功率譜密度(PPT課件)

1、1dt) t (se022/t2/t2tdt) t (st1limp22/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc31000)sincos()(nnntnbtnaatf2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)

2、(tttjndtetstjnc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc10)cos()(nnntnctfdtetftfeftftttjnntjnnn22100)(1)()(21sin)(21cos000000tjntjntjntjneetneetn4)()(limtftftt2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjncdedtetftftjt

3、j)(21)(52/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjncde )(f21) t (ftjdte ) t (f)(ftj62/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc 2/2/00

4、000)(1)(tttjndtetstjncd| )(f|21dt) t (f2-272/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjncdf)f (ed)(e21edf)f (pd)(p21p8設(shè)一個(gè)能量信號(hào)設(shè)一個(gè)能量信號(hào)s(t)的能量為的能量為e，則其能量由下式?jīng)Q定：，則其能量由下式?jīng)Q定：若此信號(hào)的頻譜密度，為若此信號(hào)的頻譜密度，為s(f)，則由巴塞伐爾定理得知：

5、，則由巴塞伐爾定理得知：上式中上式中|s(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號(hào)能量。上式可以改寫為：信號(hào)能量。上式可以改寫為：式中，式中，g(f) |s(f)|2 （j / hz） 為能量譜密度。為能量譜密度。g(f)的性質(zhì)：因的性質(zhì)：因s(t)是實(shí)函數(shù)，故是實(shí)函數(shù)，故|s(f)|2 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，dttse)(2dffsdttse22)()(dffge)(0)(2dffge9令令s(t)的截短信號(hào)為的截短信號(hào)為st(t)，-t/2 t t/2，則有，則有定義功率譜密度為：定義功率譜密度為：得到信號(hào)功率：得到信號(hào)功率：dffsdtt

6、setttttt2/2/22/2/2)()(2)(1lim)(fstfpttdffpdffstptttt)()(1lim2/2/210 c(jn 0)是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)， c(jn 0) = |cn|ej n式中，式中，|cn| 頻率為頻率為nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 頻率為頻率為nf0的分量的相位。的分量的相位。信號(hào)信號(hào)s(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示法：的傅里葉級(jí)數(shù)表示法：2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/2/00000)(1)(tttjndtetstj

7、nc 2/2/00000)(1)(tttjndtetstjnc2/t2/ttjn00000dte) t ( st1)jn(cntjn00e)jn(c) t ( s11【例【例2.1】 試求周期性方波的頻譜特性。試求周期性方波的頻譜特性。解：設(shè)一周期性方波的周期為解：設(shè)一周期性方波的周期為t，寬度為，寬度為 ，幅度為，幅度為v求頻譜特性：求頻譜特性： t)tt ( f) t ( f) 2/t(t2/02/t2/v) t ( f2nsintnv2jneetvejnvt1dtvet1)jn(c0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn0000012頻譜圖頻譜圖13解：設(shè)此信號(hào)的表示式為解：

8、設(shè)此信號(hào)的表示式為求頻譜：求頻譜：信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式：信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/00) 14(2)sin()(1)(000ndtetdtetstjncntjtttjn1f(t)tnntjentf221412)(14設(shè)一能量信號(hào)為設(shè)一能量信號(hào)為s(t)，則其頻譜密度為：，則其頻譜密度為：s( )的逆變換為原信號(hào)：的逆變換為原信號(hào)：【例【例2.3】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度?！吭嚽笠粋€(gè)矩形脈沖的頻譜密度。 解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：dtets

9、stj)()(dteststj)()(2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjeejdteg15解：抽樣函數(shù)的定義是解：抽樣函數(shù)的定義是而而sa(tsa(t) )的頻譜密度為：的頻譜密度為：和上例比較可知，和上例比較可知，sa(tsa(t) )的波形和上例中的的波形和上例中的g( ( ) )曲線相同，曲線相同，而而sa(tsa(t) )的頻譜密度的頻譜密度sa(sa( ) )的曲線和上例中的的曲線和上例中的g(tg(t) )波形相同。波形相同。 解：單位沖激函數(shù)常簡稱為解：單位沖激函數(shù)常簡稱為 函數(shù)，其定義是：函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：的頻譜密度

