艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文

1、高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽的題目是： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參

2、賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：25 / 26文檔可自由編輯打印高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測摘要針對問題一我們建立了兩個模型：曲線擬合模型和灰色預(yù)測模型。對曲線擬合模型，我們采用了分區(qū)間分類討論的思想，使預(yù)測精度有了很大提高；在建立灰色預(yù)測模型的的過

3、程中，我們對經(jīng)典的GM（1，1）模型進行了拓展，建立了不等時距的拓GM（1，1）模型，并對其算法進行了簡化。最終得出結(jié)果：在未來一段時間內(nèi)CD4濃度將持續(xù)增長，HIV指標(biāo)將緩慢低速下降，應(yīng)繼續(xù)服藥。問題二可以分解為兩個子問題：對四種療法的評價和對最優(yōu)療法的預(yù)測。我們的總體思想是：先將年齡分段，再對每個年齡段進行評價和預(yù)測。在評價中，我們將療效定義為：期望與方差的加權(quán)組合。最終結(jié)果為：適合青、中、老年的最優(yōu)療法分別為：療法四、二、一。在預(yù)測中，我們又引進了指數(shù)平滑模型，對不同年齡段對應(yīng)的最優(yōu)療法作出了合理的預(yù)測，并進確定出個療法的最佳治療終止時間為：青年試驗結(jié)束后135.68周；中年試驗開始后8

4、16周；老年試驗結(jié)束后0.472周。問題三是對問題二的進一步延伸，我們在問題二的評價基礎(chǔ)上，引入花費效應(yīng)，利用雙指標(biāo)評價模型，得到了不同權(quán)重下各療法的優(yōu)劣。通過對數(shù)據(jù)的趨勢分析，結(jié)合實際情況，引入了比較可靠的權(quán)重作為評價參數(shù)，得出了各年齡段的最優(yōu)療法。另外我們在確定最佳治療終止時間時，通對過金錢與療效之間相關(guān)系數(shù)k的引入，將問題簡化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。在對數(shù)據(jù)的處理上，我們采用了化區(qū)間為點的思想，提高了計算效率；在模型的進一步討論中，我們對模型的遺留問題與拓展方向進行了研究，使之更具有普遍性。 關(guān)鍵字 曲線擬合 灰色預(yù)測 不等時距的GM（1，1）模型 權(quán)變理論 指數(shù)平滑 雙指標(biāo)評價 問題重述艾滋

5、病是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡稱HIV）引起的。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力?，F(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。 ACTG320（見附件1）是同時服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周

6、測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他濱）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirap

7、ine（奈韋拉平）。問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。(3) 艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達(dá)國家提供的藥品價格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對（

8、2）中的評價和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。條件假設(shè)與符號說明（一） 條件假設(shè)（1） 附件中的數(shù)據(jù)都是真實、可靠的；（2） 在測試期間，患者接受治療是連續(xù)的；（3） 只考慮藥物的正面影響，不考慮副作用；（4） CD4與HIV是相對獨立的，作為兩個指標(biāo)；（5） 在測試時刻間隙，患者的病情無急劇變化現(xiàn)象；（6） 參與試驗的患者相對于所有艾滋病患者是隨機的。（二） 符號說明 Pi: 第i種療法 yi: 第i個年齡區(qū)間 Ti: 第i個測試時間段 Ci: 第i個測試時間段CD4 的累加值 Hi: 第i個測試段的HIVRi: 第i種療法的綜合效應(yīng)Ti: 第i種療法的最佳停止時間ci: 第i個測試段的CD

9、4 hi: 第i個測試時間段HIV si: 第i個年齡段的藥效的方差 li: 第i個療法的加權(quán)效應(yīng)（不考慮花費）pi: 第i種療法的平均治療費用 ni 第i周檢測者的個數(shù)問題分析問題一是一個典型的預(yù)測問題，我們應(yīng)在對已知數(shù)據(jù)進行充分分析的基礎(chǔ)上，建立療效與時間的關(guān)系，進行預(yù)測。首先，由于療效的評價標(biāo)準(zhǔn)有兩個方面：CD4及HIV。由前面的假設(shè)，這兩者是相互獨立的，這就從總體上講該問題分解為兩個子問題。題目給出的數(shù)據(jù)量龐大的且看起來似乎無嚴(yán)格的規(guī)律，因此必須對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，可以采用加權(quán)平均或累積求和的方法進行數(shù)據(jù)的重生成。問題二也可以分解為兩個子問題，即對不同的療法的綜合評價和對較優(yōu)療法的預(yù)測。

