高中數(shù)學(xué)解析幾何知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)

1、- 1 - 高中數(shù)學(xué)解析幾何知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)第一部分:直線一、直線的傾斜角與斜率1.傾斜角 (1)定義：直線l 向上的方向與x 軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)范圍：18002.斜率：直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.t ank（1）.傾斜角為90的直線沒有斜率。（2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于x軸時(shí)，其斜率不存在)，這就決定了我們?cè)谘芯恐本€的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會(huì)產(chǎn)生漏解。（3）設(shè)經(jīng)過),(11yxa和),(22yxb兩點(diǎn)的直線的斜率為k，則當(dāng)21xx時(shí)，2121tanxxyyk；當(dāng)21xx時(shí)，o90；斜率不

2、存在；二、直線的方程1.點(diǎn)斜式：已知直線上一點(diǎn)p（ x0,y0）及直線的斜率k（傾斜角 ）求直線的方程用點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為0 xx；2.斜截式：若已知直線在y軸上的截距（直線與y 軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)）為b，斜率為k，則直線方程：bkxy；特別地，斜率存在且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程為：kxy注意：正確理解“截距 ”這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“距離”有區(qū)別。3.兩點(diǎn)式：若已知直線經(jīng)過),(11yx和),(22yx兩點(diǎn)，且（2121,yyxx則直線的方程：121121xxxxyyyy；注意：不能表示與x軸和y軸垂直的直線；當(dāng)

3、兩點(diǎn)式方程寫成如下形式0)()(112112xxyyyyxx時(shí)， 方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。4 截距式：若已知直線在x軸，y軸上的截距分別是a，b（0, 0 ba）則直線方程：1byax；- 2 - 注意： 1）.截距式方程表不能表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a5 一般式： 任何一條直線方程均可寫成一般式：0cbyax； （ba,不同時(shí)為零） ；反之，任何一個(gè)二元一次方程都表示一條直線。注意：直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，

4、這要看系數(shù)cba,是否為 0 才能確定。指出此時(shí)直線的方向向量：),(ab，),(ab，2222,baabab（單位向量）；直線的法向量：),(ba； （與直線垂直的向量）6(選修 4-4)參數(shù)式btyyatxx00（t參數(shù)）其中方向向量為),(ba，單位向量2222,babbaa；abk；22|batppo；點(diǎn)21,pp對(duì)應(yīng)的參數(shù)為21,tt，則222121|battpp；sincos00tyytxx（t為參數(shù)）其中方向向量為)sin,(cos，t的幾何意義為|opp；斜率為tan；傾斜角為)0(。三、兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111cyb

5、xalcybxal平行21kk，且21bb212121ccbbaa(a1b2-a2b1=0) 重合21kk，且21bb212121ccbbaa相交21kk2121bbaa垂直121kk02121bbaa設(shè)兩直線的方程分別為：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111cybxalcybxal；當(dāng)21kk或- 3 - 1221baba時(shí)它們相交， 交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組2211bxkybxky或00222111cybxacybxa解；注意： 對(duì)于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211baba對(duì)于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211

6、baba若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。對(duì)于02121bbaa來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便斜率相等時(shí)，兩直線平行( 或重合 )；但兩直線平行( 或重合 ) 時(shí)，斜率不一定相等，因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖?。四、兩直線的交角（1）1l到2l的角：把直線1l依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與2l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是0；注意：1l到2l的角與2l到1l的角是不一樣的；旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針方向；繞“定點(diǎn)”是指兩直線的交點(diǎn)。（2）直線1l與2l的夾角：是指由1l與2l相交所成的四個(gè)角的最小角( 或不大于直

7、角的角) ，它的取值范圍是20；（3）設(shè)兩直線方程分別為：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111cybxalcybxal若為1l到2l的角 ，12121tankkkk或21211221tanbbaababa；若為1l和2l的夾角 ，則12121tankkkk或21211221tanbbaababa；當(dāng)0121kk或02121bbaa時(shí)，o90；注意：上述與k有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)，用數(shù)形結(jié)合法處理。直線1l到2l的角與1l和2l的夾角：)2(或)2(；五、點(diǎn)到直線的距離公式：- 4 - 1. 點(diǎn)),(00yxp

