方程的歷史發(fā)展及其科學(xué)價值

1、第三講方程一、方程的歷史發(fā)展及其科學(xué)價值方程發(fā)展簡史公元前 1700 年時期古埃及數(shù)學(xué)著作蘭德紙草書記載：一個量，加上它的71，等于 19，求這個量。另一部古埃及數(shù)學(xué)著作柏林紙草書6619上有一個題目是“將一個面積為100 的大正方形分為兩個小正方形，一個邊長是另一個的43” 。古巴比倫泥板書上也有類似的數(shù)學(xué)問題：“兩數(shù)互為倒數(shù)，二者之差是7，求這兩個數(shù)” 。歐幾里得幾何原本中則有很多問題還要用到解二次方程。中國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有“方程”章，包含了很多關(guān)于方程的問題?！敖裼猩虾倘泻潭?，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實

2、二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？”九章算術(shù)沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將zyx,的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個（長）方陣，這就是“方程”之一名稱的來源。希臘數(shù)學(xué)家丟番圖算術(shù)中，討論了一次方程、二次方程和個別三次方程，還討論了大量的不定方程。印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在阿耶波多歷數(shù)書中給出了二次方程的求解方法。婆羅摩笈多在公元 628 年完成的婆羅摩笈多修正體系一書中，也給出了一般二次方程的求根公式?；ɡ用椎拇鷶?shù)學(xué)一開頭就指出：下列的問題，都是由根、平方與數(shù)這三樣?xùn)|西組成的。該書給出了六種類型一、二次方程，分六章來敘述。13 世紀(jì)的中國，在求高次方程數(shù)值解，以及解高次聯(lián)立方程上有重大貢獻。1247

3、 年，秦九昭給出了一般高次方程的數(shù)值解法。李冶創(chuàng)立的 “天元術(shù)” （1248 年）和朱世杰使用的 “四元術(shù)” （1303年）能夠求解一大類的高次聯(lián)立方程。16 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程和四次方程的求根公式。1515 年，費羅用代數(shù)方法求解三次方程nmxx3。1535 年塔塔利亞宣布自己發(fā)現(xiàn)了形如nmxx23的三次方程代數(shù)解法。 1545 年，卡爾丹在大衍術(shù)中給出了三次方程和四次方程的解法。三次方程)0,(3qpqpxx的解法，實質(zhì)是考慮恒等式333)(3babaabba，若選取ba,，使得qbapab33,3，不難解出332332322,322pqqbpqqa，于是得到ba就是所求

4、的x，后人稱之為卡爾丹公式。人們開始討論一般的五次方程的解法。歐拉和拉格朗日進行了嘗試，但是都以失敗告終。19世紀(jì)魯菲尼和阿貝爾都證明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系數(shù)的根式表出。方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用高中階段對方程學(xué)習(xí)有較高的要求，重點在于領(lǐng)會方程和函數(shù)之間的密切關(guān)系以及代數(shù)方程與幾何圖形之間的密切關(guān)系。具體包含以下幾方面：函數(shù)與方程，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程，二階矩陣與二元一次方程組、一階線性差分方程、參數(shù)方程等等。方程的科學(xué)價值自學(xué)教材中學(xué)代數(shù)研究p6263。二、方程的定義方程的幾種定義目前中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通用的方程定義是：含有未知數(shù)的等式。但是，形如12

5、1, 1cossin2222xxxxx之類的等式難以界定。給出一個可以取代的定義：方程是為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系。好處在于它揭示了方程這一數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)：為了求未知數(shù)；陳述了“已知數(shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系；方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個等式關(guān)系。在高等數(shù)學(xué)中方程的定義：形如nnxxxgxxxf,2121的等式叫做方程，其中nnxxxgxxxf,2121是在它們定義域的交集內(nèi)研究的兩個解析式，且至少有一個不是常函數(shù)。方程的分類無理方程分式方程高次方程二次方程一次方程整式方程有理方程代數(shù)方程反三角方程三角方程對數(shù)方程指數(shù)方程超越方程方

6、程三、一元方程的同解性定義 1 如果方程xgxf11的任何一個解都是方程xgxf22的解，并且方程的任何一個解也都是方程的解，那么方程和稱為同解方程 。兩個無解方程認為是同解方程。定理 1 如果函數(shù))(xa對于方程)()(xgxf的定義域m中的數(shù)都有意義，那么方程)()(xgxf與方程)()()()(xaxgxaxf同解。證設(shè)mx1， 且有)()(11xgxf， 從而有)()()()(1111xaxgxaxf， 即方程)()(xgxf的每一個解都是方程)()()()(xaxgxaxf的解。如果)()()()(1111xaxgxaxf，由)()()()()()(111111xaxaxgxaxax