10、對于療法的評價，需要建立一套完整的評價理論體系，我們考慮用累積效應(yīng)（期望）穩(wěn)定性（方差）兩個指標(biāo)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，最后需要重新定義一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)即為這兩者的合成。在具體建模中，年齡與時間都是要考慮的因素，我們應(yīng)對目標(biāo)分層分析，固定一個來考慮另一個的變化。 問題三是對問題二的擴充，在問題二的基礎(chǔ)上又增加了費用這一指標(biāo)。該問題也是兩個子問題，首先對于療法的重新評價，可以轉(zhuǎn)化為雙目標(biāo)評價問題，通過權(quán)重的引入將問題簡化為單目標(biāo)。對于最佳治療終止時間的確定，我們考慮找出花費的金錢與取得的療效的相關(guān)關(guān)系，并用簡單的函數(shù)表示出來進而對療效預(yù)測與優(yōu)化。模型的建立與求解問題一該問題是一個典型的預(yù)測問題，根據(jù)需要，我

11、們用以下兩種方法建立模型并將得到的結(jié)果進行比較：模型一：曲線擬合模型根據(jù)對數(shù)據(jù)的觀察，CD4及HIV隨時間有比較明顯的變化關(guān)系，我們首先考慮運用比較簡單的曲線擬合模型進行預(yù)測。首先對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理：我們使題目所給的離散數(shù)據(jù)有序化，通過對題目所給數(shù)據(jù)的特點以及355名患者服藥后狀況的綜合考慮，我們對數(shù)據(jù)進行以下處理：Step1：對不同周次檢測的所有患者的CD4和HIV取平均值；將第i周患者CD4和HIV的平均值分別記為和。Step2：記患者服藥后藥效在第i周前對患者CD4的積累效應(yīng)為；則： Step3：將時間（周）分為：、和三段。這樣我們就得到了患者服藥后不同時刻（周）的HIV平均值和藥效對CD

12、4的積累效應(yīng)。如下表所示：表11 積累效應(yīng)隨時刻變化表t34567891011Ci1.60541.55621.5211.44281.69861.76892.01911.83171.0924HIV2.95663.22642.99183.15453.08032.88562.46562.653.5ni5323161116120864104t212223242526272829Ci1.65461.96122.36652.09421.97571.88941.43321.6081.4612HIV2.28333.06252.72652 .76812.4443.03082.53754.23.94ni61664

13、1385926835t363738394041424344Ci0.64094.55891.82942.48952.28372.03711.0371.51671.5614HIV03.442.76672.51152.42232.56772.28752.93331.6875ni16155294341665根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)用Matlab可以繪出與的折線圖：圖一 a b c a b c（） （）上面的折線圖規(guī)律性較差，對此我們采用以下兩種方案：方案一：剔除異常點近似曲線擬合 由表11可知：第11，28，29，36，44周的檢測者較少，這幾周的數(shù)據(jù)沒有普遍性，不能真正反映藥物的藥效。因此我們剔除這幾組

14、數(shù)據(jù)，然后再用Matlab得到下面的折線圖：圖二 a b c a b c（） （）圖二（）-a近似的是一條三次曲線；設(shè)其方程為：用Matlab求得該方程為： 如圖三（）-a所示。用同樣的方法可以得出其他五組數(shù)據(jù)對應(yīng)的方程： (圖三（）-b) (圖三（）-c) (圖三（）-a) (圖三（）-b) (圖三（）-c)圖三 a b c a b c（） （）方案二：變量累加后曲線擬合雖然方案一剔除了異常數(shù)據(jù)，但有的擬合曲線依然很粗糙。在此我們考慮：將CD4和HIV累加幾次后再擬合曲線,得到其累加值與時間的函數(shù)關(guān)系。累加即令：； （1）其中i表示某區(qū)間內(nèi)的第i周。結(jié)果累加一次后得到表12的數(shù)據(jù)。表12t3

15、4567891011Ci1.60543.16164.68266.12547.8249.592911.61213.44414.536HIV2.95666.1839.174812.32915.4118.29520.76123.41126.911t212223242526272829Ci1.65463.61585.98238.076510.05211.94213.37514.98316.444HIV2.28335.34588.072310.8413.28416.31518.85323.05326.993t363738394041424344Ci0.64095.19987.02929.518711.8

16、0213.8414.87716.39317.955HIV03.446.20678.718211.14113.70815.99618.92920.617由表12易得出CD4和HIV的累加值與時間近似的是線性關(guān)系。用Matlab擬合出各時間段CD4和HIV的累加值與時間的圖像如圖四所示：圖四 a b c a b c 由圖四容易看出CD4和HIV的累加值與時間是較為嚴(yán)格的線性關(guān)系。用Matlab得到函數(shù)關(guān)系為： 由（1）式可知： 因此，由（2）式和（3）可得： （4） （5）（4）式和（5）式反映的是各個區(qū)間內(nèi)CD4和HIV的平均水平。由方案一中圖三可以看出CD4和HIV隨時間上下波動。也就是說該藥

