP1)()()(niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1,)()()()()()()(1貝葉斯公式貝葉斯公式全概率公式全概率公式數(shù)學(xué)建模概率模型例：某電子設(shè)備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠例：某電子設(shè)備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)

5、據(jù)：元件制造廠元件制造廠次品率次品率 提供份額提供份額甲廠甲廠0.020.020.150.15乙廠乙廠0.010.010.800.80丙廠丙廠0.030.030.050.05設(shè)這三家的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的設(shè)這三家的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的, ,且無區(qū)別的標(biāo)志?，F(xiàn)在倉庫中隨機(jī)地抽且無區(qū)別的標(biāo)志?，F(xiàn)在倉庫中隨機(jī)地抽取一只晶體管取一只晶體管, (1), (1)求它是次品的概率；求它是次品的概率；(2)(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品, ,問此次品是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性更大？問此次品是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性更大？設(shè)設(shè)A=“A=“取到的是一只次品取到的是一只次品”,B”,Bi i=“=“所取產(chǎn)品

6、由第所取產(chǎn)品由第i i廠提供廠提供”, ,易知易知B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是樣本空間的一個(gè)劃分。是樣本空間的一個(gè)劃分。解解(1)(1)由全概率公式由全概率公式: :=0.15=0.150.02+0.800.02+0.800.01+0.050.01+0.050.03=0.01250.03=0.0125(2)(2)由貝葉斯公式由貝葉斯公式: :24. 00125. 015. 002. 0)()()()(111 APBPBAP|ABP 31)()()(iiiBAPBPAp同理同理 P(BP(B2 2|A)=0.64, P(B|A)=0.64, P(B3 3|A)=0.12 .|A)=

7、0.12 .以上結(jié)果表明，這只次品來自以上結(jié)果表明，這只次品來自乙廠乙廠的可能性最大。的可能性最大。數(shù)學(xué)建模概率模型貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn): 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果只有兩種可能的結(jié)果:A及及 ,且且P(A)=p,（0p1), 將試驗(yàn)將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次次, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱n重重貝努貝努利試驗(yàn)利試驗(yàn)(Bernoulli)。 n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A A出現(xiàn)的次數(shù)服從出現(xiàn)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布AnkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1( 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布2、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量及其分布泊松分布泊松分布n重貝努利試驗(yàn)中重貝努利試驗(yàn)中小概率

8、事件小概率事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.)0,.,2 , 1 , 0( ,!為為常常數(shù)數(shù) kekkXPk數(shù)學(xué)建模概率模型為為常常數(shù)數(shù)）0(0, 00,)( xxexfx指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命，指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命， 動(dòng)物的壽命，電話問題中的通話時(shí)間，服務(wù)時(shí)間等動(dòng)物的壽命，電話問題中的通話時(shí)間，服務(wù)時(shí)間等. .如如：同齡人的身高同齡人的身高、體重、考試分?jǐn)?shù)、某地區(qū)年降水量等。、體重、考試分?jǐn)?shù)、某地區(qū)年降水量等。如果決定試驗(yàn)結(jié)果如果決定試驗(yàn)結(jié)果X的是的是大量隨機(jī)因素的總和大量隨機(jī)因素的總和，假設(shè)，假設(shè)各個(gè)因素之間近似各個(gè)

9、因素之間近似獨(dú)立獨(dú)立，并且每個(gè)因素的單獨(dú)作用，并且每個(gè)因素的單獨(dú)作用相對(duì)均勻相對(duì)均勻地小，地小，那么那么X的分布近似正態(tài)分布。的分布近似正態(tài)分布。,21)(222)( xexf)2 ，（記記為為NX數(shù)學(xué)建模概率模型描述了隨機(jī)變量的描述了隨機(jī)變量的概率取值中心概率取值中心均值均值數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望3、數(shù)學(xué)期望的概念和計(jì)算、數(shù)學(xué)期望的概念和計(jì)算 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( 1)()(kkkpxgXgEYE XgY 數(shù)學(xué)建模概率模型4、MATLAB中相關(guān)的的概率命令中相關(guān)的的概率命令數(shù)學(xué)建模概率模型MATLAB工具箱對(duì)每一種分布都提供工具箱對(duì)每

