高等數學教學課件：Lecture 38-Reducible Higher Order Ordinary Differential Equations

1、復習復習齊次方程齊次方程齊次方程的解法齊次方程的解法可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程d().dyyfxx .yux 令令化為可分離變量的方程然后求解化為可分離變量的方程然后求解.xXhyYk 令令其它情況其它情況, 令令 .zaxby化為齊次方程化為齊次方程;111d()dyaxbycfxa xb yc d( )( )dnyP x yQ x yx(0,1)n 伯努利方程伯努利方程1,nzy 令令d(1) ( )(1) ( )dzn P x yn Q xx化為線性方程化為線性方程 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程注意用變量代換將方程化為已知類型的方程d( )( )dyP x yQ

2、xx一階線性微分方程一階線性微分方程 的通解的通解: :( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC 三三、 型型的微分方程的微分方程 可降階高階微分方程可降階高階微分方程 第五節(jié)第五節(jié)一、一、 型型的微分方程的微分方程 ( )( )nyf x 二二、 型型的微分方程的微分方程 ( ,)yf x y ( ,)yf y y 一、一、 型型微分方程微分方程( )( )nyf x 微分方程微分方程( )( )nyf x (1)1( )d,nyf xxC (2)12( )dd;nyf xxCxC 222131sin.8xyexC xC xC例例1.2cos .xyex 211sin,2x

3、yexC 2121cos,4xyexC xC 以此繼續(xù)，便得到含有以此繼續(xù)，便得到含有n個任意常數的通解個任意常數的通解.解：解：二、二、 型型微分方程微分方程( ,)yf x y 特點特點：不顯含未知函數：不顯含未知函數 y令令,yP 則則d,dPyPx代入原方程代入原方程, 得得( ,).Pf x P 1( ,),Px C 求得求得1d ( ,),dyx Cx 即即積分積分可可得得通解通解12( ,)d.yx CxC 解法：解法：例例2. 求解求解200(1)21,3.xxxyxyyy 方程為方程為 型型( ,)yf x y 解：解：令令,yP 則則d,dPyPx代入方程，得代入方程，得2

4、d(1)2dPxxPx2d2d ,1PxxPx 21lnln(1)PxC21(1),PCx于是于是),1(21xCy 1033xyC 2 3(1)yx 323,yxxC201 1,xyC 為所求特解為所求特解.331yxx解法：解法：),()1()()( nknyyxfy一般地，對于一般地，對于 型方程型方程 特點特點：不顯含未知函數：不顯含未知函數(1) ,.kyyy 及及( )( ),kyP x 令令(1)( )(),.knn kyPyP 則則代入原方程代入原方程，得，得()(1)( ,( ),( ).n kn kPf x P xPx 的的 階階方程方程( )P x()nk ( )P x求

5、出求出 . 將將 連續(xù)積分連續(xù)積分 次，即次，即可得到通解可得到通解. .( )( )kyP x k例例3. 求方程求方程 的通解的通解.(5)(4)0 xyy解：解：代入原代入原方程方程,得到得到(5)( ).yP x 則則(4)( ),yP x 令令0,xPP 0P （）解線性方程，得到解線性方程，得到1,PC x (4)1,yC x 即即兩端積分，得到：兩端積分，得到：2121,2yC xC , 53231245,12062CCCyxxxC xC53212345yd xd xd xd xd原方程通解為：原方程通解為：三、三、 型型微分方程微分方程( ,)yf y y 特點：特點：右端不顯

6、含自變量右端不顯含自變量 . x解法：解法：,yp 令令ddd,dddpypypyxy 則則代入原方程代入原方程, 得得關于關于 y, p 的的一階方程一階方程d( , ).dppf y py 1( ,),py C 求得求得1d( ,),dyy Cx 即即21,( ,)yxCy C 積分，積分，可得通解可得通解.例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy,yp 令令ddd,dddpypypyxy 則則解：解：.12xCeCy 積分得積分得原方程原方程通解為通解為代入原方程得代入原方程得 2d0,dpy ppyd()0,dpp ypy即：即：d0dpypy1,pC y即：即：1ddyC y

