利用待定系數(shù)法因式分解和分式的拆分等

1、.第2講利用待定系數(shù)法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系數(shù)法運(yùn)用于因式分解、分式的拆分等問題中，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了 多項(xiàng)式的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的x=a值，都有；或者兩個(gè)多項(xiàng) 式各關(guān)于x的同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等 2. 使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組），從而使問題得到解決. 例如：“已知，求a，b，c的值”解答此題，并不困難只需將右式與左式的多項(xiàng)式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較后，就可得到a，b，c的值這里的a，b，c是有待于確定的系數(shù)，

2、這種解決問題的方法就是待定系數(shù)法3. 格式與步驟:(1)確定所求問題含待定系數(shù)的解析式.上面例題中，解析式就是： (2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程.在這一題中，恒等條件是：(3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.二、應(yīng)用舉例類型一 利用待定系數(shù)法解決因式分解問題【例題1】已知多項(xiàng)式能被整除.（1）求a，b（2）分解因式： 【答案】（1） （2）【解析】試題分析：（1）由條件可知是該多項(xiàng)式的一個(gè)二次因式，而該多項(xiàng)式次數(shù)為4，故可設(shè)，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得結(jié)果試題解析：解：（1）多項(xiàng)式能被整除設(shè)，整理，得解得a、b的值分別為.（2）考點(diǎn)：1

3、.待定系數(shù)法因式分解 2.整式乘法 3.解方程組.點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法分解因式，就是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.【難度】一般【例題2】分解因式：【答案】【解析】試題分析：方法一 因?yàn)椋虼?如果多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)關(guān)于x、y的一次因式的乘積,那么設(shè)原式的分解式是,其中m、n為待定系數(shù). 然后展開，利用多項(xiàng)式的恒等，求出m、n的值.試題解析：解：，設(shè)即 對(duì)比系數(shù)，得： 由、解得： 代入式也成立.試題分析：方法二 前面同思路1，因?yàn)?/p>

4、是恒等式，所以對(duì)任意的值，等式都成立，所以給取特殊值，即可求出的值.試題解析：解：，設(shè)即  該式是恒等式，它對(duì)所有使式子有意義的x，y都成立，那么令 令 解、組成的方程組，得或把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法分解因式 2.解方程組.點(diǎn)評(píng)：本題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗(yàn).若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無(wú)解，則說(shuō)明原式不能分解成所設(shè)形成的因式.【難度】較難類型二 利用待定系數(shù)法解決分式拆分問題【例題3】 將分式拆分成兩個(gè)分式的和的形式.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，將等式右邊通分，再利用分子恒等

5、求出a、b、c的值即可.試題解析：解：設(shè)而即比較分子，得解得， .考點(diǎn)：分式的恒等變形點(diǎn)評(píng)：拆分有理真分式的時(shí)候，分母含二次項(xiàng)，則設(shè)分子為形式，分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】較難【例題4】計(jì)算： 【答案】【解析】試題分析：本題的10個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），所以我們探究其中一個(gè)分式，找到相通的規(guī)律，從而解題.試題解析：解：我們?cè)O(shè)而比較分子得：，解得： 所以所以，原式= 考點(diǎn)：分式計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：在做題的時(shí)候見到式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，可直接用公式拆分.【難度】較難類型三 利用待定系數(shù)法解決多項(xiàng)式中不含某

6、項(xiàng)問題【例題5】 已知的積中不含的二次項(xiàng)，則的值是（）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：將多項(xiàng)式展開、合并，按的降冪排列，根據(jù)積中不含的二次項(xiàng)等價(jià)于項(xiàng)的系數(shù)為零列方程即可求得的值.試題解析：解： 積中不含x的二次項(xiàng)，解得.故選C.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般三、 實(shí)戰(zhàn)演練1.若多項(xiàng)式能被整除，則.【答案】【解析】試題分析：此題可通過(guò)因式分解得到：被除式=商×除式（余式為0），其除式為試題解析：解：設(shè)原式比較系數(shù)，得：由，解得，代入得考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：此題考查知

7、識(shí)點(diǎn)是因式分解的應(yīng)用，運(yùn)用公式被除式=商×除式（余式為0）是解題關(guān)鍵.【難度】容易2. 分解因式：【答案】=【解析】試題分析：這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)之間沒有公因式也不符合乘法公式，又因?yàn)椴皇嵌稳?xiàng)式所以不適用十字相乘法；雖多于三項(xiàng)，但分組之后分解不能繼續(xù).因此，我們應(yīng)采用其他的辦法待定系數(shù)法.這是一個(gè)四次五項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)為1，尾項(xiàng)也是1，所以它可以寫成兩個(gè)二次三項(xiàng)式的積，再利用恒等式的性質(zhì)列方程組求解即可.試題解析：解：設(shè)=而解得或考點(diǎn)：待定系數(shù)法因式分解.點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法因式分解解高次多項(xiàng)式，恰當(dāng)設(shè)待定系數(shù)是關(guān)鍵.【難度】容易3.分解因式：【答案】【解析】試題分析：屬于二次六項(xiàng)

