有關(guān)線性代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用畢業(yè)論文｜薦｜

1、線數(shù)考研122222236666777812121212141414141417171717171822222222222225252525252727272730 錯(cuò)誤！未定義書簽。 錯(cuò)誤！未定義書簽。第一章前言第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用2. 1逆矩陣2. 1. 1 階矩陣可逆的定義2. 1.2逆矩陣的性質(zhì)2.1.3矩陣可逆的條件2. 1.4求逆矩陣的方法2. 1.5求逆矩陣的例子2. 2伴隨矩陣2.2. 1伴隨矩陣的定艾2.2.2伴隨矩陣的性質(zhì)2.2.3有關(guān)伴隨矩陣的例子2. 3對角矩陣2.3.1可對角化矩陣的定艾2.3.2對角化矩陣判定條件和方法2.3.3有關(guān)可對角化矩陣的例子2. 4

2、正交矩陣2.4. 1正交矩陣的定義2.4. 2正交矩陣的性質(zhì)2.4. 3正交矩陣的例子2.5實(shí)對稱矩陣2.5. 1實(shí)對稱矩陣的定義2.5.2實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)2. 5. 3實(shí)對稱矩陣a = (a. 正交相似于對角矩陣的計(jì)算方法:2. 5. 4有關(guān)實(shí)對稱矩陣的例子.2.6正定矩陣2.6. 1正定矩陣的定義2.6.2正定矩陣的判定條件2.6.3正定矩陣的性質(zhì)2. 6. 4正定矩陣的判定方法2.6.5有關(guān)正定矩陣的例題第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用3. 1矩陣合同3. 1. 1合同矩陣的定義3. 1.2合同矩陣的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論3. 1.3矩陣合同的判定和證明.3. 1.4有關(guān)合同矩陣的例題3. 2

3、矩陣相似3.2. 1相似矩陣的定義3.2.2相似矩陣的性質(zhì)3.2.3相似矩陣的判定方法3. 2. 4有關(guān)相似矩陣的例子3. 3矩陣等價(jià)3. 3. 1矩陣等價(jià)的定艾3. 3. 2矩陣等價(jià)的定理和性質(zhì).3. 3. 3有關(guān)矩陣等價(jià)的例子結(jié)束語致謝參考文獻(xiàn)第一章前言隨著改革開放和現(xiàn)代化建設(shè)事業(yè)的需要，特別是“科教興國”、“知識經(jīng)濟(jì)” 等戰(zhàn)略性措施日益廣泛實(shí)施，國家機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位以及各行各業(yè)對高素質(zhì)、高 學(xué)歷人才的需求量越來越大。同時(shí)，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多， 相當(dāng)一部分大學(xué)畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學(xué)歷，以增強(qiáng)自 己的競爭實(shí)力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。研究生

4、入學(xué)考試現(xiàn)已成為 國內(nèi)影響最大、參加人數(shù)最多的國家級選拔高層次人才的水平考試。然而研究生入學(xué)考試與在校大學(xué)生的期中或期末考試相比，其深度、廣度與 難度大大增加，試題綜合性強(qiáng)，著重知識的運(yùn)用，競爭激烈，淘汰率高。同時(shí)， 考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強(qiáng)，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把 這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間，對考生迎考大有幫 助。高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考 試的一門必考科目，矩陣問題在數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng) 大的比例。而矩陣不僅是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支 研究問題的工具，它貫穿

5、了整個(gè)高等代數(shù)的內(nèi)容。為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技 巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理，矩陣與矩陣的關(guān)系、 性質(zhì)和解題的技巧方法，列舉出數(shù)學(xué)考研有關(guān)矩陣的典型例題。引導(dǎo)考生在較短 時(shí)間內(nèi)掌握解有關(guān)矩陣問題的要領(lǐng)，并順利通過研究生入學(xué)考試。第二章幾種矩陣的判定和應(yīng)用2. 1逆矩陣2. 1. 1«階矩陣可逆的定義設(shè)4是數(shù)域p上的一個(gè)階方陣，如果存在p上的階方陣b ,使得 ab = ba = e ( e為階單位矩陣)，則稱a是可逆的，又稱3為a的逆矩陣。當(dāng) 矩陣a可逆時(shí)，逆矩陣由a惟一確定，記為a'1 o2. 1.2逆矩陣的性質(zhì)設(shè)

6、a, b是斤階可逆矩陣，則(1) 葉廠"；(2) 若“0,則殆 可逆，且(m)_, = -a-1;k(3) ab 可逆，且(4) "可逆，且(aty = (a-1 )t :(5) 八可逆，且(aaj_，=(a_7 :(6) |川| = |礦；(7) 如果a是mxn矩陣，g是加階可逆矩陣，h是兀階可逆矩陣，則 r(a)= rga) = r(ah)= r(gah)。2. 1.3矩陣可逆的條件(1) n階方陣4可逆的充分必要條件是制工0;(2) 斤階方陣a可逆的充分必要條件是r(/l) = n :(3) 料階方陣a可逆的充分必要條件是a可以通過初等變換(特別是只通過初 等行(列)

