模糊數(shù)學(xué)原理及其應(yīng)用資料

1、緒言任何新生事物的產(chǎn)生和發(fā)展，都要經(jīng)過一個由弱到強,逐步成長壯大的過程，一種新理論、一種新學(xué)科的問世，往往一開始會受到許多人的懷疑甚至否定。模糊數(shù)學(xué)自1965年L.A.Zadeh教授開創(chuàng)以來所走過的道路，充分證實了這一點，然而，實踐是檢驗真理的標準，模糊數(shù)學(xué)在理論和實際應(yīng)用兩方面同時取得的巨大成果，不僅消除了人們的疑慮，而且使模糊數(shù)學(xué)在科學(xué)領(lǐng)域中，占有了自己的一席之地。經(jīng)典數(shù)學(xué)是適應(yīng)力學(xué)、天文、物理、化學(xué)這類學(xué)科的需要而發(fā)展起來的，不可能不帶有這些學(xué)科固有的局限性。這些學(xué)科考察的對象，都是無生命的機械系統(tǒng)，大都是界限分明的清晰事物，允許人們作出非此即彼的判斷，進行精確的測量，因而適于用精確方法

2、描述和處理。而那些難以用經(jīng)典數(shù)學(xué)實現(xiàn)定量化的學(xué)科，特別是有關(guān)生命現(xiàn)象、社會現(xiàn)象的學(xué)科，研究的對象大多是沒有明確界限的模糊事物，不允許作出非此即彼的斷言，不能進行精確的測量。清晰事物的有關(guān)參量可以精確測定，能夠建立起精確的數(shù)學(xué)模型。模糊事物無法獲得必要的精確數(shù)據(jù)，不能按精確方法建立數(shù)學(xué)模型。實踐證明，對于不同質(zhì)的矛盾，只有用不同質(zhì)的方法才能解決。傳統(tǒng)方法用于力學(xué)系統(tǒng)高度有效，但用于對人類行為起重要作用的系統(tǒng)，就顯得太精確了，以致于很難達到甚至無法達到。精確方法的邏輯基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的二值邏輯，即要求符合非此即彼的排中律，這對于處理清晰事物是適用的。但用于處理模糊性事物時，就會產(chǎn)生邏輯悖論。如判斷企業(yè)經(jīng)

3、濟效益的好壞時，用“年利稅在100萬元以上者為經(jīng)濟效益好的企業(yè)”表達，否則，便是經(jīng)濟效益不好的企業(yè)。根據(jù)常識，顯而易見：“比經(jīng)濟效益好的企業(yè)年利稅少1元的企業(yè)，仍是經(jīng)濟效益好的企業(yè)”，而不應(yīng)被劃為經(jīng)濟效益不好的企業(yè)。這樣，從上面的兩個結(jié)論出發(fā)，反復(fù)運用經(jīng)典的二值邏輯，我們最后就會得到，“年利稅為0者仍為經(jīng)濟效益好的企業(yè)”的悖論。類似的悖論有許多，歷史上最著名的有“羅素悖論”。它們都是在用二值邏輯來處理模糊性事物時產(chǎn)生的?？陀^實際中存在眾多的模糊性事物和現(xiàn)象，促使人們尋求建立一種適于描述模糊事物和現(xiàn)象的邏輯模式。模糊集合理論便是在這種形勢下應(yīng)運而生的。模糊方法的邏輯基礎(chǔ)是連續(xù)值邏輯，它是建立在0

4、，1上的。如若我們把年利稅在100萬元以上者的屬于“經(jīng)濟效益好”的企業(yè)的隸屬度規(guī)定為1，那末，相比之下，年利稅少1元的企業(yè)，屬于“經(jīng)濟效益好”的企業(yè)的隸屬度就應(yīng)相應(yīng)減少一點，比如為0.99999，依此類推，企業(yè)的年利稅每減少1元，它屬于“經(jīng)濟效益好”的企業(yè)的隸屬度就要相應(yīng)減少一點。這樣下去，當企業(yè)的年利稅為0時，它屬于“經(jīng)濟效益好”的企業(yè)的隸屬度也就為0了，顯然，模糊方法的這種處理方式，是符合于人們的認識過程的，連續(xù)值邏輯是二值邏輯的合理推廣?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的總趨勢是，從以分析為主對確定性現(xiàn)象的研究，進到以綜合為主對不確定性現(xiàn)象的研究。各門科學(xué)在充分研究本領(lǐng)域中那些非此即彼的典型現(xiàn)象之后，正在擴

