中央電大《數(shù)學(xué)建模》試題(第二

1、數(shù)學(xué)模型模擬試卷1一、填空題 （每題 5 分，滿分20 分）：1. 設(shè)開始時的人口數(shù)為x0 ，時刻 t 的人口數(shù)為x(t ) ，若允許的最大人口數(shù)為xm ，人口增長率由 r ( x)rsx 表示，則人口增長問題的羅捷斯蒂克模型為.2. 設(shè)年利率為0.05，則 20 萬元 10 年后的終值按照復(fù)利計算應(yīng)為.3. 一家服裝店經(jīng)營的某種服裝平均每天賣出110 件，進(jìn)貨一次的批發(fā)手續(xù)費(fèi)為200 元，存儲費(fèi)用為每件0.01 元 /天，店主不希望出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，則最優(yōu)進(jìn)貨周期與最優(yōu)進(jìn)貨量分別為.4. 設(shè)某種物資有兩個產(chǎn)地A1 , A2 ，其產(chǎn)量分別為10、 20，兩個銷地B1, B2 的銷量相等均為 15。

2、如果從任意產(chǎn)地到任意銷地的單位運(yùn)價都相等為a, 則最優(yōu)運(yùn)輸方案與運(yùn)價具有兩個特點 .二、分析判斷題（每題 10 分，滿分20 分）：1. 一條公路交通不太擁擠，以至人們養(yǎng)成“沖過”馬路的習(xí)慣，不愿意走臨近的“斑馬線”。交管部門不允許任意橫穿馬路，為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點增設(shè)“斑馬線”，以便讓行人可以穿越馬路。那末“選擇設(shè)置斑馬線的地點”這一問題應(yīng)該考慮哪些因素？試至少列出 3 種。2. 在文字教材 4.1 中我們給出了營養(yǎng)配餐問題的數(shù)學(xué)模型minZ= 4x1+ 3x210 x15x250,(1)5x18x240,(2)s. t .5x26x142,(3)x1, x20其中 x1, x2

3、表示參與配餐的兩種原料食品的采購量，約束條件（1）、（ 2）、（ 3）依次表示鐵、蛋白質(zhì)和鈣的最低攝入量。并用圖解法給出了其最優(yōu)解x*(2,6)T ，試分析解決下述問題：（ 1） 假如本題的目標(biāo)函數(shù)不是求最小而是求最大值類型且約束條件不變，會出現(xiàn)什么結(jié)果？（ 2） 本題最后定解時，只用了直線（1）與直線（ 3），而直線（ 2）未用上，這件事說1 / 8明了什么？試從實際問題背景給以解釋.三、計算題（每題 20 分，滿分40 分）：1. 某公司自國外A 廠家進(jìn)口一部分精密機(jī)器.由廠家到出口港有三個港口B1、B2、B3 供選擇，運(yùn)費(fèi)依次為20， 40 和 30；而進(jìn)口港也有三個可供選擇，代號為C1

4、， C2 和 C3，運(yùn)費(fèi)為：B 1 到 C1、 C2、C3 依次為 70、 40、 60， B 2 到 C1、 C2 、C3 依次為30、 20、 40， B3 到 C1,C2 ,C3依次為 40、 10、50；進(jìn)口后可經(jīng)由兩個城市D 1、 D2 運(yùn)抵目的地E，從 C1、C2、 C3 到 D1、 D2的運(yùn)費(fèi)為 10 和 40， 60 和 30， 30 和 30；從 D 1、 D2 到 E 的運(yùn)費(fèi)則為 30 和 40. 試?yán)脠D模型協(xié)助策劃一個運(yùn)輸路線，使總運(yùn)費(fèi)最低.2. 某工程隊承擔(dān)一座橋梁的施工任務(wù).由于施工地區(qū)夏季多雨，需停工三個月.在停工期間該工程隊可將施工機(jī)械搬走或留在原處.如搬走，需