7、f，可得)()(11xgxf，即方程)()()()(xaxgxaxf的每一個解也都是方程)()(xgxf的解這兩個方程是同解方程。定理 2 如果函數(shù))(xa對于方程)()(xgxf的定義域m中的數(shù)都有意義，并且不等于零，那么方程)()(xgxf與方程)()()()(xgxaxfxa同解。定理 3 如果)()()(21xfxfxfxfk，那么方程0 xf的解集等于下列各個方程：0)(,0)(,0)(21xfxfxfk的解集的并集，其中每一個解都屬于這k個方程的定義域的交集。定理 4 如果)()(),()(2121xgxgxfxf，方程)()(11xgxf與方程)()(22xgxf的定義域都是數(shù)集

8、m，那么方程與方程同解。四、幾種常見方程的變形在解方程時，除了利用同解變形外，有時還要作以下幾種變形：方程)()(xgxfnn是方程)()(xgxf的結(jié)果； 正整數(shù)n是對函數(shù))(),(xgxf施行乘方運算的指數(shù)。 可能產(chǎn)生增根，如445312xx方程)()(xgxf是方程nnxgxf)()(的結(jié)果，不小于2的整數(shù)n是對函數(shù))(),(xgxf施行開方運算的根指數(shù)（n為偶數(shù)時，0)(,0)(xgxf）如果)(),(21xgxg不等于 0，那么方程)()()()(2211xgxfxgxf是方程)()()()(2211xfxgxfxg的結(jié)果。如果對于定義域中的數(shù))()(11xgxf，且)()(22xg

9、xf，那么方程)()()()()()()()(22221111xgxfxgxfxgxfxgxf是方程)()()()(2211xgxfxgxf的結(jié)果。方程xgxf是方程xgxflglg的結(jié)果。方程xgxf是方程xgxfsinsin的結(jié)果。五、解方程的常用方法換元法例 1 解方程6)1)(43(762xxx解令yx273，則)21(311,2143,276yxyxyx。原方程變形為18)21)(21(22yyy即018424yy解之得21,4922yy。所以得到如下四個解iyiyyy2,2,23,234321換回原來變量得到原方程的解ixixxx3267,3267,35,324321對于形如0,2

10、2xaxf或0,22axxf或0,22axxf的方程，可以引入三角代換使方程化為較簡單的三角方程來求解。關(guān)鍵是使根號內(nèi)的部分可以成為完全平方式，以便去掉根號。形如0)()(cxfbxfamnm的方程， 可令mxfy)(，將方程化為關(guān)于y的整式方程。形如0)()()()(2cxgxfbxgxfa或0)()()()(bxfxgcxgxfa的分式方程，可令)()(xgxfu，化為一個整式方程02cbuau。課堂練習(xí) 1 解方程01256895612234xxxx解將方程表示為08956) 1(12234xxxx因為0 x，將方程兩端乘以21x，得089)1(56)1(1222xxxx設(shè)yxx1，則2

11、1222yxx，從而有08956)2(122yy由此得25y或613y。由251xx或6131xx解得32,23,21,2x引入?yún)?shù)法例 2 已知實數(shù)uzyx,滿足xuuzzyyx，求uzyxuzyx的值。解法一令kxuuzzyyx，則.,kxukuzkzykyx所以)(uzyxkuzyx故0)1(kuzyx于是0uzyx或1k若0uzyx，則0uzyxuzyx若1k，則uzyx，所以2uzyxuzyx解法二令kxuuzzyyx，則xkukzkkyx432，所以14k，1k若1k，則224xxuzyxuzyx若1k，則020kuzyxuzyx二項方程和三項方程的解法形如0axn的方程叫做二項方

12、程，解此方程就是求a的n次方根。定理 如果)sin(cosirc，那么二項方程0cxn的根是1,2, 1 ,0),2sin2(cosnknkinkrn。例 3 解方程0325x解)sin(cos325ix所以)4,3, 2, 1 ,0)(52sin52(cos2kkikx形如02qpxxnn的方程叫做三項方程，特別當(dāng)2n時，得方程024qpxx，稱為雙二次方程。例 4 解方程03436xx解設(shè)yx3，有0342yy解得3, 121yy，再分別解方程13x和33x，可得原方程的解為23635342321)231(3,2313,3,)231(,231, 1ixixxixixx因式分解法例 5 解方

13、程0323124xx解)176)(196()16()18() 11236()32436(32312222222244xxxxxxxxxxxx所以原方程同解與方程0)176)(196(22xxxx故方程的解為ixixixix223,223,103,1034321圖像法例 6 確定方程222xx的實數(shù)解的個數(shù)。解1.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1 .5-1-0.50.511.5g x = -x2+212f x = 2-xab由于原方程與方程222xx同解， 所以可設(shè)2,22xyyx，在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出兩個函數(shù)的圖像，由圖像不難看出：兩個函數(shù)的圖像有兩個交點ba,，所以原

