高等數(shù)學習題詳解-第6章-定積分(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習題6-11 利用定積分的幾何意義求定積分：(1) ； (2) 解 (1) 根據(jù)定然積分的幾何意義知, 表示由直線及軸所圍的三角形的面積,而此三角形面積為1,所以(2) 根據(jù)定積分的幾何意義知,表示由曲線及軸所圍成的圓的面積,而此圓面積為,所以.2 根據(jù)定積分的性質(zhì)，比較積分值的大?。?1) 與； (2) 與解 (1) 當時,即,又,所以(2) 令,因,所以,從而,說明，所以.3 估計下列各積分值的范圍：(1) ； (2) ；(3) （)； (4) 解 (1) 在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)，故在1,4上的最大值,最小值,所以,即 (2) 令,則,當時,從而在上是增函數(shù),從而

2、f(x)在上的最大值,最小值,所以即 (3) 令,則,令得駐點，又，,a>0時, ,故在上的最大值，最小值,所以.(4) 令,則,令得駐點,又,從而在上的最大值,最小值,所以習題6-21 求下列導(dǎo)數(shù)：(1) ; (2) ；(3) ; (4) ()解(1) .(2) .(3) .(4) .2 求下列極限：(1) ； (2) 解 (1) (2) 3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得: , ，又由已知方程有,即，即,于是有4 計算下列定積分：(1) ； (2) ；(3) 設(shè)，求(4) 解(1) .(2) (3) (4) 5設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),；證明：在內(nèi)有證明 由已

3、知條件可知結(jié)論成立習題 6-31 計算下列積分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) 解 (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) 令，則，當時，；當時，；于是 (8) 令,則,當時，；當時,；于是 (9) 令，則，當時，;；當時,；于是 (10) 2 計算下列定積分：(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 解 (1) (2) (3) (4) (5) 于是 (6) (7) (8) 所以 3 利用被積函數(shù)的奇偶性計算下列積分：(1) ； （2）(3) ;

4、(4) 解 (1)是奇函數(shù)，(2)是奇函數(shù)，因此(3) (4) 4 證明下列等式：(1) 證明：；(2) 證明： ()；(3) 設(shè)是定義在區(qū)間上的周期為的連續(xù)函數(shù)，則對任意，有證 (1)令，則，當時，；當時，；于是，即(2) 令則，于是，即(3) 因為，而故4 若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)證 令若為奇函數(shù)，則，令，可得,所以是偶函數(shù)若為偶函數(shù)，則，令，可得,所以是奇函數(shù)5 利用分部積分公式證明：證令則,則 習題6-41 求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積：(1) 與；(2) 與及；(3) 與；(4) 與及；(5) 與及；(6) 與；(7) 與；(8

5、) 與解 (1)兩曲線的交點為，取為積分變量，面積元素，于是所求的面積為(2) 曲線與的交點坐標， 與的交點為，取為積分變量，面積元素；于是所求面積為(3)曲線與的交點為，取為積分變量，面積元素，于是所求的面積為(4) 曲線與的交點為；與的交點為；它們所圍圖形面積為：(5) 曲線與的交點為(1,1)，與的交點為；取積分變量，面積元素，于是所求的面積為(6) 曲線與的交點為，取作積分變量，面積元素，于是所求的面積為(7) 曲線與的交點，取作積分變量,，面積元素，于是所求圖形的面積為(8)取作積分變量，面積元素，于是所求的面積為2 求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定坐標軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：(1

6、) ，繞軸；(2) 軸，分別繞軸與軸；(3) ，繞y軸；(4) ，繞軸解 (1)取作積分變量，體積元素，于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為(2)繞軸旋轉(zhuǎn)時，取作積分變量，體積元素，于是；同理可求平面圖形繞旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積(3)曲線與的交點為，取作積分變量，體積元素，于是所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為(4) 取作積分變量，體積元素，于是所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為3設(shè)某企業(yè)邊際成本是產(chǎn)量（單位）的函數(shù)（萬元單位），其固定成本為（萬元），求總成本函數(shù)解 總成本函數(shù)為4設(shè)某產(chǎn)品的邊際收益是產(chǎn)量（單位）的函數(shù)（元單位），試求總收益函數(shù)與需求函數(shù)解總收益函數(shù)為需求函數(shù)為5已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時間(單位：月)的函數(shù)，問：第一