7、變換)化為n階單位矩陣；(4) 斤階方陣a可逆的充分必要條件是a可以寫成一些初等矩陣的乘積；(5) 對于斤階方陣a ,若存在兄階方陣b,使得ab = e (或ba = e ),則a可 逆，且a" =b;(6) 斤階方陣a可逆的充分必要條件是a的斤個(gè)特征值不為零。2. 1.4求逆矩陣的方法法仁伴隨矩陣法：71-1 = aa2階方陣求逆矩陣：2階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元 變號”的規(guī)律。、a a2°21 °22 丿,矩陣a的代數(shù)余子式久=（如），出2=（-即），a21 =(-/21), a22 =(an)o 所以，其伴隨矩陣”=/a22<a2-。

8、12、a )hl注：對分塊矩陣_ 、 6722q。a2 a )(c d,不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣。法2：初等變換法：矩陣的階大于或等于3的一般采用初等變換法（1）(2)(3)（川£閘等行變扌敘£a_）初等列變扌e當(dāng)矩陣a可逆時(shí)，可利用（£b初等行變挺:初等列變扌a(c丿e、ca優(yōu)點(diǎn)：不需求出a的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法，僅通過初等變換即可求出 alb 或 c4。矩陣求逆可套用公式:對于分塊對角（或次對角）法3：分塊對角矩陣求逆：a-丿1陽丿/-1a= ,4/占>其中40 = 1,2,$）均為可逆矩陣。2. 1.5求逆矩陣的例子例1 （清華大學(xué)）設(shè)a為主對角線元素

9、為零的4階實(shí)對稱可逆矩陣，e為4階 單位陣。000000000k00、00(k > 0, z >0)o(1)(2)解：(1)廠0°】2。13。14 '<10kg©4、0a1a01ka“l(fā)a”122324,則 e + ab =2324。13a230。34001la 34&i4a24。340丿<00肋341丿設(shè)a試計(jì)算e+ab,并指出a中元素滿足什么條件時(shí)，e+ab為可逆矩陣。 當(dāng)e+ab可逆時(shí)，試證明（為對稱矩陣。故|e+a耳=1好觀。即當(dāng)1 一好血工0時(shí)，e+ab為可逆矩陣。（2）（e + ab）-' a =冷（£

10、+ ab）f =（a-1 +。由于4丁 = a, br =b9所以計(jì)+"t =（獷+b）t =（"）+bf 4（屮丁+"' =（a-1 + b）-' , 即是（aj + b）"對稱矩陣，故（e + ab）'1 a是對稱矩陣。解題技巧：做本題（1）時(shí)，可運(yùn)用可逆矩陣的充要條件：a可逆o制工0。做本題（2）時(shí)，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若a是對稱矩陣，則ar=ao 像（e+ab）_ia是兩矩陣的乘積，應(yīng)將其化為一個(gè)矩陣，再利用對稱矩陣的定義 來解決。300例2已知宀°試求a"1和a o0 0 003-60-334

11、-13000004 3ll 3-6003-6-1 0-3300-33解:對ax=/e兩邊取行列式得|a|a|*=|a|于是= -27,00丄即制=3,故獷=點(diǎn)43_3000-11又因?yàn)椤?趙 0、<0碼a112% -1、ia'3j 4丿,其中a廠4<-1故由m =e得企"=-19、3r o1000、-i-4000012<00112和a2=p "6可求得0丿1.-3 3 )解題技巧：當(dāng)我們看到4的伴隨矩陣/t,首先應(yīng)該考慮采用伴隨矩陣法來求a-1 ,因?yàn)?a'1 = aa*,所以求川的關(guān)鍵是求兇。又由a4*=制e知a =可見求nl得國和(a丁

12、后即可得到a o0、-1o、1。人2丿< 0釘丿,再通過初，心虻)"對于求解a,也可利用a"來求，根據(jù)a"的特點(diǎn)，可先將a-化為分塊矩陣 鼻0、證：(1)顯然有a2 =at aaat=1 -aat = a等變換法來求人，企的逆矩陣即可。例3 (武漢大學(xué))設(shè)矩陣4 = 已知q 4 = 1。-aa' ,其中a是/?維列向量，a1是a的轉(zhuǎn)置，又(1) 證明：a2 = a(2) 證明：3 = e + a + a2+. + a”是可逆矩陣，并求這里e是階單位矩 陣。(2)顯然可求得a為對稱矩陣且a的全部特征值為05-1重x 1 (1重)。那 么不妨設(shè)可逆矩陣p

13、使得心甩誠,0,0)尸。于是有3 = e + a +屮+ a"=甩誠z +1,1,1)嚴(yán)】o 顯然b為可逆矩陣，且有(1n + l=e -陽方1,0,0)嚴(yán)z7 + 1nb_, = pdiag丄p n + l丿=e a n + 1例4 （華中科技大學(xué)）設(shè)a為兀階方陣，若存在唯一的川階方陣b,使得aba = a ,證明：bab分析：注意反證法的應(yīng)用。證明：首先證明a可逆，利用反證法。(e,. 0>1(0 0 )(0 0aca=pqq'xa =p,0 0)(o en_r)9 o),顯然有a = o,q, c = qe, o、 0 o)& en_r若a不可逆，那么4的