8、到直線0:cbyaxl的距離為：2200|bacbyaxd；2. 兩平行線0:11cbyaxl，0:22cbyaxl的距離為：2221|baccd；六、直線系：（1）設(shè)直線0:1111cybxal，0:2222cybxal，經(jīng)過21,ll的交點(diǎn)的直線方程為0)(222111cybxacybxa（除去2l） ；如：011kxykxy，即也就是過01y與0 x的交點(diǎn))1 ,0(除去0 x的直線方程。直線5)12()1(:mymxml恒過一個(gè)定點(diǎn)。注意：推廣到過曲線0),(1yxf與0),(2yxf的交點(diǎn)的方程為：0)()(21xfxf；（2）與0:cbyaxl平行的直線為01cbyax；（3）與0

9、:cbyaxl垂直的直線為01caybx；七、對(duì)稱問題：（1）中心對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)),(baa關(guān)于),(dcc的對(duì)稱點(diǎn))2,2(bdac直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：、在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用21/ ll由點(diǎn)斜式得出直線方程；、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線0632:1yxl關(guān)于點(diǎn))1,1 (p對(duì)稱的直線2l的方程。（2）軸對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。、求出過該點(diǎn)與已知直線

10、垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn))5 ,3(a關(guān)于直線0443:yxl對(duì)稱的坐標(biāo)。- 5 - 直線關(guān)于直線對(duì)稱： （設(shè)ba,關(guān)于l對(duì)稱）、若ba,相交，則a到l的角等于b到l的角；若la /，則lb /，且ba,與l的距離相等。、求出a上兩個(gè)點(diǎn)ba,關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。、設(shè)),(yxp為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則p關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)p的坐標(biāo)適合a的方程。如：求直線042:yxa關(guān)于0143:yxl對(duì)稱的直線b的方程。八、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃：（1）設(shè)點(diǎn)),(00yxp和直線0:cbyaxl， 若 點(diǎn)p在 直 線l上 ， 則000cbya

11、x； 若 點(diǎn)p在 直 線l的 上 方 ， 則0)(00cbyaxb；若點(diǎn)p在直線l的下方，則0)(00cbyaxb；（2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式)0(0cbyax，當(dāng)0b時(shí)，則0cbyax表示直線0:cbyaxl上方的區(qū)域；0cbyax表示直線0:cbyaxl下方的區(qū)域；當(dāng)0b時(shí)，則0cbyax表示直線0:cbyaxl下方的區(qū)域；0cbyax表示直線0:cbyaxl上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn))0,0(代入直線cbyax中，根據(jù)0或0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿

12、足線性約束條件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng)0b時(shí)，將直線0byax向上平移，則byaxz的值越來越大；直線0byax向下平移，則byaxz的值越來越??；- 6 - 當(dāng)0b時(shí)，將直線0byax向上平移，則byaxz的值越來越??；直線0byax向下平移，則byaxz的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)ayxz取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a為；第二部分：圓與方程2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：222)()(rbyax圓心),(bac，半徑r特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程

13、是：222ryx. 2.2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r ：(1)點(diǎn)在圓上d=r ；(2)點(diǎn)在圓外dr ；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)dr 2.給定點(diǎn)),(00yxm及圓222)()(:rbyaxc. m 在圓 c 內(nèi)22020)()(rbyax m 在圓 c 上22020)()rbyax（ m 在圓 c 外22020)()(rbyax2.3 圓的一般方程：022feydxyx. 當(dāng)0422fed時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心2,2edc，半徑2422fedr. 當(dāng)0422fed時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)2,2ed. 當(dāng)0422fed時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）. 注：（ 1）方程022fey

