2003～2004學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》期末考試試題B卷及答案(216學(xué)時)

1、2 26 ( , , d 1 f (x, y) 二、（12 分）設(shè)函數(shù)2003 2004 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題 b 卷（216 學(xué)時）專業(yè)班級學(xué)號姓名一、填空題（每小題 4 分，共 24 分）1、 （）已知axy 3 y 2 cos x dx 1 by sin x 3x 2 y 2 dy 為某個二元函數(shù)f (x, y) 的全微分，則a 和b 的值分別是。a 2 和 2 b2 和 2 c 3 和 3 d3 和 3 2、 （） 曲面z sin x sin y sin(x y) 上點 3 ) 處的法線與xoy 面交角的正弦值為：a. b. 13 26 6 3 4 13 1 c.d. 13

2、 3、 （）lin 1 ex2 y 2 cos(x y)dxdy r 0 r 2 a. b. 1c. 1d. 12x 2 y 2 z 2 16 4、 （）母線平行于x 軸且通過曲線x 2 y 2 z 2 0 的柱面方程是a. 3x 2 2z 2 16 c. x 2 2 y 2 16 b. 3y 2 z 2 16 d. 3y 2 z 16 5、 （）累次積分2 dcosf (r cos , r sin )rdr 可寫成。a.0dy0y y 20 f (x, y)dx b.1 1 y 2dy 0 f (x, y)dx c.dx0 f (x, y)dy d.1 dx xx20 0 f (x, y)d

3、y 6、 （ 1） （）級數(shù)n 1 a(0,4) (x 2)2nn4n的收斂域為：b. (0,4 c.0,4) d.0,4 (x 2 y 2 ) sin0, 1 ,x 2 y 2x 2 y 2 0 x 2 y 2 0 ，問在原點(0,0) 處：（ 1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在？（2）偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說明理由。y 三 、（6 分）設(shè)z f (x, y, u) xy xf (u) ，其中f 為可微函數(shù)，且u ，x z z 試證明：x x y y z xy 。3 26 26 1 0 0 1 0 n 1 四 、（6 分）設(shè)d 是矩形域：0 x ，0 y ，計算二重積分maxx, ysin x

4、sin ydxdy ；d五 、（10 分）將函數(shù)f (x)2x， （1x1）展成以2 為周期的傅立葉級數(shù)，并用之1求級數(shù)2 的和。n 1 六 、（12 分）設(shè) f (u) 連續(xù)， f (t) gt z 2 f (x 2 y 2 )dv ，其中g(shù) : 0 z h, x 2 y 2 t 2 ，求df0 f (xt)dx 及l(fā)im 。t dt t 0t七 、（8 分）求微分方程y 4 y 4 y 3e2 x 的通解；八 、（12 分）已知平面兩定點a(1,3) ，b(4,2) 。試在方程為x9 的橢圓周上求一點c ，使abc 的面積最大？y 24 1（x 0, y 0 ）九 、（10 分）計算：i

5、f (x, y, z) xdydz 2 f (x, y, z) ydzdx f (x, y, z) zdxdy ，其中f (x, y, z) 為連續(xù)函數(shù)，為平面x y z 1 在第 4 卦限部分的上側(cè)。2 22xyx 2003 2004 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題 b 卷答案一、選擇題（每小題3 分，共24 分）1、b；2、 a;3、c;4、b；5、d；6、 a；f (x,0) f (0,0) 二、解由于f x (0,0) lim lim x sin 2 0 ，同理f y (0,0) 0 ，所以x0 x x0 x在原點處偏導(dǎo)數(shù)f x (0,0) ，f y (0,0) 存在，并且易求得函數(shù)

6、的偏導(dǎo)數(shù)為2x sin1 2 x cos1 , x 2 y 2 0 f x (x, y) 0, x2y 2x2y 2x2y 2x 2 y 2 0 ，同樣有2 y sin 1 2 y cos1 ,x 2 y 2 0 f y (x, y) 0, x2y 2x2y 2x2y 2x 2 y 2 0 ，故兩偏導(dǎo)數(shù)均存在。從上面f x (x, y) 的表達式容易看出，當(dāng)(x, y) 沿直線y x 趨于原點時，極限lim f (x, y) lim2x sin 11 cos 1 不存在。y x xx0 x0 2x 2 2x 2x 2 同理lim f y (x, y) 不存在，故偏導(dǎo)數(shù)fx (x, y) ，f