10、：ttsin) t (sa其他處011sin)(dtettsatj00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj16 及其頻譜密度的曲線：及其頻譜密度的曲線： 函數(shù)的物理意義：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。用抽樣函數(shù)用抽樣函數(shù)sa(t)表示表示 函數(shù)：函數(shù)：sa(tsa(t) )有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)當(dāng)當(dāng) k k 時(shí)，振幅時(shí)，振幅 ， 波形的零點(diǎn)間隔波形的零點(diǎn)間隔 0 0，故有故有 1)(dtktsakt)(lim)(ktsaktkf(f)10t(t)017解：設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為解：設(shè)一個(gè)余弦波的表示

11、式為f (t) = cos 0t，則其頻譜密，則其頻譜密度度f( )按式按式(2.2-10)計(jì)算，可以寫為計(jì)算，可以寫為參照式參照式(2.2-7)，上式可以改寫為，上式可以改寫為引入引入 (t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號(hào)上。，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號(hào)上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0sasadtteftj)()()(00ft000(b) 頻譜密度(a) 波形18dttstsr)()()(2/2/)()(1lim)(tttdttststr19令令x = t + ，則，則 ,)()()(2112dtts

12、tsr2/2/2112,)()(1lim)(tttdttststr)()(1221 rr)()()()()()()()(1221121221rdxxsxsdxxsxsdttstsr20l隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)a的隨機(jī)結(jié)果用的隨機(jī)結(jié)果用x表示，則稱此表示，則稱此x為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。例如，在一定時(shí)間內(nèi)。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。l隨機(jī)變量的分布函數(shù)：隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義：定義：fx(x) = p(x x)性質(zhì)：性質(zhì)： p(a x b) + p(x

13、a) = p(x b),p(a x b) = p(x b) p(x a)， p(a x b) = fx(b) fx(a) 21離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：n設(shè)設(shè)x的取值為：的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分，其取值的概率分別為別為p1, p2, , pi, , pn，則有，則有p (x x1) = 0,p(x xn) = 1p(x xi) = p(x = x1) + p(x = x2) + + p(x = xi), n性質(zhì)：性質(zhì)：p fx(- ) = 0p fx(+ ) = 1p 若若x1 x2，則有，則有: fx(x1) fx(x2) ，為單調(diào)增函數(shù)。為單調(diào)

14、增函數(shù)。nikikxxxxxxpxxxf10)(111122連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)：連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)：當(dāng)當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義 fx(x) = p(x x)可知，可知， fx(x) 為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：23l連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度px (x)px (x)的定義：的定義：px (x)的意義：的意義：npx (x)是是fx (x)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是fx (x)曲線的斜率曲線的斜率n能夠從能夠從px (x)求出求出p(a 0，為常數(shù)。，為常數(shù)。概率密度曲線：概率密度曲線：0)exp(2)(2xaxaxxpx28若

15、若x和和y互相獨(dú)立，且互相獨(dú)立，且e(x)和和e(y)存在。存在。dxxxpxex)()(cce)()()()(yexeyxe)()()()(2121nnxexexexxxe)()(xecxce)()()(yexexye ce(x)e(cx)29l定義：定義：式中，式中，方差的改寫：方差的改寫：證：證：對(duì)于離散隨機(jī)變量，對(duì)于離散隨機(jī)變量，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，l性質(zhì)：性質(zhì)：d( c ) = 0d(x+c)=d(x)，d(cx)=c2d(x)d(x+y)=d(x)+d(y)d(x1 + x2 + + xn)=d(x1) + d(x2) + + d(xn)()(22xxexdx的數(shù)學(xué)

16、期望標(biāo)準(zhǔn)偏差，xxx22)(xxxd2222222222)(xxxxxxxxxexxeiiipxxxd2)()(dxxpxxxdx)()()(230dxxpaxaxexkk)()()(dxxpxxmxkk)()(xa dxxpxxxmxkk)()()()()(1xexm22)()(xxdxm31lx(a, t) 事件事件a的全部可能的全部可能“實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)”的總體；的總體；lx(ai, t) 事件事件a的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，為確定的時(shí)間函數(shù)；的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，為確定的時(shí)間函數(shù)；lx(a, tk) 在給定時(shí)刻在給定時(shí)刻tk上的函數(shù)值。上的函數(shù)值。簡記：簡記： x(a, t) x(t) x(ai, t) xi (t)