14、秩小于，不妨設(shè)r（a）=r</?,于是有可逆矩陣p, q,使得a = p0 0若存在3使得aba = a 9那么對于矩陣b + c,也有 a（b + c）a = 4b4+ac4= a + o = 4, 這與b的唯一性相矛盾。于是4必可逆，那么對aba = a左乘a_,右乘b即可得bab = b。2.2伴隨矩陣 2.2. 1伴隨矩陣的定義若a = （tz. ）nxn,那么它的伴隨矩陣a*=（a.）/ixn （其中每表示矩陣中元素覘的代 數(shù)余子式）。注：每=（_i）®m“，（其中表示矩陣中元素切的余子式）。2.2.2伴隨矩陣的性質(zhì)(1)(2)aa* =a*a = |y4|e; 若a

15、可逆，則人*=|人|4巴(3)(ab)* = (例 2)；（4）注意到"中的每個(gè)元素都是矩陣4的-1階子式乘以某個(gè)值為1或-1的常數(shù),于是對于常數(shù)q,有（aa）=an'la2.2.3有關(guān)伴隨矩陣的例子例1 （天津大學(xué)）設(shè)矩陣4的伴隨矩陣* °a* =1<0010-30 0、° ° ,且 axa'1 = xa'1 4-3e ,求矩陣 x。1 00 8,訓(xùn)。解：由關(guān)系式axa：1 =xal +3e,可得 x=3（a-e）'1ao 注意到4是4階矩陣，有才=制",而|科=制獷| =附附 注意到|a*| = 8,于

16、是有岡=2,可得"=2川。（6x =3（a-e）la=:0 0 0、6 0 00 6 024 0 _1 丿在等式a*=2a"的兩邊取逆，即有r 2000（a -10200a = 2（/t）=-2020< o601/4經(jīng)簡單計(jì)算有例2（吉林工業(yè)大學(xué)，吉林大學(xué)）設(shè)4,3,均為n階方陣，求證 證明：（1）當(dāng)|的工0時(shí),國工0且網(wǎng)工0,由公式a* =|a_,可得（ab）*=網(wǎng)（3）-網(wǎng)（人尸=3*,（2）當(dāng)|a沖=0時(shí)，考慮矩陣a（a）= a-ae, b（a）=b-ae,由于a和b都 最多只有有限個(gè)特征值，因此存在無窮多個(gè)2,使仍（兄工0, 0（兄）工0。由上面（1）的結(jié)論有

17、（a（2）b（2）* = b（2）* a*（/l）o令（a（z）b（2）y=（/,（2）_,（編（財(cái)）呦。由上式得fim = &/ s），g，j = 12，n）,即有無窮多個(gè)久使上式成立，但/（石 幼仇）都是多項(xiàng)式，從而上式對一切久都 成立.特別令2 = 0,這時(shí)有（ab）* =（a（0）b（0）* = b（0）* a（0）* = b*a*。2.3對角矩陣 2.3. 1可對角化矩陣的定義如果數(shù)域p上的比階矩陣a可相似于對角矩陣，則稱a可對角化。 2.3.2對角化矩陣判定條件和方法數(shù)域p上比階矩陣a可對角化的判定條件：（1）充分必要條件：a有個(gè)線性無關(guān)的特征向量；(2) 充分必要條件：a

18、的所有重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)等于其 重?cái)?shù)；(3) 充分必要條件：a的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根；(4) 充分必要條件：a的不變因子都沒有重根；(5) 充分條件：4有n個(gè)互異的特征值；(6) 充分條件：a是實(shí)對稱矩陣。n階矩陣4可對角化的判定方法：第一步：求a的全部特征值。設(shè)a的所有互異特征值為人，兄少，人，其 重?cái)?shù)分別為斤，片,且斤+e+/;=m。若t = n,即a有&個(gè)互異的特征 值，則4可對角化。第二步：對每一特征值人，解方程組(&.e-a)； = 6得對應(yīng)人的線性無關(guān)特 征向量(即齊次方程組的基礎(chǔ)解系)卩訂,pi2> >pis.(z = l2, , r)

19、o 若某個(gè)sj < /;,即對應(yīng)人的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)小于入的重?cái)?shù)，則a不可對 角化；若© =?；(，= 12，r),則a可對角化。把n個(gè)線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣第三步：當(dāng)a可對角化時(shí)，卩21，zb，2 叨，"小 pt2,，pg)，則 p'xap =注：對角矩陣a的對角線元素恰好是a的九個(gè)特征值，且特征值的順序與p的列 向量順序保持一致。2.3.3有關(guān)可對角化矩陣的例子f 1-1 1)例1設(shè)矩陣a= x 4 y ,已知a有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，2 = 2是a的 、-3 -3 5丿二重特征值。試求可逆矩陣p,使得pap為對角矩陣。解：因?yàn)閍有三個(gè)線性