5、大視域，轉(zhuǎn)而研究那些亦此亦彼的非典型現(xiàn)象。自然科學(xué)不同學(xué)科之間，社會科學(xué)不同學(xué)科之間，自然科學(xué)和社會科學(xué)之間，相互滲透的趨勢日益加強，原來截然分明的學(xué)科界限一個個被打破，邊緣科學(xué)大量涌現(xiàn)出來。隨著科學(xué)技術(shù)的綜合化、整體化，邊界不分明的對象，亦即模糊性對象，以多種多樣的形式普遍地、經(jīng)常地出現(xiàn)在科學(xué)的前沿。模糊集合理論自誕生以來，獲得了長足的發(fā)展，每年全世界發(fā)表的研究論文的數(shù)量，以指數(shù)級速度增長。研究范圍從開始時的模糊集合，發(fā)展為模糊數(shù)、模糊代數(shù)、模糊測度、模糊積分、模糊規(guī)劃、模糊圖論、模糊拓撲等眾多的分枝。和模糊集合理論的發(fā)展速度相比，模糊技術(shù)的應(yīng)用雖稍遲一步，但也取得了令人可喜的進展。自198

6、0年第一例應(yīng)用模糊技術(shù)的產(chǎn)品問世以來，有關(guān)這方面的研究報告已逾7000多篇，制造出近千種模糊產(chǎn)品，如計算機、電飯煲、攝像機、微波爐、洗衣機、空調(diào)器等。如日本松下公司研制的智能化家用空調(diào)器，可根據(jù)內(nèi)置的傳感器提供的室內(nèi)空氣溫度數(shù)據(jù)，在室溫高或低于25時，會自動地“稍稍”調(diào)節(jié)空調(diào)器的閥門，進行4608種不同狀態(tài)設(shè)定選擇，從而獲得最佳開啟狀態(tài)和盡可能少的消耗。而這種“稍稍”的程度，只有通過有經(jīng)驗的人的感覺來決定。模糊技術(shù)方法不是對精確的摒棄，而是對精確更圓滿的刻畫。它通過模糊控制規(guī)劃，利用人類常識和智慧，理解詞語的模糊內(nèi)涵和外延，將各方面專家的思維互相補充。雖然，目前要使模糊技術(shù)接近于人的思維，尚難

7、以做到，但正如日本夏普公司電子專家日吉考莊所說：一個普遍應(yīng)用模糊技術(shù)的時代，不久就會到來。我國自70年代開始模糊數(shù)學(xué)研究以來，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最龐大的研究隊伍，并在高速模糊推理研究等領(lǐng)域，居世界領(lǐng)先地位。但同時在其它方面，也存在著一些差距，尤其突出的是實驗室里的成果，還有許多未轉(zhuǎn)化成經(jīng)濟效益。需要在政府和工業(yè)界的支持和參與下，成立專門的開發(fā)實體，制定規(guī)劃，并積極開展國際交流，為我國21世紀的技術(shù)發(fā)展和科學(xué)騰飛奠定基礎(chǔ)。第二章 模式識別§2-1模式識別及識別的直接方法在日常生活中生活中，經(jīng)常需要進行各種判斷、預(yù)測。如圖象文字識別、故障（疾?。┑脑\斷、礦藏情況

