電子科大隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)平穩(wěn)性與功率譜密度ppt課件

1、隨機(jī)信號(hào)分析第第3章章 平穩(wěn)性與功率譜密度平穩(wěn)性與功率譜密度 第第3章章 平穩(wěn)性與功率譜密度平穩(wěn)性與功率譜密度 有一類極為重要的隨機(jī)信號(hào)，它的主要或全有一類極為重要的隨機(jī)信號(hào)，它的主要或全部統(tǒng)計(jì)特性關(guān)于參量堅(jiān)持部統(tǒng)計(jì)特性關(guān)于參量堅(jiān)持“穩(wěn)定不變，這種隨穩(wěn)定不變，這種隨機(jī)信號(hào)被稱為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。機(jī)信號(hào)被稱為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。 本章討論：本章討論： 1嚴(yán)厲與廣義平穩(wěn)性；循環(huán)平穩(wěn)性；嚴(yán)厲與廣義平穩(wěn)性；循環(huán)平穩(wěn)性； 2平穩(wěn)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義；平穩(wěn)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義； 3平穩(wěn)信號(hào)的功率譜密度與互功率譜密度；平穩(wěn)信號(hào)的功率譜密度與互功率譜密度； 4白噪聲及其實(shí)例白噪聲及其實(shí)例熱噪聲熱

2、噪聲3.1 平穩(wěn)性與結(jié)合平穩(wěn)性平穩(wěn)性與結(jié)合平穩(wěn)性 3.2* 循環(huán)平穩(wěn)性循環(huán)平穩(wěn)性3.3 平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 3.4 功率譜密度與互功率譜密度功率譜密度與互功率譜密度3.5 白噪聲與熱噪聲白噪聲與熱噪聲3.6 運(yùn)用舉例運(yùn)用舉例3.1 平穩(wěn)性與結(jié)合平穩(wěn)性平穩(wěn)性與結(jié)合平穩(wěn)性 平穩(wěn)性平穩(wěn)性StationarityStationarity: :平穩(wěn)性是指隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨察看時(shí)辰平穩(wěn)性是指隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨察看時(shí)辰t t或察看時(shí)辰組或察看時(shí)辰組t1,t2,tnt1,t2,tn平移而變化平移而變化的性質(zhì)，相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)被稱為平穩(wěn)隨機(jī)信的性質(zhì)，相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)被稱為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。號(hào)。

3、1212( ; )( ;)( )( )()( ,)(,)XXXXf x tf x tuf xmtmtuRt tRtu tu常數(shù)例：例：Strict-Sense Stationary R.S. Wide-SenseStationary R.S SSS R.S.WSS R.S.嚴(yán)格平穩(wěn)（強(qiáng)平穩(wěn),狹義平穩(wěn)）分類：廣義平穩(wěn)（弱平穩(wěn)，寬平穩(wěn)）3.1.1 嚴(yán)厲平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)嚴(yán)厲平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 12121212( ,; , , )( ,;,)XnnXnnF x xx t ttF x xx tu tutu 定義定義3.1 3.1 假設(shè)對于恣意的假設(shè)對于恣意的 ，隨機(jī)過程，隨機(jī)過程 X(t),t

4、T X(t),tT 的恣意的恣意 n n 維概率分布函數(shù)滿足維概率分布函數(shù)滿足u那么稱那么稱X(t)X(t)是嚴(yán)厲平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是嚴(yán)厲平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào), , 記作記作SSS R.SSSS R.S1. 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 SSS R.S.強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)狹義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)狹義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)也可以由概率密度來定義：嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)也可以由概率密度來定義：12121212( ,; , , )( ,;,)XnnXnnfx xx t ttfx xx tu tutu Xt1t2tnt1tu2tuntub. 時(shí)辰組平移時(shí)，時(shí)辰組間的相對位置不變，即恣時(shí)辰組平移時(shí)，時(shí)辰組間的相對位置不

5、變，即恣意意n維概率分布函數(shù)與時(shí)辰組的起始位置無關(guān)，而維概率分布函數(shù)與時(shí)辰組的起始位置無關(guān)，而只與其相對位置有關(guān)。只與其相對位置有關(guān)。留意：留意：a.a. X tX t全部統(tǒng)計(jì)特的對時(shí)刻嚴(yán)格平穩(wěn)或時(shí)刻組是位移不變性的p SSS R.S. X(t)的特性的特性( ; )( ;)( )( ; )( ;)( )F x tF x tuF xf x tf x tuf x(1) SSS R.S. X(t)的一維概率分布、密度函數(shù)與時(shí)間的一維概率分布、密度函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)；假設(shè)其均值與方差存在，它們也與時(shí)間無關(guān)；假設(shè)其均值與方差存在，它們也與時(shí)間t無無關(guān)，即：關(guān)，即： 一階平穩(wěn)一階平穩(wěn)一階密度函數(shù)平穩(wěn)性例如

6、：一階密度函數(shù)平穩(wěn)性例如：SSS.R.S由同分布隨機(jī)變量組成由同分布隨機(jī)變量組成222( )( ; )( )( )( )( )XXXXXXXE X txfx t dxxfx dxmVar X tEX tmxmfx dx均值均為均值均為0 0，均值平穩(wěn)，但各時(shí)辰的，均值平穩(wěn)，但各時(shí)辰的R.V.R.V.的分布不同?？傻姆植疾煌??？梢娨浑A平穩(wěn)一定均值平穩(wěn)，但均值平穩(wěn)不一定一階平穩(wěn)。見一階平穩(wěn)一定均值平穩(wěn)，但均值平穩(wěn)不一定一階平穩(wěn)。常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)(2) SSS R.S. X(t)的二維概率分布、密度函數(shù)與兩時(shí)辰的二維概率分布、密度函數(shù)與兩時(shí)辰組 的 絕 對 位 置組 的 絕 對 位 置 ( t 1

7、, t 2 ) 無 關(guān) ， 只 與 相 對 位 置無 關(guān) ， 只 與 相 對 位 置 有關(guān)。有關(guān)。( )121212121212( ,; , )( ,; )( ,; , )( ,; )F x x t tF x xf x x t tf x x12tt212121212121212( ,; , )( ,;,)( ,;,0)( ,; )utF x x t tF x x tu tuF x x ttF x x令證明：證明： 121212121212( , )( ,; )( )XxxRt tE X tX tx x f x xdx dxR (3) 假設(shè)假設(shè)SSS R.S. X(t)的相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、的