14、dxcybxyax表示圓的充要條件是：0b且0ca且0422afed. 圓的直徑系方程：已知ab是圓的直徑0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxbyxa2.4 直線與圓的位置關(guān)系：直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種， d 是圓心到直線的距離，(22bacbbaad(1)0相離rd；(2)0相切rd； （3）0相交rd。2.5 兩圓的位置關(guān)系x y o a(1,1) b(5,1) c(4,2) - 7 - 設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，doo21。（1）條公切線外離421rrd； （2）條公切線外切321rrd；（3）條公切線相交

15、22121rrdrr； （4）條公切線內(nèi)切121rrd；（5）無公切線內(nèi)含210rrd；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2.6 圓的切線方程：1.直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r； （2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）2.圓222ryx的 斜 率 為 k 的 切 線 方 程 是rkkxy21過 圓022feydxyx上 一 點(diǎn)),(00yxp的切線方程為：0220000fyyexxdyyxx. 一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=r2. 特別地，過圓222ryx上一點(diǎn)),(00yxp的切線方程為200ryyxx. 若點(diǎn) (x0

16、,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則1)()(2110101rxakybrxxkyy，聯(lián)立求出k切線方程 . 2.7圓的弦長問題： 1.半弦2l、 半徑 r、 弦心距 d構(gòu)成直角三角形， 滿足勾股定理：2222drl2.弦長公式（設(shè)而不求） ：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（第三部分 : 橢圓一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f1，f2距離的和等于常數(shù)212ffa的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集m=p| |pf1|+|pf2|=2a ，2a|f1f2|=2c ；這里兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。（cffa2221時(shí)為線

17、段21ff，cffa2221無軌跡）。- 8 - 2標(biāo)準(zhǔn)方程：222cab焦點(diǎn)在x 軸上：12222byax（ab0） ； 焦點(diǎn) f（ c，0）焦點(diǎn)在y 軸上：12222bxay（ ab0） ； 焦點(diǎn) f（0, c）注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，222cba并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；一般形式表示：221xymn或者),0, 0(122nmnmnymx二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)： 1.范圍（1）橢圓12222byax（ ab0） 橫坐標(biāo) -a xa , 縱坐標(biāo) -bxb （2）橢圓12222bxay（ab0） 橫坐標(biāo) -b xb, 縱坐標(biāo) -a x a 2.對(duì)稱性橢圓關(guān)于x 軸 y 軸都是對(duì)稱的

18、，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn)（1）橢圓的頂點(diǎn)：a1（-a ，0） ，a2（a，0） ，b1（0，-b） ，b2（0，b）（2）線段 a1a2，b1b2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4 離心率（1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比22ca，即ac稱為橢圓的離心率，記作 e（10e） ，22221()beaace 越接近于 0 （e 越?。?，橢圓就越接近于圓; e 越接近于 1 （e 越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。（2）橢圓的

19、第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，- 9 - （0 e1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。 （edpf |）焦點(diǎn)在x 軸上：12222byax（ab0）準(zhǔn)線方程：cax2焦點(diǎn)在y 軸上：12222bxay（ab0）準(zhǔn)線方程：cay2小結(jié)一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、 （共四個(gè)量） ，特征三角形（2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）（3）基本線：對(duì)稱軸（共兩條線）5橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的內(nèi)部2200221xyab. （2）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的外部2200221xya

20、b. 6. 幾何性質(zhì)（1） 焦半徑（橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）：camfca（2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦）abab22（ 3）焦點(diǎn)三角形（橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：2tan221bsfmf其中21mff7 直線與橢圓的位置關(guān)系：(1) 判斷方法 : 聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y( 或 x) 得到關(guān)于x 的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系：沒有交點(diǎn)相離有一個(gè)交點(diǎn)相切相交有兩個(gè)交點(diǎn)000聯(lián)立012222cbyaxbyax消 y 得：- 10 - 222222222122222212222222222202bbaabbcaxxbbaaacaxxbbcaacxaxbbaa