7、x 例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy解解法二法二：兩端同乘非零因子兩端同乘非零因子 得到：得到： 21,y22d()0,dyyyyyxy 1,yCy 即：即：1ddyC yx .12xCeCy 積分得積分得原方程原方程通解為通解為注意注意:這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關鍵是配導數的方程關鍵是配導數的方程.恰當導數方程恰當導數方程 例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy解解法三法三：兩端同除以兩端同除以 得到：得到： ,yy 兩邊積分兩邊積分,得得,yyyy 1lnlnlnyyC 即：即：1ddyC yx .12xCeCy 積分得積分得原方程原方程通解為通解為例

8、例5. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy,yp 令令ddd,dddpypypyxy 則則解：解：212.yC xC積分得積分得原方程通解為原方程通解為代入原方程得代入原方程得 d()0dpp ypyd0dpypy1Cpy即：即：1d.dCyxy 注意：本題也可直接配導數的方程注意：本題也可直接配導數的方程()0.yy |Cepy例例6. 解初值問題解初值問題解解:200e00 , 1yxxyyy 代入方程得代入方程得根據根據初始條件初始條件,dedyypx得得( ),yp y 令令d,dpypy 則則2de dyp py 22111e22ypC10,C 根據根據0010,yxpy 積分得

9、積分得2e,yxC 故所求特解為故所求特解為1eyx 21C 00 xy 提高題：提高題：設函數設函數 二階可導二階可導, 且且( ) (0)y xx ( )0,y x (0)1,y 過曲線過曲線 上任一點上任一點 作該曲線作該曲線( )yy x ( , )P x y的切線及的切線及 x 軸的垂線，軸的垂線， 上述兩直線與上述兩直線與 x 軸圍成的三軸圍成的三角形面積記為角形面積記為 區(qū)間區(qū)間 上以上以 為曲邊的曲為曲邊的曲 邊梯形的面積記為邊梯形的面積記為 且且 求求( )y x( ).y x1221,SS2,S1,S0, x( 1999 考研考研 )yP1xxy2S1S 211cot2Sy

10、 22yy 20( )dxSy tt 1221SS20 ( )d1xyy tty 兩邊對兩邊對x 求導求導, 得得2()yyy (0)1,(0)1yy 定解條件為：定解條件為：.12xCeCy 由例由例 4 知，知， 原方程原方程通解為通解為利用定解條件得利用定解條件得.xye yP1xxy2S1S 211cot2Sy 22yy 20( )dxSy tt 內容小結內容小結可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 通過引入變換進行降階通過引入變換進行降階( )1.( )nyf x 2.( ,)yf x y 令令( ) ,yp x 3.( ,)yf y y 令令( ) ,yp y ddpyx 則則

11、ddpypy 則則逐次積分逐次積分但但有時有時用后者方便用后者方便.注意：注意： 對于方程對于方程(),yf y 令令( )yp x 或或( )yp y 均可均可. 一般來說一般來說, 用前者方便些用前者方便些. 3()yyy 例如例如, 本次作業(yè)的本次作業(yè)的 1(10):一般情況下，解二階可降階微分方程初值問題一般情況下，解二階可降階微分方程初值問題 時，時，邊解邊定常數計算簡便，遇到開平方時邊解邊定常數計算簡便，遇到開平方時, 要根據題要根據題意確定正負號意確定正負號.高階線性微分方程高階線性微分方程 第六節(jié)第六節(jié)二、線性齊次方程解的結構二、線性齊次方程解的結構 三、線性非齊次方程解的結構

12、三、線性非齊次方程解的結構 *四、降階法與常數變易法四、降階法與常數變易法 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 解解:受力分析受力分析xxo一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 置置附近作上下振動附近作上下振動. 例例: 設有設有一彈簧下掛一重物質量一彈簧下掛一重物質量為為m, 如果如果使使物體具物體具有初始有初始速度速度 物體將離開物體將離開平衡位置平衡位置, 并并在平衡位在平衡位00,v ( )xx t 試確定物體的振動規(guī)律試確定物體的振動規(guī)律1. 恢復力恢復力;fcx d;dxRt 2. 阻阻力力 ,Fma 22dd ,ddxxmcxtt 物體自由振動的微分方程

