【教學】第4機械能守恒定律ppt課件

1、第第4 機械能守恒定律機械能守恒定律 1 力的功力的功 動能定理動能定理 2 一對內力作功之和一對內力作功之和 3 保守保守(內內)力的功與相應的勢能力的功與相應的勢能 4 機械能守恒定律機械能守恒定律1 力的功力的功 動能定理動能定理 一、力的功一、力的功 二、二、 質點運動的動能定理質點運動的動能定理 三、三、 質點系的動能定理質點系的動能定理一、力的功一、力的功 1. 恒力作用恒力作用 直線運動直線運動cosSFASFArFAFSr作用物體的位移作用物體的位移2.普通運動普通運動 變力作用變力作用 曲線運動曲線運動元功元功sfAddabfsd)()(basfAd)()(barfAd討論討

2、論1A是標量是標量 反映了能量的變化反映了能量的變化正負：取決于力與位移的夾角正負：取決于力與位移的夾角 摩擦力作功一定是負的嗎？摩擦力作功一定是負的嗎？0d,900ooW0d,18090ooW0dd90oWrF(1) (1) 功的正、負功的正、負討論討論(2) (2) 作功的圖示作功的圖示cosF1s2ssdsosFAssdcos213功是一個過程量，與途徑有關功是一個過程量，與途徑有關4合力的功，等于各分力的功的代數和合力的功，等于各分力的功的代數和）（zddddzyBAxBAFyFxFrFAxFABAxxxxdzAAAAyxkFjFiFFzyxkj yi xrzddddyFABAyyyy

3、dzzzdBAzzFA2021一質點在幾個力同時作用下位移為一質點在幾個力同時作用下位移為r=4i-5j+6k,其中一個其中一個力為恒力力為恒力F=-3i-5j+9k,那么此力在該位移中所作的功那么此力在該位移中所作的功A -67J B17JC 67J D91J 功的單位焦耳功的單位焦耳tAP 平均功率平均功率 瞬時功率瞬時功率vFtWtAPtddlim0cosvFP 功率的單位功率的單位 瓦特瓦特W10kW131sJ1W1mN1J12功是過程量功是過程量 3功的計算中應留意的問題功的計算中應留意的問題1)質點問題質點問題iiiiisfAiLdabsd1f2fsfbaiid )()()(iL)

4、()(baiisFAAd合對質點對質點:各力作功之和等于合力作的功各力作功之和等于合力作的功中學時似乎熟視無睹中學時似乎熟視無睹思索：思索：寫這個寫這個等號的等號的條件？條件？2)質點系問題質點系問題iiLiiisfAid Liisfd)(?1m2m1L2L對問號的解釋：對問號的解釋：普通的討論：普通的討論：如圖，兩個質點走的途徑不同。如圖，兩個質點走的途徑不同。那么，各質點的元位移那么，各質點的元位移nssssdddd321故不能用一個共同的元位移故不能用一個共同的元位移sd來替代。來替代。所以在計算功的過程中特別要分清研討對象所以在計算功的過程中特別要分清研討對象對質點有：對質點有：)()

5、(baiisFAAd合即，各力作功之和等于合力作的功。即，各力作功之和等于合力作的功。但對質點系：寫不出像質點那樣的簡單式子，但對質點系：寫不出像質點那樣的簡單式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。即，各力作功之和不一定等于合力的功。5.一質點在幾個力同時作用下位移為一質點在幾個力同時作用下位移為r=4i-5j+6k,其中一個力其中一個力為恒力為恒力F=-3i-4j+5k,那么此力在該位移中所作的功那么此力在該位移中所作的功A -67J B17JC 67J D91J 例例 1一質量為一質量為 m 的小球的小球豎直落入水中，豎直落入水中， 剛接觸水面時剛接觸水面時其速率為其速率為 設此球在水

6、中所設此球在水中所受的浮力與重力相等，水的阻受的浮力與重力相等，水的阻力為力為 , b 為一常量為一常量. 求阻力對球作的功與時間的函求阻力對球作的功與時間的函數關系數關系0v vbFr0vxo解建立如右圖所示的坐標系解建立如右圖所示的坐標系xbrFAddv又由又由 2 - 4 節(jié)例節(jié)例 5 知知tmbe0vvtbAttmb020de2v) 1(e21220tmbAmv0vxotbttxbdddd2vv例例1 如圖，程度桌面上有質點如圖，程度桌面上有質點 m ，桌面的摩，桌面的摩擦系數為擦系數為 求：兩種情況下摩擦力作的功求：兩種情況下摩擦力作的功 rfAbarabd圓弧mRab sfbard