8、的判斷等，其特點就是在已知各種標準類型前提下，判斷識別對象屬于哪個類型的問題。這樣的問題就是模式識別。一、模糊模式識別的一般步驟 模式識別的問題，在模糊數(shù)學(xué)形成之前就已經(jīng)存在，傳統(tǒng)的作法主要用統(tǒng)計方法或語言的方法進行識別。但在多數(shù)情況下，標準類型?？捎媚：硎?，用模糊數(shù)學(xué)的方法進行識別是更為合理可行的，以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的模式識別方法稱為模糊模式識別。 模式識別主要包括三個步驟： 第一步：提取特征，首先需要從識別對象中提取與識別有關(guān)的特征，并度量這些特征，設(shè)分別為每個特征的度量值，于是每個識別對象就對應(yīng)一個向量，這一步是識別的關(guān)鍵，特征提取不合理，會影響識別效果。 第二步：建立標準類型的隸屬函

9、數(shù)，標準類型通常是論域的模糊集，是識別對象的第個特征。 第三步：建立識別判決準則，確定某些歸屬原則，以判定識別對象屬于哪一個標準類型。常用的判決準則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。 二、最大的隸屬度原則 若標準類型是一些表示模糊概念的模糊集，待識別對象是論域中的某一元素（個體）時，往往由于識別對象不絕對地屬于某類標準類型，因而隸屬度不為1，這類問題人們常常是采用稱為“最大隸屬度原則”的方法加以識別，這種方法（以及下面的“閾值原則”）是處理個體識別問題的，稱為直接法。 最大隸屬度原則：設(shè)是個標準類型，若 則認為相對隸屬于所代表的類型。例1 通貨膨脹識別問題通貨膨脹狀態(tài)可分成五

10、個類型:通貨穩(wěn)定;輕度通貨膨脹;中度通貨膨脹;重度通貨膨脹;惡性通貨膨脹.以上五個類型依次用(非負實數(shù)域,下同)上的模糊集 表示,其隸屬函數(shù)分別為:其中對,表示物價上漲。問時，分別相對隸屬于哪種類型？解 ，由最大隸屬原則，應(yīng)相對隸屬于，即當物價上漲時，應(yīng)視為輕度通貨膨脹；，應(yīng)相對隸屬于，即當物價上漲時，應(yīng)視為惡性通貨膨脹。三、閾值原則 在使用最大隸屬度原則進行識別中，還會出現(xiàn)以下兩種情況，其一是有時待識別對象關(guān)于模糊集中每一個隸屬程度都相對較低，這時說明模糊集合對元素不能識別；其二是有時待識別對象關(guān)于模糊集中若干個的隸屬程度都相對較高，這時還可以縮小的識別范圍，關(guān)于這兩種情況有如下閾值原則。閾

11、值原則：是個標準類型，為一閾值（置信水平）令若則不能識別，應(yīng)查找原因另作分析。若a³d且有， 則判決相對地屬于 例2 三角形識別問題我們把三角形分成等腰三角形,直角三角形, 正三角形,非典型三角形,這四個標準類型,取定論域這里是三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，通過分析建立這四類三角形的隸屬函數(shù)為： 現(xiàn)給定，對上述四個標準類型的隸屬度為： 由于關(guān)于,的隸屬程度都相對高，故采用閾值原則，取，因，按閾值原則，相對屬于,即可識別為等腰直角三角形。例3 癌細胞識別在癌細胞識別問題中細胞分成四個標準類型，即：癌細胞，重度核異質(zhì)細胞，輕度核異質(zhì)細胞，正常細胞選取表征細胞狀況的七個特征：根據(jù)病理知識，反映細胞

12、是否癌變的主要指標有以下六個，它們都是 上的模糊集：上述是適當選取的常數(shù)細胞識別中的幾個標準類型分別定義為： 上述定義中的模糊集的隸屬函數(shù)為。另兩個模糊集、的隸屬函數(shù)類似定義。給定待識別細胞，設(shè)的核面積等七個特征值為據(jù)此可算出、，最后按最大隸屬度原則識別。例4 冬季降雪量預(yù)報內(nèi)蒙古豐鎮(zhèn)地區(qū)流行三條諺語：（1）夏熱冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北風(fēng)冬雪大，現(xiàn)在根據(jù)三條諺語來預(yù)報豐鎮(zhèn)地區(qū)冬季降雪量。為描述“夏熱”、秋霜晚、秋分刮西北風(fēng)等概念，在氣象現(xiàn)象中提取以下特征：當年67月平均氣溫：當年秋季初霜日期：當年秋分日的風(fēng)向與正西方向的夾角。于是模糊集（夏熱），（秋霜晚）、（秋分刮西北風(fēng)）

