人教七年級數(shù)學知識點及典型例題

1、2017人教版七年級數(shù)學知識點 及典型例題B數(shù)軸上的點只能表示分數(shù)C數(shù)軸上的點只能表示有理數(shù)D所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來答案AD知識點三相反數(shù)相提薪 只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0。在數(shù)軸上位于原點 兩側(cè)且離原點距離相等。知識點四絕對值1 .絕對值的幾何意義:一個數(shù)所對應(yīng)的點離原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。2 .絕對值的代數(shù)定義：（1） 一個正數(shù)的絕對值是它本身；（2） 一個負數(shù)數(shù)的絕 對值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對值是0； （4） |a|大于或者等于0。3 .比較兩個數(shù)的大小關(guān)系數(shù)學中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從大到小的順序, 即左邊的數(shù)小于

2、右邊的數(shù)。由此可知：（1）正數(shù)大于0, 0大于負數(shù)，正數(shù)大于 負數(shù)；（2）兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。知識點五有理數(shù)加減法1 .同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值 減去較小的絕對值。2 .互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0o3 .一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。4 .減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。知識點六乘除法法則1 .骨薪相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。0乘以任何數(shù)，都得 0。2 .幾個不為0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定，負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù) 時，積為正；負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負。3 .兩數(shù)相除，同

3、號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不 等于0的數(shù)，都得 0。4 .有理數(shù)中仍然有：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)o5 .除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。知識點七乘方乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)。正數(shù)的任何次第都是正數(shù)，0的第一章有理數(shù)知識點一有理數(shù)的分類也螂（一.正整數(shù) 正存呼L正分數(shù)零負整數(shù) 負得黝-負分數(shù)含正有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)含負有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)的另一種分類自然皴正分數(shù)負分數(shù)想一想：零是整數(shù)嗎？自然數(shù)一定是整數(shù)嗎？自然數(shù)一定是正整數(shù)嗎?整數(shù)一定是自 然數(shù)嗎？ 零是整數(shù)；自然數(shù)一定是整數(shù)；自然數(shù)不一定是

4、正整數(shù)，因為零也是自然數(shù)；整 數(shù)不一定是自然數(shù)，因為負整數(shù)不是自然數(shù)。知識點二數(shù)軸1 .填空規(guī)定了唯一的原點，正方向和單位長度（三要素）的直線叫做數(shù)軸。比一3大的負整數(shù)是-2、-lo與原點的距離為三個單位的點有2個，他們分別表示的有理數(shù)是3、-3o2 .請畫一個數(shù)軸，并檢查它是否具備數(shù)軸三要素？3 .選擇題 在數(shù)軸上，原點及原點左邊所表示的數(shù)是（）A整數(shù)B負數(shù) C非負數(shù) D非正數(shù)下列語句中正確的是（）A數(shù)軸上的點只能表示整數(shù)任何正整數(shù)次幕都是0。知識點八運算律及混合運算1 .加法交換律：a+b=b+aL加法交換律：a+b=b+a2 .乘法交換律：a b=b a3 加法結(jié)合律:a+ (b+c)

5、= (a+b)+c4 .乘法結(jié)合律：a (b c) = (a b) c5 .乘法分配律：a (b+c) =ab+ac6 .有理數(shù)混合運算順序：先乘方；再乘除；最后算加減。7 .有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行o8 .同級運算，從左到右進行。知識點九近似數(shù)1 .近似數(shù)：在一定程度上反映被考察量的大小，能說明實際問題的意義，與準確 數(shù)非常地接近，像這樣的數(shù)我們稱它為近似數(shù)。2 .近似數(shù)的分類(1)具體近似數(shù)(如30. 2、58.0)(2)帶單位近似數(shù)(如2.4萬)(3)科學記數(shù)法3 .精確度：用位數(shù)較少的近似數(shù)替代位數(shù)較多或位數(shù)無限的數(shù)，有一個近似程度 的問題，這個近似程

6、度就是精確度。四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位(看精 確度得到原數(shù)中去看在哪一位上，如:2. 4萬精確到千位，而非十分位，因為2. 4 萬就是24000, 4在千位上)。4 .有效數(shù)字：對于一個不為。的近似數(shù)，從左邊第一個不為。的數(shù)字起，到末尾 數(shù)止，所有數(shù)字都是這個近似數(shù)的有效數(shù)字。求近似數(shù)要求保留n個有效數(shù)字時，第n+1個有效數(shù)字作四舍五人處理。例：0.0109有三個有效數(shù)字1、0、9,要求保留2個有效數(shù)字時，0.0109的第三 個有效數(shù)字9四舍五入，變?yōu)?.0110,保留兩個有效數(shù)字1、1后求出近似數(shù) 0.0109 七 0.011。第二章 整式的加減知識點一整式的相關(guān)概念代數(shù)式中的一種