7、 Rmg RmgrfAbarab2d直徑1沿圓弧；沿圓弧；2沿直徑沿直徑解：解：rfrd)()(barsfd二、二、 質點運動的動能定理質點運動的動能定理rFAdd思緒：與推導動量定理和角動量定理一樣，思緒：與推導動量定理和角動量定理一樣，依然由牛頓第二定律出發(fā)。依然由牛頓第二定律出發(fā)。牛頓力學中定義質點動能為牛頓力學中定義質點動能為rtmdddd m221mEK一種推導：一種推導：元功元功將牛頓第二將牛頓第二定律代入定律代入ddmAd ddcosdddddd dmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推導推導dd 質點運動的動能定理質點運動的動能定理ddcos我們應該學會或說習

8、慣我們應該學會或說習慣于這種普通性的推導。于這種普通性的推導。 例例 2 一質量為一質量為1.0 kg 的小的小球系在長為球系在長為1.0 m 細繩下端，繩細繩下端，繩的上端固定在天花板上起初的上端固定在天花板上起初把繩子放在與豎直線成把繩子放在與豎直線成 角角處，然后放手使小球沿圓弧下處，然后放手使小球沿圓弧下落試求繩與豎直線成落試求繩與豎直線成 角角時小球的速率時小球的速率o30o10vdl0PTFsdsPsFsFAddddT解解 )cos(cos0 mglcosddmglsPdsinmgl0dsinmglAvdl0PTFsd)cos(cos0 mglA由動能定理由動能定理2022121v

9、vmmW得得)cos(cos20glv1sm53. 1kg0 .1mm0 . 1lo030o10vdl0PTFsd4、長為1 m的細線，上端固定，下端懸掛質量為2 kg的小球今將小球拉到懸線與豎直方向成45角的位置，然后無初速地把小球釋放求懸線與豎直方向成10角時，小球的速度v解：重力的功：Wmgl( cosfcos45) ,根據動能定理有：所以當f10時， v2.33 m/s (亦可用功能原理求解)45cos(cos212mglmv)45cos(cos2glv B C A T C O gm l 45 B 一鏈條總長為L，質量為m放在桌面上并使其下垂，下垂的長度為a，設鏈條與桌面的滑動摩擦因數

10、為，令鏈條從靜止開場運動，求：1到鏈條分開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？2鏈條分開桌面時的速率是多少？例l - xxOxf()/Fmg lxl解鏈條與桌面摩擦fd()dFrllFaamgAlxxl摩擦力做功221()()22lamgmglxxlall 1坐標選取如圖2f2201122GFAAAmmvv整個鏈條的動能定理00v212GFAAmv22()dd2llGaamgmg laAmx xllgr桌面外部分鏈條重力做功2222()()1222mg lamg lamllv代入功能原理12222()()glalalv得到明確區(qū)分問題中a與x表達的含義；繩分開桌面時，下端坐標為l。注一個彈簧

11、下端掛質量為0.1 kg的砝碼時長度為0.07 m，掛0.2 kg的砝碼時長度為0.09 m如今把此彈簧平放在光滑桌面上，并要沿程度方向從長度 l1=0.10 m緩慢拉長到l2=0.14 m，外力需作功多少？解：設彈簧的原長為l0，彈簧的勁度系數為k，根據胡克定律： 0.1gk(0.07l0) ，0.2gk(0.09l0) 解得：l00.05 m，k49 N/m拉力所作的功等于彈性勢能的增量： 22p2p1201011W=E -E =()()0.1422k llk llJ2一鏈條總長為l，質量為m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的長度為a設鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為令鏈條由靜止開場運

12、動，那么(1)到鏈條剛分開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？ (2)鏈條剛分開桌面時的速率是多少？ a la 質點系質點系 N個質點組成的系統(tǒng)個質點組成的系統(tǒng)- 研討對象研討對象內力內力 internal force 系統(tǒng)內部各質點間的相互作用力系統(tǒng)內部各質點間的相互作用力質點系質點系 特點：特點： 成對出現；成對出現； 大小相等方向相反大小相等方向相反結論：質點系的內力之和為零結論：質點系的內力之和為零0iif質點系中的重要結論之一質點系中的重要結論之一三、三、 質點系的動能定理質點系的動能定理iiiiiiAAA內外2022121iiiiiimmKEAA內外思索：為什么內力之和一定為零，