13、的隸屬函數(shù)可分別定義為：其中是豐鎮(zhèn)地區(qū)若干年6、7月份氣溫的平均值，為方差，實際預(yù)報時取=0.98其中是若干年秋季初霜日的平均值，是經(jīng)驗參數(shù)，實際預(yù)報時取=17（即9月17日），=10（即9月10日）。取論域，“冬雪大”可以表示為論域上的模糊集，其隸屬函數(shù)為：采用閾值原則，取閾值，測定當年氣候因子。計算，若則預(yù)報當年冬季“多雪”，否則預(yù)報“少雪”。用這一方法對豐鎮(zhèn)19591970年間隔12年作了預(yù)報，除1965年以外均報對，歷史擬合率為11/12。§2-2 貼近度與模式識別的間接方法 一、貼近度 表示兩個模糊集接近程度的數(shù)量指標，稱為貼近度，其嚴格的數(shù)學(xué)定義如下： 定義1 設(shè)映射 :

14、 滿足下列條件：(1) ， (2) ， (3) 若滿足 有 則稱映射為上的貼近度，稱為與的貼近度。貼近度的具體形式較多，以下介紹幾種常見的貼近度公式 （1） Hamming 貼近度或 （2）Euclid貼近度 或 （3）格貼近度定義7 映射，（或=）稱為格貼近度，稱為與格貼近度。其中， (稱為與的內(nèi)積) (稱為與的外積)若，則值得注意的是，這里的格貼近度是通過定義來規(guī)定的，事實上，格貼近度不滿足定義1中(1)，即，但是，當時，格貼近度滿足定義1的(1)-(3)。另外格貼近度的計算很方便，且用于表示相同類型模糊度的貼近度比較有效，所以在實際應(yīng)用中也常選用格貼近度來反映模糊集接近程度。還有許多貼近

15、度，這里不在一一介紹。貼近度主要用于模糊識別等具體問題，以上介紹的貼近度表示式各有優(yōu)劣，具體應(yīng)用時，應(yīng)根據(jù)問題的實際情況，選用合適的貼近度。 二、模式識別的間接方法擇近原則在模式識別問題中，各標準類型（模式）一般是某個論域上的模糊集，用模式識別的直接方法（最大隸屬度原則、閾值原則）解決問題時，其識別對象是論域中的元素。另有一類識別問題，其識別對象也是上的模糊集，這類問題可以用下面的擇近原則來識別判決。擇近原則：已知個標準類型、，為待識別的對象，上的貼近度，若則認為與最貼近，判定屬于一類。例5 巖石類型識別巖石按抗壓強度可以分成五個標準類型：很差（）、差（）、較好（）、好（）、很好（）。它們都是

16、上的模糊集，其隸屬函數(shù)如下（圖2-1）10 200 400 600 900 1100 1800 2000圖 2-1今有某種巖體，經(jīng)實測得出其抗壓強度為上的模糊集，隸屬函數(shù)為（圖2-3）。圖 2-3試問巖體應(yīng)屬于哪一類。計算與的格貼近度，得：按擇近原則，應(yīng)屬于類，即屬于“較好”類（類）的巖石。例6 小麥親本識別在小麥雜交育種過程中，親本選擇是關(guān)鍵?，F(xiàn)有五種類型的小麥親本，它們是：早熟型，：矮桿型，：大粒型，：高肥豐產(chǎn)型，：中肥豐產(chǎn)型。判斷小麥親本類型的主要依據(jù)是以下五種性狀特征：抽穗期，：株高，：有效穗數(shù)，：主穗粒數(shù)，：百粒重。第種類型親本的第個特征，是模糊集，這些模糊集除（早熟型的抽穗期）與（