7、個月和第二個月的總產(chǎn)量各是多少?解 設(shè)產(chǎn)品總產(chǎn)量為,則,第一個月的總產(chǎn)量第二個月的總產(chǎn)量為6某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品(百臺)的總成本(萬元)的變化率為(設(shè)固定成本為零)，總收益(萬元)的變化率為產(chǎn)量(百臺)的函數(shù)問：(1) 生產(chǎn)量為多少時，總利潤最大?最大利潤為多少?(2) 在利潤最大的基礎(chǔ)上又多生產(chǎn)了臺，總利潤減少了多少?解(1)總利潤當即即,(百臺)時,總利潤最大，此時的總成本和總收益分別為總利潤(萬元).即當產(chǎn)量為(百臺)時,總利潤最大，最大利潤是6.25萬元(2)在利潤最大的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺,此時產(chǎn)量為3百臺,總成本，總收入，總利潤為(萬元)減少了萬元即在利潤最大的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了臺時,總利潤

8、減少了萬元習題 6-51 判斷下列反常積分的斂散性，若收斂，則求其值：(1) ； (2)；(3) (0); (4);(5) ； (6) ；(7) ； (8)；(9) ； (10)解(1) 此反常積分收斂(2) 此反常積分發(fā)散(3) 此反常積分收斂(4) 不存在，此反常積分發(fā)散(5) 此反常積分收斂(6) 此反常積分收斂(7) 此反常積分收斂(8) ，所以此反常積分收斂(9) 此反常積分收斂(10) ，因為反常積分發(fā)散，所以反常積分發(fā)散2 當k為何值時，反常積分收斂?當k為何值時，這反常積分發(fā)散?解當時， ,發(fā)散.當時,所以，當時，此廣義積分收斂；當時，此廣義積分發(fā)散3 利用遞推公式計算反常積分

9、解 ,因為 ,所以 .復(fù)習題6（A）1、 求下列積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；(9) ； (10) ；(11) ； (12) 解 (1) 因為被積函數(shù)是奇函數(shù),所以(2) ，令，則；當時，；當時，；所以(3) 令，則，當時，；當時，；所以(4) 令，則，當時，；當時，；所以(5) 令，則，當時，；當時，；所以(6) 令，則，當時，；當時，；所以(7) (8) (9) (10) ，所以(11) (12) 令，可得所以2、設(shè)在上連續(xù)，且，求解令，則，當時，；當時，；所以3、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試證明：證用分部積分法，4、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試證明：證，令，則所

10、以5、計算下列反常積分：（1）； （2）；（3）； （4）解 (1) (2) .(3) (4) 6、求拋物線及其在點處的法線所圍成的平面圖形的面積解 拋物線在點處的法線方程為，兩曲線的交點為；取作積分變量，所求的平面圖形面積為7、求由曲線與直線軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解曲線與直線的交點為，取作積分變量，體積元素于是，所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為8、設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本為（萬元/臺），其中代表產(chǎn)量，固定成本（萬元），邊際收益（萬元/臺）試求： (1) 總成本函數(shù)和總收益函數(shù)； (2) 獲得最大利潤時的產(chǎn)量； (3) 從最大利潤時的產(chǎn)量又生產(chǎn)了臺，總利潤的變化解 (1)總成本函數(shù)，總收益函數(shù)(2

11、)利潤函數(shù)，令,得(臺)，而，所以當產(chǎn)量(臺)時，利潤最大(3)，所以從最大利潤時的產(chǎn)量又生產(chǎn)了臺，總利潤減少了（萬元） (B)1、填空題：(1) .(2) 設(shè)連續(xù)，則 .(3) .(4) 設(shè)連續(xù)，則 .(5) 設(shè),則 .(6) 設(shè)連續(xù)，且，,則 . (7) 設(shè)連續(xù)，且,則 .(8) .解 (1) . (2) . (3) 令,則所以 . (4)令 則所以 (5) ，而，所以 (6) 等式兩邊在區(qū)間積分得，所以 (7)令，則，于是原等式化為兩邊對求導(dǎo)在上式中，令，得 (8) 2、計算下列積分：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) ，其中解(1) .(2) 令，則(3) 令，則，當時，；當時，；于是 .(4) 由題設(shè)有，用分部積分法得3、設(shè)，求解等式兩邊在區(qū)間上積分得 解得4、求函數(shù)的極