13、物體自由振動的微分方程強迫振動的強迫振動的方程方程串聯電路的振蕩方程串聯電路的振蕩方程222dd20ddxxnk xtt22dd2sind1dccmcuuELcutttLLCLCR 222dd2sinddxxnk xhptttsin,Fhpt 鉛直干擾力鉛直干擾力二階線性微分方程二階線性微分方程稱為線性齊次微分方程稱為線性齊次微分方程稱為線性非齊次微分方程稱為線性非齊次微分方程n 階階線性微分方程線性微分方程22dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx( )(1)11( )( )( )( ).nnnnyP x yPx yP x yf x 當當 時，時，( )0f x 當當 時，

14、時，( )0f x 二、線性齊次方程的解的結構二、線性齊次方程的解的結構( )( )0(1)yP x yQ x y定理定理1 如果函數如果函數與與是方程是方程(1)的兩的兩個個解解,也是也是(1)的的解解.那么那么1( )y x2( )yx1122yC yC y12,CC為常數為常數,問題問題:1122yC yC y一定是通解嗎？一定是通解嗎？對于二對于二階線性微分方程階線性微分方程故它們在任何區(qū)間故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關上都線性相關.個不全為零的常數，個不全為零的常數，定義定義：設：設為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 內內的的 個函個函 數數, 如果如果存在存在 區(qū)間區(qū)間內時有恒等式成立內

15、時有恒等式成立 使使得當得當 在該在該12,nyyyInnx11220nnk yk yk yIn個函數在區(qū)間個函數在區(qū)間 那么稱這那么稱這 內內 線性相關線性相關In否則稱這否則稱這線性無關線性無關.個函數在區(qū)間個函數在區(qū)間 內內nI例如，例如， 在在( , )上都有上都有221, cos, sinxx221cossin0 xx則根據二次多項式至多只有兩個零點可知則根據二次多項式至多只有兩個零點可知,特別地特別地:又如，又如，21,x x若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上21230,kk xk x必需全為必需全為 0 ,123,kkk在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都線性無關上都線性無關.2 1,x

16、x若若 中中有一個恒為有一個恒為 0, 12( ),( )y xyx必線性必線性 相關相關12( ),( )y xyx則則 若在若在 I 上有上有常數常數12( )( )y xyx 在在 I 上上線性無關線性無關.則則1( ),y x2( )yx推論推論. 的的 n 個線性無關解個線性無關解, 為任意常數為任意常數, 則方程的通解為則方程的通解為若若 是是 n 階齊次方程階齊次方程 12,nyyy( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y 11.nnyC yC y,1,2,kCkn 定理定理2：如果：如果與與是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程1( )y x2(

17、)yx( )( )0yP x yQ x y的兩個線性無關的的兩個線性無關的 特解特解, 即為即為該該方程的方程的通解通解.1122yC yC y為任意常數為任意常數, 那么那么 12,C C例如例如0,yy 12cos ,sin ,yxyx21 tanyxy常數常數,12 cossinyCxCx為該方程的通解為該方程的通解.例如例如(4)0,yy1234cos , sin , , , xxyxyxyeye 1342 cossinxxyCCxCCexe 為該方程的通解為該方程的通解.三、非齊次線性方程的解的結構三、非齊次線性方程的解的結構:定理定理3*y是二階非齊次線性是二階非齊次線性方程方程的

18、一個特解的一個特解, ( )( )( )yP x yQ x yf x設設Y 是二階是二階齊次線性方程齊次線性方程( )( )0yP x yQ x y的通解；的通解；為為該二該二階非齊次線性階非齊次線性微分方程的通解微分方程的通解.則則*yYy定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程. 定理定理4的的特解特解.是方程是方程則則*1nkkyy 1( )( )mkkyP x yQ xfxy 的特解的特解, ( )( )( ) ( =1,2,)kyP x yQ x yfxkm*ky分別是分別是方程方程 設設 (非齊次方程解的疊加原理非齊次方程解的疊加原理)因

19、此該方程的通解為因此該方程的通解為例如例如, 方程方程有特解有特解yyx 1*yx 方程方程有特解有特解2xyye 2*xye 則則 是方程是方程 的特解，的特解， *xyxe2 xyyxe 對應齊次方程對應齊次方程有通解有通解0yy 12cossinYCxCx12cossin2xyCxCxxe11122*( )( )( )( )nnknkyC y xC yxCyxyx 則非齊次方程則非齊次方程(2)的通解為的通解為定理定理給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程( )(1)11( ) (2) ( )( ) mknknnya x yax yfx 設設 是是對應齊次方程的對應齊次方程的 n

