高一培訓(xùn)平面向量及其線性運(yùn)算

1、高一培訓(xùn)平面向量及其線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義自主梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量的定義：既有_又有_的量叫做向量（2）表示方法：用 來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_叫向量的模，記作_或_(4)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是_(5)單位向量：長(zhǎng)度為_單位長(zhǎng)度的向

2、量叫做單位向量與a平行的單位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量_(7)相等向量：長(zhǎng)度_且方向_的向量2向量的加法運(yùn)算及其幾何意義（1）已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做a與b的 ，記作 ，即 =+= ，這種求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法運(yùn)算律 ab_ (交換律)；(ab)c_(結(jié)合律)3向量的減法及其幾何意義(1)相反向量 與a_、_的向

3、量，叫做a的相反向量，記作_(2)向量的減法定義aba_，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的_如圖，a，b，則 ，_.4向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作_，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|a|_；當(dāng)>0時(shí)，a與a的方向_；當(dāng)<0時(shí)，a與a的方向_；當(dāng)0時(shí)，a_.(2)運(yùn)算律設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)_.(結(jié)合律) ()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)兩個(gè)向量共線定理：向量b與a (a0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.5重要結(jié)論()G為ABC的_； 0P為ABC的_自我檢測(cè)1.（2010·四川）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中

4、點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，16，|，|則|等于 () A8B4C2D12下列四個(gè)命題：對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b (mR)，若mamb，則ab；若mana (m，nR，a0)，則mn；若ab，bc，則ac，其中正確命題的個(gè)數(shù) () A1 B2 C3 D43.在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則等于 ()AabBab CabDab4.（2010·湖北）已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m，成立，則m等于 () A2B3C4D55.（2009·安徽）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中、R，則_.

5、探究點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念辨析例1有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；向量與向量共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；如果ab，bc，那么ac.以上命題中正確的個(gè)數(shù)為 ()A1B2C3D0變式遷移1下列命題中正確的有_(填寫所有正確命題的序號(hào))|a|b|ab；若ab，bc，則ac；|a|0a0；若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則四邊形ABCD是平行四邊形探究點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算例2（2011·開封模擬）已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證：()變式遷移2（2011·深圳模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等

6、腰梯形，ABDC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知a，b，c，試用a、b、c表示，.探究點(diǎn)三共線向量問題例3 如圖所示，平行四邊形ABCD中，b，a，M為AB中點(diǎn)，N為BD靠近B的三等分點(diǎn)，求證：M、N、C三點(diǎn)共線.變式遷移3設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；（2）如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值1.若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則()如圖所示2證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線3三點(diǎn)共

7、線的性質(zhì)定理：（1）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，則.（2）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，則，且1. (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是 ()A. .D. 2.設(shè)a，b為不共線向量， a2b，4ab，5a3b，則下列關(guān)系式中正確的 ()A.B.2 C.D.23(2011·杭州模擬)設(shè)a，b是任意的兩個(gè)向量，R，給出下面四個(gè)結(jié)論：若a與b共線，則ba；若ba，則a與b共線；若ab，則a與b共線；當(dāng)b0時(shí)，a與b共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)1，使得a1b.其中正確的結(jié)論有 ()ABCD4

8、.在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿足2，則等于 ()A.bcB.cb C.bcD.bc5.（2010·廣東中山高三六校聯(lián)考）在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，2，則等于 （ ）A.B. C D二、填空題(每小題4分，共12分)6.（2009·湖南）如下圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若xy，則x_，y_.7.已知a，b，則_.8. （2011·青島模擬）O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足()，時(shí)，則·()的值為_三、解答題(共38分)9(12分)若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三

9、向量的終點(diǎn)在同一條直線上？10.(12分)在ABC中，BE與CD交于點(diǎn)P，且a，b，用a，b表示.11(14分)(2011·黃山模擬)已知點(diǎn)G是ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)（1）求；（2）若PQ過ABO的重心G，且，a，b，ma，nb，求證：3.答案 自主梳理1.（1）大小 方向 （2）有向線段 （3）長(zhǎng)度 |a|(4)任意的(5)1個(gè)±(6)相同相反非零共線向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法則(2)平行四邊形法則(3)baa(bc)3.(1)長(zhǎng)度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)

10、重心自我檢測(cè)1.2C根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算可判斷其正確；當(dāng)m0時(shí)，mamb0，但a與b不一定相等，故錯(cuò)誤；正確；由于向量相等具有傳遞性，故正確3.A 由3得433(ab)，又ab，所以(ab)ab. 4B由題目條件可知，M為ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D，則，因?yàn)锳D為中線，2m，即2m，聯(lián)立可得m3. 5 . 解析 設(shè)a，b，那么ab，ab，又ab， ()，即，.課堂活動(dòng)區(qū)例1D不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確

11、，如果b0時(shí)，則a與c不一定平行所以應(yīng)選D.變式遷移1解析模相同，方向不一定相同，故不正確；兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，正確；只有零向量的模才為0，故正確；，即模相等且方向相同，即平行四邊形對(duì)邊平行且相等故正確故應(yīng)選.例2證明方法一如圖所示，在四邊形CDEF中，0.在四邊形ABFE中，0.得()()()()0.E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，0，0.2，即()方法二取以A為起點(diǎn)的向量，應(yīng)用三角形法則求證E為AD的中點(diǎn)，.F是BC的中點(diǎn)，（)又，（)（)（)（)即（)變式遷移2 解 例3證明 在ABD中. 因?yàn)閍, b，所以ba.由共線向量定理知：，又與有公共點(diǎn)C，M

12、、N、C三點(diǎn)共線變式遷移3 （1）證明e1e2，3e12e2，8e12e2，e1e23e12e24e1e2（8e12e2) 與共線又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線（2）（e1e2)（2e13e2) 3e12e2，A、C、D三點(diǎn)共線，與共線從而存在實(shí)數(shù)使得 即3e12e2(2e1ke2)由平面向量的基本定理得解之，得k的值為.課后練習(xí)區(qū)1B由減法的三角形法則知.3D題目考查兩向量共線的充要條件，此定理應(yīng)把握好兩點(diǎn)：(1)與相乘的向量為非零向量，(2)存在且唯一故正確 5. 61 解析作DFAB交AB的延長(zhǎng)線于F，設(shè)ABAC1BCDE，DEB60°，BD.由DBF45°，得DFBF×，所以，所以（）.7.aba(ba)ab.80 解析 由()，得（)，即點(diǎn)P為ABC中BC邊的中點(diǎn)，0. ·()·00.9解 設(shè)a，tb，(ab)，ab， tba.要使A、B、C三點(diǎn)共線，只需，即abtba，(11分)當(dāng)t時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上10解取AE的三等分點(diǎn)M，使