5、搬運(yùn)費(fèi)1800元 .如留原處，一種方案是花500 元筑一護(hù)堤，防止河水上漲發(fā)生高水位的侵襲.若不筑護(hù)堤，發(fā)生高水位侵襲時將損失10000 元 .如下暴雨發(fā)生洪水時，則不管是否筑護(hù)堤，施工機(jī)械留在原處都將受到60000 元的損失 .據(jù)歷史資料，該地區(qū)夏季高水位的發(fā)生率是25%，洪水的發(fā)生率是2%.試用決策樹法分析該施工隊要不要把施工機(jī)械搬走及要不要筑護(hù)堤？四、綜合應(yīng)用題（本題滿分20 分）：試建立確定情形下允許缺貨的存儲問題的數(shù)學(xué)模型。提示 ： 所謂的確定情形下的存儲模型是指文字教材第一章提到過的不允許缺貨的存儲模型；所謂允許缺貨是在不允許缺貨模型假設(shè)條件下，再考慮因缺貨造成的損失建立相應(yīng)的模型

6、。（要求按照五步建模法進(jìn)行建模工作，本題應(yīng)給出五個步驟。）數(shù)學(xué)模型模擬試卷2一、填空題 （每題 5 分，滿分20 分）：1. 設(shè)開始時的人口數(shù)為x0 ，時刻 t 的人口數(shù)為x(t) ，若人口增長率是常數(shù)r ，那麼人口增長問題的馬爾薩斯模型應(yīng)為.2. 設(shè)年利率為0.05，則 10 年后 20 萬元的現(xiàn)值按照復(fù)利計算應(yīng)為.2 / 83. 所謂數(shù)學(xué)建模的五步建模法是指下列五個基本步驟，按一般順序可以寫出為.4.設(shè) 某 種 商 品 的 需 求 量 函 數(shù) 是 Q (t)25 p(t )1200, 而 供 給 量 函 數(shù) 是G (t)35 p(t1)3600 ，其中 p(t) 為該商品的價格函數(shù)，那麼該

7、商品的均衡價格是.二、分析判斷題（ 每題 10 分，滿分 20 分）：1. 從下面不太明確的敘述中確定要研究的問題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3個），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3 個） ，建立何種數(shù)學(xué)模型：一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時間非常擁擠，該如何解決。2. 某公司經(jīng)營的一種產(chǎn)品擁有四個客戶，由公司所轄三個工廠生產(chǎn)，每月產(chǎn)量分別為3000， 5000 和 4000 件 .公司已承諾下月出售4000 件給客戶1，出售 3000 件給客戶 2 以及至少 1000 件給客戶3，另外客戶3 和 4 都想盡可能多購剩下的件數(shù).已知各廠運(yùn)銷一件產(chǎn)品給客戶可得到的凈利潤如表1 所示

8、，問該公司應(yīng)如何擬訂運(yùn)銷方案，才能在履行諾言的前提下獲利最多？表 1單位：元 / 件客戶利潤1234工廠165636264268676562363605960上述問題可否轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸模型？若可以則轉(zhuǎn)化之（只需寫出其產(chǎn)銷平衡運(yùn)價表即可），否則說明理由。三、計算題 （每題 20 分，滿分40 分）：1. 有一批貨物要從廠家 A 運(yùn)往三個銷售地 B、C、D，中間可經(jīng)過 9 個轉(zhuǎn)運(yùn)站E1, E2 , E3 , F1, F2, F3, G1, G2, G3 .從 A 到 E1 ,E2 ,E3 的運(yùn)價依次為3、8、7；從 E1 到 F1, F2 的運(yùn)價為4、3；從 E2 到 F1 ,F2 , F3 的運(yùn)價為

9、2、 8、 4；從 E3 到 F2 , F3 的運(yùn)價為7、 6；從 F1 到3 / 8G1 ,G2 的運(yùn)價為10、 12；從 F2 到 G1 ,G2 ,G3 的運(yùn)價為13、 5、 7；從 F3 到 G2 ,G3 的運(yùn)價為6、 8；從 G1 到 B, C 的運(yùn)價為9、 10；從 G2 到 B,C , D 的運(yùn)價為5、10、 15；從 G3 到 C, D 的運(yùn)價為 8、 7。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家制定一個總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸路線。2. 試求如表 2 所示運(yùn)輸問題的最優(yōu)運(yùn)輸方案和最小運(yùn)輸費(fèi)用：表 2 單位：百元 /噸銷地運(yùn)價B1B2B3B4產(chǎn)量產(chǎn)地A1352920A24751215A369101125銷量

