2控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的luo

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式x(0)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)？對給定的控制輸入和初始狀態(tài)，如何確定任意？對給定的控制輸入和初始狀態(tài)，如何確定任意時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)和輸出；狀態(tài)的變化行為？時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)和輸出；狀態(tài)的變化行為？ 利用線性系統(tǒng)的特性：疊加原理初始狀態(tài)、外部利用線性系統(tǒng)的特性：疊加原理初始狀態(tài)、外部輸入的作用疊加。輸入的作用疊加。uxyuxxdcba第二章第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解線性定常線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)齊次齊次方程的解方程的解u矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)線性

2、定常系統(tǒng)非齊次方程的解線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解離散事件系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散事件系統(tǒng)狀態(tài)方程的解連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化0 0k kk k2 22 20 0)x)xt ta ak!k!1 1t ta a2!2!1 1atat(1(1x(t)x(t)則解則解, ,x xx(0)x(0)ax,ax,x x設(shè)標(biāo)量微分方程設(shè)標(biāo)量微分方程證明證明 ! :00kkkattnaex2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解(證明證明)簡單到復(fù)雜的處理方法：簡單到復(fù)雜的處理方法：在在t t時(shí)時(shí)的的狀狀態(tài)態(tài)？x x) )x x( (

3、t ta ax x, ,x x0 00 02.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解(證明證明)對于對于 ，解在形式上的推廣：，解在形式上的推廣：0 00 0 x x) )x x( (t ta ax x, ,x xk k0 0k k3 30 03 32 20 02 20 00 0t tx xa ak k! !1 1t tx xa a3 3! !1 1t tx xa a2 2! !1 1t ta ax xx xx x( (t t) )0 0a at t0 00 0k kk kk k0 0k kk k2 22 2k k0 0k k3 30 03 32 20 02 20 00 0 x x

4、 e e) )x xt ta ak k! !1 1( () )x xt ta ak k! !1 1t ta a2 2! !1 1a at t( (i it tx xa ak k! !1 1t tx xa a3 3! !1 1t tx xa a2 2! !1 1t ta ax xx x即即x x( (t t) ) 2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解(證明證明)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣關(guān)鍵問題：關(guān)鍵問題：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 eat ?矩矩陣陣, ,間間轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移. .稱稱為為狀狀態(tài)態(tài)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移在在狀狀態(tài)態(tài)空空意意味味x x( (t t) )隨隨t t不不斷斷即即為為時(shí)時(shí)變變函

5、函數(shù)數(shù)陣陣, ,為為t t的的函函數(shù)數(shù), ,一一般般, ,或或e e轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移陣陣為為e e) )t ta a( (t ta at t0 0) )x(t)x(tt t(t(t或x(t)或x(t)(t)x(0)(t)x(0)x(t)x(t)e e) )t t(t(te e記記(t)(t)0 00 0) )t ta(ta(t0 0atat0 0量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移, ,) )到到終終態(tài)態(tài)x x( (t t) )的的向向或或x x( (t t) )反反映映從從初初態(tài)態(tài)x x( (0 0) )x x( (t te ex x( (t t) )x x( (0 0) )或或e e) )齊齊次次狀狀態(tài)態(tài)方方程程解解x

6、x( (t t: :一一. .狀狀態(tài)態(tài)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移矩矩陣陣0 00 0) )t ta a( (t ta at t0 02.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 定義定義) )x x( (0 0) ) )( (t tt t( (t t) ) )x x( (t tt t( (t t) )則則x x( (t t) )t t) )和和( (t t若若知知x x( (t t1 11 12 21 11 12 22 21 12 21 1 ) )x x( (0 0) ); ;( (t tx xx x) )x x( (t t) )則則和和( (t tx xx x已已知知x x( (0 0) )例例

