數(shù)值分析復(fù)習(xí)

1、&教材教材 (Text Book) 數(shù)值分析數(shù)值分析 金聰?shù)冉鹇數(shù)?amp; 參考書目參考書目 (References) Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 數(shù)值分析數(shù)值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ） David Kincaid & Ward Cheney（機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社) Numerical Analysis (Seventh Edition) 數(shù)值分析數(shù)值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J.

2、 Douglas Faires （高等教育出版社）高等教育出版社） 基礎(chǔ)知識 微積分、線性代數(shù) 程序設(shè)計語言 Matlab學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法1.注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構(gòu)造手法注意各種方法的構(gòu)造手法3.重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習(xí)題做一定量的習(xí)題5.注意與實際問題相聯(lián)系注意與實際問題相聯(lián)系考試方法考試方法1.閉卷考試占閉卷考試占70%2.平時作業(yè)及課堂回答問題占平時作業(yè)及課堂回答問題占30%學(xué)習(xí)和了解科學(xué)計算的橋梁學(xué)習(xí)和了解科學(xué)計算的橋梁數(shù)值分析數(shù)值分析 能夠做什么？Introduction 研究使用計算機求解各種數(shù)學(xué)

3、問題的研究使用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進行評估，以及如何在計算機上實精度進行評估，以及如何在計算機上實現(xiàn)求解等現(xiàn)求解等計算機解決實際問題的步驟計算機解決實際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法選擇數(shù)值方法編寫程序編寫程序上機計算上機計算 數(shù)值分析的對象與特點數(shù)值分析：研究適合計算機進行科學(xué)計算的方法。 使用計算機、離散解決科學(xué)技術(shù)和工程問題的步驟 實際問題建立數(shù)學(xué)模型 研究計算方法編程上機計算求的結(jié)果。 結(jié)果驗證例如 某一地區(qū)的地形圖,用空中航測方法,空中連續(xù)拍照 為形成三維地形圖,建立了一個大型超定線性方程組。

4、 采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解,然后再整體平滑 編程序,形成一個大型程序,上機進行計算?，F(xiàn)代科學(xué)方法 科學(xué)實驗 科學(xué)理論 科學(xué)計算：數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)的交叉抽象性與嚴密性實踐性和技術(shù)性面向計算機的數(shù)值算法設(shè)計數(shù)值分析課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容: 計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算(即使是函數(shù)也是通過數(shù)值分析方法處理,轉(zhuǎn)化為四則運算而形成了的一個小型軟件包)。 1. 數(shù)值代數(shù):求解線性和非線性方程的解法,分直接方法和間接方法。 2.插值和數(shù)值逼近。 3.數(shù)值微分和數(shù)值積分。 4.常微分方程和偏微分方程數(shù)值解法。特點： 1面向計算機 編程：解題過程逐漸分解，歸結(jié)為四則運算和邏輯運

5、算的有限序 化繁為簡：巨大的計算量（特長：高速度） 不厭其煩，不知疲倦：以簡馭繁，將質(zhì)的困難化為量的重復(fù)。 以耗費計算量為代價，設(shè)法將復(fù)雜的計算過程簡化，逐步歸結(jié)為一系列簡單過程。 2有可靠的理論分析（收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析）。 3要有好的計算復(fù)雜性（時間、空間） 4要有數(shù)值試驗。對算法所要考慮的問題: 1. 計算能力人類的計算能力=計算機的計算能力+算法的設(shè)計能力求解一個20階線性方程組,用消元法需3000次乘法運算;而用克萊姆法則要進行20107.9次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。傻瓜和超級廢鐵 2.存儲量。 大型問題有必要考慮。 3.數(shù)值穩(wěn)定性。 在大量計算中,舍入誤

6、差是積累還是能控制,這與算法有關(guān)。誤差的來源與誤差分析的重要性 誤差的來源與種類 1. 模型誤差: 在建立數(shù)學(xué)模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這就帶來了與實際問題的誤差。 2. 測量誤差: 測量已知參數(shù)時,數(shù)據(jù)帶來的誤差。 3. 截斷誤差: 在設(shè)計算法時,必然要近似處理,尋求一些簡化。 4. 舍入誤差: 計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入,由此產(chǎn)出的誤差稱舍入誤差。 數(shù)值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看作初始的舍入誤差,數(shù)值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響,但這兒不討論模型誤差。舉例1。求下列方程的根或零點：22 sin1 0 xxx Can you so

7、lve100(1)0 x Can you solve100999897961004950161700392122510010 xxxxxx 舉例2。怎么求解下列積分？210 xed x（數(shù)值積分）數(shù)值分析的特點1. 近似：由此產(chǎn)生“誤差”在計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個有趣的問題：在計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個有趣的問題：什么是什么是零零？原點附近原點附近在純數(shù)學(xué)中，認為此矩陣為滿秩矩陣1101101101但在計算數(shù)學(xué)中，它卻是降秩矩陣？112111010101100101100101100nnn 2。與計算機不能分離：上機實習(xí)（掌握一門語言：C語言，會用Matlab）1.2 誤差誤差 ( Error