21、聯(lián)立012222cbyaxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202bbaaaacbyybbaabcbyyaacbbcybybbaa(2) 弦 中 點(diǎn) 問 題 : 斜 率 為k 的 直 線l與橢 圓), 0,0( 12222nmnmnymx交于 兩點(diǎn)),(),(2211yxbyxa、）（00, yxm是 ab的中點(diǎn)，則：0022yxmnkab(3) 弦長公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（第四部分：雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在x軸）)0,0(12222babyax標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在y軸）)0,0(12222babxay定義

22、第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)1f，2f的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于12f f）的點(diǎn)的軌 跡 叫 雙 曲 線 。 這 兩 個(gè) 定 點(diǎn) 叫 做 雙 曲 線 的 焦 點(diǎn) ， 兩 焦 點(diǎn) 的 距 離 叫 焦 距 。amfmfm221212ffa第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e，當(dāng)1e時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)f叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e（1e）叫做雙曲線的離心率。xyp1f2fxyxyp1f2fxy- 11 - 范圍xa，yrya，xr對(duì)稱軸x軸 ，y軸；實(shí)軸長為2a, 虛軸長為2b對(duì)稱中心原點(diǎn)(0,0)o焦點(diǎn)坐標(biāo)1(,0)fc2( ,0)f c1(

23、0,)fc2(0, )fc焦點(diǎn)在實(shí)軸上，22cab；焦距：122f fc頂點(diǎn)坐標(biāo)（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) 離心率eace(1) 重要結(jié)論（1） 焦半徑（雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）：mfca（2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦）abab22（ 3 ） 焦 點(diǎn) 三 角 形 （ 雙 曲 線 上 的 任 意 一 點(diǎn) 與 兩 焦 點(diǎn) 夠 成 的 三 角 形 ）：2cot2tan2221bbsfmf準(zhǔn)線方程cax2cay2準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：ca22漸近線方程xabyyabx共 漸 近 線的 雙 曲 線系方程kbyax2222（0k）kbxay22

24、22（0k）xyp1f2fxypxyp1f2fxyp- 12 - 直 線 和 雙曲 線 的 位置（1）判斷方法 : 聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y( 或 x) 得到關(guān)于x 的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系：沒有交點(diǎn)相離有一個(gè)交點(diǎn)相切相交有兩個(gè)交點(diǎn)000聯(lián)立012222cbyaxbyax消 y 得：222222222122222212222222222202bbaabbcaxxbbaaacaxxbbcaacxaxbbaa聯(lián)立012222cbyaxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202bbaaaacbyybbaabcbyyaacbbcybybba

25、a(4) 弦 中 點(diǎn) 問 題 : 斜 率 為k 的 直 線l與雙 曲線)0, 0(12222nmnymx交 于兩 點(diǎn)),(),(2211yxbyxa、）（00,yxm是 ab的中點(diǎn)，則：0022yxmnkab弦長公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半 實(shí)軸 長=半虛軸長；（2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為cyx22其中 c0；（3）離心率2e；（4） 漸近線 ：兩條漸近線y=x 互相垂直；（5）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng) ；（6）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)p處的切線夾在兩條漸近線 之間的線段，必被p所平

26、分；7）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù)2a- 13 - 第五部分：拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圖象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。mfm=點(diǎn) m到直線l的距離 范圍0,xyr0,xyr,0 xr y,0 xr y對(duì)稱性關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱焦點(diǎn)(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)(0,0)o離心率e=1 準(zhǔn)線方程2px2px2py2py準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離2p焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p焦半徑11(,)a x y12pafx12pafx12pafy12pafy焦點(diǎn)弦長ab12()xxp12()xxp12()yyp12()yypx y o l f x y o l f l f x y o x y o l f - 14 - 焦點(diǎn)弦ab的幾條性質(zhì)11(,)a x y22(,)b xy( 以焦點(diǎn)在 x 軸正半軸為例) 以ab為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切 , 以 mn為直徑的圓與ab相切與點(diǎn)f，即fnmfcos12cos122