7、有理式：不含除法運算或分數(shù)，以及雖有除法運算及分數(shù),但除式 或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式。(分母中含有字母有除法運算的，那么式子 叫做分式)1.單項式：數(shù)或字母的積(如5n),單個的數(shù)或字母也是單項式。(1)單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)及性質(zhì)符號叫做單項式的系數(shù)。(如果 一個單項式，只含有數(shù)字因數(shù)，系數(shù)是它本身，次數(shù)是0)。(2)單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù) (非零常數(shù)的次數(shù)為O) O 2多項式(1)概念：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的 項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。(2)多項式的次數(shù)：多

8、項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。(3)多項式的排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這 個字母降黑排列；把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來， 叫做把多項式按這個字母升幕排列。在做多項式的排列的題時注意：由于單項式的項包括它前面的性質(zhì)符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質(zhì) 符看作是這一項的一部分，一起移動。有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意先確認按照哪個字母的 指數(shù)來排列。b.確定按這個字母降塞排列，還是升塞排列。3,整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。4.列代數(shù)式的幾個注意事項(1)數(shù)與字母相乘，或字母與字母相乘通常

9、使用“ ”乘，或省略不寫；(2)數(shù)與數(shù)相乘，仍應(yīng)使用“X”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘號；(3)數(shù)與字母相乘時，一般在結(jié)果中把數(shù)寫在字母前面，如aX5應(yīng)寫成5a；(4)帶分數(shù)與字母相乘時，要把帶分數(shù)改成假分數(shù)形式；(5)在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般用分數(shù)線將被除式和除式聯(lián)系，如3 + a 寫成3/a的形式；(6) a與b的差寫作a-b,要注意字母順序；若只說兩數(shù)的差，當分別設(shè)兩數(shù)為 a、b時，則應(yīng)分類，寫做ab和b-a .知識點二整式的加減運算L同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項叫做同類項， 幾個常數(shù)項也是同類項。(同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母排列的順序也無關(guān))。2 .合

10、并同類項：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。法則：同類項 的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。不能合并的項單獨作 為一項，不可遺漏3 .整式加減實質(zhì)就是去括號，合并同類項。注：去括號時，如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的 符號相反。一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類 項。4 .幾個重要的代數(shù)式：（in、n表示整數(shù)）（1） a與b的平方差是：a2-b2；，與b差的平方是：（a-b） 2；（本式中2為平方）（2）若a、b、c是正整數(shù)，則兩位整數(shù)是：10a+

11、b,則三位整數(shù)是：lOOa+lOb+c；（3）若m、n是整數(shù)，則被5除商m余n的數(shù)是：5m+n ；偶數(shù)是：2n ,奇數(shù)是：2n+l；三個連續(xù)整數(shù)是：n-l、n、n+1；（4）若b>0,則正數(shù)是:a2+b ,負數(shù)是：-a2-b ,非負數(shù)是：a2 ,非正數(shù)是:-a2 （本式中2為平方） 第三章一元一次方程知識點一方程的相關(guān)概念等式：表示相等關(guān)系的式子。方程：含有未知數(shù)的等式。（方程一定是等式，但等式不一定是方程）。方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。解方程：求出使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值的過程叫做解方程。一元一次方程：只含一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,并且等式兩邊

12、都是整式的 方程。同解方程：兩方程的解相同。知識點二等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1:等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。即：如果a=b,那么a土c=b土c。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。即：如果 a=b,那么 ac=bc；如果 a=b（cWO）,那么 a/c二b/c。知識點三解一元一次方程L 一般解法：i去分母：兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)；ii去括號；iii 移項：移項要變號；iv合并同類項：把方程化成ax=b （aWO）的形式；V系數(shù)化為1：兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解x=b/a。2 . 一元一次方程的應(yīng)用（重點難點）列方程解應(yīng)用題的關(guān)

13、鍵是：仔細審題，找出能正確表達題目整體數(shù)量關(guān)系的一個相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)，并將這個相等關(guān)系用含未知數(shù)的式子表示出來。3 .幾種常見問題a.和差倍分問題：這類問題主要是正確理解是幾倍“增加了幾倍” “增加到幾 倍” “多少” “大小” “不足“剩余”等關(guān)鍵詞語的意義。b.行程相遇問題：三個基本量的關(guān)系路程送度X時間（1）兩人在圓形跑道上同時同地背向而行求首次相遇時間：甲的路程+乙的路程二一 圈的長度（直線路上兩人面對面行走首次相遇的時間求法與之相同）；兩人在圓形跑道上同時同地同向而行求首次相遇時間:快人的路程-慢人的路 程二一圈的長度。C.工程任務(wù)問題：三個基本量的關(guān)系:工作量=工作效率X工作時