17、l例：接收機(jī)噪聲例：接收機(jī)噪聲l隨機(jī)過程的數(shù)字特征：隨機(jī)過程的數(shù)字特征：統(tǒng)計(jì)平均值：統(tǒng)計(jì)平均值：方差：方差：自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：)()()(ixxitmdxxxptxei2)()()(iiitxetxetxd)()(),(2121txtxettrx32l隨機(jī)過程的概率分布隨機(jī)過程的概率分布 ：一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)：一維分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：f1(x1，t1) = p(t1)x1一維概率密度函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：f1(x1，t1) =d f1(x1，t1)/dx1一般情況下用一維分布函數(shù)描述隨機(jī)過程的完整統(tǒng)計(jì)特性一般情況下用一維分布函數(shù)描述隨機(jī)過程

18、的完整統(tǒng)計(jì)特性是極不充分。是極不充分。n維分布函數(shù)和維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)：定義見定義見p14，公式，公式2.22。n越大，越大，n維分布函數(shù)或維分布函數(shù)或n維概率密度函數(shù)描述隨機(jī)過程就維概率密度函數(shù)描述隨機(jī)過程就越充分。越充分。33l平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。（又稱嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程）（又稱嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程）l廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。l廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)：廣義平穩(wěn)

19、隨機(jī)過程的性質(zhì)： l嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，廣義嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。常數(shù)xm ex(t) 常數(shù)22x)t (xe) t (xe)t (xd21tt)(r )t -(tr )t ,(trx21x21x34各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計(jì)平均值各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計(jì)平均值mx：各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)rx( ):一個(gè)隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨一個(gè)隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定具有各態(tài)歷

20、經(jīng)機(jī)過程。但是，嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。性。2/2/)(1limttitxdttxtm2/2/)()(1lim)(ttiitxdttxtxtr35l穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性：穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號(hào)和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。假設(shè)信號(hào)和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。一階原點(diǎn)矩一階原點(diǎn)矩mx = ex(t) 是信號(hào)的直流分量；是信號(hào)的直流分量；階原點(diǎn)矩的平方階原點(diǎn)矩的平方mx 2 是信號(hào)直流分量的歸一化功率；是信號(hào)直流分量的歸一化功率；二階原點(diǎn)矩二階原點(diǎn)矩e x 2( t ) 是信號(hào)歸一化平均功率；是信號(hào)歸一化平均功率；二階原點(diǎn)矩的平方根二階原點(diǎn)矩的平方根e x 2(t)1/2 是信

21、號(hào)電流或電壓的是信號(hào)電流或電壓的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；二階中心矩二階中心矩 x2 是信號(hào)交流分量的歸一化平均功率是信號(hào)交流分量的歸一化平均功率;若若mx = mx 2 = 0，則，則 x2 = e x 2( t ) ；標(biāo)準(zhǔn)偏離標(biāo)準(zhǔn)偏離 x 是信號(hào)交流分量的均方根值；是信號(hào)交流分量的均方根值； 若若mx = 0，則，則 x就是信號(hào)的均方根值就是信號(hào)的均方根值36l功率頻譜密度的性質(zhì)功率頻譜密度的性質(zhì) 復(fù)習(xí)：確知信號(hào)的功率譜密度：復(fù)習(xí)：確知信號(hào)的功率譜密度：類似地，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為：類似地，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為：n平均功率：平均功率：xptxer)()0(2)()

22、( rr)0()(rr)()(2txer2)()0(xrrtfsfptt2)(lim)(tfsefpefpttx2)(lim)()(dftfsedffppttxx)(lim)(237)()(| )(|)()()()()(21)()()(21)()(21)()()()()(2)()(erfffrdeffrddtetffrdtdeftfrdttftfrjtjtj)()(| )(|1lim)()(1lim)()()(1lim)(2prftfftrdttftftrttt382| )(|1lim)(ftpttffefpefptttx)| )(|lim)()(239lpx(f )的性質(zhì)：的性質(zhì)：px(f

23、) 0, 并且并且px(f )是實(shí)函數(shù)。是實(shí)函數(shù)。px(f ) px(-f )，即，即px(f )是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。 【例【例2.7】設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)x(t)，如圖所示，其振幅如圖所示，其振幅為為+a或或-a；在時(shí)間；在時(shí)間 t 內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)k服從泊松分布服從泊松分布 式中，式中， 是單位時(shí)間內(nèi)振幅的是單位時(shí)間內(nèi)振幅的符號(hào)改變的平均次數(shù)。符號(hào)改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)試求其相關(guān)函數(shù)r( )和功率譜密度和功率譜密度p(f)。derfpjx)()(dfefprjx)()(0,!)()(kketkptk+a-ax(t)tt0t-40解：解：由