14、方程有兩個實根。待定系數(shù)法例 7 解方程0144234xxxx解用待定系數(shù)法，令1yx，代入所給方程并化簡得032524yyy設(shè))(3252224mkyylkyyyyy，則041310246kkk0)49)(1(242kkk取,1k得3, 1 ml，因此方程可寫成0)3)(1(22yyyy解得2131,251yy換回原來變量，得2133,2511xyx方程組的解法（自學(xué)教材8280p）第三講家庭作業(yè)一解方程11)4(29)1(21xxxx解方程5462xx解方程4)43(log)2(log22xx解方程42logxxx解方程21lg1lg31lg2xxx解方程2cos2sinxx摘自初等代數(shù)研

15、究 （下冊）331330p解方程062512256234xxxx摘自初等代數(shù)研究 （下冊）343342p解方程83x解方程組560200444222zyxzyxzyx摘自初等代數(shù)研究 （下冊）372371p六、一元三次、四次以及高次方程一元三次方程的解法設(shè)有一般三次方程)0(023adcxbxax，取abyx3，整理得到0)3272()3(2323dabcabycabay兩端除以a得到03qpyy其中)3272(1),3(1232dabcabaqcabap。作變換vuy，代入方程，整理得到0)(3(33vupuvqvu要求03puv，則變?yōu)?0333qvupuv解得，2742,27423233

16、23pqqvpqqu從而123123321123123321,2742,2742vvvvpqqvuuuupqqu其中231,2312ii例 8 解三次方程0162742742723xxx解作變換49134273yyabyx，代入方程，整理得到03qpyy，其中322971627134274271274272)3272(1,1613542713427)3(132322dabcabaqcabap再做變換zy43，并整理得到022153zz利用求根公式可以得到3233,3233,43321xxx一元四次方程的解法一般三次方程的解法的思路是化為缺項的三次方程，再作變換轉(zhuǎn)換為二次方程來求解。一般四次方程

17、的解法也是轉(zhuǎn)換為缺項的四次方程，再將缺項的四次方程轉(zhuǎn)換為三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。自學(xué)教材85p。五次及五次以上代數(shù)方程求無根公式一般五次及五次以上方程不能用根式求解。自學(xué)教材8685p。代數(shù)基本定理定理（代數(shù)基本定理）任意一元n次方程有n個復(fù)數(shù)根。第三講家庭作業(yè)二解三次方程011126223xxx摘自初等代數(shù)研究 （下冊）338p七、不定方程與中國剩余定理定理 1 設(shè)二元一次不定方程為cbyax，其中cba,都是整數(shù)且ba,都不是 0，有一組整數(shù)解00,yyxx；又設(shè),),(11dbbdaadba則cbyax的一切解可以表示成：,1010tayytbxx其中,2, 1,0

18、t。定理 2 二元一次不定方程cbyax有整數(shù)解的充分與必要條件是cba|),(。二元一次不定方程1),( ,1babyax的一個特殊解可以表示為：, 1, 0, 1) 1(,) 1(2110211101kkkkkkkknnnnqqqqqqppqpqpppyqx其中，nk, 3,2例 1求10047yx的一切整數(shù)解。解：先解147yx，此處1),( ,4,7baba. 0, 3, 1, 3, 3131, 1, 3, 4, 11343, 1,4,7, 3147332122111rqrrrqrbrqba因此147yx的一個解是.2)1(, 11)1()1(22212pyqx故原方程的一個特殊解是2

19、00,100 yx由定理 1，其一切解可以表成),2, 1,0(2007,1004ttytx例 2 求75321111yx的一切整數(shù)解。解：.1371072510737,75|3, 3)321,111(yxyx今先解的解完全相同。且原方程的解與故有解而4, 1, 4,4141,8,4,33, 184334, 1,33,37,41333733,2,37,107,33237107432332122111qrrrqrrrqrbrqba故137107yx的一個特殊解是26) 1(,9)1(33313pyqx.9,26110737yxyx的一解是故75321111yx的一切解可以表成),2, 1,0(3

20、7259,1072526ttytx課堂練習(xí)解下列不定方程6303603061002515yxyx把 100 分成兩份，使一份可被7 整除，一份可被11 整除。定義 1（多元一次不定方程）可以寫成下列形式的方程nxaxaxann2211（其中2,21nnaaan都是整數(shù)，,并且不失一般性）定理 3 多元一次不定方程nxaxaxann2211有整數(shù)解的充分必要條件是naaan| ),(21課堂練習(xí)判斷下列多元一次不定方程是否有解：221153;50106523;10005249zyxzyxzyx定義 2（同余）給定一個正整數(shù)m,把它叫做模。如果用m 去除任意兩個整數(shù)a 和 b 所得的余數(shù)相同，則稱a，b