高等數(shù)學b學習資料-3.9定積分的物理應用舉例ppt課件

1、第九節(jié)第九節(jié) 定積分的物理運用舉例定積分的物理運用舉例一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功二、水壓力二、水壓力三、引力三、引力一、變力沿直線所作的功一、變力沿直線所作的功由物理學知道，假設物體在作直線運動的過程中由物理學知道，假設物體在作直線運動的過程中有一個不變的力有一個不變的力 F 作用在這物體上，且這力的方作用在這物體上，且這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在物體挪動了向與物體的運動方向一致，那么，在物體挪動了間隔間隔 s 時，力時，力 F 對物體所作的功為對物體所作的功為 W=Fs假設物體在運動的過程中所受的力是變化的，就假設物體在運動的過程中所受的力是變化的，就不能直接運

2、用此公式，而要采用不能直接運用此公式，而要采用“元素法的思元素法的思想處理想處理. 設物體在延續(xù)變力設物體在延續(xù)變力 F(x) F(x) 作用下沿作用下沿 x x 軸從軸從 x= a x= a 挪動到挪動到 x=b ,x=b ,力的方向與運動方向平行力的方向與運動方向平行, ,求求 變力變力 F F 所做的功所做的功 . . xabxxxd，上任取子區(qū)間上任取子區(qū)間在在d,xxxba 在其上所作的功元素為在其上所作的功元素為xxFWd)(d 因此變力因此變力F(x) F(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上所作的功上所作的功 baxxFWd)(qorabrrdr 11例例1 1 在一個帶在一個帶

3、 +q +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下電荷所產(chǎn)生的電場作用下, ,一個單一個單 位正電荷沿直線從間隔點電荷位正電荷沿直線從間隔點電荷a a 處挪動到處挪動到 b b 處處 (a (a b) ,b) ,求電場力所作的功求電場力所作的功 . . 解解當單位正電荷間隔原點當單位正電荷間隔原點 r 時時,由庫侖定律知電場力為由庫侖定律知電場力為,2rqkF ,bar 任取小區(qū)間任取小區(qū)間r , r + dr,取取 r 為積分變量，為積分變量，那么功的元素為那么功的元素為rrqkWdd2 所求功為所求功為 barrqkWd2barqk 1. )11(baqk 解解 如圖建立坐標系如圖建立坐標系,xoxdx

4、x 5 , 0 x5例例2 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為5米，底半徑為米，底半徑為3米，池內米，池內盛滿了水盛滿了水.問要把池內的水全部吸出，需作多少功？問要把池內的水全部吸出，需作多少功？任取一小區(qū)間任取一小區(qū)間x , x+dx,取取x為積分變量，為積分變量，這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為)(d32KNxg 功元素為功元素為,d9dxxgW 50d9xxgW 50229 xg g5 .112 (千焦千焦)(3462 KJ 設水的密度為設水的密度為 解解 設木板對鐵釘?shù)淖枇樵O木板對鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為 101d)(xxfW,2

5、k hhxxfW0d)(例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)挠描F錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入次錘擊時將鐵釘擊入1 1厘米，假設每次錘擊所作厘米，假設每次錘擊所作的功相等，問第的功相等，問第n n次錘擊時又將鐵釘擊入多少？次錘擊時又將鐵釘擊入多少？設設 n 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 h 厘米厘米n 次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為 hxkx0d,22kh 依題意有：依題意有：1nWWh 222kkhn ,nh . 1 nnn 次擊入的總深度為次擊入的總深度為第第 n

6、次擊入的深度為次擊入的深度為 10dxkx例例4 知一彈簧自然長為知一彈簧自然長為 0.6m，10N 的力使它的力使它伸長到伸長到 1m ，求使彈簧從，求使彈簧從 0.9m 伸長到伸長到 1.1m外外力所做的功力所做的功 W.解解 彈簧力為彈簧力為)(xf, )6 . 01(10 k,kx ,25 k,25)(xxf 即即故彈簧從故彈簧從 0.9m 伸長到伸長到 1.1m外力所做的功為外力所做的功為 5 . 03 . 0d25xxW 5 . 03 . 02225x ).(2 J 二、水壓力二、水壓力由物理學知道，在水深為由物理學知道，在水深為 h h 處的壓強為處的壓強為 p= p= g g