20、無關(guān)的特征向量，a = 2是a的二重特征值，所以a的對 應(yīng)于a = 2的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，故r(2£-a)= l。由于廠11-1、<1i-1 )2e-a =x-2_yt0兀2 x y<335丿/<000丿解得 x = 2f y = 2 or 1 -1 1所以，矩陣4二24-2 o一3 35設(shè)人，人，是4的三個(gè)特征值，由已知可知入=兄2=2。由人+幾2+入=1+4 + 5 = 10,可得希=6?？汕蟮脤?yīng)于特征值入=禺=2的線性無關(guān)特征向量為瓦=(-1,1,of,a = (1,0,l)r o而對應(yīng)于特征值入=6的特征向量為忑=(1, - 2,3)? o故可逆矩

21、陣（-1 1 1 "2 0 0、1 0 -2，使得psp二0 2 0、013 丿<0 0 6,廠 12 -3、例2設(shè)矩陣a= -1 4 -3的特征方程有一個(gè)二重根，求d的值，并討論a是° 5丿否可相似對角化。解：a的特征多項(xiàng)式為a-1-13陸-a =12 43=（2 - 2）（a2 8/1 + 18+ 3 6/jo-1-a兄5若2 = 2是特征方程的二重根，則有22-16+18+3。= 0,解得a = -2q當(dāng)° = -2時(shí)，a的特征值為2,2,6 ,矩陣廠1-23、2e-a =1-2 3<-12 -3丿的秩為1 ,故a = 2對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量

22、有兩個(gè)，從而4可相似對角化。 若2 = 2不是特征方程的二重根，則z2-82 + 18+36/為完全平方，從而2?18 + 3 = 16,解得° = 一一o當(dāng)° = 一一時(shí)，4的特征值為2,4,4 ,矩陣333-234e-a= 10 3,-1 - -1i 3)的秩為2 ,故2 = 4對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而a不可相似對角 化。廠 2-20、-21-2,求可逆矩陣p,使p'ap為對角矩陣。,0 -2 0丿解：（法1用配方法）4所對應(yīng)的二次型為f = 2xf -4%jx2 +%2 -4x2x3 = 2（xj -x2）2 -x； -4x2x3。例3已知實(shí)對稱

23、矩陣4兀1 = x + y2兀2 =兒，得兀3 =兒/ = 2y： -y 一4力歹3 =2yj -(y2 + 2y3)2 +4y；。 '3?i = z令行2=歹2+2兒，即二z2-2z3，得標(biāo)準(zhǔn)形兒=z3/ = 2z；_z；_4z：。所用可逆線性變換為石=z+z2_2z3/ 、<11-2、/ z1< x2 = z2 - 2z3,即兀2=01-2z2x3 - z301 >s<11- 2、<200、故可逆矩陣p=01-2,使得p1 ap =0-10<001z<004丿（法2）可求得|ae-x|=（a + 2xa-4x/l-l）,所以4的特征值為 入

24、=2, a2 = b 希=4。又對應(yīng)特征值幾| = -2, z2 = l禺=4的特征向量分別為 =（1,2,2）廠，=（_2,-1,2）7,族=（2,-2,1）/。pi單位化得q、=(2 1 2丫,(33 3)故可逆矩陣（實(shí)際是正交矩陣）p = k, qv q3<1-22、)=-2-1-27 3<221 >，使得2 i3)以3 =<2,(330、04>=2p1 ap= plap= 0<0廠 2 2 - 2、例4 (天津大學(xué))設(shè)三階實(shí)對稱矩陣2 5-4<-2 -45 丿(1) 求一個(gè)正交矩陣c及對角形矩陣a, ctac = a。(2) 求一個(gè)對稱矩陣使a

25、 = b2o解：(1)顯然易見，可求得a的特征多項(xiàng)式為/(z)= (/l-10x/l-l)2,于是a的 特征值為a = a2 = b為=10。由(10e-a)x = 0解得一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1)勺=- 2 ,2丿由(ie-a)x=o解得一個(gè)基礎(chǔ)解系為<2>01廠0、e2 = 1 ,丄之后將這三個(gè)向量組成一個(gè)正交矩'1/302冋3、c =-2/3血/2-v2/6 ,2/3"/2冋6 <10 00>顯然有c1 ac =010o<o0br1000、0 0、(2)顯然有a二二 c010ct =c01 0ctc00100 1將石單位化，將云，云先正交化后單位

26、化,陣為8 + v10那么有對稱矩陣b=c 000 0、1 0 c7 =0 192 + 2廊9-2 + 2v10'応 0 0、010cr,0 0 172 + 2 煩 2 + 2 伍、995 + 4聽 4-4折 994-4vt65+47t6999使得a = b2成立。例5 (三峽大學(xué))4為正定矩陣，b是實(shí)對稱矩陣。(1)證明存在可逆矩陣v使vtav = e, vrbv為對角矩陣。(2) 證明的特征值都是實(shí)數(shù)。解：(1)因?yàn)閍為正定矩陣，b為實(shí)對稱矩陣，則存在可逆矩陣q, qtaq=e, (bqf = qtbtq = qtbq ,所以qtbq為實(shí)對稱矩陣，所以存在正交矩陣p使 得 ptqt

