橢圓專題復(fù)習(xí)講義

1、橢圓專題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)21ff、的距離之和為常數(shù)|)|2(222ffaa的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡叫橢圓 , 其中兩個(gè)定點(diǎn)21ff、叫橢圓的焦點(diǎn) . 當(dāng)21212ffapfpf時(shí), p的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)21212ffapfpf時(shí), p的軌跡不存在; 當(dāng)21212ffapfpf時(shí), p的軌跡為以21ff、為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)f與定直線l( 定點(diǎn)f不在定直線l上) 的距離之比是常數(shù)e(10e) 的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義, 可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）. 2. 橢圓的方程與幾何性質(zhì): 標(biāo)準(zhǔn)方程)

2、0(12222babyax)0( 12222babxay性質(zhì)參數(shù)關(guān)系222cba焦點(diǎn))0 ,(),0 ,(cc),0(), 0(cc焦距c2范圍byax| ,|bxay| ,|頂點(diǎn)), 0(),0(),0,(),0 ,(bbaa)0 ,(),0,(),0(),0(bbaa對(duì)稱性關(guān)于 x 軸、 y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率)1 ,0(ace準(zhǔn)線cax2cay2考點(diǎn) 1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運(yùn)用例 1 (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009 屆高三聯(lián)考 )橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線， 經(jīng)橢圓反射后， 反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)a、b 是它

3、的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)a 的小球（小球的半徑不計(jì)） ，從點(diǎn) a 沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)a 時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是a4a b 2(ac) c2(a+c) d以上答案均有可能解析 按小球的運(yùn)行路徑分三種情況: (1)aca,此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(ac); (2)abdba, 此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c); (3)aqbpa此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選 d 【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1.短軸長(zhǎng)為5，離心率32e的橢圓兩焦點(diǎn)為f1，f2，過(guò) f1作直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，則abf2的周長(zhǎng)為（）a.3 b.6 c.12 d.24解析 c.

4、長(zhǎng)半軸 a=3， abf2的周長(zhǎng)為4a=122. 已 知p為 橢 圓2212516xy上 的 一 點(diǎn) ，,m n分 別 為 圓22(3)1xy和 圓22(3)4xy上的點(diǎn)，則pmpn的最小值為（）a 5 b 7 c 13 d 15 解析 b. 兩圓心c、 d 恰為橢圓的焦點(diǎn)，10|pdpc，pmpn的最小值為10-1-2=7 題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為244，求此橢圓方程. 【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)cba,的式子“描述”出來(lái) 解析 設(shè)橢圓的方程為12222byax或)0(

5、12222baaybx，則222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c 4.則所求的橢圓的方程為1163222yx或1321622yx. 【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)cba,的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y 軸上的情況【新題導(dǎo)練】3. 如果方程x2+ky2=2 表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 _. oxyd p a b c q 解析 (0,1). 橢圓方程化為22x+ky22=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則k22，即k0， 0k0 （* ）x1x22kmk22， x1x2m21k22 ap 3 pb x13x2x1x2 2x2x1x2 3x22消去 x2，得 3（x1

6、x2）24x1x20， 3（2kmk2 2）24m21k220 整理得 4k2m22m2k220m214時(shí)，上式不成立；m214時(shí)， k222m24m21，因 3 k0 k222m24m210， 1m12或12m2m22 成立，所以（ * ）成立即所求 m 的取值范圍為（1，12）（12，1）【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能【新題導(dǎo)練】14. 設(shè)過(guò)點(diǎn)yxp,的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于a、b兩點(diǎn)， 點(diǎn)q與點(diǎn)p關(guān)于y軸對(duì)稱，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若pabp2，且1aboq，則p點(diǎn)的軌跡方程是（） a. 0,0132322yxyx b. 0,01

7、32322yxyxc. 0,0123322yxyx d. 0,0123322yxyx解析 ),(),3,23(yxoqyxab132322yx，選 a.15.如圖，在rt abc中， cab=90， ab=2，ac=22。一曲線e過(guò)點(diǎn) c，動(dòng)點(diǎn) p在曲線e上運(yùn)動(dòng)，且保持| pa|+| pb | 的值不變，直線l 經(jīng)過(guò) a 與曲線 e交于 m、 n 兩點(diǎn)。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線e的方程；（2）設(shè)直線l 的斜率為k，若 mbn 為鈍角，求k 的取值范圍。解： （1）以 ab 所在直線為x 軸， ab 的中點(diǎn)o 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則a（ 1，0） ，b（1，0）由題設(shè)可得2222322)