17、矮桿型的株高）外，其余都是中間型的正態(tài)分布模糊集。為簡單計，將正態(tài)分布函數(shù)展開，取前兩項作它的近似值，則有于是的隸屬函數(shù)可表示為：而，的隸屬函數(shù)取為偏小值型： 為確定隸屬函數(shù)中的參數(shù)值，在熟知的標準類型中，每類型選出個新本為樣本，分別計算各樣本的第個特征的均值及方差，取以上參數(shù)值見表（2-1）表 2-1親本參數(shù)性狀早熟矮桿大粒高肥豐產(chǎn)中肥豐產(chǎn)抽穗期-6.71.15.59.61.05.811.91.25.211.30.95.18.91.2株高67.187.750.0-70.072.467.990.952.267.981.235.976.584.657.5有效穗數(shù)9.111.218.18.318.

18、210.89.413.215.69.813.211.37.213.25.8主穗粒數(shù)40.255.092.037.552.580.744.254.521.241.251.013.337.648.393.9百粒重3.04.40.32.43.40.34.06.00.33.64.20.33.34.00.2現(xiàn)有一待識對象，它的第個特征是中間型正態(tài)分布模糊集，隸屬函數(shù)可近似表示為： 。式中參數(shù)值見表（2-2）表 2-2特性參數(shù)抽穗期株高有效穗數(shù)主穗粒數(shù)百粒重8.585.66.236.23.431.541.9700.28計算識別對象的第個特征與第種標準類型對應(yīng)特征的格貼近度并定義第種標準類型與識別對象的貼近

19、度為：計算結(jié)果列于表（2-3）表 2-3早熟（）矮桿（）大粒（）高肥（）中肥（）(，)0.501.001.001.001.00(，)1.000.001.000.760.99(，)1.000.880.770.640.96 (，)0.230.980.890.830.98 (，)1.001.000.981.001.00 (，)0.230.000.770.640.96表（2-3）的最后一行為與各標準類型的貼近度。由于與的貼近度最高（0.96），故判定識別對象為代表的類型，即為中肥豐產(chǎn)類型的親本。例7 遙感土地復(fù)蓋類型分類遙感是根據(jù)不同的地物對電磁波譜有不同的響應(yīng)這一原理，來識別土地復(fù)蓋的類型。空間遙感

20、的一個象元相當于地面0.45公傾地物的綜合。遙感圖象識別分類中，要涉及不少模糊概念，例如，“以紅松為主的針葉林”就是一個沒有明確界線的模糊概念。這是遙感本身的特性決定的。因此用模糊數(shù)學(xué)的方法對遙感圖象進行識別分類應(yīng)該是行之有效的方法。美國愛達荷大學(xué)R.C.Heller 教授指出，國際上當以水體、沙地、森林、城鎮(zhèn)、作物、干草作為分類單位（即標準類型）時，空間遙感的分類精度可達83.93%甚至更高。但當分類單位深入到更小的土地復(fù)蓋單元時，精度就不理想了。現(xiàn)在將分類單位細分階段為以下五種標準類型：公路，：村莊農(nóng)田，：紅松為主的針葉林，：闊、針混交林，：白樺林。對于多波段遙感技術(shù)，假設(shè)采用個波段，則每

21、一地物對應(yīng)一個維數(shù)據(jù)向量。1975年1月22日美國發(fā)射LandSat-2，提供了MSS-4，5，6，7這四個波段的數(shù)據(jù)，故有。取論域其中分別為象元對應(yīng)于MSS-4，5，6，7各波段的光譜強度。于是五種標準類型可表為上的模糊集。由于各波段光譜強度是正態(tài)分布模糊集，故第個標準類型的（+3）波段光譜強度的隸屬函數(shù)為： 定義第種標準類型為：因而其中為若干個第種類型第（+3）個波段光譜強度的均值，為方差，東北涼水林場的這些參數(shù)值見表（2-4）表 2-4標準類型MSS-4MSS-5MSS-6MSS-719.060.5618.241.6051.244.3225.241.9821.892.8824.684.8