17、的藥效不穩(wěn)定。記CD4的第一個極小值點的函數(shù)值為：；HIV的第一個極大值點的函數(shù)值為：。由圖三可以看出在大部分時間段都有：；。由此可見：患者同時服用zidovudine，lamivudine和indinavir總體上效果是比較明顯的。由（1）式可知：按我們的累加規(guī)則得到的。故由（4）式可知：服藥后總體上患者的CD4在大幅度持續(xù)增長。這說明zidovudine，lamivudine和indinavir在提高患者免疫力方面有較好的效果。 由（5）式可知總體上患者的HIV濃度先上升后下降，這與方案一中得到的藥效的不穩(wěn)定性恰好吻合。同時也反映出其藥效慢的特點。盡管由（5）式我們可以得知在后一段時間內(nèi)總

18、體上患者的HIV濃度在下降，但是圖三中最后一段HIV濃度呈上升趨勢。即患者在服藥四十幾周HIV濃度會在一段時期內(nèi)呈上升趨勢。這說明該種藥物組合在總體上可以控制HIV濃度但在短時間內(nèi)波動性較強，穩(wěn)定性較差。綜上所述：同時服用zidovudine，lamivudine和indinavir3種藥物在總體上可以提高患者免疫力（即提高患者的CD4值）可以控制HIV的濃度。但在短時期內(nèi)病情會出現(xiàn)反彈現(xiàn)象；而且HIV濃度降低的速度較慢。但總體上有一定的效果，應(yīng)繼續(xù)服用該種藥物組合。模型二：不等時距的GM（1,1）模型由上面的分析可以知道，這是一個只有部分?jǐn)?shù)據(jù)的預(yù)測問題。從個體的角度來考慮，每個人的數(shù)據(jù)是較少

19、的，因而我們考慮運用灰色預(yù)測系統(tǒng)進行建模求解。我們對問題的重新討論及簡化處理如下：1、對時間的簡化。在該問題中，每個病人的測試時間是不相同的，這給我們對個體進行統(tǒng)計、綜合處理帶來了麻煩。但經(jīng)過對數(shù)據(jù)的研究，我們找出了測試時間的幾個集中點，即0、4、8、24、40、56，我們分別記為t1、t2、t3、t4、t5、t6。我們把符合（其中的值根據(jù)不同的時間集中點適度取值，一般不超過，i=1，2，3，4，5，6，j=j|0<j<60,jZ的時間tj對應(yīng)的數(shù)據(jù)均視為ti對應(yīng)的數(shù)據(jù)。由于我們是運用加權(quán)平均的思想和化區(qū)間為點的方法，這種簡化對預(yù)測趨勢和精度影響不大。因此我們將問題轉(zhuǎn)化為通過加權(quán)平

20、均后的ti對應(yīng)的數(shù)據(jù)，可以進行一定區(qū)間內(nèi)的灰度預(yù)測。2、對數(shù)據(jù)的處理。在上面的模型中我們采用了加權(quán)平均的方法，在本題中，由于灰度預(yù)測適合較少數(shù)據(jù)的情況，我們?nèi)匀徊捎眉訖?quán)平均，我們設(shè)tj時刻第k個人CD4及HIV分別為Cj，k、Hj，k，則有j= j= (n為所有試驗的人數(shù)) 3、對時距的處理。在GM（1,1）基本模型中，要求做一次累加生成。當(dāng)k只是一個不等時距的時間序列時，這種累加無法實現(xiàn)。我們考慮對原有的等時距GM（1,1）模型進行拓展。我們不妨假設(shè)等時距的原始數(shù)據(jù)是客觀存在的，只是由于某些原因是其中的一些數(shù)據(jù)缺失，因而出現(xiàn)了不等時距的原始數(shù)列。進一步假設(shè)，我們已得到了與這些原始數(shù)據(jù)較為符合

21、的GM（1,1）模型曲線，曲線的離散形式為：式中，c=。則上式改為還原后原始數(shù)據(jù)估計值：（k=1,2,n）不等時間序列時，設(shè)初始時間序列值為0，時間序列T（0）（i）=0,t2,t3,tn，則 式中，ti=t2,t3,tm(m為原始數(shù)據(jù)的序列個數(shù)）。我們最終要確定c和a的值，就可以建立灰色系統(tǒng)模型。我們期望得到比較理想的預(yù)測模型，要求估計值與原始之越接近越好，對于所有的原始數(shù)據(jù)，有近似方程組：我們可以根據(jù)這m-1個方程確定出較為理想的c、a值。簡化起見，我們依靠方程組解得我們可以得到個的值，取其平均值進而得到c的值最后，我們可得到不等時距時灰色預(yù)測模型按照上述理論，我們可以分別建立CD4及HI