8、22(222|22cbcapbpa動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程為)0(12222babyax，則1.1,222cabca曲線 e方程為1222yx（2）直線 mn 的方程為),(),(),(),1(221111yxnyxmyxmxky設(shè)設(shè)由0)1(24)21 (022) 1(222222kxkxkyxxky得0882k方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根2221222121)1(2,224xkkxxkkx), 1(), 1(2211yxbnyxbm) 1)(1()1)(1()1)(1(112212121xxkxxyyxxbnbm22122121)(1()1(kxxkxxk22222222221171)214)(1(2

9、1) 1(2)1(kkkkkkkkk mbn 是鈍角0bnbm即0211722kk解得：7777k又 m、b、n 三點(diǎn)不共線0k綜上所述， k 的取值范圍是)77, 0()0,77(基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示 ,橢圓中心在原點(diǎn),f是左焦點(diǎn) ,直線1ab與 bf交于 d,且901bdb,則橢圓的離心率為( ) a 213b 215c 215d 23 解析 b . eaccacbab221)(2152. 設(shè) f1、f2為橢圓42x+y2=1 的兩焦點(diǎn)， p 在橢圓上，當(dāng)f1pf2面積為 1 時(shí)，21pfpf的值為a、0b、1c、2d、3 解析 a . 1|321ppffys，p的縱坐標(biāo)為33，從而

10、 p的坐標(biāo)為)33,362(，21pfpf0，3.橢圓221369xy的一條弦被(4,2)a平分 , 那么這條弦所在的直線方程是a20 xyb2100 xyc220 xyd280 xy 解析 d. 19362121yx,19362222yx,兩式相減得：0)(421212121xxyyyyxx，4,82121yyxx，212121xxyy4.在abc中，90a，3tan4b若以ab，為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，則該橢圓的離心率e 解析 bcacabekbckackab,5,3,4125. 已知21, ff為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),p為橢圓上一點(diǎn) ,若3:2:1:211221pfffpffpf, 則此橢圓的離

11、心率為_(kāi). 解析 13三角形三邊的比是2:3:1 6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓2222xyab1( ab0)的焦距為2，以 o 為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)2,0ac作圓的兩切線互相垂直，則離心率e= 解析 eaca2222綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓) 0(12222babyax與過(guò)點(diǎn) a(2，0)，b(0，1)的直線 l 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)t，且橢圓的離心率23e求橢圓方程 解析 直線 l 的方程為：121xy由已知2222423baaba由12112222xybyax得：0)41(2222222baaxaxab0)(4(222224baaaba，即2244ba由得：21222ba，故橢圓 e方

12、程為121222yx8. 已知 a、b分別是橢圓12222byax的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p22,1(）在橢圓上，線段pb與 y 軸的交點(diǎn)m 為線段 pb的中點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn) c是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于abc，求sinsinsinabc的值。 解析 （1）點(diǎn)m是線段pb的中點(diǎn)om是pab的中位線又abomabpa2222222211112,1,12cabcababc解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為222yx=1 （ 2）點(diǎn) c在橢圓上， a、b是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)acbc2a2 2，ab2c2 在 abc中，由正弦定理，sinsinsinbcacababcsinsin

13、sinabc2 222bcacab9. 已知長(zhǎng)方形abcd, ab=22,bc=1.以 ab的中點(diǎn)o為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系xoy. ( ) 求以 a、b為焦點(diǎn)，且過(guò)c、d 兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; ( )過(guò)點(diǎn) p(0,2)的直線l交( ) 中橢圓于m,n 兩點(diǎn) ,是否存在直線l,使得以弦mn 為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn) ?若存在 ,求出直線l的方程 ;若不存在 ,說(shuō)明理由 . 解析 ()由題意可得點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別為1 ,2,0 ,2,0,2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是012222babyax.2240122012222222bcaca則2a224222cab.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.12422y

14、x( )由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為02 kkxy.設(shè) m,n 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.,2211yxyxo xya b c d 圖 8 bac聯(lián)立方程 :42222yxkxy消去y整理得 ,0482122kxxk有221221214,218kxxkkxx若以 mn 為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則onom,所以02121yyxx,所以 ,0222121kxkxxx, 即042121212xxkxxk所以 ,04211621142222kkkk即,0214822kk得.2,22kk所以直線l的方程為22xy,或22xy. 所以存在過(guò)p(0,2)的直線l:22xy使得以弦mn 為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn). 參考例題：1、從橢圓22221(0)xyabab上一點(diǎn)p向x軸引垂線 , 垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn)1f,a為橢圓的右頂點(diǎn)，b是橢圓的上頂點(diǎn), 且(0)abop.、求該橢圓的離心率. 、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是2 5x，求橢圓方程 . 解析 、abop，abop，1pf oboa, 111pffocbcpfbooaaa，又2211222(,)1pfcbpc ypfaba，bc, 而222abc22222ace. 、2