8、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù)存在，它們也只與兩時(shí)辰的相對位置相關(guān)系數(shù)存在，它們也只與兩時(shí)辰的相對位置 有關(guān)，而與兩時(shí)辰組的絕對位置有關(guān)，而與兩時(shí)辰組的絕對位置(t1,t2)無關(guān)。無關(guān)。12tt1221221( , )( )( , )( )( )XXXXXXXCt tCttt t 1222121( , )( , )( )XXXXXXXRt tmtCmtRmt tC2when 0 , (0)(0)XXXCRm通常通常 采用采用 的等價(jià)方式，的等價(jià)方式， 為相對時(shí)間，是中心變量，為相對時(shí)間，是中心變量，t t 稱為絕對位置。稱為絕對位置。 如：如： 12,(, )R t tR ttE X tX t

9、12,tt(, )tt12tt 2. 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 WSS R.S.定義定義3.2 3.2 假設(shè)假設(shè) R.S. R.S. 的均值和相關(guān)函的均值和相關(guān)函數(shù)存在，并且滿足：數(shù)存在，并且滿足： 均值為常數(shù)；即均值為常數(shù)；即 相關(guān)函數(shù)與兩時(shí)辰相關(guān)函數(shù)與兩時(shí)辰(t1,t2)(t1,t2)的絕對值無關(guān)，只的絕對值無關(guān)，只與相對差與相對差 有關(guān)，即有關(guān)，即12( , )(, )( )XXXRt tRttR12tt( )XE X tm常數(shù)那么稱那么稱X(t)X(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) , , 記作記作 WSS R.S.WSS R.S.( ),X t tT弱平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)弱平

10、穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)3. 嚴(yán)厲平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間關(guān)系：嚴(yán)厲平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間關(guān)系： 如果其均值與相關(guān)函數(shù)存在不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)廣義平穩(wěn) 過程 過程定理定理3.1 假設(shè)某高斯信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)，那假設(shè)某高斯信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)，那么該信號(hào)也是嚴(yán)厲平穩(wěn)信號(hào)。么該信號(hào)也是嚴(yán)厲平穩(wěn)信號(hào)。關(guān)于隨機(jī)序列的平穩(wěn)性問題，只需求將延續(xù)時(shí)關(guān)于隨機(jī)序列的平穩(wěn)性問題，只需求將延續(xù)時(shí)間變量間變量t t換為離散時(shí)間換為離散時(shí)間n nn平穩(wěn)性是隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性對參量組的挪動(dòng)不變性，平穩(wěn)性是隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性對參量組的挪動(dòng)不變性，即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的測試不受察看時(shí)辰的影響；即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的測試不受察看時(shí)辰

11、的影響；n運(yùn)用與研討最多的平穩(wěn)信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)；運(yùn)用與研討最多的平穩(wěn)信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)；n嚴(yán)厲平穩(wěn)性因要求太嚴(yán)厲平穩(wěn)性因要求太“苛刻，更多地用于實(shí)際研討中；苛刻，更多地用于實(shí)際研討中；n閱歷判據(jù)：假設(shè)產(chǎn)生與影響隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件閱歷判據(jù)：假設(shè)產(chǎn)生與影響隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件 n 不隨時(shí)間而改動(dòng)，那么通常可以以為此信號(hào)是平穩(wěn)的。不隨時(shí)間而改動(dòng)，那么通?？梢砸詾榇诵盘?hào)是平穩(wěn)的。n非平穩(wěn)信號(hào)：當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性變化比較緩慢時(shí)，在一個(gè)較短的非平穩(wěn)信號(hào)：當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性變化比較緩慢時(shí)，在一個(gè)較短的時(shí)段內(nèi)，非平穩(wěn)信號(hào)可近似為平穩(wěn)信號(hào)來處置。如語音信時(shí)段內(nèi)，非平穩(wěn)信號(hào)可近似為平穩(wěn)信號(hào)來處置。如語音信號(hào)，人們普遍實(shí)施

12、號(hào)，人們普遍實(shí)施1030ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號(hào)的的分幀，再采用平穩(wěn)信號(hào)的處置技術(shù)處理有關(guān)問題。處置技術(shù)處理有關(guān)問題。闡明：闡明：例例3.1 3.1 設(shè)獨(dú)立高斯隨機(jī)信號(hào)設(shè)獨(dú)立高斯隨機(jī)信號(hào)U(t)U(t)的一階的一階概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為其中其中a a與與為常數(shù)。試分析其平穩(wěn)性。為常數(shù)。試分析其平穩(wěn)性。 221()( ; )exp22u af u t 2,tDatmUU解：解： 故故U(t) 一階平穩(wěn)一階平穩(wěn), 依題：依題：12121122221221( , ; , , )( ; ) ( ; )( ; )()1exp22()1exp22nnnnniinniif u uu t ttf u

13、t f u tf u tuaua( ; )f u tt與 無關(guān)與與t t無關(guān)，故無關(guān)，故X(t)X(t)是是 SSS.R.S.,SSS.R.S.,又又由于由于X(t)X(t)是高斯是高斯信號(hào)，故它也是信號(hào)，故它也是WSS.R.S.WSS.R.S.普通，一階平穩(wěn)的獨(dú)立普通，一階平穩(wěn)的獨(dú)立R.S.R.S.是嚴(yán)平穩(wěn)的是嚴(yán)平穩(wěn)的R.S.R.S.例：例：熱噪聲的取樣察看值為熱噪聲的取樣察看值為 ， 是是 一隨機(jī)序列，它具有以下性質(zhì)：一隨機(jī)序列，它具有以下性質(zhì)：1 1 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；2 2 是是 分布，即每一時(shí)辰取值延分布，即每一時(shí)辰取值延續(xù)、高斯續(xù)、高斯判別判別 的平穩(wěn)性；的平穩(wěn)性； ,0, 1,

14、 2X nn X n X n X n20,N X n12212221120,nnnnE Xnnn X(n)是是Gauss.R.S. 12120,XE X nRn nE X nX n常數(shù)常數(shù)RX(n1,n2)只與其相對位置只與其相對位置n1-n2有關(guān)有關(guān) . . .X nWSS R SX nSSS R S是是解：解：1. (0,1)貝努里隨機(jī)信號(hào)貝努里隨機(jī)信號(hào) 1111221( ,; ,)( ; )( ;)(;)1mmmmmiiiF xx nnF x nF x nF x nqu xpu x( )Xm np1212212( ,)( ) ( )()R n nE X n X npq nnp常數(shù)常數(shù)R(