13、而思索：為什么內力之和一定為零，而 內力作功之和不一定為零呢？內力作功之和不一定為零呢？1 內力也會改動系統(tǒng)的總動能內力也會改動系統(tǒng)的總動能 2 質點系的三個運動定理各司其職質點系的三個運動定理各司其職 動量定理動量定理 角動量定理角動量定理 動能定理動能定理KEAA內外討論討論PtFttd21外LtMttd21外KEAA內外靈敏的頭腦靈敏的頭腦 應應 靈敏地運用靈敏地運用 運動定理運動定理iiLiiisfAid Liisfd)(?3 保守保守(內內)力的功與相應的勢能力的功與相應的勢能 一、保守力的定義一、保守力的定義 二、勢能二、勢能rermmGF2(1) (1) 萬有引力作功萬有引力作功

14、一一 萬有引力和彈性力作功的特點萬有引力和彈性力作功的特點 對對 的萬有引力為的萬有引力為mmm挪動挪動 時，時， 作元功為作元功為 FrdrFWddrermmGrd2rrrdrdmmABArBrBArrrrmmGWd2rrererrdcosdd)11(ABrrmmGWBArrermmGrFWdd2m從A到B的過程中作功：作功： FrrrdrdmmABArBrikxFxFxo(2) (2) 彈性力作功彈性力作功2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx FPxkxWdd2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx xFdxdWx2x1O 重力作功重力作功222

15、121baabkxkxAahbh地面地面baabmghmghAbaabrMmGrMmGA彈性力的功彈性力的功 萬有引力的功萬有引力的功222121baabkxkxAkmoxaxbx)()(baabrMmGrMmGAMmabfarbr共同特征：共同特征：作功與相對途徑無關，作功與相對途徑無關，只與始末只與始末( (相對相對) )位置有關位置有關 具有這種特征的力具有這種特征的力嚴厲說是一對力嚴厲說是一對力 稱為保守力稱為保守力 保守力保守力conservative force定義有兩種表述定義有兩種表述 表述一文字表達：表述一文字表達： 作功與途徑無關作功與途徑無關,只與始末位置有關的力只與始末

16、位置有關的力 稱為保守力稱為保守力 表述二數學表示表述二數學表示 ：0rfLd保保守力的環(huán)流為零。保守力的環(huán)流為零。描畫矢量場根本性質的方程方式描畫矢量場根本性質的方程方式rfLd保Lab12abbarfrf21dd保保rfrfbabadd21保保= 0通常：通常：0Llfdld普遍意義：普遍意義：環(huán)流為零的力場是保守場，環(huán)流為零的力場是保守場，如靜電場力的環(huán)流也是零，如靜電場力的環(huán)流也是零，所以靜電場也是保守場。所以靜電場也是保守場。證明第二種表述：證明第二種表述：0rfLd保環(huán)流不為零的環(huán)流不為零的矢量場是非保矢量場是非保守場，如磁場。守場，如磁場。二、勢能二、勢能1.定義定義 令令 Pb

17、PabaEElfAd保保假設選末態(tài)為勢能零假設選末態(tài)為勢能零點點PEA保即即rfEaPad勢能參考點保)(2.常見的勢能函數常見的勢能函數地面為勢能零點地面為勢能零點末態(tài)為勢能零點末態(tài)為勢能零點mghEP1)重力勢能重力勢能2)彈性勢能彈性勢能221kxEP以彈簧原長為以彈簧原長為勢能零點勢能零點3)萬有引力勢能萬有引力勢能rMmGEP以無限遠為以無限遠為勢能零點勢能零點pEzOzmgE p 3.勢能曲線勢能曲線彈性勢能曲線彈性勢能曲線0, 0pEx重力勢能曲線重力勢能曲線0, 0pEz引力勢能曲線引力勢能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp1只需保守力才有相應的勢能只需保