27、rqp =a。令v = qp,顯然 1/可逆，vrbv = (qpy bqp= ptqtbqp =a, vtav = (qpf aqp= ptqaqp= ptep= ptp=e.(2)由a正定可知a"正定，由(1)可知，存在可逆矩陣q, 使得qtalq=e9 abqudia認(rèn)入，,入)，(入 w r, z = 1,2,/!), 由于ae-a=o9 所以|2a_, -b| = 0o而 qt(z4-' -b)q = aqta'q-qtbq =ae-q1 bq = dia-免_&),所以 |<2r(/ia-1 b)q| =- b|2| = (q _ 2_ 久2

28、)(久 _ &) °由于bl,所以人,人，心為阿-貝的特征值,也為ae-a的實(shí)根。解題技巧：在解本題時(shí)，要用到正定矩陣和對稱矩陣的性質(zhì)。2.4正交矩陣2.4. 1正交矩陣的定義如果n階實(shí)矩陣4滿足ata = e(njt4# = e,或4一】=人丁)，則稱4為正交矩陣。 2.4.2正交矩陣的性質(zhì)(1) 如果a是正交矩陣，則制=±1;(2) 如果a是正交矩陣，則aj a-1, a*, a*均是正交矩陣；而/a是正交矩 陣的充分必要條件是：/ = ±1 ;(3) 如果a, b是階正交矩陣，則也是正交矩陣；(4) n階實(shí)矩陣a是正交矩陣的充分必要條件是：a的個(gè)列(

29、或行)向量是 兩兩正交的單位向量。2.4.3正交矩陣的例子例1 (南京大學(xué))設(shè)4為n階實(shí)對稱矩陣，s為n階實(shí)反對稱矩陣(即s-s7"), 且a5 = sa, a-s為滿秩矩陣，試證：(a + sxa-s尸為正交矩陣。證：因?yàn)閍 s為滿秩矩陣，所以r(a-s)= /?,則a s可逆。(a + sxa - s)_， (a + sxa - sy =b st)r(a + s(a + s)(a s=(a+s 尸(a - sa+sxa - s)“, 又由 as=sa,得(a + sx4-s)=(4 sxa + s)。代入上式得（a + sa - s）叮（a + sa sf = e,故（a+s）（

30、a - s）"是正交矩陣。例2 （中國科學(xué)院）求證：不存在正交矩陣4,b, < a2 = ab + b2 o證：用反證法。若存在幾階正交矩陣4,a2 = ab + b2,式右乘得a + b = a1b,式變形為a（a-b）=b再左乘a"得a-b=ab2,由于4,b是正交矩陣，從而a2b'是正交矩陣，此即a + b是正交矩陣。類似可 知a-b是正交矩陣，故有e =（a- b）7 （a-b）= 2e- a7 b- bta 9兩式相加得2e = 4eo矛盾，即證結(jié)論。解題技巧：利用正交矩陣性質(zhì)的（2）、（3）和正交矩陣的定義來求解。例3 （長春地質(zhì)學(xué)院）設(shè)有二階矩陣

31、a，試分別將它們疔/ 0, 用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣p,使ptap = bo 解：因?yàn)閨征四=（幾3肱+ 1）,所以a的特征值為入=3,久2=-1。可求得正 交陣(1 1 )p =近 v2打-11<v2 v2 丿使得又因?yàn)閨述科3x“ + 1）,所以的特征值為“=3, “2=-1。也可求得正 交陣使得用b£ =廠30、o1° -1丿根據(jù)式和得pjah = p：bp2,從而（鬥片1）a（片馬巧=b o令p =片町1 律+ 1 1-732血-1 1 + v3,則p為正交陣，且p丁ap = b。2.5實(shí)對稱矩陣2. 5. 1實(shí)對稱矩陣的定義對于實(shí)矩陣a ,若=

32、a,則稱a為實(shí)對稱矩陣。注：若a為實(shí)反對稱矩陣u> at = -ao2.5.2實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)(1) 實(shí)對稱矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù)；(2) 實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交；(3) 實(shí)對稱矩陣可正交相似于對角矩陣，即對于任意一個(gè)幾階實(shí)對稱矩陣a , 都存在一個(gè)階正交矩陣0,使qtaq=q-aq為對角矩陣；(4) 若a為實(shí)對稱矩陣，則存在可逆矩陣p,使得ptap也是實(shí)對稱矩陣：(5) 若a為實(shí)對稱矩陣，則存在為實(shí)對稱矩陣b,使得a = b2 (例2)。2. 5. 3實(shí)對稱矩陣a =正交相似于對角矩陣的計(jì)算方法：第一步：求a的特征值和對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量。設(shè)入，人是a的所有 互異特

33、征值，其重?cái)?shù)分別為斤，人,且斤+b+ rt = nq又設(shè)對應(yīng)特征值 人的/；個(gè)線性無關(guān)的特征向量為第二步：當(dāng)7；>1時(shí)，將特征向量p” pi2,，pi*用sc仞加df方法正交化：«/! = pi%= pjj _一 如勺再單位化如果耳=1,直接將蹄單位化得石=12,纟葉§21，第三步：構(gòu)造正交矩陣則 q-aq = qtaq2. 5. 4有關(guān)實(shí)對稱矩陣的例子例1試求正交的相似變換矩陣，化下列實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(5-13、2 1 r-15-3;(2) a =1 2 1,3-33丿ji 12 丿(1) 4解：(1)可求得2-5-33=2(2-4x/1-9),2-32-5ae