7、y (x, y) 在原點不連續(xù)。y x x0 也可這樣說明不連續(xù)：令 y 0 ，x 1 2k，k ，則f x (x, y) 2 ，故f x (x, y) 在原點不連續(xù)。同理f y (x, y) 在原點不連續(xù)。注意到z f (0,0)x f (0,0)y (x 2 y 2 ) sin1 ，y ( x 2 y 2 ) sin1 有l(wèi)im x0 y0 且dz (0,0) 0 。x2y 2 lim x0 y0 x 2 y 2 s i n1 x2y2 0 ，故f (x, y) 在原點可微，z df u df y y df 三、證x y f (u) x du x y f (u) x du x 2 y f

8、(u) x du ；z x x df u x x df 1 x df ， 故y du y du x du x z y z xy xf (u) y df xy y df 2xy xf (u) z xy x y du du x y 四、解： maxx, ysin x sin ydxdy d 5 2 dx x sin x sin ydy dy 0 0 0 0y sin x sin ydx 五、解解因為f (x) 是 1,1 上的偶函數(shù)，所以有1 a0 2 0 (2 x)dx 5 a 2 1 (2 x) cos xdx 2(cos n1) ， （n 1,2, ）n 0 n22 bn 0 ， （n 1,

9、2, ）2kx 2 y 21 1 2利用收斂定理，有2 x 5 2(cos n1) cos(n x) 5 4cos(2n 1) x 2 n 1 n22 2 2 n 0 (2n 1)2在上式兩端令x 0 ，得5 4 1 1 22 2 2 (2n 1)2 ，即(2n 1)2 8 。1 1n 0 1n 0 2 1 1 又n2(2n 1)2 (2n)2 84 n2 ，由此可得n 1 n 0 n 1 n 1 1 2。六、解解采用柱面坐標(biāo)系，則2t hn 1 n 2 62 2 th3 2 f (t) 0d0 rdr0 zf (r ) dz20 3hf (r ) rdr ，df h3 2 h 2 2 于是

10、2dt 3 hf (t ) t 2 ht3f (t )。1 t 0lim t 0f (xt)dx t 2 lim t 00 f (u)du t 3 lim t 0f (t) 3t 2h 2 2 f (t) 2 ht3f (t )1 h 2 = lim limhf (0)。t 06tt 06t3 3 七、解題設(shè)方程的特征方程為2 4 4 0 解出 2 ，故齊次微分方程的通解為y c e2 x c xe2 x其中c1 , c2 為任意常數(shù)。因為 2 是二重根，故設(shè)題給方程的一個特解為y* ax 2 e2 x ，得( y* ) ( ax 2 e2 x ) ( ax 2 ) e2 x ax 2 (e2

11、 x ) 2 a(x x 2 )e2 x( y * ) 2 a(x x 2 )e2 x 2 a(x x 2 ) e2 x 2 a(x x 2 )(e2 x ) 2 a(1 2x)e2 x 4 a(x x 2 )e2 x 2 a(1 4x 2x 2 )e2 x代入題給方程得2 a(1 4x 2x 2 )e2 x 42 a(x x 2 )e2 x 4 ax 2 e2 x 3e2 x即2 ae2 x 3e2 x ，得a 3 。2 由此得方程的通解為 y 3 x 2 e2 x c e2 x c xe2 x 。2 1 2 八、解如圖7 1 所示，設(shè)橢圓周上一點c(x, y) ，因直線ab 方程為x 3y

12、 10 0 ，1 點c 到ab 的距離為 d ， ab ，從而 sabcx 3y 10 2 所求問題實為函數(shù) f (x, y) (x 3y 10)2x 2 y 2x 2在條件9 y 24 1下的極值問題。作拉格朗日函數(shù)f (x, y) (x 3y 10) 9 1，解方程組4 f 2(x 3y 10) 2x 0 x 9 3 4 fy 6(x 3y 10) y 0 2 x 2 y 2 ，得駐點, ，5 5 f1 0 94 y4此時 sabc 3 4 3 10 1.646 。, 5 5 由幾何問題的實際意義，所求點可能為點d(3,0) 和e(0,2) ，因sabcd3.5，sabce 2 ，比較得取c(3,0) o 時， sabc c 3.5 為最大。圖 71 九、解由于f (x, y, z) 未知，無法直接計算積分，因積分曲面只是平面的一部分，也不能用高斯公式?？梢钥紤]兩類曲面積分之間的關(guān)系。由于x y z 1 的上側(cè)的法線方向向量為1, 1,1，可得方向余弦為從而原積分可轉(zhuǎn)化為：cos1 ， cos 3 1 ， cos13 3 i f (x, y