高等數(shù)學(xué)：5-2微積分基本公式

1、第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式 問題的提出問題的提出積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)fundamental formula of calculus 例例變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21d)(TTttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度已知速度)(tvv tTT上上,21的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)連續(xù)函數(shù), 0)( tv且且求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的

2、路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔).()(d)(1221TsTsttvTT )()(tvts 微積分基本公式微積分基本公式一、問題的提出一、問題的提出其中其中 如果能從如果能從v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 定積分的計(jì)算有捷徑可定積分的計(jì)算有捷徑可尋尋運(yùn)算運(yùn)算.定積分定積分運(yùn)算就可化為減法運(yùn)算就可化為減法微積分基本公式微積分基本公式)()(d)(1221TsTsttvTT 啟發(fā)啟發(fā)定積分定積分 attfd)(積分上限函數(shù)積分上限函數(shù),bax ).(x 記記為為 注注)d)( xaxxf一定要分清函數(shù)的一定要分清函數(shù)的如果上限如果上限

3、 x 在區(qū)間在區(qū)間a,b上任意變動(dòng)上任意變動(dòng),每一個(gè)取定的每一個(gè)取定的x值值,則對(duì)于則對(duì)于定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,所以它所以它在在a,b上定義了一個(gè)函數(shù)上定義了一個(gè)函數(shù),設(shè)設(shè)f (x)在在a,b中可積中可積,則對(duì)任一點(diǎn)則對(duì)任一點(diǎn)x )(x 與與自變量自變量x積分變量積分變量t.xtt微積分基本公式微積分基本公式二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) xattfxd)()( 這個(gè)函數(shù)的幾何意義這個(gè)函數(shù)的幾何意義 下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性.是如圖是如圖紅色部分紅色部分的面積函數(shù)的面積函數(shù).微積分基本公式微積分基本公式ab)(xfy Oxyx)(x 證

4、證 )(xx 定理定理1 1 (原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理),)(baCxf 設(shè)設(shè)則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù)且且對(duì)對(duì)上上限限的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)等等于于.,)()(上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是baxfx 因?yàn)橐驗(yàn)?上上的的可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)是是ba即即函函數(shù)數(shù)在在上上限限處處的的值值被被積積. xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf )(bxa xattfd)()()(xxx xdd從而從而ttfad )( xx 微積分基本公式微積分基本公式)()(xxx .之之間間與與在在xxx )( fx ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在因因baxfxxx 0lim)( )(lim fx )(xf

5、.x 積分中值定理積分中值定理xf )( xxxttf d)(故故,0時(shí)時(shí)而而 x微積分基本公式微積分基本公式 xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 定理定理1指出指出:積分聯(lián)結(jié)為一個(gè)有機(jī)的整體積分聯(lián)結(jié)為一個(gè)有機(jī)的整體(2) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f (x) 一定有原函數(shù)一定有原函數(shù), xattfxd)()( 就是就是f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).(1) 積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系,它把微分和它把微分和所以它是微積分學(xué)基本定理所以它是微積分學(xué)基本定理.函數(shù)函數(shù)微積分基本公式微積分基本公式 微積分微積分,推論推論 axttfxd)

6、(dd)1( )(d)(dd)2(xgattfx xattfxgxd)()(dd)3( xattfxgd)()()(xg)(xf )(xgf)(xg )()(d)(ddxgxhttfx微積分基本公式微積分基本公式 xattfd)(xdd )()(xfxg ,)(baCxf 設(shè)設(shè),)(可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)xg.,bax 例例 ).(,d1)(02xfttttxfx 求求設(shè)設(shè)解解 )(xf例例 ).(,d11)(2sin2xfttxfx 求求設(shè)設(shè)解解xusin )(xf )(xf utt22d11ttxd11sin22 xudd xx2sin1cos xucos112 uttu22d11dd微積分基本

7、公式微積分基本公式12 xxx例例 ).(,d)(23xftexfxxt 求求設(shè)設(shè)解解tetexfxtxtdd)(32 20dxtte texxfxtddd)(202xe textd30 x2 3xe 23x 00texxtddd30 微積分基本公式微積分基本公式例例21cos0dlim2xtextx 解解 1cosddd2xttex xttexcos1ddd2xe2cos xex2cossin 21cos0dlim2xtextx xexxx2sinlim2cos0 e21 00這是這是 型不定式型不定式,分析分析應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)用洛必達(dá)法則)(cos x微積分基本公式微積分基本公式證證 xt

8、ttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd微積分基本公式微積分基本公式例例. 0)(), 0)( xfxf內(nèi)連續(xù)且內(nèi)連續(xù)且在在設(shè)設(shè)證明函數(shù)證明函數(shù) xxttftttfxF00d)(d)()(內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF200)d)(d)()()()( xxttfttftxxfxF0)( xf0)()( tftx)0( x0)( xf0 微積分基本公式微積分基本公式20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF內(nèi)內(nèi)在在

9、), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).故故)(xF x0 xdt x0tdt證證 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf微積分基本公式微積分基本公式為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)xf. 1)( xf且且證明證明: xttfx01d)(2上上在在1 , 0只有一個(gè)解只有一個(gè)解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個(gè)解只有一個(gè)解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或,)(d)(CxFttfxa 定理定理2 2（牛