7、: :1 12 21 11 11 11 11 12 20 01 10 0) )x x( (0 0) ); ;( (t tx xx x) )則則x x( (t t) ), ,若若已已知知( (t t2 22 22 21 12 22 22 22.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義定義2 21 11 12 2a at ta at t) )t ta a( (t t2 21 11 12 2e ee e或或e e) )( (t t) ) )( (t tt t( (t tb b) )t t( (a ab bt ta at tn nn nn nn ne ee e有有e eb ba a時(shí)

8、時(shí), ,當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a ab b, ,b b, ,5 5. .a a) )a a( (t ta aa at te ee ee e) ); ;( (t t1 1. .( (t t) )( () )i ie ei i; ;( (0 0) )t t) )2 2. .( (t tt t) )a a( (t ta at t1 1a at t1 1e ee et t) ); ;( ( (t t) ) 3 3. .a a; ;a a( (0 0) )( (0 0) )0 0時(shí)時(shí), ,t t a a; ;e ea ae ee ed dt td d( (t t) )a a; ;a a( (t t) )( (

9、t t) )4 4. .a at ta at ta at t狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)性質(zhì)n n2 21 1 a a即即若若a a為為對對角角線線陣陣, ,0 00 0. 12.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特殊情況特殊情況t t t t t t a at tn n2 21 1e ee ee ee e則則( (t t) )0 00 01 1t t1 1t t t t t t a at t1 1t tt te et te ee ee et te e( (t t) )則則 , ,a at t

10、即即t t變變換換對對角角線線化化, ,2 2. .若若a a能能通通過過非非奇奇異異n n2 21 10 00 01 1t ta at t1 1t tt te ee e: :即即得得左左乘乘t t右右乘乘t tt t, ,e et t ) )t tt ta a2 2! !1 1a at t( (i it tt tt ta at t2 2! !1 1a at tt tt ti it t2 2! !1 1t ti ie ea at t, ,t t: :證證明明a at t1 12 22 21 12 22 21 11 12 22 2t t1 1 2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)

11、移矩陣特殊情況特殊情況121111211212ttttnttn0!)!(! t tjtjtatate ee ee e(t)(t)為約當(dāng)陣若a3.0011ja1)(2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特殊情況特殊情況1 1t tt t2 2! !1 1t t1 1t t1 1) )! !( (m m1 1t t2 2! !1 1t t1 1e ee e式式中中; ;e ee ee ee ee e則則( (t t) )2 21 1m mi i2 2t tt ta at ta at ta at ta aj jt ta at ti ii ii il l2 21 10 00 00

12、0i ii im mm mi ii ii ii i2 21 10 01 11 1其其中中a a, ,a a0 0a a0 0a aj j( (2 2) )a a0 00 0lil,213 3. .若若a a為為約約當(dāng)當(dāng)陣陣2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特殊情況特殊情況2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法若無上述特殊情況，則可采用如下若無上述特殊情況，則可采用如下4種方法：種方法：根據(jù)根據(jù)eat的定義直接計(jì)算；的定義直接計(jì)算；通過變換通過變換a為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：ua的特征根互異：的特征根互異：eat=tet t-1ua的特征值

13、有重根：的特征值有重根： eat=tejt t-1利用拉氏反變換法求利用拉氏反變換法求eat = l-1(si a) -1應(yīng)用凱萊應(yīng)用凱萊-哈密頓定理求哈密頓定理求eat3 32 23 32 23 32 23 32 22 22 2a at tt t2 25 5t t2 27 73 3t t1 1t t3 37 73 3t t2 2t tt t6 67 7t t2 23 3t tt tt t1 12 2! !t t3 32 21 10 0t t3 32 21 10 01 10 00 01 1e e, ,3 32 21 10 01 1. .a a例例2 2k kk k2 22 2a at tt t