20、 個個12( ),( ),( )ny xyxyx線性無關特解線性無關特解, 的特解，的特解， 是是非非齊次方程齊次方程*( )kyx( )(1)1( )( )( )nnnkya x yaxfxy ( )( )Y xyx 常數常數, 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( )設線性無關函數設線性無關函數都是二階非齊都是二階非齊次線次線性性方程方程 的的解解, 是任意是任意123,yyy( )( )( )yP x yQ x yf x12,C C例例1.D11223(A);C yC yy1122123(B)();C yC yCCy1122123(C)(1);C yC yCCy1122123(D)(1)

21、.C yC yCCy解解: :因而線性無關因而線性無關, 故原方程通解為故原方程通解為 已知微分方程已知微分方程有三個解有三個解求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件的特解的特解.( )( )( )yP x yQ x yf x2123,e ,e,xxyx yy(0)1,(0)3yy 例例2.是對應齊次方程的解是對應齊次方程的解,2131yyyy與常數常數且且21231eexxyyxyyx 212(e)(e)xxyCxCx x(0)1,(0)3yy 121,2,CC 故所求特解為故所求特解為22ee .xxy *四、常數變易法四、常數變易法復習復習: 常數變易法常數變易法: ( )( )yp

22、x yf x 對應齊次方程的通解對應齊次方程的通解: 1( )yC y x 1( )d( )ep xxy x 設非齊次方程的解為設非齊次方程的解為 1( )( )yC x y x 代入原方程確定代入原方程確定 ( ).C x對二階非齊次方程對二階非齊次方程 情形情形1. 已知已知對應齊次方程通解對應齊次方程通解: 設設(3)的解為的解為 (3) 由于有兩個待定函數由于有兩個待定函數, 所以要建立兩個方程所以要建立兩個方程(4)( )( )( )yP x yQ x yf x1122( )( )yC y xC yx12( ) ( )yvxvx1( )y x2( )yx12( ),( )vx vx待

23、定待定1122yy vy v1122y vy v12,vv為使為使 中不含中不含y 令令1 1220y vy v(5)2222()( )yP yQy vf x1111()yP yQy v于是于是將以上結果代入方程將以上結果代入方程 (3) : 1122yy vy v1122y vy v1 1220y vy v11221122yy vy vy vy v 1 122y vy v 是對應是對應齊次方程的解齊次方程的解12,yy得得(6)1 122( )y vy vf x (5)由于由于 線性無關，可以證明線性無關，可以證明12,yy(5),(6)聯立的方程組有唯一解聯立的方程組有唯一解12,v v積

24、分得積分得: 代入代入(4) 即得非齊次方程的通解即得非齊次方程的通解: 說明說明: 將將(3)的解設為的解設為 只有一個必須滿足的條件即只有一個必須滿足的條件即因此必需因此必需再附加一個條件再附加一個條件, 方程方程(5)的的引引入可以入可以簡化簡化計算計算. 方程方程(3), 111222( ),( )vCgxvCgx11221122( )( )yC yC yy gxy gx1212( )( )( )( )yy x vxyxxv僅僅知對應齊次知對應齊次方程的一個非零特解方程的一個非零特解 1( ).y x情形情形2.對二階非齊次方程對二階非齊次方程 (3) ( )( )( )yP x yQ

25、 x yf x1( )( ),yu x y x 設設代入代入(3) 化簡得化簡得111(2)y uyP y u111()yPyQyuf 0zu 令令111(2( )y zyP x yzf設其通解為設其通解為 (一階線性方程一階線性方程)積分得積分得11211( )( )( )( )( ).yC y xC U x y xux y x (3)的通解為：的通解為：2( )( )zC Z xzx 12( )( )uCC U xux 解解:利用利用(5)(6)建立方程組建立方程組: 積分得積分得 1111xyyyxxx12( )e( ),xyxvxvx令令12e0 xxvv12e1xvvx121,e,xvvx 1324,(1)exvCxvCx 故所求通解為故所求通解為