34、-a= 1-3a的特征值為& = 0,人=4,希=9。對應(yīng)的特征向量分別為 云=(-1,1,2)呢=(1,1,0)丁,瓦=(1,-1,1)卩, (它們應(yīng)是兩兩正交的)單位化得故正交矩陣q=11_2_v6一苫 1 1、v61石1石00q1aq = qtaq= 00 0、4 00為a-2ae-a= -1-1再單位化n7t7tt,0j1_ 2v6，"v6，v6(2)可求得-1 -12-2-1 =(a-l)2(2-4),-1a-24的特征值為a = z2 = b碼=4。又a對應(yīng)的特征值入=兄2 = 1的線性無關(guān)特征 向量分別為幾=(-1,1,0)% =(-1,0,if,將其正交化q

35、= pl = (-1,1,0)丁心2 = p2 - 込巴i q = - ,1 ,° aal i 22 丿a對應(yīng)的特征值右=4的特征向量為故正交矩陣0二1_7t17tp3 = (1，1盯，單位化得7=丄月=11_2_v6qaq = qraq= 00、0找出這三個(gè)特征值的特征向量，然后解題技巧：要將實(shí)對稱矩陣a化為對角矩陣，應(yīng)先通過ae-= 0來求a的特征 值。若其特征值互異，則可通過解（&e-a）x=6來求對應(yīng)的特征向量，然后直接 將其單位化。若某一特征值有重?cái)?shù)，則應(yīng)先將其特征向量正交化，然后再單位化。<13144>例2 （北京航空航天大學(xué)）已知人=142418&l

36、t;41829丿稱矩陣x o求滿足關(guān)系x? = a的實(shí)對解：易解得a的三個(gè)特征值為1, 16, 49,再單位化并組成正交矩陣q,即有（注意到對稱矩陣對應(yīng)于不同的特征值的特征所以這里不需要正交化），-2/3-2/31/3、q =2/3-1/32/3 ,<-1/32/32/3丿向量必正交那么有 a = qdialam9)qt = (dialaj)qtdialaj)qt) = x2,q 2 0、即有 x = qdiaaj)qr = 2 4 2、0 2 5丿解題技巧:通過觀察a可知其為實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣q，使得qd0 = a 或qtaq=df再將對角陣d寫成即可得答案x = qd。所以首

37、先應(yīng)求 出正交矩陣q o因?yàn)楸绢}所求岀a的特征值互異，所以其對應(yīng)特征向量必正交， 從而對特征向量直接單位化即可。2.6正定矩陣 2.6. 1正定矩陣的定義占t_設(shè),%)= x ax是71元實(shí)二次型(a為實(shí)對稱矩陣),如果對任意不 全為零的實(shí)數(shù)q心，,都有/點(diǎn)心,q)>0,則/稱為正定二次型，4為 正定矩陣。2.6.2正定矩陣的判定條件(1) n階實(shí)對稱矩陣4是正定的充分必要條件是a與單位矩陣e合同；(2) 斤階實(shí)對稱矩陣a是正定的充分必要條件是，存在“階實(shí)可逆矩陣c, 使得a = crc;(3) 階實(shí)對稱矩陣a = (fz.)wx/,是正定的充分必要條件是a的順序主子式都ij為正，a a

38、2即a2 a22a2k>0;ci lb(4) n階實(shí)對稱矩陣4是正定的充分必要條件是a的特征值全為正;(5) a是正定矩陣，由a的對稱正定性知，存在正交矩陣q,使得qaq=qtaq=dia 人，人j,其中人>0(心1，2,司。2.6.3正定矩陣的性質(zhì)(1) a是正定矩陣，則”也是正定矩陣(例3);(2) a是正定矩陣，則也是正定矩陣；(3) a-e是正定矩陣，則e-a'1也是正定矩陣；(4) a是正定矩陣，則其r階順序主子陣人& = 1,2,，n-1)也是正定矩陣；(5) a = o><n, b = (bjjxn均是正定矩陣，則c = (d為2“ 也是正

39、定矩陣。2.6. 4正定矩陣的判定方法對于具體給出的矩陣a來說：(1) 判斷是否為實(shí)對稱矩陣。(2) 根據(jù)判定條件來判斷(一般通過檢驗(yàn)4的各階順序主子式是否都大于零)。對于抽象給出的矩陣a來說： > t 方法仁利用定義：即對任意列向量xho,恒有二次型x ax>0,則a為正定 矩陣(當(dāng)證明若干個(gè)矩陣之和或積為正定矩陣時(shí)，常采用此法)。方法2:利用特征值：當(dāng)4的所有特征值大于零時(shí)，a為正定矩陣(當(dāng)證明 矩陣a的各種運(yùn)算，如數(shù)乘、方幕、逆矩陣、伴隨矩陣、多項(xiàng)式矩陣等為正 定矩陣，常用此法）。2.6.5有關(guān)正定矩陣的例題例1設(shè)a為加階實(shí)對稱且正定，b為mxn實(shí)矩陣，刃為的轉(zhuǎn)置矩陣，試 證