8、式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法.先分解，再設(shè)原式，展開后，利用多項(xiàng)式恒等列方程組即可求解.試題解析：方法一解：可設(shè)原式原式=即 *比較左右兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，得： 解得方法二 對(duì)于方法一中的恒等式（*）因?yàn)閷?duì)a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m、n的值.令 令 令 解、組成的方程組，得當(dāng)時(shí)，成立考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法因式分解 2.整式乘法 3.解方程組.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)雜的多項(xiàng)式分解因式，關(guān)鍵是列出恒等關(guān)系式，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值. 【難度】較難4. 已知表示關(guān)于x的一個(gè)五次多項(xiàng)式，若，求的值.【答案】【解析】試題分析

9、：因?yàn)?，所以這個(gè)多項(xiàng)式中必有因式，而四個(gè)因式的乘積為四次多項(xiàng)式，故原多項(xiàng)式可以分解為以上四項(xiàng)因式的乘積以及還有一項(xiàng)一次因式的乘積，故式的乘積，故這個(gè)多項(xiàng)式可以設(shè)為，利用待定系數(shù)法求出a、b的值最后代入原多項(xiàng)式，即可求出的值.試題解析：解：，設(shè)由，可得方程組 解得： 考點(diǎn)：1.解二元一次方程組 2.多項(xiàng)式變形點(diǎn)評(píng)：此題考查了解二元一次方程組以及多項(xiàng)式的變形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.【難度】較難5.為何值時(shí)，多項(xiàng)式能被整除？【答案】，【解析】試題分析：由于多項(xiàng)式能被整除，可設(shè)商為，再利用逆運(yùn)算，除式×商式=被除式，利用等式的對(duì)應(yīng)相等，可求出.試題解析：解：設(shè)原式= = =對(duì)比系數(shù)，得：解

10、得：故，.考點(diǎn)：整式的除法點(diǎn)評(píng)：本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式往往可轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.【難度】一般6.若多項(xiàng)式能被和整除，那么.該多項(xiàng)式因式分解為：. 【答案】【解析】試題分析：因?yàn)槎囗?xiàng)式能被和整除，則說(shuō)明和都是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，故設(shè)，展開即可求解.試題解析：解：設(shè) 對(duì)比系數(shù)，得：解得:故,，多項(xiàng)式因式分解為：考點(diǎn)：整式除法與因式分解點(diǎn)評(píng)：本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思就是B是A的因式7. 分解因式：【答案】【解析】試題分析：本題是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之積.試題解析：解：設(shè)由恒等性質(zhì)有

11、：解得：，代入中，成立. 說(shuō)明：若設(shè)由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程無(wú)解，故考點(diǎn)：因式分解應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)恰當(dāng)將多項(xiàng)式設(shè)成含待定系數(shù)的多項(xiàng)式的積的形式是解題的關(guān)鍵.【難度】較難8. 在關(guān)于的二次三項(xiàng)式中，當(dāng)，其值為0；當(dāng)時(shí)，其值為0；當(dāng)時(shí)，其值為10，求這個(gè)二次三項(xiàng)式.【答案】【解析】試題分析：思路1 先設(shè)出關(guān)于的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式，然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)?？煽紤]利用恒等式的性質(zhì)。試題解析：解：法1 先設(shè)出關(guān)于的二次三項(xiàng)式，把已知條件分別代入，得，解得故所求的二次三項(xiàng)式為思路2 根據(jù)已知時(shí)，其值為0這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為，然后求出的值.法2 由已知條件時(shí)，這個(gè)二次三項(xiàng)式的

12、值為0，故可設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為把代入上式，得，故所求的二次三項(xiàng)式為，即考點(diǎn)：多項(xiàng)式點(diǎn)評(píng)：選用待定系數(shù)法,利用已知條件求多項(xiàng)式是解題關(guān)鍵.【難度】一般9.已知多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)，若是奇數(shù)，證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.【答案】見解析【解析】試題分析：先設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，然后利用已知條件及其他知識(shí)推出這種分解是不可能的.試題解析：證明：比較系數(shù)得：因?yàn)槭瞧鏀?shù)，則都是奇數(shù)，那么也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出也都是奇數(shù).在式中令，得由是奇數(shù)，得是奇數(shù)。而為奇數(shù)，故是偶數(shù)，所以是偶數(shù).這樣的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的.因此題中多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)