14、a ak k! !1 1t ta a2 2! !1 1a at ti ie e定義求解. 12.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法11 1j jt ta at t1 1t tt te ee e a at t; ;t t則則j j, ,立立特特征征向向量量的的重重特特征征值值( (2 2) )a a有有只只對對應(yīng)應(yīng)一一獨(dú)獨(dú); ;t tt te ee e, ,e ee ee ee ea at tt t則則 ( (1 1) )a a特特征征值值互互異異, ,1 1 t ta at tt t t t t t t t1 1n n2 21 10 00 0變變換換a a為為約約

15、當(dāng)當(dāng)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型. 22.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法2 2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 1t ta at t1 12 21 12 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e1 11 11 12 2e e0 00 0e e2 21 11 11 1t tt te ee e1 11 11 12 2t t, ,2 21 11 11 11 11 1t t 2 21 1, ,0 0, ,2 2) )1 1) )( ( (2 23 3a ai i為為友友矩矩陣陣3 32 21 10

16、02 2. .a a例例2 22 21 12 22.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法2 2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t1 1j jt ta at t2 2t te ee e2 2t te e2 2t te e2 2t te ee e2 22 22 21 11 10 0t t1 1e e1 1/ /2 21 11 11 1t tt te ee e. .只只對對應(yīng)應(yīng)一一獨(dú)獨(dú)立立特特征征向向量量2 2, ,0 0, ,4 44 44 42 22 2a ai i; ;4 42 22 20 0補(bǔ)補(bǔ)例例a a1 1, ,

17、2 22 22 20 01 12 2j j2 22 22 21 1t t , ,1 1/ /2 21 11 11 1p pp pt t: :求求出出p pa a) )p pi i( (0 0a a) )p pi i( (由由1 12 21 11 12 22 21 11 1,2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法2由;2 20 00 00 01 10 00 01 11 1a at tt t. .j j應(yīng)應(yīng)一一獨(dú)獨(dú)立立特特征征向向量量只只對對故故1 1, ,n n秩秩為為2 2a a) )i i( ( 1 11 11 1, ,2 2重重特特征征值值352110011為

18、為友友矩矩陣陣, ,4 45 52 21 10 00 00 01 10 0a a1211322524112011111 13 32 21 13 33 31 12 21 11 11 1t tp pp pp p求求t t0 0a a) )p pi i( ( p pa a) )p pi i( ( 0 0a a) )p pi i( ( ,2 2, , 1 1, , 3 31 1, ,2 2, 0 02 25 54 4a ai i2 23 3則2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法21 12 21 11 13 32 22 25 52 2e e0 00 00 0e e0 00

19、 0t te ee e4 41 11 12 20 01 11 11 11 1t tt te ee e2 2t tt tt tt t1 1j jt ta at t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t4 4e e3 3e et te e8 8e e8 8e e3 3t te e4 4e e4 4e e2 2t te e2 2e e2 2e et te e4 4e e5 5e e3 3t te e) )e ee e2 2( (t

20、 te ee ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te e2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法2 a a) ) ( (s si ie e1 1a at t1 1l l0 00 00 0 x xa a) )x x( (s s) )( (s si ia ax x( (s s) )x xs sx x( (s s) ): :兩兩邊邊取取拉拉氏氏變變換換x xx x( (0 0) )a ax x( (t t) ), ,( (t t) )x x0 01 10 01 1 x xa a) ) ( (s si ix x( (t t) )x

21、 xa a) )( (s si ix x( (s s) )1 1l l2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法32 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 1a at t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e a a) ) ( (s si ie e1 1l l2 2s s2 21 1s s1 12 2s s2 21 1s s2 22 2s s1 11 1s s1 12 2s s1 11 1s s2 22 2) )1 1) )( (s s( (s ss s2 2) )1 1) )( (s s( (s s

22、2 22 2) )1 1) )( (s s( (s s1 12 2) )1 1) )( (s s( (s s3 3s ss s2 21 13 3s s2 23 3s ss s1 1a a) )a ad dj j( (s si ia as si i1 1a a) )( (s si i2 21 13 3s s2 21 1s sa a) )( (s si i, ,3 32 21 10 04 4. .a a例例2 22.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法3i i的的線線性性組組合合. .a a, , , ,也也是是a a, ,a a, ,a a同同理理, ,i i的的線線