10、10 201515四、綜合應(yīng)用題 （本題滿分20 分）：試建立方桌問題在四條腿腳呈長方形情形時的數(shù)學(xué)模型，以說明方桌能否在地面上放穩(wěn)的問題。（ 提示：要求按照五步建模法進(jìn)行建模工作，本題至少應(yīng)給出前四個步驟。）數(shù)學(xué)模型模擬試卷3一、簡答題 (20 分 *2)1. 試舉出兩個實例說明建立數(shù)學(xué)模型的必要性。包括實際問題的背景。建模的目的，需要大體上什么樣的模型以及怎樣應(yīng)用這種模型等。2.從下面不太明確的敘述中確定要研究的問題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3 個），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3 個） ，建立何種數(shù)學(xué)模型：“一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時間非常擁擠，該如何解決”。二、

11、綜合應(yīng)用題（60 分）試建立方桌問題在四條腿腳呈長方形情形時的數(shù)學(xué)模型，以說明方桌能否在地面上放穩(wěn)的問題。4 / 8（ 提示：要求按照五步建模法進(jìn)行建模工作，本題至少應(yīng)給出前四個步驟。）數(shù)學(xué)模型模擬試卷4A 題： (60 分)21 世紀(jì)，各個大學(xué)都在擴(kuò)招擴(kuò)建，這樣很多學(xué)校就有幾個不同的校區(qū)。隨著校區(qū)的增多，相應(yīng)的管理成本，運(yùn)行成本也增加。各個高校在幾個校區(qū)的管理上也是費(fèi)盡心思，但總存在各種各樣的問題。同樣，我們工商職業(yè)學(xué)院也存在同樣的問題?，F(xiàn)在已經(jīng)有石橋鋪校區(qū)和二郎校區(qū)，再加上正在建的合川校區(qū)。三個校區(qū)如何管理，如何運(yùn)營？請你們根據(jù)我校實際情況，收集諸如交通費(fèi)用、管理費(fèi)用等相關(guān)數(shù)據(jù)，并據(jù)此通過

12、數(shù)學(xué)建模的方法，就學(xué)校在三個校區(qū)的管理成本、校車路線安排、各專業(yè)在三個校區(qū)如何分配進(jìn)行定量分析，得出明確、有說服力的結(jié)論。數(shù)據(jù)的收集和分析是你們建模分析的基礎(chǔ)和重要組成部分。你們的論文必須觀點鮮明、分析有據(jù)、結(jié)論明確。最后，根據(jù)你們建模分析的結(jié)果，給學(xué)校有關(guān)部門寫一份報告，提出具體建議。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題：（ 40 分）1、一個頂角為900 的錐體狀雪堆，其體積融化的速率與錐面面積S 成正比，其比例系數(shù)為 k (k 0) .假設(shè)雪在融化過程中始終保持錐狀.已知高為 h0 的雪堆在開始融化的 1 小時內(nèi)，融化了其體積的37 .試求雪堆全部融化需要的時間 .642、中國人民銀行經(jīng)過幾次下調(diào)存款利率，目前銀

13、行整存整取的年利率如下表：存期一年期二年期三年期五年期年利率 %2.25%2.43%2.70%2.88%現(xiàn)有一位剛升入初一的學(xué)生，家長欲為其存一萬元，以供6 年后上大學(xué)使用。若此期間利率不變，請為其設(shè)計一種存款方案，使6 年后所獲收益最大.并求出最大收益 .數(shù)學(xué)模型模擬試卷5購房貸款問題李四夫婦計劃貸款30 萬元購買一套房子，他們打算用20 年的時間還清貸款。目前，銀行的貸款利率是0.6% 月。他們采用等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款。5 / 81. 在上述條件下， 李四夫婦每月的還款額是多少？共計需要付多少利息？2. 在貸款 10 年零 7 個月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完

