直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、直線與平面垂直的判定（一）教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教材、學(xué)情及目標(biāo)分析 1、教材內(nèi)容和地位分析 垂直關(guān)系是立體兒何中的最重要的關(guān)系之一，而線面垂直是繼空間中平行關(guān)系之后緊接著 研究的線面相交位置關(guān)系中的特例，是聯(lián)系空間中直線與直線垂直和平面與平面垂直的紐帶， 是探究后續(xù)內(nèi)容空間角、距離的基礎(chǔ)。本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生體驗(yàn)感悟由特殊到一般、類比、歸納、 化歸等數(shù)學(xué)思想方法與應(yīng)用的過程， 是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力和邏輯推理能力的重要載體, 因而直線與平面垂直的判定的教學(xué)在立體兒何有著舉足輕重的作用。 本節(jié)課的內(nèi)容包含直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分內(nèi)容。其中直線與平面垂直的 定義是判定直線與平面垂直的最基本方法

2、和性質(zhì)，是探究判定定理的基礎(chǔ)；而直線與平面垂直 的判定定理充分體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，蘊(yùn)含了平面化，降維，化歸等數(shù)學(xué)思 想。類比線面平行的研究為，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出 空間直線與平面垂直的定義：通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理； 能運(yùn)用直線與平面垂直的定義和判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。 2、 學(xué)情分析 學(xué)生已有通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證來研究線面平行的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)空間概念建立了 一定的基礎(chǔ)，同時(shí)也有了 “通過觀察、操作并抽象概括等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會(huì)，有了一 定的兒何直觀能力、推理論證能力。但理解“平面化”

3、和“降維”的思想，會(huì)給學(xué)生造成一定 困難，而學(xué)生的能力發(fā)展雖然處于從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)折階段，但更側(cè)重形象思維。 3、 教學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義生成過程，直線與平面垂直的判定定理的探究歸納過程。 教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的定義的生成，操作確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理. 4、 教學(xué)目標(biāo) （1） 借助生活中直線與平面垂直的實(shí)例，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 的基礎(chǔ)上，能夠抽象出直線與平面垂直的定義，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)； （2） 借助折疊三角形紙片，通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定 理，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)； （3） 能運(yùn)用直線與平面

4、垂直的定義和判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題，提升 邏輯推理素養(yǎng)。 5、 教學(xué)分析過程中的困惑與突破策略 基于上述分析，困惑（1）定義教學(xué)中如何化“實(shí)”為“虛”，現(xiàn)實(shí)生活中直線與平面垂直 的情境隨處可見，怎樣突破難點(diǎn)合乎情理的化為數(shù)學(xué)抽象中的“虛”；困惑（2）定理探究中如 何“降維”， 實(shí)現(xiàn)從平面“任意”一條直線到平面內(nèi)“兩條” “相交”直線， 讓學(xué)生體會(huì)其中的 化歸思想；困惑（3）課標(biāo)對(duì)判定定理只要求通過直觀感知、操作確認(rèn)來歸納，并不進(jìn)行嚴(yán)格 的思辨論證，這與立體兒何目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰ο鄾_突，該如何化解，順 利的將直觀感知、操作確認(rèn)與思辨論證統(tǒng)一。 為解決教學(xué)分析中的

5、困惑，采取策略（1）圖片展示，將生活中的“實(shí)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言 中的虛，再將數(shù)學(xué)語言中的虛轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)抽象中的虛，即將生活中的模型（例如旗桿與底面的 位置關(guān)系）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（直線與平面的位置關(guān)系）；策略（2）采用“啟發(fā)一一探究式”教 學(xué)，借助直線與平面平行的判定定理進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生猜想；策略（3）在直觀感知、操作 確認(rèn)過程中融入思辨論證，以問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)分析。 二、教學(xué)過程 1、創(chuàng)設(shè)情境、引出課題 問題1：直線與平面有哪些位置關(guān)系？ 問題2：研究了直線與平面平行的哪些內(nèi)容？蘊(yùn)涵了哪些數(shù)學(xué)思想？ 【設(shè)計(jì)意圖】以問題串的形式復(fù)習(xí)線面關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生回憶其中蘊(yùn)含的降維、平面化、無限轉(zhuǎn) 化