22、247.374.0921.632.3915.461.2212.580.8836.543.5517.332.0816.220.6412.780.5842.412.8721.221.50170.8213.20.42450.9423.200.42設(shè)為識別對象，定義與的貼近度為： （1）其中 = （2）表 2-5類型N識別對象max判別結(jié)果效果0.920.720.500.500.500.92正確0.650.990.500.500.500.99正確0.500.500.990.600.500.99正確0.500.500.610.990.650.99正確0.500.500.500.620.890.89正確按

23、及 （3-26）（這里與是的均值與方差）。現(xiàn)有東北涼水林場空間遙感象元（待識別對象）五個，按（1）與（2）計算它們與五個標準類型的貼近度，計算結(jié)果在表（2-5）按擇近原則進行識別判決，準確率100%。例8 雷達識別現(xiàn)有個雷達類，每個雷達類可用發(fā)射頻率、脈沖重復(fù)頻率、脈沖寬度等特征來刻畫，假設(shè)共有個特征，第類雷達的第個特征可以取個值。由于保密的需要及信號環(huán)境的日益復(fù)雜，這些特征及其取值都帶有一定的模糊性。設(shè)第類雷達的個特征為類雷達的第個特征取值為，其隸屬函數(shù)為中間型柯西分布，即設(shè)為待識別對象，它的個特征為的第個特征的隸屬函數(shù)也取中間型柯西分布：采用格貼近度，令則為識別對象的第個特征與類雷達第個特

24、征貼近程度的度量。一般情況可令（是各的加權(quán)平均值，權(quán)系數(shù)表示個特征的重要性程度）可作為識別對象與第類雷達總貼近的度量。根據(jù)的大小可判定屬于何類雷達，但是，由于權(quán)系數(shù)的確定有一定的模糊性，及的隸屬函數(shù)的確定帶有一定的主觀性，從而導(dǎo)致貼近度有一定的模糊性。因此對及進行模糊化處理，設(shè)這里，都是模糊數(shù)（見第五章），取。令 的隸屬函數(shù)為則為識別對象與第類雷達的貼近程度的模糊測度。為得到所屬雷達類別的確切判決，類似于閾值法則，給定水平值，令若 且唯一，則判定為類雷達；若 且，則判定為類雷達。用上述方法（將權(quán)系數(shù)及貼近度模糊化），經(jīng)上千次仿真試驗，比傳統(tǒng)的貼近度及線性加弘平均法，誤判率有所下降。第三章 模糊

25、規(guī)劃§3-1 模糊極值一、有界函數(shù)的模糊極值設(shè) （為實數(shù)集） 是有界函數(shù)，求函數(shù)的普通極值問題是求使?jié)M足上式的為在上的最大值點，為最大值，最大值點不一定唯一. 設(shè)的一切最大值點的集合為稱為的優(yōu)越集.當時，函數(shù)在處取到最大值，使達到最優(yōu).當時，雖不是最大值，但對不同的，與最大值的差異有所不同,也就是說，對于不屬于的，它們的“優(yōu)越性”程度有所不同，為了反映中各點不同的優(yōu)越程度，將優(yōu)越集模糊化，并利用它將極值模糊化.定義1設(shè)是有界函數(shù)，定義的隸屬函數(shù)為 () 稱為的無條件模糊優(yōu)越集稱的的無條件模糊極大值.這里，它的求屬函數(shù)按擴張原理為 (約定)注 (1)當為的極大點，即時，當為的極小點，即