18、守力才有相應的勢能2勢能屬于有保守力作用的體系質點系勢能屬于有保守力作用的體系質點系 (對應一對內力作功之和對應一對內力作功之和)3 勢能與參考系無關勢能與參考系無關(相對位移相對位移)4質點系的內力質點系的內力 保守內力保守內力 (作功與途徑無關作功與途徑無關) 非保守內力非保守內力 (作功與途徑有關作功與途徑有關) 耗散力耗散力討論討論4 機械能守恒定律機械能守恒定律一、質點系的功能關系一、質點系的功能關系二、機械能守恒定律二、機械能守恒定律一、質點系的功能關系一、質點系的功能關系 質點系動能定理的變形質點系動能定理的變形KEAAA非保保外質點系的動能定理質點系的動能定理PKEEAA非保外

19、EAA非保內外PEA保PKEEE機械能機械能功能關系功能關系二、二、 機械能守恒定律機械能守恒定律00非保內外AA0EiiiPghmE質點系重力勢能的計算質點系重力勢能的計算mc勢能零點勢能零點chiiihmgmhmhiiiccPmghE imih例：均質細棒的重力勢能例：均質細棒的重力勢能ol總長總長m總質量總質量勢能零點勢能零點lhc21c2mglEP 時勢能？時勢能？地面附近地面附近引見逃逸速度與黑洞引見逃逸速度與黑洞逃逸速度：物體脫離引力所需求的最小速率逃逸速度：物體脫離引力所需求的最小速率以脫離地球的引力為例以脫離地球的引力為例以無限遠作為勢能零點以無限遠作為勢能零點021)(212

20、2mRMmGmeRGMe2假設假設ce黑洞黑洞引力作用下塌陷引力作用下塌陷當當m m一定時一定時202cGMR 收縮到收縮到視界半徑視界半徑廣義相對論廣義相對論想象想象1)把地球變成黑洞把地球變成黑洞1622411201031098. 51067. 622cGMRmm86. 82)把太陽變成黑洞把太陽變成黑洞1623011201031099. 11067. 622cGMRm31095. 23)引力實際：引力實際：轉化為黑洞的只能是質轉化為黑洞的只能是質量滿足一定條件的恒星量滿足一定條件的恒星mm7 . 2太陽的太陽的質量質量白矮星白矮星遺憾遺憾？ 由于引力特大，由于引力特大，以致于其發(fā)出的光子

21、及擦過其旁的任以致于其發(fā)出的光子及擦過其旁的任何物質都被吸收回去，所以看不到它何物質都被吸收回去，所以看不到它發(fā)出的光，顧名思義稱其為黑洞。發(fā)出的光，顧名思義稱其為黑洞。黑洞黑洞(black hole)(black hole)： 掉入黑洞的一切信息掉入黑洞的一切信息都喪失了，唯有質量、電荷或磁都喪失了，唯有質量、電荷或磁荷、角動量沒有被吃掉。荷、角動量沒有被吃掉。黑洞無毛定理：黑洞無毛定理：黑洞上黑洞上黑洞下黑洞下3-4 碰碰 撞撞一、碰撞景象一、碰撞景象 碰撞可分為兩類碰撞可分為兩類: 一類是總動能不變的碰撞一類是總動能不變的碰撞, 稱為完全彈性碰撞；一類是總動能改動的碰撞稱為完全彈性碰撞；

22、一類是總動能改動的碰撞, 稱為非完全彈性碰撞。假設兩個物體碰撞之后稱為非完全彈性碰撞。假設兩個物體碰撞之后結合為一體了結合為一體了, 這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。 二、完全彈性碰撞二、完全彈性碰撞兩小球質量分別為兩小球質量分別為m1和和m2, 碰前速度為碰前速度為 和和 , 碰后速度為碰后速度為 和和 。1v2v1u2u根據動量守恒定律得根據動量守恒定律得22112211+=+umumvmvm根據能量守恒定律得根據能量守恒定律得22221211212222121121+=+umumvmvm假設碰撞為正碰假設碰撞為正碰, ,那么那么有有22112211+=+umumv

23、mvm式除以得式除以得1221=uuvv-由、解得由、解得假假設設21= mm那么那么有有1221=,=vuvu兩物體速度交換兩物體速度交換2212121211)+2(+)+(=vmmmvmmmmu-2211212112)+(+)+2(=vmmmmvmmmu-三、完全非彈性碰撞三、完全非彈性碰撞根據動量守恒定律得根據動量守恒定律得ummvmvm)+(=+212211所以所以212211+=mmvmvmu 例 ：如下圖的安裝稱為沖擊擺, 可用它來測定子彈的速度。質量為M的木塊被懸掛在長度為l的細繩下端, 一質量為m的子彈沿程度方向以速度v射中木塊, 并停留在其中。木塊遭到沖擊而向斜上方擺動, 當