24、圖可以看出，乘積由圖可以看出，乘積x(t)x(t- )只有兩種可能取值：只有兩種可能取值：a2, 或或 -a2。因此，式。因此，式可以化簡為：可以化簡為： r( ) = a2 a2出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率式中，式中，“出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布可以按上述泊松分布 p(k)計(jì)算。計(jì)算。若在若在 秒內(nèi)秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn) + a2;若在若在 秒內(nèi)秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn) - a2。因此，因此，用用 代替泊松分布式中的代替泊松分布式中的t，得到，得到)t (

25、x )t ( xe)(r) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22pppapppatxtxer222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaear41由于在泊松分布中由于在泊松分布中 是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù)數(shù)。所是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù)數(shù)。所以，在上式中當(dāng)以，在上式中當(dāng) 取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫成取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫成 將上兩式合并，最后得到：將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度其功率譜密度p( f )可以由其自相關(guān)函數(shù)可以由其自相關(guān)函數(shù)r( )的傅里葉變換求的傅里葉變換求出：出：p( f )和和r( )的曲線：的曲線：22)(ear22)(ear

26、4)()(22202202222adeeadeeadeeaderfpjjjj42一維高斯過程的概率密度：一維高斯過程的概率密度：式中，式中，a = ex(t) 為均值為均值 2 = ex(t) - a2 為方差為方差 為標(biāo)準(zhǔn)偏差為標(biāo)準(zhǔn)偏差高斯過程是平穩(wěn)過程，故高斯過程是平穩(wěn)過程，故其概率密度其概率密度px (x, t1)與與t1無關(guān)，無關(guān)，即，即， px (x, t1) px (x)px (x)的曲線：的曲線：2212exp21),(axtxpx43高斯過程的嚴(yán)格定義：任意高斯過程的嚴(yán)格定義：任意n維聯(lián)合概率密度滿足：維聯(lián)合概率密度滿足：式中，式中，ak為為xk的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）；的數(shù)學(xué)

27、期望（統(tǒng)計(jì)平均值）； k為為xk的標(biāo)準(zhǔn)偏差；的標(biāo)準(zhǔn)偏差； |b|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|b|jk為行列式為行列式|b|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子；的代數(shù)余因子； bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即njnkkkkjjjjknnnnxaxaxbbbtttxxxp112/1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbb kjkkjjjkaxaxeb44px (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)僅由各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望僅由各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望ai、標(biāo)準(zhǔn)偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差 i和歸一化協(xié)

28、方差和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個(gè)廣義決定，因此它是一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程若若x1, x2, , xn等兩兩之間互不相關(guān)等兩兩之間互不相關(guān) ，則有當(dāng)，則有當(dāng) j k 時(shí)，時(shí)，bjk = 0。這時(shí)，。這時(shí)，即，此即，此n維聯(lián)合概率密度等于各個(gè)一維概率密度的乘積。維聯(lián)合概率密度等于各個(gè)一維概率密度的乘積。若兩個(gè)隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者若兩個(gè)隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相互不相關(guān)關(guān)；若兩個(gè)隨機(jī)變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率；若兩個(gè)隨機(jī)變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者密度之積，則稱為兩者互相獨(dú)立互相獨(dú)立?；ゲ幌嚓P(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變。

29、互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量不一定互相獨(dú)立?；ハ嗒?dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量則一定互不量不一定互相獨(dú)立?；ハ嗒?dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量則一定互不相關(guān)。相關(guān)。高斯過程的隨機(jī)變量之間既互不相關(guān)，又互相獨(dú)立。高斯過程的隨機(jī)變量之間既互不相關(guān)，又互相獨(dú)立。),(),(),(2exp21),;,(22112212121nnxxxkkknkknnxtxptxptxpaxtttxxxp45l正態(tài)概率密度的性質(zhì)正態(tài)概率密度的性質(zhì)p(x)對(duì)稱于直線對(duì)稱于直線 x = a，即有：，即有：p(x)在區(qū)間在區(qū)間(- , a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a, )內(nèi)單調(diào)下降，內(nèi)單調(diào)下降，并且在點(diǎn)并且在點(diǎn)a處達(dá)到其極大值處達(dá)到其極大值當(dāng)