10、一種分布都提供5 5類函數(shù)，其命令字符為：類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：概率密度：pdf 概率分布：概率分布：cdf逆概率分布：逆概率分布：inv 均值與方差：均值與方差：stat隨機(jī)數(shù)生成：隨機(jī)數(shù)生成：rnd 當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時(shí)，將以上所列的分布當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時(shí)，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可. .數(shù)學(xué)建模概率模型在在MATLAB中輸入以下命令：中輸入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normp

11、df(x,0,2);plot(x,y,x,z)1密度函數(shù)：密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma) (當(dāng)當(dāng)mu=0,sigma=1時(shí)可缺省時(shí)可缺省)如對(duì)均值為如對(duì)均值為mumu、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為sigmasigma的正態(tài)分布，舉例如下：的正態(tài)分布，舉例如下：數(shù)學(xué)建模概率模型3逆概率分布：逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出即求出x ，使得，使得PX b(購進(jìn)價(jià)購進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)退回價(jià))售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購進(jìn)多少份可使收入最大？每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分分析析購進(jìn)太多購進(jìn)太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠

12、錢購進(jìn)太少購進(jìn)太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合存在一個(gè)合適的購進(jìn)量適的購進(jìn)量等于每天收入的期望等于每天收入的期望數(shù)學(xué)建模概率模型建建模模 設(shè)每天購進(jìn)設(shè)每天購進(jìn) n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)準(zhǔn)備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnf

13、barfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c數(shù)學(xué)建模概率模型nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量( )( )f rp r0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()( (概率密度概率密度) )數(shù)學(xué)建模概率模型cbbadrrpdrrpnn)()(0結(jié)果解釋結(jié)果解釋nnPdrrp

14、Pdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp數(shù)學(xué)建模概率模型9.3 隨機(jī)存貯策略隨機(jī)存貯策略問問題題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s, S) 存貯策略存貯策略制訂下界制訂下界s, 上界上界S，當(dāng)周末庫存小于，當(dāng)周末庫存小于s 時(shí)訂貨，時(shí)訂貨，使下周初的庫存達(dá)到使下周初的庫存達(dá)到S; 否則，不訂貨。否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制

15、訂考慮訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s, S) 存貯策略存貯策略, ,使使( (平均意義下平均意義下) )總費(fèi)用最小總費(fèi)用最小數(shù)學(xué)建模概率模型模型假設(shè)模型假設(shè) 每次訂貨費(fèi)每次訂貨費(fèi)c0, 每件商品購進(jìn)價(jià)每件商品購進(jìn)價(jià)c1,每件商品每件商品一周貯存費(fèi)一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)每件商品缺貨損失費(fèi)c3 (c1c3) 每周銷售量每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫存量周末庫存量x, 訂貨量訂貨量 u, 周初庫存量周初庫存量 x+u 每周貯存量按每周貯存量按 x+u-r 計(jì)計(jì) 數(shù)學(xué)建模概率模型0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrp

16、xrcdrrprxcxL032)()()()()(建模與求解建模與求解（s, S) 存貯策略存貯策略0usx確定確定(s, S), 使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)每周總費(fèi)用的平均值最小每周總費(fèi)用的平均值最小平均平均費(fèi)用費(fèi)用 訂貨費(fèi)訂貨費(fèi)c0, 購進(jìn)價(jià)購進(jìn)價(jià)c1, 貯存費(fèi)貯存費(fèi)c2, 缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)c3, 銷售量銷售量 r Suxusx, 0s 訂貨點(diǎn)，訂貨點(diǎn)， S 訂貨值訂貨值數(shù)學(xué)建模概率模型12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模與求解建模與求解1）設(shè)）設(shè) xs, 求求 u 使使 J(u) 最小，確定最小，確定SSSdrrpccdrrpcc

17、01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP數(shù)學(xué)建模概率模型2）對(duì)庫存）對(duì)庫存 x，確定訂貨點(diǎn)確定訂貨點(diǎn)s)()(101SLxSccJ若訂貨若訂貨u, u+x=S, 總費(fèi)用為總費(fèi)用為 )(2xLJ 若不訂貨若不訂貨, u=0, 總費(fèi)用為總費(fèi)用為 12JJ )()(1xIxLxc記)()(0SIcxI訂貨點(diǎn)訂貨點(diǎn) s 是是的最小正根的最小正根建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()(