23、性性組組合合, ,a a, , , ,為為a ai ia aa aa aa aa aa aa a由由以以上上定定理理得得：a a1 1n n2 2n n1 1n n1 1n n0 01 12 2n n2 2n n1 1n n1 1n nn n( (t t) )i i( (t t) )a a( (t t) )a a( (t t) )a at ta a1 1) )! !( (n n1 1t ta an n! !1 1t ta a1 1) )! !( (n n1 1t ta a2 2! !1 1a at ti ie e0 01 12 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n n1 1n

24、nn nn n1 1n n1 1n n2 22 2a at t : :哈哈密密頓頓定定理理4 4. .用用凱凱萊萊0 0i ia aa aa aa aa aa a則則f f( (a a) )0 0, ,a aa aa aa ai i若若0 01 11 1n n1 1n nn n0 01 11 1n n1 1n nn n2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法41 1n n0 0j jj jj j(t)(t)a a問題：如何確定系數(shù)問題：如何確定系數(shù)n-1, , 0？2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法4矩陣a的特征多項(xiàng)式類似，類似，n

25、+1, n+2, 也可表示為也可表示為1, , n-1的多項(xiàng)的多項(xiàng)式式。t tt tt t1 11 1n nn n2 2n nn n1 1n n2 22 22 22 21 1n n1 12 21 11 11 1n n1 10 0j jn n2 21 1e ee ee e1 11 11 1( (t t) )( (t t) )( (t t) ): :) )( (t t) )的的計(jì)計(jì)算算公公式式( (1 12.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法4同同時(shí)時(shí)，方方程程組組有有唯唯一一解解( (1 1) )當(dāng)當(dāng)a a特特征征值值互互相相2 2t tt t2 2t tt t2

26、2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 10 0a at t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e3 32 21 10 0) )e e( (e e1 10 00 01 1) )e e( (2 2e e( (t t) )a a( (t t) )i ie e, ,e ee ee e2 2e ee ee e1 11 11 12 2e ee e2 21 11 11 1e ee e1 11 1( (t t) )( (t t) )2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 1t tt t1 12 21 11

27、10 02 21 12 21 1, , ,3 32 21 10 0a a2 21 12.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法4t tt tt t2 2t t2 2n nt t1 1n n1 11 1n n1 12 2n n1 12 21 11 12 2n n1 13 3n n1 11 13 3n n1 11 11 1n n2 2n n3 3n n1 10 01 11 11 11 11 1e et te ee et t2 2! !1 1e et t2 2) )! !( (n n1 1e et t1 1) )! !( (n n1 11 11 1) )( (n n2 2)

28、 )( (n n2 21 12 2! !2 2) )1 1) )( (n n( (n n1 1) )( (n n1 11 1( (t t) )( (t t) )( (t t) )( (t t) )( (t t) )0 0為為a a的的n n重重特特征征值值時(shí)時(shí)( (2 2) )當(dāng)當(dāng)1 1tnntetntt2121)() 1(.)(2)( 一階導(dǎo)數(shù)tnnettnn11)()!1( 階導(dǎo)數(shù)2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法42 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t1 1e ee et te

29、e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te ee ee et te e1 11 11 12 22 23 31 10 02 2e ee et te e4 42 21 11 11 11 12 21 10 0; ;2 21 1, ,4 45 52 21 10 00 00 01 10 0a a3 31 1, ,2 2t tt tt t1 12 23 33 32 21 11 11 12 21 10 03 31 11 1e ee et te e1 11 12 21 10 0( (t t) )( (t t) )( (t t) )2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