15、n1,n2)與與 n1,n2 的的絕對位置無關(guān)，只絕對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，與其相對位置有關(guān)，故也廣義平穩(wěn)故也廣義平穩(wěn)與與n無關(guān)，是嚴(yán)厲無關(guān)，是嚴(yán)厲平穩(wěn)信號(hào)。平穩(wěn)信號(hào)。2. 隨機(jī)正弦信號(hào)隨機(jī)正弦信號(hào) 0cos0E X tE At 12122012( , )cos()R t tE X t X tttR(t1,t2)與與 t1,t2 的絕的絕對位置無關(guān)，只與對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，其相對位置有關(guān)，故廣義平穩(wěn)故廣義平穩(wěn)常數(shù)常數(shù) ， 是確定量，是確定量， 獨(dú)獨(dú)立，立， 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的瑞利分布，的瑞利分布， 。 0( )cos()X tAt0A與2(0,2 )U A3. (-1

16、,1)3. (-1,1)半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)( )( )m tE X tpq 12121212( , )4(/) 1 41,/1 4,/R t tpqt TtTpqt TtTpqt TtT R(t1,t2)與與 t1,t2 的絕對位置有關(guān)，故非廣義平穩(wěn)的絕對位置有關(guān)，故非廣義平穩(wěn)常數(shù)常數(shù)也非嚴(yán)平穩(wěn)也非嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)卻是嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)卻是嚴(yán)平穩(wěn)的R.S.R.S.補(bǔ)充例：補(bǔ)充例： 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)X(t)=Ay(t)X(t)=Ay(t)，其中，其中A A為高斯隨為高斯隨機(jī)變量，機(jī)變量， y(t) y(t)為確定的時(shí)間函數(shù)，判別為確定的時(shí)間函數(shù)，判別X(t)

17、X(t)能否能否為為SSS.R.S.SSS.R.S.221()( )exp22Aa mf a解：解： E X tE Ay tm y t與與t有關(guān)有關(guān)故故X(t)X(t)非非 WSS.R.S.WSS.R.S.與與t有關(guān)有關(guān), ,非非 SSS.R.S.SSS.R.S.( ),( )y tkX tkA若為常數(shù)即X(t)與與t無關(guān)無關(guān),X(t)的全部概率特性不隨察看時(shí)的全部概率特性不隨察看時(shí)辰組平移而變，故辰組平移而變，故X(t)是是 SSS.R.S.( )X tkAt1111( ,; , )( ,;,)XnnXnnfxx ttfxx tutu 補(bǔ)充例：判別如下四個(gè)正弦隨機(jī)信號(hào)能否廣義平穩(wěn)？補(bǔ)充例：判

18、別如下四個(gè)正弦隨機(jī)信號(hào)能否廣義平穩(wěn)？( )cos()( )cos()( )cos()( )cos()X tatX tAtX tatX tAt , ,. .,0,2aARVU 為常數(shù)， ,為相互獨(dú)立的式中：式中：,0,U,0A 201( )cos() =cos()02E X tE atatd(1)( )cos()X tat常數(shù)常數(shù)3.2* 可證：隨機(jī)相位余弦波也是嚴(yán)平穩(wěn)的可證：隨機(jī)相位余弦波也是嚴(yán)平穩(wěn)的R.S. 212121221212212,cos()cos()cos(-)+cos(+2 )2cos2XXRt tE X t X tE attaEttttattR RX(t1,t2)與與 t1,t

19、2 的絕對位置無的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置關(guān)，只與其相對位置有關(guān)有關(guān)故，故，R.S.X(t) WSS(2)( )cos()X tAt 均值是均值是t t的函數(shù)，故的函數(shù)，故R.S.X(t)R.S.X(t)不是不是 WSSWSS的的1t2t1t ( )cos()cos()E X tE AtE AtR.S.X(t)也不是也不是 SSS的的A 0均值是均值是t t的函數(shù)，故的函數(shù)，故R.S.X(t)R.S.X(t)不是不是 WSSWSS的的(3)( )cos()X tat R.S.X(t)也不是也不是 SSS的的00( )cos()1cos()sin()|sin() sinE X tE ataa

20、tdttatt ,0,U 2020(4)( )cos()( )cos()cos()cos()cos()0212X tAtE X tE AtE A EtE Atd dE Aftfdd 常數(shù)常數(shù) 1212212212122,( ) ( )cos()cos()1cos () cos(2 )21cos2XXRt tE X t X tE AttE AEttttE A ER 故，故，R.S.X(t) WSSR.S.X(t) WSSRX(t1,t2)只與其相對位置只與其相對位置有關(guān)有關(guān) 例例3.3 3.3 廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)X(t)經(jīng)過如下圖的經(jīng)過如下圖的乘法調(diào)制器得到隨機(jī)信號(hào)乘法調(diào)制

21、器得到隨機(jī)信號(hào)Y(t)Y(t)，圖中，圖中是確定量，是確定量，是是-,+-,+均勻分布的隨機(jī)相位，均勻分布的隨機(jī)相位，與與X(t)X(t)是是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。試討論隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。試討論隨機(jī)信號(hào)Y(t)Y(t)的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。( )X t( )Y tcos()t解：由上題可知，解：由上題可知，R.S. R.S. 是是WSSWSS的的依題意：依題意：( )( )cos()Y tX tt ( ) ( )cos()1cos()02XEY tE X tEtmtdcos()t常數(shù)常數(shù)相關(guān)函數(shù)可以表示為相關(guān)函數(shù)可以表示為由于均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與由于均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，有關(guān)，Y(t)是廣義

22、是廣義平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 12, () ( ) ()cos() ( )cos() () ( )cos()cos()1( )cos()2YYXYR t tR ttEY tY tE X ttX ttE X tX tEttRR( )( )cos()Y tX tt作業(yè)：3.1 3.4 3.5 3.6補(bǔ)充例：由三個(gè)樣本函數(shù)補(bǔ)充例：由三個(gè)樣本函數(shù) 1232,2cos ,3sinx txttxtt 組成組成 R.S.R.S. X t，每個(gè)樣本發(fā)生的概率相等，每個(gè)樣本發(fā)生的概率相等. .1212;,; ,f x tf x x t t2 2 12,XE X tRt t 3 3能否廣義平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)？能否廣義平穩(wěn)和嚴(yán)

23、平穩(wěn)？求：求：1 1自學(xué)自學(xué)解解: (1) : (1) 111;22cos3sin333f x txxtxt22121212001211221122,; ,112,22cos ,2cos3313sin ,3sin3ijijijf x x t tpxa xbxxxt xtxt xt 1232,2cos ,3sinx txttxtt只看只看 ，就可以闡明，就可以闡明 非非WSS,WSS,更非更非SSS.SSS.2 2011122cos3sin333iiiE X tx ptt 221212120012121212,1112 22cos2cos3sin3sin33344coscos3sinsin33X