8、)1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 ( Introduction )1. 來源與分類來源與分類 ( Source & Classification )u模型誤差模型誤差 ( Modeling Error ): 從實際問題中抽象出從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 u觀測誤差觀測誤差 ( Measurement Error ):通過測量得到模型通過測量得到模型中參數(shù)的值中參數(shù)的值 u方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 Truncation Error）:求近似解求近似解 u舍入誤差舍入誤差 ( Roundoff Error ):機器字長有限機器字長有限 1.2.4 誤差與有效數(shù)字誤差與

9、有效數(shù)字 (Error and Significant Digits)u 絕對誤差絕對誤差 ( absolute error )* ex x其中其中 x*為精確值，為精確值，x為為x*的近似值。的近似值。 10006074302.dxex例如：例如：*xx工程上常記為工程上常記為|*e*的上限記為的上限記為 , , 稱為稱為絕對誤差限絕對誤差限 ( accuracy ) ， u 相對誤差相對誤差 ( relative error )*reex*|rxx 的的相對誤差上限相對誤差上限 定義為定義為u有效數(shù)字有效數(shù)字 （significant digits ）用科學(xué)計數(shù)法，記用科學(xué)計數(shù)法，記 (

10、(其中其中 ）若若 （即（即 的截取按四舍五入規(guī)的截取按四舍五入規(guī)則），則稱則），則稱 為有為有n 位有效數(shù)字，精確到位有效數(shù)字，精確到 。12010mnx.a aa 01 anm.xx 1050|*naxnm 101415.3*;8979321415926535.3 例：例：問：問： 有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。* 131 40 3141510and*0 5100 510*., | |.證明：證明：有有4 位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第 3 位。位。數(shù)學(xué)思維的化歸策略 數(shù)學(xué)被譽為思維的體操，算法設(shè)計的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)家的思維特

11、征：不對問題進行正面攻擊，不斷將問題加工變形，轉(zhuǎn)化歸納為能夠解決的問題。 化大為?。嚎s減 化難為易：校正 化粗為精：松弛計算方法是數(shù)值算法的設(shè)計方法 計算機科學(xué)本質(zhì)上是算法學(xué) 算法設(shè)計是計算機科學(xué)的核心內(nèi)容之一 高性能計算=超級計算機研制高效算法設(shè)計 兩者具有同等重要性 沒有高效算法的支撐 超級計算機只是一堆“超級廢鐵” !計算方法的兩重性 數(shù)學(xué)建模 算法設(shè)計 軟件研制 應(yīng)用數(shù)學(xué) 計算數(shù)學(xué) 計算機科學(xué) 計算方法 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)的交叉學(xué)科 兼有兩者的基本特征 數(shù)學(xué)的抽象性 嚴密性 數(shù)學(xué)的近似計算方法 計算機科學(xué)的實踐性 技術(shù)性 數(shù)值算法的設(shè)計與分析數(shù)值算法的設(shè)計與分析 立足于數(shù)學(xué)思維 面向計算

12、機 面向科學(xué)計算化難為易的化歸策略匈牙利 Rozsa Peter 他們不是對問題實行正面的攻擊 而是不斷的將它變形 直到把它轉(zhuǎn)化為易于求解的問題 化歸策略基本點 難解問題 化歸化歸 為 易解問題 問題問題*解答解答*映射反演難易徐利治 關(guān)系映射反演原理 幾何定理的機械化證明建立坐標(biāo)系 列方程聯(lián)立方程組有唯一解 故三高交于一點1230lxblyxacalyxbc213lllaobxcy三角形三高交于一點 解題步驟 1 幾何問題代數(shù)化 2 求解代數(shù)方程 吳文俊 如果真能做到有效的機械化 為幾何巨廈添磚加瓦 從此就用不著天才那樣的人物了任給三角形列出三高方程式證三高交于一點證三高交于一點聯(lián)立方程組有

13、唯一解聯(lián)立方程組有唯一解（建立坐標(biāo)系）難易 幾何命題 代數(shù)解法 數(shù)學(xué)機械化 會通古今 熔鑄中外 笛卡兒 萬能法則 1 實際問題化歸為數(shù)學(xué)問題 2 數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題 3 代數(shù)問題化歸為解方程 數(shù)學(xué)萬能 計算機萬能 中華數(shù)學(xué)的傳承 數(shù)學(xué)研究的兩大活動中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思維體系 寓 理 于 算 理 推理 理論 算 演算 算法中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要特色 機 械 化吳文俊 數(shù)學(xué)機械化方法是中國古代先哲思想體系的直接繼承定理證明方程求解源頭古希臘中國典范幾何原本歐幾里德九章算術(shù)注魏晉 劉徽研究成果定理算法學(xué)術(shù)體系公理化 理論體系機械化 算法體系計算方法的化歸策略 吳文俊 微積分的機械化大概要花三百年 計算數(shù)學(xué)是機械化的數(shù)學(xué) 數(shù)值微積分本質(zhì)上是微積分方法的機械化 化歸策略的基本思想 化難為易 數(shù)學(xué)問題代數(shù)化 代數(shù)問題遞推化微分方程差分格式 求離散化 插值或擬合難易 y xny數(shù)值算法設(shè)計 追求簡易 陳 省 身 數(shù)學(xué)的目的是簡單性 愛因斯坦 深邃思想的實質(zhì)在于簡單性 他說 “大自然希望簡單的東西” 周易論“簡易” 易則易知 簡則易從 易知則有親 易從則有功 有親則可久 有功則可大 可久則賢人