18、)(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不訂貨不訂貨)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI數(shù)學(xué)建模概率模型)()(0SIcxI最小正根的最小正根的圖解法圖解法J(u)在在u+x=S處達(dá)到最小處達(dá)到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S處達(dá)到最小值處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形圖形建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)與與I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根

19、s數(shù)學(xué)建模概率模型9.4 軋鋼中的浪費(fèi)軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材軋制鋼材兩道工序兩道工序 粗軋粗軋(熱軋熱軋) 形成鋼材的雛形形成鋼材的雛形 精軋精軋(冷軋冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度粗軋粗軋鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布均值可以由軋機(jī)調(diào)整均值可以由軋機(jī)調(diào)整方差由設(shè)備精度確定方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長(zhǎng)粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定度大于規(guī)定切掉多余切掉多余 部分部分粗軋鋼材長(zhǎng)粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定度小于規(guī)定整根報(bào)廢整根報(bào)廢隨機(jī)因隨機(jī)因素影響素影響精軋精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背背景景數(shù)學(xué)建模概率模型分析分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)

20、度為設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度鋼材長(zhǎng)度x為正態(tài)隨機(jī)變量，記作為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根報(bào)廢整根報(bào)廢的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小使總的浪費(fèi)最小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP 數(shù)學(xué)建模概率模型lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分切掉多余部分的

21、浪費(fèi)的浪費(fèi)整根報(bào)廢整根報(bào)廢的浪費(fèi)的浪費(fèi)總浪費(fèi)總浪費(fèi) =+lPm粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度粗軋粗軋N根根成品材成品材 PN根根成品材長(zhǎng)度成品材長(zhǎng)度l PN總長(zhǎng)度總長(zhǎng)度mNNlPNmN lPm共浪費(fèi)長(zhǎng)度共浪費(fèi)長(zhǎng)度 mN-lPN數(shù)學(xué)建模概率模型lPmPNlPNmN)()(mPmmJ記222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP選擇合適的目標(biāo)函數(shù)選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度更合適的目標(biāo)函數(shù)更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求優(yōu)化模型：求m 使使J(m) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?/p>

22、l , ）建模建模粗軋粗軋N根得成品材根得成品材 PN根根實(shí)際上，實(shí)際上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長(zhǎng)度恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長(zhǎng)度22()212x mlmedx數(shù)學(xué)建模概率模型,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?） 數(shù)學(xué)建模概率模型求解求解微分法求極值微分法求極值)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/ )(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/ )

23、()()(zzzFzzF數(shù)學(xué)建模概率模型簡(jiǎn)表)()()(zzzFz*z例例設(shè)設(shè)l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪費(fèi)最小。使浪費(fèi)最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z算出 再代入 即得到 的最優(yōu)值z(mì)m數(shù)學(xué)建模概率模型9.5 隨機(jī)人口模型隨機(jī)人口

24、模型背景背景 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國家或地區(qū)一個(gè)國家或地區(qū)平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率確定性模型確定性模型一個(gè)家族或村落一個(gè)家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率隨機(jī)性模型隨機(jī)性模型對(duì)象對(duì)象X(t) 時(shí)刻時(shí)刻 t 的人口的人口, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差數(shù)學(xué)建模概率模型若若X(t)=n, 對(duì)對(duì)t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假設(shè)的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與出生一人的概率與 t成正比，記

25、成正比，記bn t ;出生二人及二人以上的概率為出生二人及二人以上的概率為o( t).2)死亡一人的概率與死亡一人的概率與 t成正比，記成正比，記dn t ;死亡二人及二人以上的概率為死亡二人及二人以上的概率為o( t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。bn與與n成正比，記成正比，記bn= n , 出生概率出生概率；dn與與n成正比，記成正比，記dn= n， 死亡概率死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)模型假設(shè)數(shù)學(xué)建模概率模型)()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn建模建模為得到為得到Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規(guī)律，的變化規(guī)