機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)與速度

1、第八講第八講 機(jī)器人的雅可比矩陣機(jī)器人的雅可比矩陣與速度分析與速度分析（一）雅可比矩陣的定義（二）雅可比矩陣的構(gòu)造法（三）逆雅可比矩陣（四）力雅可比（五）加速度關(guān)系例一：兩自由度平面機(jī)構(gòu))cos(cos12211llxB)sin(sin12211llyB)()cos(cos12122111llyB)()sin(sin12122111llxB211221221112212211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllyxVVVBByxB雅可比矩陣雅可比矩陣J J寫成矩陣形式：末端速度向量末端速度向量關(guān)節(jié)速度向量關(guān)節(jié)速度向量例二、三自由度平面機(jī)械手由圖可知：)cos(5 .

2、 0)cos(4 . 0cos8 . 0123121Ax)sin(5 . 0)sin(4 . 0sin8 . 0123121Ay)()cos(5 . 0)()cos(4 . 0cos8 . 0123123121211Ay)()sin(5 . 0)()sin(4 . 0sin8 . 0123123121211Ax321321寫成矩陣形式：321321321111cos5 . 0cos4 . 0cos8 . 0sin5 . 0sin4 . 0sin8 . 0AAzyxAyxVVV雅可比矩陣雅可比矩陣J J手爪速度向量手爪速度向量關(guān)節(jié)速度向量關(guān)節(jié)速度向量結(jié)論 雅可比（Jacobian）矩陣反映了機(jī)械

3、臂末端速度和各關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系； 雅可比（Jacobian）矩陣不是一個(gè)常數(shù)矩陣，它與關(guān)節(jié)變量有關(guān)，機(jī)械臂工作時(shí)，各關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，關(guān)節(jié)變量是變化的，雅可比（Jacobian）矩陣也是變矩陣； 雅可比（Jacobian）矩陣的求法與求導(dǎo)有關(guān)； 雅可比（Jacobian）矩陣具有重要的研究意義；（一）雅可比矩陣的定義 把機(jī)器人關(guān)節(jié)速度向量 定義為： 式中， 為連桿 相對(duì)于 的角速度或線速度。 手爪在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量為： 與 之間的線性映射關(guān)系稱為 雅可比矩陣J，即：iq Tnqqqq21), 2 , 1 (nqii1iTzyxzyxvVq VnzyxqqqJzyx21（一）雅可比矩陣的定

4、義 在數(shù)學(xué)上，機(jī)器人終端手爪的廣義位姿向量 可寫成： 對(duì)左式求導(dǎo)，有：),(),(),(),(),(),(212121212121nznynxnnnqqqqqqqqqqqqzqqqyqqqxPV（一）雅可比矩陣的定義 在機(jī)器人學(xué)中，雅可比矩陣是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對(duì)于基座標(biāo)的廣義速度向量的變換矩陣。 在三維空間運(yùn)行的機(jī)器人，J的行數(shù)恒為6；在二維平面運(yùn)行的機(jī)器人， J的行數(shù)恒為3；列數(shù)則為機(jī)械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。（一）雅可比矩陣的定義 對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人來說，手的廣義位置向量 容易確定，且方位 與角運(yùn)動(dòng)的形成順序無關(guān)，可采用直接微分法求 ，非常方便。TyxJ（一）雅可比矩陣的定義 直

5、接微分法對(duì)于三維空間運(yùn)行的機(jī)器人則不完全適用。從機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以獲得直角坐標(biāo)位置向量 的顯式方程，但找不到方位向量 的一般表達(dá)式。不能用直接微分法求雅可比矩陣，應(yīng)采用構(gòu)造法。TzyxTzyx（二）雅可比矩陣的構(gòu)造法 矢量積法和微分構(gòu)造法： 對(duì)于有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比矩陣是6n矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對(duì)手爪線速度 的傳遞比；后三行稱為方位矩陣，代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度 對(duì)手爪角速度 的傳遞比，因此將 分塊為： qqJV dqqJDJnaaainiiqqqJJJJJJV2122121Viq 矢量積法構(gòu)造雅可比矩陣 對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)0,0iiiizJqzwv ioniiiiionii