14、余下的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付第 10 年的第 7 個月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？3. 如果在第 4 年初，銀行的貸款利率由0.6% 月調(diào)到 0.5% 月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~還款的方式，在余下的17 年內(nèi)將貸款還清，那么在第4 年后，每月的還款額應(yīng)是多少？4. 又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由 0.5% 月調(diào)到 0.8% 月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~還款的方式，在余下的13 年內(nèi)將貸款還清，那么在第8 年后，每月的還款額應(yīng)是多少？5. （在第三問四問假設(shè)的基礎(chǔ)上）銀行調(diào)整利率以后，在貸款10年零7個月時，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算

15、提前還貸，那么他們在已支付第10年的第7 個月的還款額后（第8 個月應(yīng)還款前）的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？6. 李四夫婦發(fā)現(xiàn)銀行提供了 6 種不同的還款方式：等額本息還款法：是指在貸款期內(nèi)每月以相等的金額平均償還貸款本息的還款方法；等額本金遞減法：是指在貸款期內(nèi)每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減的還款方法；等額遞增還款法：是指在貸款期的后一時間段內(nèi)每期還款額相對前一時間段內(nèi)每期還款額有一個固定增加額，同一時間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法；等額遞減還款法：是指在貸款期的后一時間段內(nèi)每期還款額相對前一時間段內(nèi)每期還款額有一個固定減少額，同一時間段內(nèi)，每期還款額相

16、等的還款方法；等比遞增還款法：是指在貸款期的后一時間段內(nèi)每期還款額相對前一時間段內(nèi)每期還款額呈一固定比例遞增，同一時間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法；等比遞減還款法：是指在貸款期的后一時間段內(nèi)每期還款額相對前一時間段內(nèi)每期還款額呈一固定比例遞減，同一時間段內(nèi)，每期還款額相等的還款方法。李四夫婦認(rèn)為，隨著他們工作經(jīng)歷的增長，家庭收入也會隨著增長，因此，打算采用等額遞增還款法的還款方式來償還貸款，具體的辦法是：每5 年為一個時間段，后一個時間段比前一個時間段每月多還400 元。在此情況下，如果貸款利率還是0.6% 月，那么，第1個時間段的每月還款額是多少？以后各時間段的每月還款額又是多少？共計付了

17、多少利息？在貸款10 年零7 個月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付第10 年的第7 個月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢，才能將余下6 / 8全部的貸款還清？7. 在 6 提出的等額遞增還款法方式下，在第4 年初，銀行的貸款利率由0.6% 月調(diào)到0.5% 月，又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由0.5% 月調(diào)到 0.8% 月，那么以后各時間段的每月還款額分別是多少？在貸款10 年零7個月后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付第10年的第 7 個月的還款額后的某天，應(yīng)一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？8

18、. 綜合上述問題，請你們?yōu)槔钏姆驄D ( 實際上是打算貸款購房的人 )寫一份短文，幫助他們分析各種方法的利弊，和償還貸款的計劃。數(shù)學(xué)模型模擬試卷6壓氣機(jī)葉片排序由于加工出的壓氣機(jī)葉片的重量和頻率不同，安裝時需要按工藝要求重新排序。1 壓氣機(jī)24 片葉片均勻分布在一圓盤邊上，分成六個象限，每象限4 片葉片的總重量與相鄰象限4 片葉片的總重量之差不允許超過一定值（如8g）。2 葉片排序不僅要保證重量差，還要滿足頻率要求，兩相鄰葉片頻率差盡量大，使相鄰葉片頻率差不小于一定值（如 6Hz ）。3 當(dāng)葉片確實不滿足上述要求時，允許更換少量葉片。請按上述要求給出：1 按重量排序算法；2 按重量和頻率排序算法；3 葉片不滿足要求時，指出所更換葉片及新葉片的重量和頻率值范圍；4 當(dāng)葉片保證了重量差和頻率差時，按排列順序輸出。下面是兩組葉片數(shù)值：重量單位：g ,頻率單位： Hz序號重量頻率序號重量頻率16962031717206270420427152063694210371020646982114702207569521257112066694208671420