7、h ,h ,這里這里 是水的密度假設有一面積為是水的密度假設有一面積為 A A 的的平板程度地放置在水深為平板程度地放置在水深為 h h 處，那么平板一側所處，那么平板一側所受的水靜壓力為受的水靜壓力為 F = pA= F = pA= g h A g h A 假設平板垂直放置在水中，由于水深不同的點處假設平板垂直放置在水中，由于水深不同的點處壓強壓強 p 不相等，平板一側所受的水壓力就不能不相等，平板一側所受的水壓力就不能直接運用此公式，而要采用直接運用此公式，而要采用“元素法的思想處元素法的思想處理理解解 如圖建立坐標系，如圖建立坐標系，xoa2a2a面積元素面積元素,d)(2dxxaA x

8、xaaxgFd)(2)2(d xxaaxgFad)(2(20 側側壓壓力力.373ag 例例1 將直角邊各將直角邊各 為為 2a 及及a 的直角三角形薄的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長與水面平行，且該邊到水面的間隔恰等于該邊與水面平行，且該邊到水面的間隔恰等于該邊的邊長，求薄板所受的側壓力的邊長，求薄板所受的側壓力 側壓力元素為側壓力元素為設水的密度為設水的密度為 , , 那么那么解解在端面如圖建立坐標系在端面如圖建立坐標系xoxdxx 例例2 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內盛有半桶水，一個橫放著的圓柱形水桶，桶內盛有半桶水，設桶的底

9、半徑為設桶的底半徑為 R ，水的密度為，水的密度為 ，計算桶的，計算桶的一端面上所受的壓力一端面上所受的壓力面積元素面積元素,d2d22xxRA 側壓力元素為側壓力元素為設水的密度為設水的密度為 , , 那么那么xxRxgFd2d22 xxRgxFRd2220 )(d22022xRxRgR RxRg0322)(32 .323Rg 端面上所受的壓力為：端面上所受的壓力為：,d222xxR 闡明闡明當桶內充溢水時當桶內充溢水時, )(xRgp 小矩形片上的壓強為小矩形片上的壓強為側壓力元素側壓力元素 Fd故端面所受側壓力為故端面所受側壓力為 RRxxRxRFd)(g222 奇函數(shù)奇函數(shù)2414RR

10、g )(xRg RxxRgR022d4 oxyRxxxd 3Rg 由物理學知道，質量分別為由物理學知道，質量分別為21, mm相距為相距為r的兩個質點間的引力的大小為的兩個質點間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質點的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質點的連線方向連線方向三、引力三、引力假設要計算一根細棒對一個質點的引力，那么，假設要計算一根細棒對一個質點的引力，那么，由于細棒上各點與該質點的間隔是變化的，且由于細棒上各點與該質點的間隔是變化的，且各點對該質點的引力方向也是變化的，就不能各點對該質點的引力方向也是變化的，就不能用此公式計算用此公式計算, ,而要

11、采用而要采用“元素法的思想處元素法的思想處理理 2l2l xyoMa解解 如圖建立坐標系如圖建立坐標系取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間d,yyy ,22lly 將典型小段近似看成質點將典型小段近似看成質點小段的質量為小段的質量為,dy rydyy 例例 有一長度為有一長度為 l 、線密度為、線密度為 的均勻細棒，的均勻細棒，在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒 a 單位處有一質量為單位處有一質量為 m 的的質點質點 M ，計算該棒對質點，計算該棒對質點 M 的引力的引力 小段與質點的間隔為小段與質點的間隔為,22yar 引力元素引力元素,dd22yaymkF 程度方向的分力元素程

12、度方向的分力元素 cosdFFx 2322)(d22yayamkFllx ,4222laalkm 由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF,)(d2322yayamk .4222laalkmF 故棒對質點的引力大小為故棒對質點的引力大小為2l2l xyoMarydyy 例例 設有一長度為設有一長度為 l, 線密度為線密度為 的均勻細直棒的均勻細直棒,在其在其中垂線上距中垂線上距 a 單位處有一質量為單位處有一質量為 m 的質點的質點 M,試計試計算該棒對質點的引力算該棒對質點的引力.M解解 如圖建立坐標系如圖建立坐標系.y2l2ld,xxx 細棒上小段細棒上