22、V關(guān)于時間t的不等時距的GM（1，1）灰色預(yù)測模型。 設(shè)CD4和HIV的不等距灰色預(yù)測模型分別為經(jīng)過對數(shù)據(jù)的處理，得到下列參數(shù)值：= -4.5829×10-4 =6.3592×104= 6.5805×10-3 =-5.1062于是我們可以對未來的幾周內(nèi)進行預(yù)測，結(jié)果見下表：表13 時間指標(biāo)55565760708090CD4149.4024149.4708149.5394149.7451150.4329151.1239151.8181HIV2.34752.33212.31682.27152.12681.99141.8646從表中可以看出，我們對未來的預(yù)測結(jié)果是比較穩(wěn)

23、定的，即隨著服藥時間的推移，CD4的數(shù)量緩慢上升，療效是比較穩(wěn)定的，且我們對結(jié)果作處理，可知CD4上升的速度是逐漸加快的，即該療法的療效越來越明顯。從HIV的變化趨勢看，與CD4分析是很吻合的。隨著時間的推移，HIV穩(wěn)步下降，因此應(yīng)繼續(xù)服藥但從總體上來說，這種藥物組合的療效不是很強，作用效果較緩慢。問題二評價模型的準(zhǔn)備與預(yù)處理我們首先對每個療法的分析與討論如下：1、對療效的重新定義。在上題中，我們僅僅考慮了CD4或HIV的數(shù)量或速度的變化，并作為衡量療效的標(biāo)準(zhǔn)，在本題中，我們擴大了療效的定義。它應(yīng)包含兩個方面：1、在一定時期內(nèi)該療法的積累效應(yīng)。我們?nèi)∫粋€較為廣且較為集中的區(qū)間0，N，定義該區(qū)間

24、內(nèi)療法的積累效應(yīng)為： =c(N)-c(0)。即為療法的積累效應(yīng)。2、在一定時期內(nèi)的穩(wěn)定性。我們用方差來表示，記為：2、對影響療效相關(guān)因素的討論。通過對附件中的數(shù)據(jù)分析可以看出，療效隨時間的推移有變化的趨勢，即時間對療效有一定的影響；除此之外，我們還發(fā)現(xiàn)不同年齡段的人其對同一療法的療效也有不同，比較明顯的是隨年齡的增長有明顯的降低趨勢，因而我們在討論療效的時候，應(yīng)充分考慮這兩方面的因素，作出綜合評價。為了模型分析及求解的簡便性，我們首先對附件中龐大的數(shù)據(jù)進行處理，得到簡單的數(shù)據(jù)進行研究。簡化如下：1、時刻的等距化。根據(jù)附件中測試時刻基本相差8周的前提，經(jīng)過對數(shù)據(jù)的粗略估計，我們將治療時間劃分為0

25、、1，9、9，17、17，25、25，33幾個區(qū)間，并分別壓縮為t0、t1、t2、t3、t4幾個點，我們給ti的意義是與實際生活中的第i個療程相似的，它反映了不同的病情階段或不同的治療階段，這樣在理論上和實際上都是可行的。2、年齡的區(qū)間化。經(jīng)過對數(shù)據(jù)的研究發(fā)現(xiàn)，采集的樣本年齡比較集中于14，62區(qū)間內(nèi)，根據(jù)CD4的增長率在不同年齡段的差異，我們將其大致分為三個年齡段，即14，30、30，46、46，62，我們分別記為y1、y2、y3分別代表青年、中年、中老年，分段研究療效對不同年齡段的影響。3、數(shù)據(jù)的有效化。由于許多數(shù)據(jù)的測試時刻不同，且有部分個體的數(shù)據(jù)量少，我們采取直接剔除的方案，保證數(shù)據(jù)的

26、有效性。對于有冗余數(shù)據(jù)的個體，我們只取公共部分的數(shù)據(jù)，冗余部分也舍棄。對于統(tǒng)計大量的數(shù)據(jù)來說，這是必要的。有了以上的準(zhǔn)備工作，我們具體進行模型的建立，主要思想是分層次逐步求解的方法。分法：步驟一：以療法為基準(zhǔn)，按照療法序號的大小進行第一次升序排序，得到層次一；步驟二：在每個療法中，以年齡為基準(zhǔn)，按照年齡的大小進行第二次升序排列，并根據(jù)討論進行年齡區(qū)間的劃分，得到層次二；步驟三：在每個療法的每個年齡段，進行測試時間的劃分和壓縮，得到第三個層次，這是我們解決問題的基礎(chǔ)層次。年齡1根據(jù)該層次，我們得到我們建立評價模型的總體思想：我們以療法為第一層次，這是比較層次，是我們最終要評價的元素；我們以年齡段