13、多項(xiàng)式的乘積.考點(diǎn)：多項(xiàng)式除法.點(diǎn)評(píng)：所要證的命題涉及到“不能”時(shí)，常常考慮用反證法來(lái)證明.【難度】容易10.將分式拆分成兩個(gè)分式的和的形式.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：解：設(shè)而即比較分子，得解得. 考點(diǎn)：分式的恒等變形.點(diǎn)評(píng)：拆分有理真分式的時(shí)候，分母含二次項(xiàng)，則設(shè)分子為形式，分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】一般11.將分式拆分成兩個(gè)分式的和的形式.【答案】=【解析】試題分析：設(shè)=，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：方法一 解：設(shè)=而=即=比較分子，得解得. =方法二 分式還可以先變形為：易知=所以

14、=()=考點(diǎn)：分式的恒等變形.點(diǎn)評(píng)：拆分有理真分式的時(shí)候，分母含二次項(xiàng)，則設(shè)分子為Ax + B形式，分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】容易12. 計(jì)算【答案】【解析】試題分析：本題的4個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），利用，進(jìn)行拆分即可.試題解析：解：原式= = =考點(diǎn)：分式計(jì)算點(diǎn)評(píng)：利用公式拆分，是解題關(guān)鍵，而原理就是設(shè)，求出,熟練后可直接運(yùn)用公式.【難度】容易13. 將分式拆分成兩個(gè)分式的和的形式.【答案】=【解析】試題分析：設(shè)=，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：解：設(shè)=而=即=比較分子，得解得. =考點(diǎn)

15、：分式的恒等變形.點(diǎn)評(píng)：拆分有理真分式的時(shí)候，分母含二次項(xiàng)，則設(shè)分子為Ax + B形式，分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù).【難度】一般14. 將分式拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式.【答案】【解析】試題分析: 由于要將分式拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式，可設(shè)試題解析：解：由于分母為，可設(shè)對(duì)于任意x，上述等式均成立， 這樣分式被拆分成了一個(gè)整式與一個(gè)分式的和.考點(diǎn)：分式的加減法點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題關(guān)鍵.【難度】一般15.已知的計(jì)算結(jié)果中不含x3的項(xiàng)，則m的值為（）A. 3 B. -3 C. D. 0【答案】B【解析】試題分析：將多

16、項(xiàng)式展開、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x3項(xiàng)等價(jià)于x3項(xiàng)的系數(shù)為零列方程即可求得m的值.試題解析：方法一解：結(jié)果中不含x3的項(xiàng)，解得.故選B.方法二由于x3項(xiàng)可由x項(xiàng)與x2項(xiàng)相乘或x3與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，故展開式中只需計(jì)算x項(xiàng)乘以x2項(xiàng)及x3乘以常數(shù)項(xiàng)即可.解：又結(jié)果中不含的項(xiàng)，解得.故選B.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法.點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般16. 如果的乘積中不含項(xiàng)，則a為(     )A. 5 B. C. D. 5【答案】B【解析】試題分析：將多項(xiàng)式展開、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x2項(xiàng)等價(jià)

17、于x2項(xiàng)的系數(shù)為零列方程即可求得a的值.試題解析：解：原式.不含項(xiàng)，.解得.故選B.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般17.若的乘積中不含y的一次項(xiàng)，則a的值為（）A. 7 B. -7 C. 0 D. 14【答案】A【解析】試題分析：先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開，并且把a(bǔ)看作常數(shù)，合并關(guān)于y的同類項(xiàng)，令y的系數(shù)為0，得出關(guān)于a的方程，求出a的值試題解析：解：.又乘積中不含y的一次項(xiàng)，. 解得a=7故選A.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的

18、值.【難度】一般18.要使與關(guān)于的二項(xiàng)式的積中不含x的二次項(xiàng)，則【答案】【解析】試題分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，可得整式，根據(jù)整式不含二次項(xiàng)，可得關(guān)于的二元一次方程，根據(jù)等式性質(zhì)，可得答案.試題解析：解： 兩邊都除以2b得：故答案為：.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.點(diǎn)評(píng)：本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，利用了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，整式不含二次項(xiàng)，得出關(guān)于的二元一次方程是解題關(guān)鍵.【難度】一般19. 若的乘積中不含x2和x項(xiàng)，則p，q的值分別是多少？【答案】，【解析】試題分析：將多項(xiàng)式展開、合并，按x降冪排列，根據(jù)不含x2和x項(xiàng)，則x2項(xiàng)和x項(xiàng)的系數(shù)為零，從而列出關(guān)于p，q的方程組，解之即可求得p，q的值.試題解析：解:,由不含x2和x項(xiàng)，得：解得： 考點(diǎn)：1.多項(xiàng)式乘法 2.二元一次方程組.點(diǎn)評(píng)：此題考查了多項(xiàng)式的乘法以及解二元一次方程組，利用了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，整式不含x2和x項(xiàng)，得出關(guān)于的二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵.【難度】一般20.已知中不含x的一次項(xiàng)，求p的值.一變：已知，求a，k的值.二變：k是什么數(shù)時(shí)，可以寫成的形式？【答案】；一變：；二變：.【解析】試題分析：將多項(xiàng)式展開、合并，