13、小段對質點的引力元素為對質點的引力元素為 dkF xm d 22xa 故垂直分力元素為故垂直分力元素為 cosddFFy a 22dxaxmk 22xaa 23)(d22xaxamk axoxFdxFdyFdxxd由對稱性知，棒對質點引力的程度分力由對稱性知，棒對質點引力的程度分力 2223)(d22llxaxamkFy 022222lxaaxamk 2242laalmk .0 xF.4222laalmkF 故棒對質點的引力大小為故棒對質點的引力大小為2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒對質點的引力的垂直分力為棒對質點的引力的垂直分力為 練習：練習： 長為長為 l 線密度為線密度為 的

14、均勻細棒，在離端的均勻細棒，在離端點為點為 a 處有一質量為處有一質量為 m 的質點，求細棒對質點的質點，求細棒對質點的引力。的引力。利用利用“元素法思想求變力作功、元素法思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題留意熟習相關的物理知識留意熟習相關的物理知識四、小結四、小結留意留意1. 從實踐情況出發(fā)建立恰當?shù)淖鴺讼祵τ谖飶膶嵺`情況出發(fā)建立恰當?shù)淖鴺讼祵τ谖锢砹康挠嬎闶侵陵P重要的理量的計算是至關重要的.且在建立坐標系時且在建立坐標系時,必需明確指明原點位置必需明確指明原點位置和坐標軸的正向和坐標軸的正向.2. 計算時對同類量要采用一致的單位計算時對同類量要采用一致的單位.思索

15、與練習思索與練習提示提示: : 作作 x x 軸如圖軸如圖. .ox30 xxd1、為去除井底污泥、為去除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底用纜繩將抓斗放入井底,抓起污抓起污泥后提出井口泥后提出井口,知井深知井深30 m ,抓斗自重抓斗自重400N ,纜繩每纜繩每米重米重50N ,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為提升速度為3m /s ,在提升過程中污在提升過程中污泥以泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,問：抑制重力需作多少焦耳問：抑制重力需作多少焦耳( J ) 功功?將抓起污泥的抓斗由將

16、抓起污泥的抓斗由x 提升提升 dx 所作的功為所作的功為 321ddddWWWW 提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重 400 N, 纜繩每米重纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為提升速度為3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1抑制纜繩重抑制纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至抓斗升至 x 處所需時間處所需時間 :) s (3x(J)91500 xxxWd)3202000()30(50400300 xxWd)3202000(d3 321ddd

17、dWWWW 抑制抓斗自重抑制抓斗自重: 2、斜邊為定長的直角三角形薄板、斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于水垂直放置于水中中,并使不斷角邊與水面相齊并使不斷角邊與水面相齊,問斜邊與水面交成的問斜邊與水面交成的銳角銳角 取多大時取多大時, 薄板所受的壓力薄板所受的壓力 F 最大最大 .解解 如圖建立坐標系如圖建立坐標系. 設斜邊長為設斜邊長為 l , coscotlxy xxygd sin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633 lgloyxy那么其方程為那么其方程為xxxd sin0lP)cos(cos633 lgF,0dd F令令33arccos0 故得獨一駐點故得獨一

18、駐點 故此獨一駐故此獨一駐點點0即為所求即為所求. . 由實踐意義可知最大值存在由實踐意義可知最大值存在 , ,即即0sincos3sin2 , ),0(2loyxyxxxd 3、 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中遭到的浮力有何關系？與它在水中遭到的浮力有何關系？解解該球面所受的總壓力方向向上該球面所受的總壓力方向向上 (下半球面所受的壓下半球面所受的壓力大于上半球面力大于上半球面) ，其值為該球排開水的，其值為該球排開水的 分量，分量，即球的體積，也就是它在水中遭

19、到的浮力因此即球的體積，也就是它在水中遭到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內充滿壓強厘米的圓柱體內充滿壓強為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二、二、 一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律3tcx 作直線運動，媒質的阻力與作直線運動，媒質的阻力與速度的平方成正比，計算物體由速度的平方成正比，計算物體由0 x移至移至ax 時，克服媒質阻力所作的功時，克服媒質阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長610 米和米和米，高為米，高為20米，較長的底邊與水面相齊米，較長的底邊與水面相齊. .計算閘門計算閘門的一側所受的水壓力的一側所受的水壓力 . .練練 習習 題題四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需