30、當(dāng)x - 或或 x + 時(shí)，時(shí)，p(x) 0。 若若a = 0, = 1，則稱這種分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：，則稱這種分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：)()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)()(2exp21)(2xxp46l正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)此積分不易計(jì)算，通常用查表方法計(jì)算。此積分不易計(jì)算，通常用查表方法計(jì)算。 axdzazdzazxfxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(247誤差函數(shù)定義：誤差函數(shù)定義：補(bǔ)誤差函數(shù)定義：補(bǔ)誤差函數(shù)定義：正態(tài)分布表

31、示法：正態(tài)分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)(1)(0axaxerfcaxaxerfxf,2211,22121)(48頻率近似為fc隨機(jī)過程的頻帶寬度為隨機(jī)過程的頻帶寬度為 f，中心頻率為，中心頻率為fc。若。若 f fc，則稱此隨機(jī)過程為窄帶隨機(jī)過程。則稱此隨機(jī)過程為窄帶隨機(jī)過程。 波形和頻譜：波形和頻譜：49表示式表示式式中，式中，ax(t) 窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)；窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)； x(t) 窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位；窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位； 0 正弦波的角頻率。正弦波的角頻率。上式可以改寫為：上式可以改寫為：式中，式中， x

32、 (t)的同相分量的同相分量 x (t)的正交分量的正交分量00)t (a),t (tcos)t (a)t (xxxxtsin)t (xtcos)t (x)t (xsc00)(cos)()(ttatxxxc)(sin)()(ttatxxxs50lxc(t)和和xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望ex(t) = exc(t) cosct xs(t) sinct =exc(t) cosct exs(t) sinct如果如果x(t)是平穩(wěn)的，且是平穩(wěn)的，且ex(t) = 0exc(t) = 0，exs(t) = 051lxc(t)和和xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函

33、數(shù)rx(t，t +) = ex(t)x(t +) = exc(t) cosct xs(t) sinct xc(t +) cosc(t +)xs(t +) sinc(t +) = rc(t，t +)cosct cosc(t +) rcs(t，t +) cosct sinc(t +) rsc(t，t +) sinctcosc(t +) + rs(t，t +)sinctsinc(t +)x(t)是平穩(wěn)的，則上式的右邊與時(shí)間是平穩(wěn)的，則上式的右邊與時(shí)間t無關(guān)，令無關(guān)，令t = 0，則，則rx() = rc() coscrcs() sinc同理，令同理，令t = /2c，得，得rx() = rs() c

34、osc+ rsc() sinc可以得到，如果可以得到，如果x(t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則xc(t) xs(t)也是寬平穩(wěn)的，且也是寬平穩(wěn)的，且rc() = rs()rcs() = rsc()52lxc(t)和和xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有rcs() = rsc()rsc() = rsc()，即，即rsc()為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，rsc(0) = 0同理可證明：同理可證明：rcs() = 0即：即：rx(0) = rc(0) = rs(0)，繼而可推出：，繼而可推出：x2 =c2=s2又又 t = t1 = 0時(shí)，時(shí)，x(

35、t) =xc(t1) t = t2 = /2c，x(t) =xs(t2) xc(t1)，xs(t2)是高斯隨機(jī)變量，可以證明是高斯隨機(jī)變量，可以證明xc(t)，xs(t)也是高也是高斯過程斯過程53lxc(t)和和xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：xc(t)，xs(t)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)2exp21)(f2c2cccxx2exp21)(f2s2sssxx2exp21)(f )(f),(f22s2c2scscxxxxxxxx54lxc(t)和和xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：設(shè)設(shè)x(t)是一個(gè)均值為是一個(gè)均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則xc(t)和和xs(t)也是

36、高斯過程；也是高斯過程； xc(t)和和xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于x(t)的方差的方差在同一時(shí)刻上得到的在同一時(shí)刻上得到的xc和和xs是不相關(guān)的和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。是不相關(guān)的和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。55lax(t)和和 x(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：ax(t)和和x(t)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)xsxsxcxcxxxxjxxxxxxxaaajcossinsincos56lax(t)和和 x(t)的統(tǒng)計(jì)特性：的統(tǒng)計(jì)特性：f(ax，x) = axf(xc，xs)根據(jù)概率論中的邊際分布知識(shí)，可求得根據(jù)概率論中的邊際分布知識(shí)，可求得f(ax) 和和f(x)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程包絡(luò)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過