6、為有限的數(shù)學(xué)思想，為本節(jié)課的研究埋下伏筆、墊定基礎(chǔ)。 問題3：同學(xué)們能舉出日常生活中呈現(xiàn)的直線與平面相交的例子嗎？ 活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖片,觀察旗桿所在直線與地面、斜塔所在直線與地面的位置關(guān)系。 思考兩個(gè)圖片所呈現(xiàn)的位置關(guān)系的有區(qū)別嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】感受“直線與平面垂直”的直觀形象，并認(rèn)識(shí)到直線與平面垂直是直線與平面相 交中的一 種 特殊 和普 遍 情形 ， 感 悟從 特 殊到 一般 的 研究 思 路。 2、定義建構(gòu) 問題4：該如何給直線和平面垂直下定義呢？ 活動(dòng)2：動(dòng)畫演示旗桿和其在地面影子的變化，觀察旗桿所在直線與影子所在直線的位置關(guān) 系。 問：旗桿AB與地面上不過旗桿底部B的直線BG的

7、位置垂直嗎？ 問：旗桿所在直線和平面內(nèi)任意一條直線垂直嗎？ 【設(shè)訃意圖】通過對(duì)動(dòng)畫的觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)到當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面內(nèi)任意直 線都垂直的事實(shí)，完成對(duì)定義必要性的剖析。其中重點(diǎn)讓學(xué)生體會(huì)直線與平面內(nèi)不過垂足的 直線也垂直。 活動(dòng)3：若鉛筆所在的直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，能判定直線與平面垂直嗎？ 若鉛筆所在的直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，能判定直線與平面垂直嗎？ （學(xué)生行為：同桌合作、用筆進(jìn)行操作，思考交流，并匯報(bào)探究結(jié)果。） 【設(shè)計(jì)意圖】在操作中融入思辨，將對(duì)定義的辨析置詢?；顒?dòng)的的在于操作確認(rèn)定義的充 分性，確認(rèn)定義的充要性，力求使定義的生成樸實(shí)自然?；顒?dòng)是對(duì)定義當(dāng)

8、中的關(guān)鍵詞辨析。 整個(gè)活動(dòng)使學(xué)生的思維主動(dòng)參與、自主探索，促進(jìn)學(xué)生思維的深度思考，鍛煉思維的嚴(yán)謹(jǐn)性而 不是被動(dòng)接受課本上的現(xiàn)成結(jié)論。借助現(xiàn)有工具的操作幫助學(xué)生建立對(duì)定義的直觀感受，提高 學(xué)生動(dòng)手能力、合作意識(shí)，而且為直線與平面的判定定理的教學(xué)埋下伏筆。 問題5：如何定義直線與平面垂直？圖形語言、符號(hào)語言分別如何表示？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生表述直線與平面垂直的定義，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、符號(hào)語言表示，并 在這個(gè)過程中及時(shí)修正學(xué)生的表述，培養(yǎng)學(xué)生不同語言之間的轉(zhuǎn)化能力。 3、直線與平面垂直的判定定理 問題6：如何判定旗桿所在的直線與水平地面是否垂直？ 問題7：能不能像判定直線與平面平行那樣，利用直線

9、與平面內(nèi)的一條直線垂直來判定直 線與平面垂直？ 問題8：能不能像判定平面與平面平行那樣，利用直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直來判定直 線與平面垂直？ 追問：如果是直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直是否能判定直線與平面垂直？ 追問：兩條相交直線是否可以判定？ 【設(shè)計(jì)意圖】引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，認(rèn)識(shí)到尋求平面與直線垂直的判定方法的重要性。再通過問 題引導(dǎo)利用類比思想，平面化的思想尋找線面垂直的判定方法，提出猜想，讓學(xué)生體會(huì)山無限 轉(zhuǎn)化為有限、降維、平面化的思想。（其中針對(duì)兩條相交直線的情形進(jìn)行折紙實(shí)驗(yàn)） 活動(dòng)4折紙?jiān)囼?yàn) 實(shí)驗(yàn)1：如圖，請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)實(shí) 驗(yàn)：過AAB

10、C的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD,將翻 折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）. 觀察并思考： （1） 折痕AD與桌面垂直嗎？ （2） 為什么AD與桌面不垂直？ 【設(shè)訃意圖】使學(xué)生認(rèn)識(shí)到折痕不垂直的原因是不符 合定義，忖前定義是判定直線與平面垂直的唯一方法，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，同時(shí)明確存在直線 與平面內(nèi)一條直線不垂直，則該直線與平面不垂直，為接下來的實(shí)驗(yàn)中的思辨論證做鋪墊。 實(shí)驗(yàn)2: （1）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？追問：為什么AD與桌面垂 直？ 【設(shè)計(jì)意圖】直觀感知直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直時(shí)直線與平面垂直，但是“猜想”仍未 得到認(rèn)證，引起學(xué)生的認(rèn)知困惑，“直