24、ijijijRt tE X tX tx x ptttttttt X t 1232,2cos ,3sinx txttxtt E X t3.1.2 隨機(jī)信號(hào)的結(jié)合平穩(wěn)性隨機(jī)信號(hào)的結(jié)合平穩(wěn)性1.1.結(jié)合嚴(yán)厲平穩(wěn)結(jié)合嚴(yán)厲平穩(wěn)JSSS R.S. JSSS R.S. 定義定義3.3 3.3 對于恣意的對于恣意的 ，假設(shè)隨機(jī)過程，假設(shè)隨機(jī)過程X(t) X(t) 、Y(t)Y(t)的恣意的恣意 n+m n+m 維概率分布函數(shù)滿足維概率分布函數(shù)滿足u那么稱那么稱X(t) X(t) 、Y(t)Y(t)是結(jié)合嚴(yán)厲平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。是結(jié)合嚴(yán)厲平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。11111111( , ,; , , ,)( , ,;,)XYnm

25、nmXYnmnmFxx yy tt ssFxx yy tutu susuJoint上式等同于：上式等同于：11111111( , ,; , , ,)( , ,;,)XYnmnmXYnmnmfxx yy tt ssfxx yy tutu susu 0, ( ): SSS.R.S. 0, ( ):SSS.R.S.nY tmX t當(dāng)R.S. ( )( ) R.S( ) . . . ( ) .X tY tJSSSX tSSS R SY tSSS RS與是是是即：1212( , )( )( , )( )XYXYXYXYRt tRCt tC 性質(zhì)：性質(zhì)：1212( , ; , )( , ; )( , ;

26、, )( , ; )XYXYXYXYFx y t tFx yfx y t tfx y12tt定義定義3.4 3.4 ：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 與與 ，假設(shè)，假設(shè)( )X t( )Y t12( , )(, )( )XYXYXYRt tRttR2. 2. 結(jié)合廣義平穩(wěn)性結(jié)合廣義平穩(wěn)性 JWSS JWSS 那么稱那么稱X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)是結(jié)合廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，記是結(jié)合廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，記作作 JWSS R.S. JWSS R.S. 。 ( )X t( )Y tcos()t解：由例解：由例3.33.3，X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)分別廣義平穩(wěn)分別廣義平穩(wěn)例例3.4

27、 討論例討論例3.3中乘法調(diào)制器的輸入與輸出信號(hào)中乘法調(diào)制器的輸入與輸出信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)與結(jié)合平穩(wěn)性。的相互關(guān)函數(shù)與結(jié)合平穩(wěn)性。 且：且： 留意：假設(shè)振蕩不是隨機(jī)相位的，那么輸出信號(hào)能夠不是留意：假設(shè)振蕩不是隨機(jī)相位的，那么輸出信號(hào)能夠不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號(hào)不會(huì)正交，也不會(huì)結(jié)合廣義平穩(wěn)。平穩(wěn)的，輸入與輸出信號(hào)不會(huì)正交，也不會(huì)結(jié)合廣義平穩(wěn)。 因此，輸入與輸出信號(hào)是結(jié)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。因此，輸入與輸出信號(hào)是結(jié)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。, () ( )cos()( ) cos() 0XYXRttE X tX ttREt 作業(yè)：3.83.3 3.3 平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 3.3

28、.1 3.3.1 根本性質(zhì)根本性質(zhì) 相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)( )()( )()RRCC性質(zhì)性質(zhì)1：假設(shè)：假設(shè) X(t) , tT 是實(shí)平穩(wěn)信號(hào)，那么是實(shí)平穩(wěn)信號(hào)，那么2( )( )CRm1221( )( , )( , )()RR t tR t tR證明：證明： 2cos,0,2 2 cosXX tatURa例：例： 2,. .XX tC C is RVRE C常數(shù)關(guān)聯(lián)性內(nèi)在聯(lián)絡(luò)在同一時(shí)辰最嚴(yán)密，關(guān)聯(lián)性內(nèi)在聯(lián)絡(luò)在同一時(shí)辰最嚴(yán)密，X(t)X(t)的的相關(guān)函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)能夠取相關(guān)函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)能夠取“關(guān)于相對時(shí)間關(guān)于相對時(shí)間的周期性的周期性 相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)處非負(fù)，并到達(dá)最大，即相關(guān)

29、函數(shù)在原點(diǎn)處非負(fù)，并到達(dá)最大，即( )(0)( )(0)RRCC2(0)( )0RE Xt 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么 是周是周期為期為1 1 的周期函數(shù)，即對恣意的周期函數(shù)，即對恣意有有1()( )RR11( )(0),0RR( )R關(guān)于相對時(shí)間關(guān)于相對時(shí)間的周期性的周期性 假設(shè)假設(shè) 且且1 1 與與22不公約，那么不公約，那么 為常數(shù)；為常數(shù)；1212()()(0) ,0 ,0RRR( )R 假設(shè)假設(shè) 在原點(diǎn)處延續(xù)，那么它處處延續(xù)；在原點(diǎn)處延續(xù)，那么它處處延續(xù)； )(R此時(shí)，此時(shí)，X(t)X(t)稱為周期平穩(wěn)信號(hào)。稱為周期平穩(wěn)信號(hào)。判別以下圖形可否成為實(shí)判別以下圖形可否成為實(shí)WSS R.S.W

30、SS R.S.的自相關(guān)函數(shù)？的自相關(guān)函數(shù)？都不是自相關(guān)函數(shù)都不是自相關(guān)函數(shù)(3)(4)不滿足不滿足(4)不滿足不滿足(1) (2)不滿足不滿足(4)不滿足不滿足(1)不滿足不滿足 判別原那么：判別原那么：(1)對稱性對稱性(2)非負(fù)，最大值點(diǎn)非負(fù)，最大值點(diǎn)(3)延續(xù)性延續(xù)性(4)周期性周期性(2)不滿足不滿足( )(0)RR性質(zhì)性質(zhì)2 2 假設(shè)假設(shè) 是平穩(wěn)信號(hào)，那么是平穩(wěn)信號(hào)，那么 ( ),X t tT2( )( )CRm22(0)Rm1 12 2性質(zhì)性質(zhì)3 3 假設(shè)假設(shè) 與與 結(jié)合平穩(wěn)，結(jié)合平穩(wěn)，那么那么 ( ),X t tT( ),Y t tT()( )XYYXRR( )( )XYXYXY

31、CRm m1 12 23.3.2 相關(guān)函數(shù)的物理意義相關(guān)函數(shù)的物理意義 假設(shè)信號(hào)假設(shè)信號(hào) 含有平均分量均值，那么含有平均分量均值，那么 含有固定分量。式含有固定分量。式 指明了這點(diǎn)；指明了這點(diǎn)；( )X t( )R2( )( )RCm 假設(shè)信號(hào)假設(shè)信號(hào) 含有周期分量，那么含有周期分量，那么 將含將含有同樣周期的周期分量。周期特性可如下闡明：有同樣周期的周期分量。周期特性可如下闡明：( )X t( )R2()( )(0)2 ()(0)2(0)()EX tnTX tRR nTRRR nT2()( )0EX tnTX t等價(jià)于等價(jià)于(0)()0RR nT“信號(hào)依均方意義也依概率為信號(hào)依均方意義也依概