27、為第二層次，即我們分年齡段分別進行各療法的療效評價，它包括藥效的積累效應(yīng)和穩(wěn)定性，是我們進行綜合評價的標(biāo)準(zhǔn)；基礎(chǔ)層是時間層，它提供的數(shù)據(jù)為藥效的積累效應(yīng)和方差提供數(shù)據(jù)來源。這樣分層的解釋簡單如下：我們評價藥物的藥效應(yīng)當(dāng)是以人群個體為基準(zhǔn)。通過同一人群中藥效的穩(wěn)定性及不同人群的藥效強度的綜合研究確定療法的優(yōu)劣。當(dāng)然，一種療法在不同的時期可能有不同的效果。我們的原則是，對不同療法藥效的評價應(yīng)當(dāng)是一個統(tǒng)計規(guī)律，在一定時期內(nèi)的藥效是穩(wěn)定的，所以可以把時間因素分離出來。而在后面的預(yù)測問題中，對某一種療法的藥效則主要考慮時間因素的影響，這是我們以后要解決的問題。具體的累積效應(yīng)與方差求解如下：一、累積效應(yīng)1

28、、區(qū)間的選定。區(qū)間應(yīng)同時滿足集中性高和跨度廣兩個條件。經(jīng)過觀察，我們選擇0，32區(qū)間，對于滿足的數(shù)據(jù)，我們也視為有效數(shù)據(jù)。2.計算公式。針對某一特定的年齡段yi的某個個體，有，對于滿足的，我們采取以下方式進行處理： 。于是我們得到了個體的累積效應(yīng)。對于某個特定年齡段的累積效應(yīng)，我們采用加權(quán)平均的方法，得到第yi年齡段的累積效應(yīng)： 其中，n為該年齡段對應(yīng)的有效試驗人數(shù)。二、方差1、方差的說明。我們指的方差是在一定的年齡段區(qū)間內(nèi)，個體的療效距離平均效應(yīng)的量度，反應(yīng)的是療法在一定的群體范圍內(nèi)藥效的波動性，對于評價藥效的穩(wěn)定性是有重要意義的。2、方差的計算。設(shè)年齡段為yi，則在該年齡段內(nèi)的方差為：對數(shù)

29、據(jù)用matlab進行處理，得到以下結(jié)果：表21PcP1P2P3P4累積方差累積方差累積方差累積方差y1-0.21540.6642-0.40510.5790-0.06381.90670.41600.6893y2-0.47240.85880.17141.7748-0.21771.14590.05680.8547y30.08070.53740.06021.3765-0.28200.9543-0.09081.1439結(jié)果的討論：由于結(jié)果包含兩個方面，即有兩個評價標(biāo)準(zhǔn)，我們在討論時，選取累積效應(yīng)為第一標(biāo)準(zhǔn)，方差為第二標(biāo)準(zhǔn)。因為一般情況下，患者更多地考慮的是該療法對自己病情的作用程度，這是首要追求的目標(biāo)；

30、其次，在作用程度接近的幾種療法中，藥效的穩(wěn)定性就顯得尤其重要，對療效的評價就轉(zhuǎn)化為追求最小的波動方差。于是我們的評價體系基本建立，即首先比較各種療法在不同年齡段的累積效應(yīng)，其次在累積效應(yīng)相近的療法里選擇方差最小的療法，即為較優(yōu)療法。1、我們首先運用觀察法直接比較：對于y1，我們先將累積排序：，且只有是大于零的，即是有總體累積效果的，其余累積效果反而越來越差；再考慮方差，有關(guān)系，即療法四的方差最小，穩(wěn)定性最好。經(jīng)過綜合考慮，顯然療法四對于青少年階段的療效是最優(yōu)的，療法一、二、三各有千秋，綜合考慮，療法三優(yōu)于療法一，最差是療法二。對于y2,累積排序為：，方差排序為，根據(jù)我們給出的體系，療法二是最優(yōu)