11、觀感知對(duì)嗎？ ”當(dāng)直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直時(shí)能 得到直線與平面內(nèi)任意直線垂直嗎？ ”通過問題繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生思維活動(dòng)。 實(shí)驗(yàn)3：如圖所示，當(dāng)AD丄BC時(shí)，固定折紙的ABD部分，保持BD與DC緊貼桌面，讓折紙 的CAD部分繞著AD旋轉(zhuǎn)，觀察AD的變化. 問：旋轉(zhuǎn)過程中AD是怎樣變化的，直線AD與桌面垂直嗎？ 問：翻折旋轉(zhuǎn)的過程中，哪些量變了，哪些量沒變？ 問：旋轉(zhuǎn)過程中能否保證直線AD與平面內(nèi)的所有直線都垂直？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在操作中認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)的過程中折痕AD位置未發(fā)生變化， 始終與桌面（平面）垂直，且折痕AD與桌面（平面）內(nèi)任意一條過點(diǎn)D的直線都垂直，再由 異面直線垂直的知識(shí)

12、可知，折痕AD與桌面（平面）內(nèi)任意直線都垂直，建立起判定定理與定 義之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解判定定理的本質(zhì)，深化學(xué)主對(duì)定義的理解，在操作確認(rèn)過程中達(dá) 到思辨論證的LI的。在實(shí)驗(yàn)過程中感悟數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)化”思想，提升學(xué)生的兒何直觀，邏輯推 理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 問題9：直線與平面垂直的判定定理是什么？圖形語言、符號(hào)語言分別如何表示？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納直線與平面垂直的判定方法，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、符號(hào)語言表示， 并在這個(gè)過程中及時(shí)修正學(xué)生的表述，培養(yǎng)學(xué)生不同語言之間的轉(zhuǎn)化能力，并強(qiáng)調(diào)平面內(nèi)兩條 相交直線的任意性。 活動(dòng)5：課外知識(shí)閱讀 直線與平面垂直的判定定理的證明教材并未給出嚴(yán)格的證明，LI前高

13、中課本中對(duì)定義的證明 將在后續(xù)學(xué)習(xí)選修2-1的內(nèi)容中借助空間向量給出嚴(yán)格的證明。而在18世紀(jì)-20世紀(jì)的早期 教科書中對(duì)該定理的證明主要有6種證明方法，分別為歐氏證法、勒讓德證法、等腰三角形法、 對(duì)稱法、引理法和阿達(dá)瑪證法，分屬兩個(gè)傳統(tǒng)：歐兒里得的傳統(tǒng)（證明任意直線與己知直線垂 直）以及引理法的傳統(tǒng)（垂直于己知直線的平面與已知平面重合）。詢者經(jīng)歷了山繁至簡(jiǎn)的過程: 最早的教科書作者沿用歐氏證法；接著，勒讓德創(chuàng)用的新方法取代了舊方法;然后，等腰三角 形法登上舞臺(tái)；最終，對(duì)稱法脫穎而出，一枝獨(dú)秀。 【設(shè)il噫圖】課標(biāo)中放棄了對(duì)判定定理進(jìn)行嚴(yán)格證明，雖然折紙實(shí)驗(yàn)論證了定理讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到 定理的真實(shí)性和

14、合理性，但仍未從數(shù)學(xué)語言上給出嚴(yán)格的邏輯推理論證，通過課外知識(shí)的閱讀 不僅介紹了數(shù)學(xué)史，在教學(xué)中提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，更讓學(xué)生意識(shí)到定理是能通過多種方式證 明的，給學(xué)有余力的同學(xué)提供課外探究的素材。 4、運(yùn)用定義和定理，加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。 例1：已知正方體ABCD-AC. （1） 證明：DD.丄平面?zhèn)€； （2） 證明：DD.丄 AC； （3） 證明：AC丄平面D】DBB：; （4） 證明：AC 丄 DB. 【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生熟悉的正方體為模型，設(shè)計(jì)四個(gè)問題，集中體現(xiàn)了本節(jié)課所學(xué)重點(diǎn)，使學(xué) 生能運(yùn)用定義和判定定理進(jìn)行線線垂直與線面垂直之間互相轉(zhuǎn)化，突出知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，呈 現(xiàn)嚴(yán)密的邏輯推理過程和規(guī)范的書寫表達(dá)，同時(shí)為下一個(gè)問題情境做鋪墊。 探究： 側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.在直四棱柱ABCD-ABD.當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足什么條件時(shí)，有4。丄BD,說明你的理由. 【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)解決問題的思路和方法，山已知想可知（性質(zhì)），山未知想需知（判 定），合理選擇輔助面，體會(huì)線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化思想。 練習(xí)1:在三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄BC, PA二AB, D為PB的中點(diǎn)，求證：（1）AD丄 平面 PBC； （2） AD