32、率為1呈現(xiàn)周期性呈現(xiàn)周期性的充要條件是的充要條件是“ 是周期函數(shù)，這種信號(hào)稱是周期函數(shù)，這種信號(hào)稱為周期平穩(wěn)信號(hào)。為周期平穩(wěn)信號(hào)。 ( )R 假設(shè)信號(hào)假設(shè)信號(hào) 不含有任何周期分量，那么隨機(jī)變不含有任何周期分量，那么隨機(jī)變量量 與與 的關(guān)聯(lián)程度會(huì)隨著時(shí)間間距的增的關(guān)聯(lián)程度會(huì)隨著時(shí)間間距的增大而逐漸減小，直至無關(guān)。大而逐漸減小，直至無關(guān)。 ( )X t1( )X t2( )X t關(guān)于相對時(shí)間關(guān)于相對時(shí)間的周期性的周期性 2cos,0,2 2 cosXX tatURa例：例： 2XXRCm22m性質(zhì)性質(zhì)4. 實(shí)踐運(yùn)用中的非周期平穩(wěn)信號(hào)，普通都滿足實(shí)踐運(yùn)用中的非周期平穩(wěn)信號(hào)，普通都滿足 lim( )0

33、Clim( )0XYC2lim( )Rmlim( )XYXYRm m222( )( )(0)(0)(0)( )mRE XtRCRR，與，與等價(jià)于，等價(jià)于，與，與其它主要參數(shù)：其它主要參數(shù)：相關(guān)函數(shù)關(guān)于相對時(shí)間相關(guān)函數(shù)關(guān)于相對時(shí)間不具周期性不具周期性p 自相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)時(shí)間自相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)時(shí)間 2( )( )()( )XXXXXC(1) 運(yùn)用運(yùn)用 表示關(guān)聯(lián)性表示關(guān)聯(lián)性 ( )X( )(0)1XX2 2相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間普通，隨普通，隨 增大，增大，X(t)X(t)和和 X( t +) X( t +)的相關(guān)的相關(guān)性減弱。工程上，近似以為只需性減弱。工程上，近似以為只需 X() X() 小于小于某

34、值，那么這兩個(gè)時(shí)辰的某值，那么這兩個(gè)時(shí)辰的RVRV就近似不相關(guān)了。就近似不相關(guān)了。這時(shí)，間隔時(shí)間這時(shí)，間隔時(shí)間 稱為相關(guān)時(shí)間稱為相關(guān)時(shí)間 0 0 。定義定義1 1： 00.05X 定義定義2 2：用矩形等效方式定義相：用矩形等效方式定義相關(guān)時(shí)間關(guān)時(shí)間 0cXd 同相關(guān)系數(shù)一樣，是相關(guān)程度的度量。同相關(guān)系數(shù)一樣，是相關(guān)程度的度量?！咀ⅰ浚骸咀ⅰ浚? 與與 () 下降快慢有關(guān)。下降快慢有關(guān)。0 越小，越小，() 隨隨的添加降低越快的添加降低越快 ,隨機(jī)過程的起伏越快；隨機(jī)過程的起伏越快； 0 越越大，隨機(jī)過程的起伏越慢。大，隨機(jī)過程的起伏越慢。通常的通常的0 0 、 c c值值普通不相等，它們都普

35、通不相等，它們都示出了相關(guān)性有無的示出了相關(guān)性有無的大致分界處大致分界處 補(bǔ)充例題：設(shè)平穩(wěn)過程補(bǔ)充例題：設(shè)平穩(wěn)過程 的自協(xié)方差函數(shù)的自協(xié)方差函數(shù)分別為分別為 X tY t和 21sin,2bXYbCeCb式中式中b為正的常數(shù)。求為正的常數(shù)。求 1由由 協(xié)方差能否求出它們各自的均值？協(xié)方差能否求出它們各自的均值？ X tY t和2它們的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間；并判別哪個(gè)過程它們的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間；并判別哪個(gè)過程的起伏速度快。的起伏速度快。 解：解：1不能。不能。 121122( , ) ( )( ) ( )( )XXXC t tE X tm tX tm t2 2222200001sin,210,0

36、12sin,12sin2,bXYXXYYbXYbcXXcYYcXcYbCeCbCCbebdedbbddbbX tY t所以 比 的起伏速度快sin xdxx補(bǔ)充例：假設(shè)補(bǔ)充例：假設(shè)WSS.Gauss R.S. WSS.Gauss R.S. 的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 如下圖，求如下圖，求 (1) (1) ； (2) (2) 當(dāng)當(dāng) t1-t2=1.5T t1-t2=1.5T 和和 t1-t2= 0.5T t1-t2= 0.5T 時(shí)的二時(shí)的二維結(jié)合概率密度函數(shù)維結(jié)合概率密度函數(shù) 。TttX),(-TT512222( )11(0)4mRmRm 解：解：);(txfX1212( ,; , )Xfx x

37、t t)(XR)(XR2( )( )XXRCm2211(1)(; )exp82411(; )exp824XXxfx txfx t(2)( ),(1.5 )0. .(1.5 )( )XX tGaussCTRV X tTX t是隨機(jī)信號(hào) 且、無關(guān)、獨(dú)立-TT4( )XC121212112222121212112222121.5(,;,)(;)(;)111exp88(,;,)(;)(;)111exp88XXXXXXttTfxxttfxtfxtxxfxxttfxtfxtxx當(dāng)時(shí)1211221212122222112222 0.5(0.5 )2 (0.5 )2(0.5 )0.5 4411(,; ,)ex

38、p2(1)21()2 ()()() XxxxxxxttTCTCTTf x x t txmxm xmxm 當(dāng)時(shí)：-TT4( )XC1212222211222212122222112222( ,; , )11exp2(1 0.5 )24 1 0.5(1)2 0.5 (1) (1)(1)22 22( ,; , )11exp2(1 0.5 )24 1 0.5(1)2 0.5 (1) (1)(1)22 22f x x t txxxxf x x t txxxx解：信號(hào)解：信號(hào)X(t)通常被視為兩個(gè)平穩(wěn)信號(hào)通常被視為兩個(gè)平穩(wěn)信號(hào)U(t)與與V(t)的的和，即和，即例例 3.7 工程運(yùn)用中平穩(wěn)信號(hào)工程運(yùn)用中平