31、的，其次是療法四，因為至少這兩個療法的累積效應(yīng)為正。療法三比療法一累積效應(yīng)大，兩者方差基本相當(dāng)，故療法三優(yōu)于療法一。得到四療法的優(yōu)劣為療法二優(yōu)于療法四優(yōu)于療法三優(yōu)于療法一。對于y3，累積排序為：，方差排序為，很明顯，最優(yōu)的是療效一，擁有最明顯的累積效應(yīng)和最穩(wěn)定的療效；其次為療法二，其累積效應(yīng)為正，對于療法四和療法三，療法四累積效應(yīng)明顯優(yōu)于療法三，而兩者的方差相當(dāng)，于是得到了四種療法的療效優(yōu)劣關(guān)系：療法一最優(yōu)，療法二優(yōu)于療法四，療法三最差。經(jīng)過以上分析，我們可以總結(jié)出各年齡段的各療法的優(yōu)劣比較表格：表22y優(yōu)劣最優(yōu)次優(yōu)次差最差y1P4P3P1P2y2P2P4P1P3y3P1P2P4P3結(jié)果的進一

32、步分析：以上結(jié)果說明，不同療法對于不同年齡段的療效是有很大差異的，這與我們前面的分析是非常吻合的。從直觀上看，我們可以得出四種療法的用藥量的表格：表23P1P2P3P4平均日用藥量（mg）500602.2510001400療法一的用藥量較輕，因而對機體的副作用?。ㄔO(shè)每種藥的副作用基本相同），因而對機體老化的老年人來說比較適合，而對中青年人，顯然藥物的用量達(dá)不到要求，效果較差；療法二用藥量比療法一稍重，對老年人還是比較適合的。并且由于少量藥物的添加2.25 mg zalcitabine（扎西他濱），是對中青年人的療效達(dá)到峰值，我們推斷該種藥物具有較強的副作用，這也是對青少年療效最差的一種解釋；療

33、法三藥物劑量較重，對老年人非常不適應(yīng)，治療效果最差，同時中年人也出現(xiàn)了這種情況，而青少年最微弱，我們推斷這三種藥物與年齡有很大關(guān)系；療法四的劑量最重，但對青少年達(dá)到了最佳治療效果，對中老年的影響也不是很大，說明這幾種藥物對機體的刺激強度比較微弱。2、引入權(quán)重法在本題中，我們將療效分解為累積效應(yīng)和穩(wěn)定程度兩個方面進行了考慮。通過直接觀察法得出的結(jié)論有一定的主觀性，我們考慮將兩個方面結(jié)合起來，重新定義新的療效指標(biāo)進行評價。首先，療效應(yīng)與累積效應(yīng)是正相關(guān)的，即不考慮方差的情況下，累積效應(yīng)越大，其療效越顯著；其次，我們不考慮累積效應(yīng)，只考慮方差，也容易知道，療法的穩(wěn)定性越好，療效越顯著。用一個指標(biāo)代表

34、這兩個指標(biāo)的綜合效應(yīng)，不妨表示如下：其中，a、b為比例系數(shù)。由于療效的評價受這兩方面的因素影響大小是有差異的，而反映到表達(dá)式上就是對應(yīng)系數(shù)的變化。我們不妨設(shè)a、b分別為、對應(yīng)的權(quán)重（我們設(shè)不同的人群對應(yīng)的權(quán)重是相同的），該問題就轉(zhuǎn)化為不同的療法的對應(yīng)的的大小關(guān)系的比較。評價模型如下：評價函數(shù)： 約束條件： s.t. 令u= ，則=1-u，原模型可以簡化為：s.t. 一般情況下，且對于該題來說，u應(yīng)當(dāng)取較為大的值，因為畢竟療效還是以積累效應(yīng)為主的，其療效的波動性只是反映療法的局限性，這顯然是次要因素，為此，我們在進行權(quán)重的取值時，依據(jù)上述原則得不同療法對不同u值的綜合效應(yīng)： 表24 (y1)uP

35、0.60.70.80.91.0P1-0.3949-0.3500-0.3052-0.2603-0.2154P2-0.4747-0.4543-0.4399-0.4225-0.4051P3-0.8009-0.6067-0.4324-0.2481-0.0638P4-0.02610.08440.19490.30550.4160表25 （y2）uP0.60.70.80.91.0P1-0.6270-0.5883-0.5497-0.5110-0.4724P2-0.6071-0.4125-0.2178-0.02320.1714P3-0.5890-0.4962-0.4033-0.3105-0.2177P4-0.3

36、078-0.2166-0.1255-0.03430.0568表26 (y3)uP0.60.70.80.91.0P1-0.1665-0.1047-0.04290.01890.0807P2-0.5145-0.3708-0.2271-0.08350.0602P3-0.5509-0.4837-0.4165-0.3492-0.2820P4-0.5120-0.4067-0.3014-0.1961-0.0908由上表可以看出，對于取不同的權(quán)重，各個療法對對應(yīng)的療效是有差異的，隨著u制的增大，累積效應(yīng)因素的影響越來越強，相反，方差的效應(yīng)越來越弱，直到u為0時影響降到零。根據(jù)我們的原則，在主要考慮累積效應(yīng)的前提

