正交化及正交矩陣實(shí)用教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1正交化及正交矩陣正交化及正交矩陣(j zhn)第一頁，共21頁。2. 內(nèi)積的性質(zhì)(xngzh)(1) = (3) = + (2) = 3. 向量(xingling)的范數(shù)稱 21niix 為向量(xingling)X的長度 (范數(shù)), 記為|X|(4)X,YX Y 稱|X Y|為X與Y之間的距離.第1頁/共21頁第二頁，共21頁。證明(zhngmng)： 令 f(t) = ， 顯然(xinrn)函數(shù)f(t) 0且 f(t) = + = + t + t + t2 = |X|2 + 2t + t2|Y|2 從而(cng r)有： 2224X,Y4 XY0 即 X,YX Y 證畢稱X,Yar

2、ccosXY 為向量X與之間的夾角.X,YcosXY 即XYX,Y0 ,特別第2頁/共21頁第三頁，共21頁。4. 范數(shù)的性質(zhì)(xngzh)(5) |X| 0, 且 |X| = 0 X = 0(6)XX (7) XYXY 證明(zhngmng): 由 2XYXY,XY 22X2X,YY 再由X,YXY 得到(d do): 22XYXY 即:XYXY 證畢第3頁/共21頁第四頁，共21頁。例1. 設(shè)X, Y, Z皆是n維向量, 試證明(zhngmng)三角不等式:XZXYYZ證明(zhngmng):XZ(XY)(YZ)XYYZ例2. 設(shè)X, Y是兩個(gè)相互正交的n維向量, 試證明(zhngmng)

3、勾股定理:222XYXY證明:2XYXY,XY X,XX,YY,XY,Y 22XY第4頁/共21頁第五頁，共21頁。定理(dngl)1.非零的正交向量組必然是線性無關(guān)的。證明(zhngmng)： 設(shè)1, 2, , m是一組兩兩相互(xingh)正交的非零向量.1, 2, , m是一組數(shù)， 11 + 22 + + mm = 0 使得則 0 = = j 又|j|2 0, 所以j = 0, j = 1, 2, , m 從而1, 2, , m線性無關(guān) 證畢第5頁/共21頁第六頁，共21頁。二. 向量(xingling)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基1.標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正交基的定義及其性質(zhì)定義:設(shè)V是一個(gè)向量(x

4、ingling)空間，1, 2, , m是V的一組基，若滿足：1）1, 2, , m兩兩相互正交 2）|j| = 1, j = 1, 2, , m 則稱1, 2, , m是向量空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第6頁/共21頁第七頁，共21頁。定理2 若1, 2, , m是向量(xingling)空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， = 11 + 22 + + mm是V中的一個(gè)向量(xingling)，則j = , j = 1, 2, , m證明(zhngmng)： ,1,mjjiii 1,mijii 1,2,jm j 2. Schmidt正交化過程(guchng)定理3 若V是Rn的一個(gè)非零子空間，則V一定有標(biāo)準(zhǔn)

5、正交基 .第7頁/共21頁第八頁，共21頁。證明(zhngmng)： 設(shè)1, 2, , m是V的一組基。 取 11, 111 1 2 取 22211, 2211211, 222 取 33311322, 333, 23321,kkkk 1 2 3 第8頁/共21頁第九頁，共21頁。設(shè)1, 2, , s, s m,是兩兩正交的單位向量,并且(bngqi)該向量組與1, 2, , s等價(jià).取 1111,sssskkk 1121,sskskkk 111sss ; 當(dāng) j = 1, 2, , s 時(shí), 1111,ssjsjskkjk 11,sjsjjj 0 第9頁/共21頁第十頁，共21頁。顯然, 1,

6、 2, , s, s+1是兩兩正交的單位向量(xingling),并且該向量(xingling)組與1, 2, , s, s+1等價(jià).經(jīng)過(jnggu)若干次后我們就可以得到V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1, 2, , m。1 = 1, 22211211,) 33311322221211,),) 證畢Schmidt正交化過程(guchng)第10頁/共21頁第十一頁，共21頁。11211,)kkkkjjjj ,k = 1, 2, , m-1,1,2,.,jjjjm 例3. 把列向量(xingling)組1 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1,

7、1)T正交化。解:令1 = 1, 22211211,) 1110230111 131321 第11頁/共21頁第十二頁，共21頁。33311322221211,),) 01110324315112111 431531 123114033111,12331535111 第12頁/共21頁第十三頁，共21頁。例.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為第13頁/共21頁第十四頁，共21頁。把基礎(chǔ)(jch)解系正交化，即合所求亦

8、即取,12 a.,1112123 a于是得于是得其中其中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a第14頁/共21頁第十五頁，共21頁。3. 向量(xingling)在向量(xingling)空間上的正交投影定義: 設(shè)V是Rn的一個(gè)非平凡的子空間,Rn，若在V中存在(cnzi)某向量，使得 - 與V中任何一個(gè)向量皆正交，則稱為向量在向量空間V中的正交投影向量。 定理4. 設(shè)V是Rn的一個(gè)非平凡(pngfn)的子空間, Rn,則在向量空間V中的正交投影向量存在且唯一.證明： 設(shè)1, 2, , m是向量空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.取 1,mkkk 第15頁/共21頁第

9、十六頁，共21頁。則 = - = - = 0， 說明向量 - 與V的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正交基1, 2, , m中的任何一個(gè)向量皆正交， 從而與V中的任何一個(gè)(y )向量皆正交。 故是向量(xingling)在向量(xingling)空間V中的正交投影向量(xingling)。 若也是向量在向量空間V中的正交投影向量， 由于:= + = 0，j = 1, 2, , m， 第16頁/共21頁第十七頁，共21頁。以及(yj)V，V的維數(shù)等于m， 推知(tu zh) = 即, 在向量空間(kngjin)V中的正交投影是唯一的。 定理5 設(shè)V是Rn的一個(gè)非平凡的子空間，Rn，是在向量空間V中的正交投影

10、向量，則對(duì)于V中的任何一個(gè)向量，只要 ，就有：| - | | - |2. 即：| - | | - | 證畢三. 正交方陣(fn zhn)及其性質(zhì)定義：設(shè)A是一個(gè)(y )n階方陣，若ATA = En則稱A為一個(gè)(y )n階正交矩陣。1. A是一個(gè)正交矩陣的充分必要條件(b yo tio jin)是它的轉(zhuǎn)置矩陣是一個(gè)正交矩陣。2. A是一個(gè)正交矩陣的充分必要條件是它的n個(gè)列向量構(gòu)成了Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.3. 若A是一個(gè)正交矩陣，則|A|2 = 1第18頁/共21頁第十九頁，共21頁。定義(dngy): 若A是一個(gè)正交矩陣，則稱線性變換Y=AX為正交變換。正交變換有如下(rxi)性質(zhì)：設(shè)Y1=AX1, Y2 = AX21. = 2. | Y1| = | X1|3. Y1與Y2之間的夾角(ji ji