10、頓（牛頓- -萊布尼茨萊布尼茨公式）公式）,)()(CxFx ,bax 證證牛頓牛頓( (英英)16421727)16421727 萊布尼茨萊布尼茨( (德德)16461716)16461716如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)上上區(qū)間區(qū)間在在, )(baxf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 則則)()(d )(aFbFxxfba xattfxd)()( 都是都是f(x)在在a,baa因?yàn)橐驗(yàn)榧凹?(xF上的原函數(shù)上的原函數(shù), 故有故有C是待定常數(shù)是待定常數(shù), 即有即有,bax 0 微積分基本公式微積分基本公式三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )CF a )()(aFxF ttfxad)

11、(),(aFC , bx 令令牛頓牛頓(Newton)萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式,bax 特別特別, xxfbad)( )baF x)()(aFbF CxFttfxa )(d)(微積分基本公式微積分基本公式bb)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式表明微積分基本公式表明 baxF)( 注注求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間a, b上的增量上的增量.,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

12、ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立.微積分基本公式微積分基本公式 面積面積 A 0cosx 2 例例 解解軸軸上與上與在在計(jì)算曲線計(jì)算曲線xxy, 0sin 平面圖形的面積平面圖形的面積.所圍成的所圍成的微積分基本公式微積分基本公式xysin xsin 0 xd 1)1( Oxy 例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf設(shè)設(shè).d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx2105(21)6x 12 10d)(xxf 21d)(xxf微積分基本公式微積分基本公式xyO5例例 222d,maxxxx解解 由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf 原式

13、原式211 注注 如被積函數(shù)是分段函數(shù)如被積函數(shù)是分段函數(shù), 應(yīng)分段分成幾個(gè)應(yīng)分段分成幾個(gè)再用再用牛牛萊公式萊公式.積分積分, 022dxx 10dxx 212dxx微積分基本公式微積分基本公式,2x02 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy 2 21例例解解xxd2sin120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sin xx 20dsincos xxx222 如被積函數(shù)有絕對(duì)值如被積函數(shù)有絕對(duì)值,注注 24)sincos( xx 再用再用微積分基本公式微積分基本公式去掉后去掉后,N-L公式公式.04 xxxd)sin(cos 4 2 xxxd)

14、cos(sin 應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值例例 已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 解解分段函數(shù)分段函數(shù)微積分基本公式微積分基本公式 )(x ,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xtd1,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttd.21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 錯(cuò)錯(cuò)!已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 微積分基本公式微積分基本公式正確做法正確做法,)0

15、 , 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xt1d1. 1 x xttfx1d)()( , 1 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxxx 例例 解解 nnnnn12111lim求極限求極限此極限實(shí)為一此極限實(shí)為一積分和的極限積分和的極限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x 2ln 微積分基本公式微積分基本公式)1()(limd)(10 niii

16、baxfxxf 定積分是代數(shù)和的推廣定積分是代數(shù)和的推廣,無窮小無窮小的的無限項(xiàng)無限項(xiàng)的代數(shù)和的代數(shù)和.即它表示每項(xiàng)為即它表示每項(xiàng)為用定積分求極限時(shí)用定積分求極限時(shí),需將需將(1)式中的兩個(gè)式中的兩個(gè)任意量任意量 用特殊的值處理用特殊的值處理.10 x 11)21(lim2nnnn 求極限求極限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni 微積分基本公式微積分基本公式32微積分基本公式微積分基本公式例例試證明試證明:積分中值定理中的積分中值定理中的 可在開區(qū)間可在開區(qū)間),(ba取得取得,即如果即如果,)(baCxf 則至少則至少存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)),(ba 使

17、得使得).)(d)(abfxxfba 證證 令令),(d)()(bxattfxFxa 上上在在,)(baxF由由定理定理1 1 (原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理)知知:可導(dǎo)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理根據(jù)拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba 使得使得),)()()(abFaFbF 即即 baxxfd)().()(xfxF ).)(abf 微積分基本公式微積分基本公式積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)(變上限積分變上限積分) xattfxd)()( 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與

18、積分學(xué)之間的關(guān)系積分學(xué)之間的關(guān)系微積分基本公式微積分基本公式四、小結(jié)四、小結(jié)注意注意其推論其推論.微積分基本公式微積分基本公式思考題思考題1 xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對(duì)嗎對(duì)嗎? ?錯(cuò)錯(cuò)!分析分析,d)()(dd0中中在在 xttftxx其中的其中的x對(duì)積分過程對(duì)積分過程是是常數(shù)常數(shù),而積分結(jié)果而積分結(jié)果 xttftx0d)()(是是x的函數(shù)的函數(shù).微積分基本公式微積分基本公式 xttftx0d)()( xxtttfttxf00d)(d)(思考題思考題1 xttftxx0d)()(dd0)()( xfxx對(duì)嗎對(duì)嗎? ? xxtttfttfx00d)(d)(故故 xttftxx0d)()(dd)d)(d)(dd00 xxtttfttfxx xxtttfxttfxx