37、下運用方差進行適度微調(diào)，我們?nèi)=0.9，對應(yīng)的權(quán)重為。此時得到的結(jié)果如下表：表27優(yōu)劣y最優(yōu)次優(yōu)次差最差y1P40.3055P3-0.2481P1-0.2603P2-0.4225y2P2-0.0232P4-0.0343P1-0.3105P3-0.5110y3P10.0189P2-0.0835P4-0.1961P3-0.3492可以看出，該處理方法與前面所用的直接觀察法十分常吻合的，這說明了療法的優(yōu)劣還是比較明顯的。預(yù)測模型：二次指數(shù)平滑預(yù)測考慮到疾病治療的過程性和藥效的積累效應(yīng)，我們用二次指數(shù)平滑法預(yù)測各年齡段對應(yīng)的最優(yōu)療法及未來的治療效果。首先對數(shù)據(jù)進行處理；Step1：將各年段對應(yīng)的最優(yōu)

38、療法在測試時期分為四個療程。即0-8周，9-16周，17-24周，25-32周。Step2：Step1中的四個療程對應(yīng)著五個時間點，即：第0、8、16、24、32周；記第i周CD4的指標(biāo)為：。然后令Step3；求出在各個區(qū)間的平均值。得到表表2-8yi ti08162432青年2.64662.92413.10322.86763.0093中年2.94232.98252.89922.58082.6166老年2.94593.02083.18962.82722.7674以青年為例用二次指數(shù)平滑法預(yù)測繼續(xù)用600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevi

39、rapine治療的效果。以第0、8、16、24、32周作為檢測時間，記為：t ；由于時間間隔相同。故令：t=1、2、3、4、5；并記為t=i時檢測得到的數(shù)據(jù)的平均指標(biāo).。則為時間檢測值的一次指數(shù)平滑值；為時間序列的平滑指數(shù)，且。下面用指數(shù)平滑法對藥物的療效進行預(yù)測。Step1: 選擇，確定初始值和。分別選擇=0.3和=0.7；由于n=5<10，故取時間序列中前3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為初始值，即：。Step2：計算一、二次指數(shù)平滑值。以=0.3（結(jié)果見表2-9）為例，一次指數(shù)平滑值按公式計算；如：二次指數(shù)平滑值按公式 計算；如： 當(dāng)=0.7時照此法計算（結(jié)果見表2-10）Step3: 計算a,b

40、值.計算值，依據(jù)公式進行，以=0.3為例（結(jié)果見表2-9） 如：2.7665計算值，依據(jù)公式 進行，以=0.3為例（結(jié)果見表2-9） 如：時值得求法與相同，計算結(jié)果見表2-9。Step4:計算的理論預(yù)測值并作預(yù)測誤差比較。.理論預(yù)測值按公式計算 ：以為例（結(jié)果見表29） 若，當(dāng)t=1時，和不存在，所以，無法計算；當(dāng)t=2時，；所以，2.7445 時，理論預(yù)測值計算原理與是完全相同。（計算結(jié)果見表210）。表2-9t/8周CiS(1)tS(2)tatbtYt+T12.64662.89132.89132.891322.92412.81792.86932.7665-0.022033.10322.84

41、982.2752.87210.00962.788542.86762.95282.88073.02490.03092.881753.00932.90832.93942.8722-0.01333.055862.8639表2-10t/8周CiS(1)tS(2)tatbtYt+T12.64662.89132.891322.92412.72002.77142.6686-0.119933.10322.86292.82002. 90580.10012.788742.86763.03112.98063.08160.11783.005953.00932.91662.95092.8823-0.08003.1194

42、62.8023作預(yù)測誤差比較 這里用平均絕對誤差指標(biāo)來比較：絕對誤差 當(dāng)時： 平均絕對誤差同理當(dāng)時：平均絕對誤差 的預(yù)測誤差小于時的預(yù)測誤差，所以，選擇平滑系數(shù)。Step5:計算預(yù)測值當(dāng)時 ，建立二次指數(shù)平滑的數(shù)學(xué)模型是： （6）用同樣的方法得出中年患者和老年患者在按最優(yōu)療法治療的情況下的二次指數(shù)平滑的數(shù)學(xué)模型 為：中年： （7）老年： （8）由表28可以看出：不同年齡段的患者在對應(yīng)的最優(yōu)療法治療期間，效果不是很明顯，CD4指標(biāo)不能得到有效的提高；且在測試期波動性較強，三者在測試后期的CD4指標(biāo)都在下降。而這正好與二次指數(shù)平滑法得出的（6）、（7）（8）式相吻合。對于青年患者，總體上測試前CD