26、時,充分必要條件是 (2)當時， 當時， 當時，因此,反映了在模糊意義下,對的模糊數(shù)大值的求屬程度.例1 設(shè)，,定義, , , ,則 , 并且 于是 又 故 的無條件模糊極小集定義為的無條件極大集，顯然有 且有，,所有極小集是極大集的余集.二、模糊約束下有界函數(shù)的模糊極值設(shè)：是有界函數(shù)，考慮在約束下的最大值問題，這是一個模糊規(guī)劃問題，求解這個問題意味著既要最大限度地滿足約束，又要最大限度地達到理想目標，為此定義如下：定義2 設(shè)目標函數(shù)是有界函數(shù)，是模糊約束，令這里的是定義1中的無條件模糊優(yōu)越集，稱為在約束下的條件模糊優(yōu)越集，稱為在約束下的條件模糊極大值.它們的求屬函數(shù)分別為： 求解目標函數(shù)在模

27、糊約束下的條件極大值有如下三個步驟： (1)求無條件模糊優(yōu)越集 (2)求條件模糊優(yōu)越集 (3)求條件最佳決策，即選擇,使就是所求的條件極大點，就是在模糊約束下的條件極大值.例2采區(qū)巷道布置是礦井開拓中的重要內(nèi)容，其目的就是建立完善的礦井生產(chǎn)系統(tǒng)，實現(xiàn)采區(qū)合理集中生產(chǎn)，改善技術(shù)經(jīng)濟指標.因此，合理地選擇最優(yōu)巷道布置方案，對于礦井生產(chǎn)具有十分重要的意義.根據(jù)煤礦開采的特點和采區(qū)在礦井生產(chǎn)的作用，在選擇最優(yōu)巷道布置方案時，要求達到下列標準：(1)生產(chǎn)集中程度高； (2)采煤機械化程度高；(3)采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)十分完善； (4)安全生產(chǎn)可靠性好；(5)煤炭損失率低； (6)巷道掘進費用盡可能低.上述問題,

28、實際上就是一個模糊約束下的條件極值問題，我們可以把(1)(5)作為模糊約束，而把(6)作為目標函數(shù).設(shè)某礦井的采區(qū)巷道布置有六種方案可供選擇，即=(方案), (方案), (方案), (方案), (方案), (方案).經(jīng)過對六種方案進行審議，評價后，將其結(jié)果列于表1方案評價項目:生產(chǎn)集中程度高較低高較高很高較高較高:采煤機械化程度高高較高較高高很高高:采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)完善一級較低較低很高高較高:安全生產(chǎn)可靠度高較低一般較低高一般高:煤炭損失率低高較高一般一般一般很低:巷道掘進費用(萬元)59.4069.1078.8034.5044.2063.60將表1中的語言真值(評價結(jié)果)轉(zhuǎn)化為各模糊約束集,的隸

29、屬度轉(zhuǎn)化的對應(yīng)關(guān)系如下：對, , , 而言，對應(yīng)關(guān)系為：很 低較 低一 般較 高高很 高0.00.20.40.60.81.0對 而言，對應(yīng)關(guān)系為很 低較 低一 般較 高高很 高1.00.80.60.40.20.0將表1中的巷道掘進費用目標函數(shù)用公式 計算出，因此得表2 其值語言與隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)換表2方案 0.20.80.41.00.60.60.80.60.60.81.00.80.40.20.21.00.80.60.20.40.20.80.40.80.20.40.60.60.61.00.440.22010.780.34計算模糊判決集為 (按列求最小) 由 根據(jù)最大求屬度原則，方案四最優(yōu)例3 在某種食

30、品中投放某種調(diào)味劑，每公斤食品中的含量設(shè)為克，對顧客愛好作調(diào)查統(tǒng)計，得愛好函數(shù)為 對于使愛好函數(shù)值越大的值，所制產(chǎn)品越暢銷，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，對值需要進行限制，這種限制集合的邊界是模糊的，即的約束條件為一模糊集，其隸屬函數(shù)為試確定合理的劑量，使得在接受約束的條件下，獲得最優(yōu)收益.解 這是一個規(guī)劃問題，分三步進行.（1） 求無條件模糊優(yōu)越集，由于，令，得.又當時，時，因而，.因此（2） 求條件模糊優(yōu)越集其中滿足方程（3） 選擇，使，即對目標的可能度為45.93%，而要實現(xiàn)這種可能性，應(yīng)選擇調(diào)味劑的最佳劑量為2.085克.需要說明的是，在本例中如果將約束條件確切化，以的核0,