40、明：bab為正定矩陣的充分必要條件是b的秩r（b）= n o證：（這是要證明三個(gè)矩陣之積是正定的，可采用定義證之）充分性：因?yàn)椋╞tabf =btatb = btab,所以3廠為實(shí)對稱矩陣。由于 r（b）= n ,則齊次線性方程組bx = o只有零解，從而對于任意實(shí)維列向量 ；工6有8；工6。又4為正定矩陣，所以對于8；工6有于是，對任意=6,有 xt（b1 ab =（bx）? a（bx）0 ,故刃ab為正定矩陣。必要性：已知刃血為正定矩陣，則對任意的實(shí)維列向量有 xt（btab0,即（成人（成）0,由a正定知成工6,因此成=6只有零解, 從而 /*（b）= no 解題技巧：要證矩陣正定時(shí)，應(yīng)

41、先證其為對稱矩陣，然后在利用正定矩陣 的判定條件來進(jìn)行證明。此題證明充分性時(shí)，還用到矩陣的秩與其線性方 程組的關(guān)系來推出正定矩陣的判定條件。例2設(shè)4為比階正定矩陣，b為階實(shí)反對稱矩陣。證明：a-b2是正定矩 陣。證：（這是證明兩矩陣之差為正定矩陣，可采用定義證之）因?yàn)閍是正定矩陣，所以ar = a ,且對任意維實(shí)列向量有；須0。 又b是實(shí)反對稱矩陣，即 b1 =-b,從而（a_b2=屮_（肝）2 =a_（_b）2 =人_礦，即a-b2是實(shí)對稱矩陣，又對任意實(shí)比維列向量；工6,有x a- b2x = x （a + btbx = x 4x +（30。故a-b2是正定矩陣。解題技巧：本題主要利用b為

42、兀階實(shí)反對稱矩陣o0 =-b來解題的。例3證明：若a是正定矩陣，則"也是正定矩陣。證：（法1）由于a正定，所以制0,且對任意xo有；韻0。又穴=制獷，從而 對任意；工6,有（注意= a ,且當(dāng)；工6時(shí)4一口工6）ft ft-x x = x aax =又(才=0艸獷=制(")“矩陣。a_,aa_,x = |a|(a_, xf a(a x)>0_, = a*,即”是實(shí)對稱矩陣，故”是正定（法2）因?yàn)?a* = a,所以（a*）t =（|a|a-,）r =h（at）_1 =|a|a-1 = a*,即”是實(shí)對稱 矩陣。設(shè)人，境，血是a的特征值，由a正定知人0 （心1,2,司。

43、而a*的特征 值為兇且且，且h0 （心1,2,/）,故a*是正定矩陣。例4設(shè)a是料階實(shí)對稱矩陣，且滿足a4-4a3 +7a2 -16a + 12e = 0。證明a是 正定矩陣。證：（4滿足多項(xiàng)式矩陣方程，只要證明a的特征值全大于零即可） 設(shè)ax = axf即久是a的特征值，；是a對應(yīng)2的特征向量，則有0 =（a4-4a3+7a2-16a+12e）x =（a4-4+7a2-16a + 12o由；工6纟口 才一4才+7才_16兄 + 12 =（2 1）（兄一3）（才 +4）=0,解得其根為a = l, a = 3, 2 = ±2i o因?yàn)閷?shí)對稱矩陣a的特征值為實(shí)數(shù)，所以 4的特征值為1或

44、3,即a的特征值全大于零，故a為正定矩陣。汪：矩陣aiaakaa1plap特征值2ur1a/a2a例5 （上海交通大學(xué)）4為階實(shí)對稱矩陣，e為階單位矩陣。求證：對 充分小的正數(shù)g, e +叢為正定矩陣。證：可證e + ea為實(shí)對稱矩陣。因?yàn)榇嬖谡痪仃噒,使t-at=dia 入，&）其中入，人,，血為a的全部實(shí)特征值。令2（） =max |2|,-,|zn| 不妨設(shè)/（） 0 （因?yàn)槿?（）= 0,則2=入=& = 0,力=0 ,結(jié)論已證）。 再令£ = o貝寸久。+12 2 又有te + r = diag+ i a)+1兄o +1 丿由式知1> 0 (i =

45、12，n)入+1故e + ea為正定矩陣。例6 （北京大學(xué)）設(shè)a為nxm實(shí)對稱矩陣，證明：r（ a）= n的充分必要條件 是存在一實(shí)nxn矩陣b,使得ab + bra正定，其中燈為b的轉(zhuǎn)置。證：因?yàn)閎taf = （ab）1 +（bra）? = bta ,所以 ab + btan 實(shí) 對稱矩陣。必要性：若r(/l) = n ,則a"存在，令3 =人則 ab-bta = aa'1 +(a“ )?ar =e +(aa_1) = 2e。由此可知ab + bta正定。充分性：已知ab + bra正定，則對x/xw/r且兀工0有x ab + bta）x = bx + （fix） a兀 0