14、間 一般情況下，把全部工作量看做1 （即100%）,工作效率二1 /工作時間（各個量一定 要對應(yīng)，自己的效率乘以自己的時間等于自己的工作量）。合作效率二各個人的效率 之和。d.利潤問題：利潤二售價-成本二成本X利潤率；利潤率=利潤+成本；實際售價二 標價X折扣率。e.分配問題：例：某車間有22名工人加工生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均生 產(chǎn)螺栓120個或螺母200個，一個螺栓要配兩個螺母（建立等量關(guān)系的依據(jù)），應(yīng) 該分配多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好 配套？f.水上航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度;靜水速度-水流速度。應(yīng)用舉例L 一本書，小明第

15、一天讀了十分之一，第二天讀了 10頁,己讀的是未讀的1/4, 請問這本書一共有多少頁？等量關(guān)系：已讀的+未讀的二總頁數(shù)（或已讀的二總頁數(shù)-未讀的，未讀的二總頁數(shù)- 已讀的）。2 .某服裝七月份下降了 10%,八月份上升了 10%,則八月份價格與原價比（）A.不變B.增加1%C.減少9%D.減少1%注意：不要誤以為不變,百分數(shù)的基數(shù)不一樣會變化,7月份是在原價基礎(chǔ)上下降 10%, 8月份是在7月份基礎(chǔ)上上升10%而不再是在原價基礎(chǔ)上上升。3 .甲乙兩人在400米的圓形跑道上跑步，甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。（1）當兩人同時同地背向而行時,經(jīng)過多少秒后兩人首次相遇？（2）當兩人同時同地同向而行時,

16、經(jīng)過多少秒后兩人首次相遇？分析（1）:設(shè)經(jīng)過x秒首次相遇。兩人加起來跑完一圈即400米時首次相遇,所以等 量關(guān)系式是：甲的路程+乙的路程=一圈的長度400米 甲的路程二甲的速度X時間x乙的路程二乙的速度X時間X得到方程:9x+7x=400（2）設(shè)經(jīng)過x秒首次相遇。同向首次相遇，即快的人多跑一圈與慢的人相遇，所以 等量關(guān)系式是:快人的路程-慢人的路程二一圈的長度400米,在這即是甲的路程- 乙的路程二400。4 .一項任務(wù)，甲獨做需x天,乙獨做需y天,若兩人合作需 天分析:合作時間=工作量/合作效率工作量=1合作效率二甲的效率+乙的效率甲的效率;工作量/甲的時間=1 / x乙的效率;工作量/乙的

17、時間=1 / y.合作時間=1/ （l/x+1/y）5.某種商品每件的進價為250元,按標價的9折銷售時,利潤率為15. 2%,這種商品 每件標價多少元？分析:設(shè)標價x元,等量關(guān)系:利潤（求）+成本（已知250元卜利潤率（已知15. 2%） 利潤:實際售價（標價的9折即90%x）-成本250A（90%x-250） / 250=15. 2%第四章圖形認識初步知識點一：幾何圖形1 .我們把從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。2 .有些幾何圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。如長方體、正方 體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等。3 .有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。如線

18、段、角、三角 形、長方形、圓等。4 .立體圖形與平面圖形雖然是兩類不同的幾何圖形，但是立體圖形中某些部分是 平面圖形，對于一些立體圖形的問題，常把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究和處理。 有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平 面圖形，這樣的平面圖形成為相應(yīng)立體圖形的展開圖。知識點二點、線、面、體1 .立體圖形是幾何體，簡稱體；包圍著體的是面，面有平面和曲面；面和面相交 的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點。2 .幾何圖形都是由點、線、面、體組成，點是構(gòu)成圖形的基本元素。知識點三直線、射線、線段1 .線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫線段，這兩個點叫線段

19、的端點。 射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。2 .點與直線的位置關(guān)系點p在直線a上（或說直線a經(jīng)過點p）;點P不在直線a上（或說直線a不經(jīng)過點P）。過一點可畫無數(shù)條直線，過兩點有且僅有一條直線。簡述為：兩點確定一條直線。3 .線段的中點：把一線段分成兩相等線段的點。兩點的所有連線中，線段最短，簡述為：兩點之間，線段最短。兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度。線段的長短比較：度量法；疊合法知識點四角角：由兩條具有公共端點引出射線組成的圖形（也可看做是由一射線繞端點旋轉(zhuǎn)而 成）。角的表示:三個大寫字母;一個大寫字母（不混淆情況下方可使用）；一個