31、1為約束，這是一個普通規(guī)劃問題，所得結(jié)論是選擇最佳劑量為1克.從約束條件看，已是100%遵守，但所能達到的最高目標相對整個目標函數(shù)來說是很低的，由，說明相對整個目標來說，其優(yōu)越程度僅達24.6%.如果把條件放松為模糊約束條件，且適當降低的水平，卻可以獲得較好的目標值.如例中的結(jié)果，當時，從接受約束條件來看雖僅達45.9%，但目標函數(shù)的優(yōu)越程度也升到了45.9%，從而提高了整體優(yōu)化水平.由于在實際問題中，約束條件往往不是絕對的，有一定的伸縮性，模糊規(guī)劃的思想就是利用這點靈活性，兼顧目標函數(shù)與約束條件綜合地選擇最優(yōu)方案.例4 植物的種植密度與產(chǎn)量有密切的關(guān)系.已知某種杉樹的種植密度與產(chǎn)量的關(guān)系如下

32、：這里表示每公頃土地上種植的棵數(shù)，表示每公頃土地產(chǎn)出木材的體積.現(xiàn)有一片杉樹森林，其密度不均勻，估計“大約是三千”.試估計該森林每公頃木材最高產(chǎn)量.解 設(shè)表示“大約是三千”這一模糊，的隸屬函數(shù)為估計木材產(chǎn)量的問題，就是求在的約束下函數(shù)的模糊條件極大值.為此先求有界函數(shù)的無條件模糊優(yōu)越集.因，所以在約束條件下的條件模糊優(yōu)越集為：條件模糊極值為，其隸屬函數(shù)為：為求條件最佳決策，即滿足條件的注意到的隸屬函數(shù)曲線是單調(diào)降的，而是正態(tài)分布模糊集，在約束下的模糊最佳決策（即模糊條件極大點），是方程的兩個根當中的較小者，解之得.由可知，時，接受約束的程度為46.9%，同時，相對于整體目標函數(shù)，優(yōu)越程度也是4

33、6.9%.由可知，該森林每公頃木材最高產(chǎn)量估計為.§3-2 模糊線性規(guī)劃一、普通線性規(guī)劃普通線性規(guī)劃的一般形式為 目標函數(shù)約束條件 矩陣表達形式其中 線性規(guī)劃問題的標準形式 （3-1） 二、模糊線性規(guī)劃在實際問題中，有時線性規(guī)劃的約束條件帶有模糊性，這就是解謂的模糊線性規(guī)劃，其模型為 這是“”表示一種彈性約束，可讀作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一個模糊概念，可以用一個模糊集來表示它.表示第個約束的左邊表達式，模糊集表示“”這一事實，當 時，完全接受約束，應(yīng)有;適當選擇一個伸縮系數(shù)，約定當時，不認為，這時應(yīng)有;當時，應(yīng)從1下降到0，表示約束程度降低.為了簡單可行，規(guī)定如下：設(shè) ，對每一個約束，相應(yīng)地有中一個模糊渠與之對應(yīng)，它的隸屬函數(shù)為 其中是適當選擇的常數(shù)，叫做伸縮指標，這樣一來,我們將彈性約束轉(zhuǎn)化成模糊約束,再令就將全部約束條件轉(zhuǎn)化成一個模糊約束.當時,退化為普通約束集，模糊約束條件中“”退化為“”模糊線性規(guī)劃的模型簡記為 （3-2）約束的彈性必然導(dǎo)致目標的彈性，為將目標函數(shù)模糊化，先求解普通線性規(guī)劃問題： 滿足 （3-3）以及 滿足 （3-4）其中稱為（3-2）的伸縮指標向量.設(shè)是(3-32)的最優(yōu)值，是(3-