37、程包絡(luò)ax(t)的概率密度等于：的概率密度等于：稱該函數(shù)的分布為瑞利分布。稱該函數(shù)的分布為瑞利分布。窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程相位窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程相位 x(t)的概率密度等于：的概率密度等于：02exp),()(222xxxxxxxxaaadafap2021),()(xxxxxdaafp2aexp2a222xxxx57l理想的寬帶過程理想的寬帶過程白噪聲白噪聲功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱之為白噪功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱之為白噪聲。即：聲。即：px() = n0/2(n0為常數(shù)，為常數(shù)，w/hz)；自相關(guān)函數(shù)為：；自相關(guān)函數(shù)為：r() = (n0/2)()特點(diǎn)：自相關(guān)函

38、數(shù)僅在特點(diǎn)：自相關(guān)函數(shù)僅在= 0時(shí)不為時(shí)不為0，此時(shí)才相關(guān)，在任意，此時(shí)才相關(guān)，在任意兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。)(22)()(00ndfendfefprjjxpn(f)n0/20frn()n0/2058l帶限白噪聲帶限白噪聲白噪聲被限制在白噪聲被限制在(-f0，f0)之內(nèi)，在該頻率區(qū)上有之內(nèi)，在該頻率區(qū)上有px() = n0/2，在該區(qū)間外在該區(qū)間外px() = 0，稱為帶限白噪聲。，稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲的功率譜密度：帶限白噪聲的功率譜密度：設(shè)白噪聲的頻帶限制在設(shè)白噪聲的頻帶限制在(-fh, fh)之間，則有之間，則有 pn(f) = n0 / 2

39、,-fh f fh= 0,其他處其他處其自相關(guān)函數(shù)為：其自相關(guān)函數(shù)為：曲線：曲線：00ff000020sin2)(nfdfenrfjn0/2pn(f)0f-fhfhrn()01/2fh-1/2fh59)()cos()(0tntatrttyattxatrttyttxtatrtntatr000000sin)(sincos)(cos)(sin)(cos)()cos()()()cos()(6022)(sin)(cos)(tyatxatz)asinz()acosz(21exp21)z(f )z(f)z,z(f2s2c22scsc61式中，式中， 2 n(t)的方差；的方差； i0( ) 零階修正貝塞爾函

40、數(shù)。零階修正貝塞爾函數(shù)。upr(x) 稱為廣義瑞利分布，或稱萊斯稱為廣義瑞利分布，或稱萊斯(rice)分布。分布。pr(x) 變成瑞利概率密度。變成瑞利概率密度。0,21exp)(222202xaxaxixxpr)(2azcosaz21exp2z),(| ),(),(2222zzzfjzzfzfscsc62式中，式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位的相位，包括正弦波的相位 和噪聲的相位和噪聲的相位 pr( / ) 給定給定 的條件下，的條件下， r( t )的相位的條件概率密度的相位的條件概率密度l當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)，時(shí)，式中，式中，2/12222/1222cos1sin2exp22cos

41、22/exp)/(aerfaaapr dppprrr/)(2020exp)(1 12exp21)0/(222ggerfgapr2cosag gtdtegerf022)(63瑞利分布r概率密度包絡(luò)r(a) 萊斯分布包絡(luò)的概率密度均勻相位相 位概率密度(b) 萊斯分布相位的概率密度l當(dāng)當(dāng)a/ = 0時(shí)，時(shí)，包絡(luò)包絡(luò)瑞利分布瑞利分布相位相位均勻分布均勻分布l當(dāng)當(dāng)a/ 很大時(shí)，很大時(shí)，包絡(luò)包絡(luò)正態(tài)分布正態(tài)分布相位相位沖激函數(shù)沖激函數(shù)64為為xi(t)時(shí)，輸出為時(shí)，輸出為yi(t)，則當(dāng)輸入，則當(dāng)輸入為為 時(shí)，輸出為：時(shí)，輸出為：式中，式中，a1和和a2均為任意常數(shù)。均為任意常數(shù)。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyaty65h(t) 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) x(t) 輸入信號(hào)波形輸入信號(hào)波形 y(t) 輸出信號(hào)波形輸出信號(hào)波形則有：則有：線性系統(tǒng)輸入輸出x(t)y(t)x(f)y(f)h(t)h(f)圖2.10.1 線性系統(tǒng)示意圖t(t)h(t)t00dhtxdthxthtxty)()()()()()()(dtthtth)(0,0)(對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)：對(duì)于物理可實(shí)