46、。由上式可知兀工6,這就是說，對任意；工6,都有施工6,從而施=6僅有零解，故r（a）= n o例7設(shè)4是比階正定矩陣，證明|a + 2科2"。 證：（法1）因?yàn)閍是正定矩陣，所以存在正交矩陣q,使得qaq= aq = a = dia 認(rèn)入,碼，&） 其中人0 （, = 12 ，n） o 于是| a + 2e = qq-1 + 2e = |c（a + 2e）ql | = |a + 2e| =dia +2,入+2,人+2）=（入+2壯+2）仇+2）2"。（法2）設(shè)人，人，&是a的特征值，由4正定知0 （心1,2,，小。又 a + 2e的特征值為入+2,心+2,

47、，血+2,從而|a + 2£|=（a1 + 2）（人 +2） t。例8 （華中師范大學(xué)，北京郵電學(xué)院）設(shè)a是一個(gè)/7階實(shí)可逆矩陣，證明： 存在一個(gè)正定矩陣s和正交矩陣p ,使a = ps 0證：因?yàn)閍s是正定矩陣，所以存在正定矩陣s,使ata = s2 o從而a = （?f）ts2=（at）"ss = ps,其中 p =（ar）_，so 由于 ppt =（ar）_，ss* =（atys2a' =（ar）_，（心）川=e 所以p為正交矩陣。例9 （武漢大學(xué)）若a是實(shí)滿秩矩陣，求證：存在正交矩陣片，4，使片j= 力就人，九）， > 0（7 = 12，rt） o證：

48、由于a實(shí)滿秩，所以a可逆，從而yva為正定矩陣，所以存在正交矩陣 人，使得plr（aar）p=dia-. “j,其中 “>0 （z =n）o 令（i = l,2,，n）,再令 c = dia,-, &）, 則由式有 r（aar）/ = c2,令 p2=atpc- 則pp2 = （c_,7ra）（ar/c_1）= cx pcx = c_,c2c_, =e。即馬是正交矩陣,且 pap, =ra（at/>c_1）=c2c_1 =c = dia-；人j。例10 （華中科技大學(xué)）證明：任意72階實(shí)可逆矩陣a可以表成一個(gè)正定矩陣 s與一個(gè)正交矩陣q之積。證明：由a是可逆矩陣，則a4 丁

49、為正定矩陣，于是有正定矩陣s,使得=s2,令 q=saf 顯然有 q qr =eo于是q是正交矩陣，且有a = sqo注意：對于與正定矩陣有關(guān)的題目，下面結(jié)論往往會有用。（1）對于正定矩陣a,存在正定矩陣c,使得a = c2o實(shí)際上，對于 任何正整數(shù)k,都有正定矩陣c,使得a = ck o（2）設(shè)a為n階正定矩陣，b是同階實(shí)對稱矩陣，則必存在可逆矩陣p , 使ptap=e, ptbp=dia 易，,aj,其中人（d = l,2,小全是a“b的 特征值。這個(gè)結(jié)論的證明如下：因?yàn)閍是正定矩陣，由（1）知存在可逆矩陣p ,使prap = e,又矩陣 也是實(shí)對稱矩陣，故有正交矩陣q,使幵伽）2 = 也

50、，人，&）,令c = pq,則c滿足題目的結(jié)論的形式，又ct（aa-b）c = ae-ctbc= diai-, 2 希，a-aj, 因此人,人,，盤是多項(xiàng)式aa-b的根。 因?yàn)閍可逆，所以也是ae-alb的根。第三章矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用3. 1矩陣合同3. 1. 1合同矩陣的定義設(shè)a, 3是數(shù)域p上的矩陣，如果存在數(shù)域p上的可逆nxn矩陣c, b = ctac9則稱a與b合同。3. 1.2合同矩陣的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論(一)合同矩陣的性質(zhì)：(1 )反身性：a與a合同；(2) 對稱性：若a與b合同，則與a合同；(3) 傳遞性：若4與3合同，3與c合同，則4與c合同；(4) 若a與b合同，

51、則a的秩與的秩相等；(5) 若a與3合同，且a對稱，則3也對稱。(二)合同矩陣的有關(guān)結(jié)論：(1 )經(jīng)過可逆的線性變換x = cy,新二次型f = yt by的矩陣與原二次型t f = x ax的矩陣是合同的，即b = ctac;(2)數(shù)域p上秩為r的任意一個(gè)71階對稱矩陣4都合同于一個(gè)秩為r的對角矩陣d ,即存在可逆矩陣c,使crac=df這里d的對角元素中有廠個(gè)非零。3. 1.3矩陣合同的判定和證明(1)兩個(gè)斤元復(fù)二次型可通過復(fù)的可逆線性變換互化的充分必要條件是，二者 有相同的秩；(2)兩個(gè)階實(shí)對稱矩陣在實(shí)數(shù)域上合同的充分必要條件是，二者有相同的秩 與符號差(實(shí)對稱矩陣a的符號差即二次型2須的符號差)。3. 1.4有關(guān)合同矩陣的例題-1 2合同的矩陣是() 從而a的秩為3,且正慣性指數(shù)為2,與（b）中矩陣