24、到達最高位置時, 木塊的程度位移為s。試確定子彈的速度。 Mlvs解：根據動量守恒定律得解：根據動量守恒定律得uMmmv)+(=根據機械能守恒定律得根據機械能守恒定律得ghMmuMm)+(=)+(212由圖知由圖知22=sllh-解以上三方程的聯(lián)立方程組得解以上三方程的聯(lián)立方程組得)(2+=22sllgmMmv- 例例 2 一輕彈簧一輕彈簧, 其一其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點頂點P，另一端系一質量為，另一端系一質量為m 的小球的小球, 小球穿過圓環(huán)小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運動并在環(huán)上運動(=0)開場開場球靜止于點球靜止于點 A, 彈簧處于自彈簧處于自然形狀，其長為環(huán)半徑然形

25、狀，其長為環(huán)半徑R; 30oPBRA當球運動到環(huán)的底端點當球運動到環(huán)的底端點B時，球對環(huán)沒有壓時，球對環(huán)沒有壓力求彈簧的勁度系數力求彈簧的勁度系數 解解 以彈簧、小球和以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)地球為一系統(tǒng)BA只需保守內力做功只需保守內力做功系統(tǒng)系統(tǒng)ABEE 即即)30sin2(2121o22mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取點取點B為重力勢能零點為重力勢能零點0pE30oPBRA5一質量為m的子彈，程度射入懸掛著的靜止砂袋中，如下圖砂袋質量為M，懸線長為l，為使砂袋能在豎直平面內完成整個圓周運動，子彈至少應以多大的速度射入？ m M l O 02220v() ()()

26、v /11 ()V() 2()v22 v() 5/mmM VmM gmMlmMmM g LmMmMgl m解：動量守恒：越過最高點條件機械能守恒解上面三式，可得3、在光滑的程度面上，有一根原長l0 = 0.6 m ，勁度系數k = 8 N/m的彈性繩，繩的一端系著一個質量m = 0.2 kg的小球B，另一端固定在程度面上的A點最初彈性繩是松弛的，小球B的位置及速度如下圖在以后的運動中當小球B的速率為v時，它與A點的間隔最大，且彈性繩長l = 0.8 m，求此時的速率v及初速率v0。 A B d 0.4 m 30 0v 3解：重力、支持力、繩中張力對A點的力矩之和為零，故小球對A點的角動量守恒當

27、B與A間隔最大時，B的速度應與繩垂直故有 0v sin30v (1)mdml 由機械能守恒有 22200111vv() (2)222mmk ll由式(1)得v = v0 /4 代入(2)式得 20016 ()v1.306 /150.327/k llm smvm sF(2)物體在平衡位置上方物體在平衡位置上方5cm即即0.05m，此時彈簧的凈伸長為，此時彈簧的凈伸長為 l=x0-0.05=0.196-0.05=0.146m 彈簧對物體的拉力彈簧對物體的拉力 F=kl=2000.146=29.2N(3) 5cm是振幅之半，物體從平衡位置到振幅之半所需最短時間是是振幅之半，物體從平衡位置到振幅之半所

28、需最短時間是 例如圖，勁度系數為例如圖，勁度系數為k的彈簧一端固定在墻上，另一端銜接一質量為的彈簧一端固定在墻上，另一端銜接一質量為M的的容器，容器可在光滑程度面上運動當彈簧未變形時容器位于容器，容器可在光滑程度面上運動當彈簧未變形時容器位于O處，處，今使容器自今使容器自O點左側點左側l0處從靜止開場運動，每經過處從靜止開場運動，每經過O點一次時，從上點一次時，從上方滴管中滴入一質量為方滴管中滴入一質量為m的油滴，求：的油滴，求： (1) 容器中滴入容器中滴入n滴以后，容器運動到距滴以后，容器運動到距O點的最遠間隔；點的最遠間隔； (2) 容器滴入第容器滴入第(n+1)滴與第滴與第n滴的時間間隔滴的時間間隔Mxl0O解：解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，程度方向動量值不變，而且在容器容器中每滴入一油滴的前后，程度方向動量值不變，而且在容器回到回到O點滴入下一油滴前，點滴入下一油滴前， 程度方向動量的大小與剛滴入上一油滴后程度方向動量的大小與剛滴入上一油滴后的瞬間后的一樣。依此，設容器第一次過的瞬間后的