43、4指標(biāo)較低，盡管在測試期間CD4指標(biāo)有一定的波動性，但在較長的一段時間內(nèi)患者的CD4指標(biāo)都大于其服藥前的值。也就是說藥物對這些患者有一定的療效。盡管在測試后的一段時間內(nèi)CD4指標(biāo)逐漸下降，但在CD4指標(biāo)下降到測試前的CD4值之前不應(yīng)停止用藥。此時滿足： 即：解之得：也就是說，這類患者最佳治療終止時間為：測試結(jié)束后周。對于中年患者，從表2-4可以看出其CD4指標(biāo)下降的幅度較大，這與預(yù)測的結(jié)果正好吻合；從（7）是可以得出在測試結(jié)束后該患者群的總體CD4指標(biāo)還將持續(xù)下降。正因如此，患者應(yīng)在測試期間提前終止治療。由表2-8可以得出患者應(yīng)在8-16周期間終止治療。對于老年患者，其情況類似于青年患者，但從

44、表2-9可以得出600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine按月輪換使用對該患者群的效果不如600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine對青年人的效果好。但類似的在最佳治療終止時間時滿足： 即：解之得： 即：該類患者最佳治療終止時間為： 測試結(jié)束后周。綜上可知：青年患者（14-30歲）的最佳療法為：600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（第四種療法）。最佳療終止時間為：測試結(jié)束后周。中年患者（

45、31-46歲）的最佳療法為：600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（第二種療法）。最佳療終止時間為：測試中8-16周。老年患者（47-62歲）的最佳療法為：600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine按月輪換使用（第一種療法）。最佳療終止時間為：測試結(jié)束后周。問題三 問題三是對問題二的延伸。由于治療費用因素的介入，使問題二由單一的考慮治療效果（CD4）轉(zhuǎn)化為在CD4與治療費用兩個因素影響下的療法的優(yōu)劣評價及最佳治療時間的預(yù)測。我們對變量的定義如下：: 第i種療法的平均效應(yīng): 第i種療法在t時的

46、藥效: 第i種療法的治療費用: 療法的療效所占的權(quán)重: 治療費用所占的權(quán)重: 第i種療法的綜合效應(yīng)： 第i種療法的最佳停止時間則我們對綜合評價體系的討論如下：1、對療效和治療費用的重新說明。在評價體系的兩個指標(biāo)中，療效和治療費用的意義不統(tǒng)一，因而給評價帶來理論上的缺陷。我們不妨這么定義：我們把第i種療法的療效ci定義為患者的獲得度，而第i種療法的治療費用pi定義為損失度，兩者都是以心理效應(yīng)作為量度，作為新的評價指標(biāo)。由于我們的目的是在四種療法中評價出最優(yōu)療法，這種處理是合理的。 2、對綜合效應(yīng)的說明。綜合效應(yīng)是獲得度和損失度的效應(yīng)和，基于獲得度和損失度對患者的心理需求一般情況下是不同的，故應(yīng)在

47、每一個前面乘以一個權(quán)重，即，作為評價的最終指標(biāo)。3、對停止時間的討論。在本題中，根據(jù)不同人對生命和財富的價值觀的差異，其對治療時間的需求也不同。我們進行一般化的討論?；舅枷胧牵寒?dāng)治療費用反映的損失度超過了療效的獲得度，即當(dāng)財富的流失不足以滿足治療的需求時，即為治療的停止時間。數(shù)學(xué)表示為經(jīng)過以上準(zhǔn)備工作，我們可以建立一個綜合評價體系。該體系類似于一個雙目標(biāo)規(guī)劃模型，我們稱之為雙指標(biāo)評價模型。評價函數(shù)為：s.t. 下面我們尋求方法對函數(shù)進行評價求解：首先我們令，則，上述模型可以簡化為s.t. 一般情況下， u越大表示患者對治療的需求越大，或者說是療法對患者療效比金錢花費相對越大，u越小則表示療效

48、不明顯，比之金錢花費相對較小。其中，治療費用見下表：表31P1P2P3P4平均費用（1000美元/療程）0.07350.2070.1470.219各年齡段的最優(yōu)療法及療效如下：表32P1P2P3P4y1-0.2603-0.4225-0.24810.3055y2-0.3105-0.0232-0.5110-0.0343y30.0189-0.0835-0.3492-0.1961我們首先根據(jù)不同的u粗略地評價各種療法的優(yōu)劣： 表33 （ y1）upR0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0P1-0.0922-0.1109-0.1295-0.1482-0.1669-0.1856-0.2043-0.2229-0.2416-0.2603P2-0.2286-0.2501-0.2716-0.2932-0.3147-0.3363-0.3578-0.3794-0.4009-0.4225P3-0.1571-0.1672-0.1773-0.1874-0.1976-0.207