6、zpzJqzpzwv, nioionipRp i 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i微分變換法構(gòu)造雅可比矩陣微分變換法構(gòu)造雅可比矩陣微分變換的等價(jià)變換，是聯(lián)體坐標(biāo)系下的微分變換與基微分變換的等價(jià)變換，是聯(lián)體坐標(biāo)系下的微分變換與基坐標(biāo)系下的微分變換之間的關(guān)系，也就是從在基坐標(biāo)系坐標(biāo)系下的微分變換之間的關(guān)系，也就是從在基坐標(biāo)系下的微分運(yùn)動(dòng)到在聯(lián)體坐標(biāo)系下的微分運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換。下的微分運(yùn)動(dòng)到在聯(lián)體坐標(biāo)系下的微分運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換。由于微分變換的等價(jià)變換是針對(duì)機(jī)器人末端的相同位姿變化，由于微分變換的等價(jià)變換是針對(duì)機(jī)器人末端的相同位姿變化，所以：所以：根據(jù)矢量相乘的性質(zhì)根據(jù)矢量相乘的性質(zhì): :因此，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量，可

7、表示為：因此，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量，可表示為：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量：（三）逆雅可比矩陣及奇異性逆雅可比矩陣 若給定機(jī)器人手爪的廣義速度向量 ，由式 可解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度： 稱為逆雅可比矩陣， 為加給對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)進(jìn)給伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。 當(dāng) 不是方陣時(shí)， 是不存在的，可以用廣義逆雅可比矩陣來確定關(guān)節(jié)速度向量。 當(dāng) 是方陣時(shí)，可對(duì) 直接求逆，得到 ，但比較困難。 通常直接對(duì)機(jī)器人的逆解進(jìn)行微分來求 。 qqJV VqJq1V qJ1q qJ1 qJ1 qJ1JJJ（三）逆雅可比矩陣及奇異性例題：圖中所示二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X正向

8、以1.0m/s的速度移動(dòng)，桿長均為0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)130，260，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。 （三）逆雅可比矩陣及奇異性 雅可比矩陣的奇異性由此可見，當(dāng)雅可比矩陣的行列式為0時(shí)，既使手爪的速度為一個(gè)定值，關(guān)節(jié)速度也將趨于無窮大，最終結(jié)果會(huì)導(dǎo)致關(guān)節(jié)及該關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置損壞。 qJqJqJ*1 0qJ qJ1 VqJq1則則若若雅可比矩陣的奇異性 如前所述，雅可比矩陣不是一個(gè)常數(shù)矩陣，它的行列式值隨著機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)在變化； 因此，當(dāng)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)到某個(gè)形位時(shí)，恰好使此時(shí)的雅可比行列式值為0，就會(huì)造成奇異，此時(shí)機(jī)械手的形位成為奇異形位； 機(jī)械手在工作時(shí)，應(yīng)避開奇異形位附近，以免發(fā)生危險(xiǎn)，這導(dǎo)致了機(jī)械手的工作

9、空間進(jìn)一步縮小。奇異性的例子顯然，連桿的長度是不可能為顯然，連桿的長度是不可能為0 0的；因此，若的；因此，若 ，則則 。機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異。該機(jī)構(gòu)的奇異形位就是兩連。機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異。該機(jī)構(gòu)的奇異形位就是兩連桿完全伸展或完全折疊，即機(jī)構(gòu)工作空間的邊界處。桿完全伸展或完全折疊，即機(jī)構(gòu)工作空間的邊界處。（每個(gè)人都拿胳膊試試每個(gè)人都拿胳膊試試）)cos()cos(cos)sin()sin(sin1221221112212211llllllJ2211221221112212211sin)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllllJ0Jk2四、力雅可比 機(jī)器人在與外界環(huán)境相互作用時(shí)，在接觸處要產(chǎn)生力 和力矩 ，統(tǒng)稱為末端廣義力矢量，記做： 在靜止?fàn)顟B(tài)下，廣義力矢量 應(yīng)與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩平衡。 個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩組成 維矢量： ，稱為關(guān)節(jié)力矢量。TnT21nfFFfnnn FqJT四、力雅可比例：2自由度機(jī)械手如圖所示。取10（rad），2/2（rad）的姿態(tài)時(shí)，分別求解生