39、穩(wěn)信號(hào) X(t) 的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為10( )100100cos10100XRe試估計(jì)其均值、均方值和方差。試估計(jì)其均值、均方值和方差。無關(guān)或獨(dú)立無關(guān)或獨(dú)立U(t)與與V(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為的自相關(guān)函數(shù)分別為 X tU tV t=10( )100100URe( )100cos10VR并假設(shè)并假設(shè)V(t)均值為均值為0( )( )( )XUVRRR于是于是所以，所以， 的均值為的均值為1010、均方值為、均方值為300300、方差為、方差為200200。 U(t)是是X(t)的非周期分量，可得的非周期分量，可得 10UUmR 10XUVmmm 20300XE XtR 220200X

40、XXRm于是，于是，10100cos10( )100100XRe( )X t作業(yè)：作業(yè)：3.9 3.12 3.14 3.16 3.4 3.4 功率譜密度與互功率譜密度功率譜密度與互功率譜密度 確定信號(hào)確定信號(hào)時(shí)域：信號(hào)隨時(shí)間變化的特性時(shí)域：信號(hào)隨時(shí)間變化的特性頻域：信號(hào)頻率成分及各頻率成分大頻域：信號(hào)頻率成分及各頻率成分大小小 信號(hào)譜信號(hào)譜隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)時(shí)域：從統(tǒng)計(jì)意義上分析時(shí)域：從統(tǒng)計(jì)意義上分析頻域：一個(gè)樣本函數(shù)的特性不能代表頻域：一個(gè)樣本函數(shù)的特性不能代表全體，故也應(yīng)從統(tǒng)計(jì)意義上分析全體，故也應(yīng)從統(tǒng)計(jì)意義上分析功率譜功率譜 3.4.1 根本概念根本概念1. 確知信號(hào)的功率及功率譜密度確知

41、信號(hào)的功率及功率譜密度(1) 能量型信號(hào)能量型信號(hào) 2Ext dt 存在傅立葉變換存在傅立葉變換 X x tE：歸一化能量單位電阻上耗散的平均能量：歸一化能量單位電阻上耗散的平均能量由帕塞瓦爾定理：由帕塞瓦爾定理： 2212Ext dtXd 2X能量譜分布密度函數(shù)，表征了信能量譜分布密度函數(shù)，表征了信號(hào)能量沿號(hào)能量沿 軸的分布?；虮硎据S的分布?；虮硎拘盘?hào)在單位頻帶上分布的能量。信號(hào)在單位頻帶上分布的能量。(2) 功率型信號(hào)功率型信號(hào) 21lim2TTTPxt dtT 功率型信號(hào)普通繼續(xù)時(shí)間無限，不滿足絕對可積的條件。功率型信號(hào)普通繼續(xù)時(shí)間無限，不滿足絕對可積的條件。留意：留意：1) 1) 能量

42、型信號(hào)的能量有限，功率為能量型信號(hào)的能量有限，功率為0 0；2) 2) 功率型信號(hào)的功率有限，能量為無窮。功率型信號(hào)的功率有限，能量為無窮。P：歸一化功率單位電阻上耗散的平均功率：歸一化功率單位電阻上耗散的平均功率截取截取稱為稱為 的截?cái)嗪瘮?shù)。的截?cái)嗪瘮?shù)。 x t ,0 ,Tx ttTxtother即即 存在傅立葉變換存在傅立葉變換 Txt dt Txt TX limTTxtx t x t TxttTT由帕塞瓦爾定理：由帕塞瓦爾定理： 2212TTTExt dtXd 2211222TTxt dtXdTT令令 ， 在在 的平均功率為：的平均功率為：T x t,t 22111limlim222TT

43、TTTPxt dtXdTT21lim2TTSXT令令功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜 12PSdS f df表征了信號(hào)功率沿表征了信號(hào)功率沿 軸的分布。軸的分布。物理含義：假設(shè)在某個(gè)物理含義：假設(shè)在某個(gè)00處處S (0)S (0)比較大，那么比較大，那么信號(hào)信號(hào)x(t)x(t)中含有較大的中含有較大的00頻率分量；假設(shè)在某個(gè)頻率分量；假設(shè)在某個(gè)00處處S(0)=0S(0)=0，那么信號(hào)中不含有該，那么信號(hào)中不含有該00頻率分量。頻率分量。 2. 隨機(jī)信號(hào)的功率及功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率及功率譜密度(1) 隨機(jī)信號(hào)的樣本功率及樣本功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的樣本功率及樣本功率譜密度截

44、斷函數(shù)截?cái)嗪瘮?shù) ,0 ,TX ttT TXtother ,FTTXtX R.S. 的一個(gè)樣本函數(shù)的一個(gè)樣本函數(shù) 即一個(gè)確定的即一個(gè)確定的時(shí)間信號(hào)功率型時(shí)間信號(hào)功率型 X t,X t 221lim,211lim,22TXTTTTPXtdtTXdT 功率時(shí)域描畫功率時(shí)域描畫功率頻域描畫功率頻域描畫l 樣本平均功率樣本平均功率是是 的函數(shù)，是的函數(shù)，是R.V. XP,XS 22111limlim222TTTTTPxt dtXdTTl 樣本功率譜密度樣本功率譜密度21,lim,2XTTSXT 是是 的函數(shù)，是的函數(shù)，是 的函數(shù)，是的函數(shù)，是R.S. 1,2XXPSd ,XS (2) 隨機(jī)信號(hào)的平均功率

45、及平均功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的平均功率及平均功率譜密度對樣本功率取統(tǒng)計(jì)平均對樣本功率取統(tǒng)計(jì)平均 隨機(jī)信號(hào)的平均功率隨機(jī)信號(hào)的平均功率 XXPE P對樣本功率譜取統(tǒng)計(jì)平均對樣本功率譜取統(tǒng)計(jì)平均 隨機(jī)信號(hào)的平均功率譜隨機(jī)信號(hào)的平均功率譜 21,lim,2XXTTSE SEXT 21,lim,2XTTSXT l 隨機(jī)信號(hào)的平均功率與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)信號(hào)的平均功率與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系ttRAPXX,X(t) 廣義平穩(wěn)時(shí)廣義平穩(wěn)時(shí) 0XXRP 221lim,21lim,2TXXTTTXTTPE PEXtdtTE XtdtA Rt tT證明：證明： 1lim2TTTA v tv t dtTl 隨機(jī)信號(hào)的平均功率