20、數(shù)字；一個 希臘字母。角的要素：頂點和邊，角的大小與邊的長短無關(guān)。角的單位：度，分，秒1°的60分之一為1分，記作1',即1° =60'1'的60分之一為1秒，記作1",即J =60"角的大小比較：度量法；疊合法。角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個等角，這條射線叫 角平分線。余角和補角：如果兩個角的和等于90° （直角），就說這兩個角互為余角；如果 兩個角的和等于180。（平角），就說這兩個角互為補角。性質(zhì)：等角的補角相等；等角的余角相等。題型一：作圖題例1 已知：線段m、no （如圖）求作：線段AC

21、,使AC = m - n。作法：(1)作射線AM；(2)在射線AM上截取AB = m。(3)在線段AB上截取BC = noA c J BM則線段AC就是所求作的線段。題型二：線段的分類考慮例2已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使它等于3cm,求線段AC的長。解：本題分兩種情況:圖 4-4-d AC "B圖 4-4-10如圖4一4一9所示，當點C在線段AB的延長線上時，AC=AB+BC=8+3 = U(crn)；如圖4一4一 10所示，當點C在線段AB上時，AC=AB-BC=83 = 5 (cm).所以線段AC的長為11 cm或5cm。例3經(jīng)過任意三點中的兩點共可以畫出的直

22、線條數(shù)是()A. 1 或 3 B. 3 C. 2 D. 1解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在一條直線上時，就只能畫出一 條直線；二是這三點不在同一條直線上時，此時共可以畫出三條直線.答案：A題型三：兩角互補、互余定義及其性質(zhì)的應(yīng)用例4一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數(shù)解：設(shè)這個角是X。，則它的補角是(180X)。由題意，得180x=4 x,解得x=36.所以這個角是36°。點撥本題主要考查補角定義的應(yīng)用，數(shù)學中利用方程、轉(zhuǎn)化思想，可將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題研究，從而簡捷解決問題。例5如果一個角的補角是120。，那么這個角的余角是()A. 30° B

23、. 60° C. 90° D. 150°解析：本題是對余角、補角的綜合考查，先根據(jù)這個角的補角是120。，求出這 個角是60° ,再求出它的余角是30°。 答案：A例6 根據(jù)補角的定義和余角的定義可知，10°的角的補角是170。，余角是 80° ； 15°的角的補角是165° ,余角是75° ； 32°的角的補角是148° ,余角 是58° .觀察以上各組數(shù)據(jù)，你能得出怎樣的結(jié)論?請用任意角a代替題中 的10°、15°、32°的角來說明

24、你的結(jié)論。解：結(jié)論為：一個角的補角比這個角的余角大90°。說明：設(shè)任意角是a (0 V a V90° ), a的補角是180。-a, a的余角是90。-a，則(180° - a ) - (90° -a )=90°。題型四角的有關(guān)運算例 7 如圖 443 所示，AB 和 CD 都是直線，ZA0E=90° , N3° =ZF0D, Z1 = 27° 20',求N2、N3 的度數(shù)。圖 4-4-3解：因為NAOE=90° ,所以N2=90° -Zl = 90° -27° 20

25、' =62° 40'.又因為NA0D=180° -Zl = 152° 40' , N3=NF0D,所以N3=NAOD=76。20'.所以上 2=62° 40' , Z3=76° 20'.例8 如圖444所示，OB、0C是NA0D內(nèi)任意兩條射線，0M平分NAOB, 0N 平分 NC0D,若 NM0N=a, ZB0C= P ,用 a、。表示 NAOD。圖 4 - 4 1 4解：因為NMON= a , NBOC=B ,所以NBOM+NCON=NMON NBOC=a - B又OM平分NAOB, ON平分N

26、COD,B),所以 NAOB+NCOD=2NBOM+2NCON=2 (ZBOM+ZCON) =2 (a所以 NAOD=NAOB+NCOD+NBOC=2(a 8) + B=2a 6.例9 (D用度、分、秒表示54. 12°(2)32° 44' 24"等于多少度？ (3)計算：133° 227 43" +3解：(1)因為 0. 12° =60，X0. 12=7. 2，, 0.2, =60" X0. 2=12 ,所以 54. 12° =54° T 12 .因為 24"=()' X24=

27、0. 4,，44. 4f =()° X44. 4=0. 74° ,所以 32° 44' 24" =32.74° .(3)133° 22' 43 +3=(1320 +82' )+3+43" +3=44° +82' +3+43 4-3=44° +(81, +1,)+3+43" 4-3=44° +27' +1' +3+43” +3=44° +27' +103" 4-344° +27' +3 =44° 27' 3。題型五鐘表的時針與分針夾角問題例1015： 25時鐘面上時針和分針所構(gòu)成的角是一度圖 4-4-5 解析：起始時刻定為15： 00（下午3點整時，時針和分針構(gòu)成的角是90&#