46、與平均功率譜的關(guān)系隨機(jī)信號(hào)的平均功率與平均功率譜的關(guān)系 dffSdSPXXX21證：證： 1,211,22XXXXXPE PESdE SdSd 總之平穩(wěn)信號(hào)：總之平穩(wěn)信號(hào)： 21(0)( )2XXXPE XtRSd定理定理3.4 維納維納 - 辛欽定理辛欽定理 平穩(wěn)信號(hào)平穩(wěn)信號(hào) X(t),tT 的功率的功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即 jXXSRed FXXRS 功率譜密度功率譜密度 PSD - Power Spectral DensityPSD - Power Spectral Density 3.4.2 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì)1. 功率譜密度功率譜密度 1

47、2jXXRSed 反變換反變換正變換正變換性質(zhì)性質(zhì)1. 1. 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)X(t)X(t)的功率譜的功率譜 滿足滿足 (1) ，非負(fù)實(shí)函數(shù)，非負(fù)實(shí)函數(shù) 0XS 21lim,2XTTSEXT 由定義：SX() 含有含有 X(t) 的幅度信息，不含相位信息的幅度信息，不含相位信息(2) 假設(shè)假設(shè)X(t)為實(shí)為實(shí)WSS.R.S. , 那那么么 XXSS XS p 雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度 ,XS 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度 ,0,XG單邊功率譜密度單邊功率譜密度物理功率譜密度物理功率譜密度 0,00,2XXSG dGdSPXXX02121 XS XG0例例3

48、.8 求正弦信號(hào)求正弦信號(hào) 的功率譜的功率譜 0( )cos()X tAt解：解：X(t)X(t)均值為均值為0 0相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為20( )cos()XR 200( )()()XS 瑞利分布隨機(jī)幅度，隨機(jī)相位瑞利分布隨機(jī)幅度，隨機(jī)相位X(t)為廣義平穩(wěn)信號(hào)為廣義平穩(wěn)信號(hào) 可見它是正的實(shí)偶函數(shù)，信號(hào)的功率全可見它是正的實(shí)偶函數(shù)，信號(hào)的功率全部集中在頻率部集中在頻率 處處00 2U ，闡明：與確定信號(hào)不同的是，隨機(jī)信號(hào)的頻域分析闡明：與確定信號(hào)不同的是，隨機(jī)信號(hào)的頻域分析主要是調(diào)查它的功率譜，而非信號(hào)譜。主要是調(diào)查它的功率譜，而非信號(hào)譜。0cost思索思索0( )cos()X tt0 2U

49、，()()0cos()/2()/2jjjjjjteee eee 0000 t+ t+ t t相位的不確定性，使相位的不確定性，使 的傅里葉變換是隨機(jī)的，的傅里葉變換是隨機(jī)的， ( )X t000( )cos()()()FjjX ttee 00()()2S 雖然損失了相位特性，但有效地給出信號(hào)成份的分布。雖然損失了相位特性，但有效地給出信號(hào)成份的分布。 易見，它的統(tǒng)計(jì)平均為零。而易見，它的統(tǒng)計(jì)平均為零。而 的功率譜為，的功率譜為， ( )X t0( )cos()R cossin0jE eEjE 例例3.9 知知WSS隨機(jī)信號(hào)的功率譜為隨機(jī)信號(hào)的功率譜為2424( )109S，求自相關(guān)函數(shù)和均方值

50、。，求自相關(guān)函數(shù)和均方值。22422222445/83/8( )1099191S353( )4816Ree解：首先進(jìn)展分解，解：首先進(jìn)展分解，222,0ataeaa均方值為均方值為(0)7/24R平均功率平均功率例：判別以下式子能否作為實(shí)例：判別以下式子能否作為實(shí) R.S.X(t) 的功率譜的功率譜 1242932 2 2sin解：解：1 224222993221當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，故不能。，故不能。212 0XS2是是 判別準(zhǔn)那么：非負(fù)的、實(shí)的、偶的判別準(zhǔn)那么：非負(fù)的、實(shí)的、偶的 定義定義3.8 ：結(jié)合平穩(wěn)信號(hào)：結(jié)合平穩(wěn)信號(hào)X(t)與與Y(t)的互功率譜定義為其的互功率譜定義為其相互關(guān)函數(shù)的傅

51、里葉變換，即相互關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即( )( )jXYXYSRed( )( )jYXYXSRed物理意義：假設(shè)物理意義：假設(shè) 很大，闡明兩個(gè)很大，闡明兩個(gè)R.S.R.S.的相應(yīng)的相應(yīng)頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；假設(shè)頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；假設(shè) 闡明其相應(yīng)闡明其相應(yīng)頻率分量是正交的。頻率分量是正交的。 ( )XYS( )0XYS 2. 互功率譜密度互功率譜密度它們簡稱為互功率譜它們簡稱為互功率譜Cross power spectral density性質(zhì)性質(zhì)2 互功率譜具有對稱性：互功率譜具有對稱性：*( )( )XYYXSS*( )()XYXYSS1) 兩種互功率譜的實(shí)部一樣，而虛部反號(hào)；兩種互功率譜的

52、實(shí)部一樣，而虛部反號(hào)；2) 實(shí)信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)為實(shí)函數(shù)，因此，互功率譜的實(shí)部都實(shí)信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)為實(shí)函數(shù)，因此，互功率譜的實(shí)部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。 例例3.10 3.10 討論加性單頻干擾討論加性單頻干擾 。假設(shè)實(shí)平穩(wěn)隨。假設(shè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)機(jī)信號(hào) X(t) X(t) 遭到加性的獨(dú)立隨機(jī)正弦分量遭到加性的獨(dú)立隨機(jī)正弦分量 Z(t) Z(t) 的干擾，知的干擾，知 A A，0 0 為常數(shù)，為常數(shù)，是在是在 0,2) 0,2) 上上均勻分布的隨機(jī)變量。試求：均勻分布的隨機(jī)變量。試求：(1) (1) 受擾后的信號(hào)受擾后的信號(hào) Y(t) Y(t) 的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)

53、RY(t +, RY(t +, t) ;t) ;(2) (2) 信號(hào)信號(hào) X(t) X(t)，Y(t) Y(t) 能否結(jié)合平穩(wěn)？能否結(jié)合平穩(wěn)？ 假設(shè)是，假設(shè)是，求求 SY() SY()，SXY()SXY()cos()(0tAtZ( )Y t( )X t由于由于X(t)X(t)與與Z(t)Z(t)獨(dú)立，獨(dú)立，Z(t)Z(t)是是0 0均值，因此它們也正交均值，因此它們也正交對于對于 ，( )( )( )Y tX tZ t YXmtm20(, )(, )(, )1( )cos( )2YXZXYR ttRttR ttRAR Y(t) 也是平穩(wěn)的也是平穩(wěn)的 ( )0E Z t201(, )cos2ZR

54、ttA 解：首先，解：首先， ,正交性使得交叉項(xiàng)為零。正交性使得交叉項(xiàng)為零。 )cos()(0tAtZ經(jīng)過傅里葉變換可得，經(jīng)過傅里葉變換可得， 200( )( ) ()()2YXASS ( )( )XYXSS信號(hào)信號(hào) X(t)X(t)，Y(t) Y(t) 是結(jié)合平穩(wěn)的是結(jié)合平穩(wěn)的(, )()( )( )( )XYXRttE X tX tZ tR201(, )( )cos2YXR ttRA 作業(yè)：作業(yè)：3.19 3.21 3.23 3.25 3.26噪聲：對信號(hào)和系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)。噪聲：對信號(hào)和系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)。噪聲按其功率譜密度可劃分為：噪聲按其功率譜密度可劃分為：白噪

55、聲白噪聲色噪聲色噪聲3.5 3.5 白噪聲與熱噪聲白噪聲與熱噪聲 3.5.1 3.5.1 白噪聲白噪聲 0,2XNS 其中：其中： XS00/2N1. 白噪聲白噪聲定義定義3.9 假設(shè)假設(shè)WSS.R.S. ，其功率譜密度，其功率譜密度 在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為一個(gè)非零常數(shù)，那么稱在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為一個(gè)非零常數(shù)，那么稱 為平穩(wěn)白噪聲信號(hào)。簡稱白噪聲或白信號(hào)。為平穩(wěn)白噪聲信號(hào)。簡稱白噪聲或白信號(hào)。 X t XS X t 02XNR XR 02N 00N正實(shí)常數(shù)，單邊功率譜正實(shí)常數(shù)，單邊功率譜02N雙邊功率譜雙邊功率譜n白噪聲通?？偸橇憔档?，因此，白噪聲通?？偸橇憔档模虼?， CR 1,00,000C

56、RCR 白噪聲有時(shí)也通俗地稱為白噪聲有時(shí)也通俗地稱為“純隨機(jī)的：純隨機(jī)的：1) 1) 無限帶寬的理想隨機(jī)信號(hào)，無限帶寬的理想隨機(jī)信號(hào)，2) 2) 功率即方差為無窮大，功率即方差為無窮大，3) 3) 而不同時(shí)辰上彼此不相關(guān)，正交而不同時(shí)辰上彼此不相關(guān)，正交 XR 02N 0闡明：闡明： 1 實(shí)踐實(shí)踐R.S.在非常臨近的兩個(gè)時(shí)辰的形狀總有一定在非常臨近的兩個(gè)時(shí)辰的形狀總有一定關(guān)聯(lián)性，故其相關(guān)函數(shù)不能夠?yàn)閲?yán)厲的關(guān)聯(lián)性，故其相關(guān)函數(shù)不能夠?yàn)閲?yán)厲的 函數(shù)。函數(shù)。( )2 工程上，當(dāng)信號(hào)帶寬工程上，當(dāng)信號(hào)帶寬 系統(tǒng)帶寬，且信號(hào)功率譜在系統(tǒng)帶寬，且信號(hào)功率譜在系統(tǒng)通頻帶內(nèi)及通頻帶附近根本恒定，就以為該信號(hào)是

57、白噪聲。系統(tǒng)通頻帶內(nèi)及通頻帶附近根本恒定，就以為該信號(hào)是白噪聲。且實(shí)踐信號(hào)功率總是有限的，帶寬且實(shí)踐信號(hào)功率總是有限的，帶寬也是有限的。白噪聲只是一種理想也是有限的。白噪聲只是一種理想的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。 XR0熱噪聲熱噪聲n假設(shè)白噪聲的每個(gè)隨機(jī)變量都服從高斯分布，那假設(shè)白噪聲的每個(gè)隨機(jī)變量都服從高斯分布，那么稱它為高斯白噪聲么稱它為高斯白噪聲WGN, White Gaussian noise。它也是獨(dú)立信號(hào)，代表著信號(hào)。它也是獨(dú)立信號(hào)，代表著信號(hào)“隨機(jī)隨機(jī)性的一種極限。性的一種極限。假設(shè)序列，恒有，假設(shè)序列，恒有， 02NR mm0 /2jj mmS eR m eN那么稱它是白噪聲序列。

58、高斯白噪聲序列是獨(dú)立序列，那么稱它是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨(dú)立序列，利用獨(dú)立性，很容易寫出它的恣意階密度函數(shù)。利用獨(dú)立性，很容易寫出它的恣意階密度函數(shù)。 或或高斯白噪聲在不同時(shí)辰上的隨機(jī)變量彼此不相關(guān)，正交，獨(dú)立高斯白噪聲在不同時(shí)辰上的隨機(jī)變量彼此不相關(guān)，正交，獨(dú)立定義：假設(shè)定義：假設(shè)R.S. 功率譜密度功率譜密度 在頻帶內(nèi)不為在頻帶內(nèi)不為常數(shù)，那么稱常數(shù)，那么稱 為色噪聲。為色噪聲。 N t N t NS即：即： 是是 的函數(shù)。的函數(shù)。 NS2. 色噪聲色噪聲 222,0NaSaa如如例例3.11 3.11 方差為方差為 的高斯白序列的高斯白序列 。試求：。試求：1 1相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差

59、函數(shù)；相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；2 2k k維密度函數(shù)。維密度函數(shù)。2 X n解：解： 1212121221222112 , ,0,C n nR n nE X nX nnnnnE Xnnn 也是同分布的獨(dú)立信號(hào)。于是，也是同分布的獨(dú)立信號(hào)。于是， X n12121221( , , ; , ,)( ; )1exp22kkkiiikiif x xx n nnf x nx3.6 3.6 運(yùn)用舉例運(yùn)用舉例例例3.13 3.13 討論隨機(jī)正弦信號(hào)的廣義平穩(wěn)條件。討論隨機(jī)正弦信號(hào)的廣義平穩(wěn)條件。0( )cos()X tAt變量變量A A的均值為的均值為 , , 方差為方差為 , , 的特征函數(shù)的特征函數(shù)為為

60、, , 與與A A統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 Am2A( ) v解：計(jì)算均值與自相關(guān)函數(shù)。首先解：計(jì)算均值與自相關(guān)函數(shù)。首先 0( )cos()AE X tm Et0( )cos()X tAt( )jvvE e 00002112jtjtjjAjtjtAmeE eeE emee 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 常數(shù)。常數(shù)。(1)0( )0E X t ()()0cos2jjtee 00 t+ t+12;XRt t0( )cos()X tAt2120 10 220120 10 2( ) ( )cos()cos()()cos() cos(2 )2E X t X tE AttE AEtttt 0 10 20 10