30、 求法求法4例例2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t4 4e e3 3e et te e8 8e e8 8e e3 3t te e4 4e e4 4e e2 2t te e2 2e e2 2e et te e4 4e e5 5e e3 3t te e) )e ee e2 2( (t te ee ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te e2 2t tt tt t2 2t tt tt

31、 t2 2t tt t2 21 10 0e ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te e( (t t) )( (t t) )( (t t) )2 22 21 10 0a at t( (t t) )a a( (t t) )a a( (t t) )i ie e4 45 52 21 10 00 00 01 10 04 45 52 21 10 00 00 01 10 0) )e ee et te e( (4 45 52 21 10 00 00 01 10 0) )2 2e e2 2e e( (3 3t te e1 10 00 00 01 10 00 00 01

32、 1) )e e2 2t te e( (2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t 2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 求法求法4t tt t) )a(ta(t0 0) )t ta(ta(tt tt ta a0 0atatatat0 00 00 00 0bu(bu()d)de e) )x(tx(te ex(t)x(t)bu(bu()d)de e) )x(tx(te ex(t)x(t)e eb bu u( (t t) )e ex x e ed dt td d即即 b bu u( (t t) ), ,e ea ax x) )( (x xe eb bu

33、 ua ax xx xa at ta at ta at ta at tt tt ta a0 0a at tt ta at tt ta a0 00 00 0b bu u( () )d de et tt tx xe e 則則 b bu u( () )d de ex x d d e ed dd d兩兩邊邊取取積積分分bu的解bu的解axaxx x2.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解（1 1）積分法）積分法bu(s)bu(s)a)a)(si(six(0)x(0)a)a)(si(sibu(s)bu(s)a)a)(si(six(0)x(0)a)a)(si(si x(s)x(s)x(t

34、)x(t)1 11 11 11 11 11 11 11 1l ll ll ll l b bu u( (s s) )x x( (0 0) )a a) )x x( (s s) )( (s si i b bu u( (s s) )a ax x( (s s) )x x( (0 0) )s sx x( (s s) ): :拉拉氏氏變變換換法法b bu u( (s s) )a a) )( (s si ix x( (0 0) )a a) )( (s si ix x( (s s) )1 11 1x x( (0 0) ) )0 0已已知知x x( (t t若若t tb bu u, ,a ax xx x0 00

35、02.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解（2 2）拉氏變換）拉氏變換2.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解 a a) ) ( (s si ie e1 1a at t1 1l ldettt0)()()0()(buxxaa at te e2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (t t) )1 1( (t t) )u u( (t t) )u u, ,1 10 0 x x3 32 21 10 0 x x2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt

36、t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt tt t0 0) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t2 21 12 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt te ee ee e2 21 1e e2 21 1) )x x( (0 0) )2 2e ee e( () )x x( (0 0) )2 2e e2 2e e( () )x x( (0 0) )e e( (e e) )x x( (0 0) )e e( (2 2e e1 1( ()

37、)d d1 10 02 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (0 0) )x x( (0 0) )x x2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e ex x( (t t) )2.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解1、積分法、積分法2 2t t2 21 1t t2 21 12 2t t2 21 1t t2 21 11 1 e e( (0 0) )2 2x x( (0 0) ) 2 2x x1 1 e e( (0 0) )x x( (0 0) ) 2 2x x e e2 21 1( (0 0) )x x( (0 0)

38、 ) x x1 1 e e( (0 0) )x x( (0 0) ) 2 2x x2 21 12.3線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt tt t0 0) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t2 21 12 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt te ee ee e2 21 1e e2 21 1) )x x( (0 0)

39、)2 2e ee e( () )x x( (0 0) )2 2e e2 2e e( () )x x( (0 0) )e e( (e e) )x x( (0 0) )e e( (2 2e e1 1( () )d d1 10 02 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (0 0) )x x( (0 0) )x x2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e ex x( (t t) )b bu u( (s s) )a a) )( (s si ix x( (0 0) )a a) )( (s si ix x( (s s) )s s2 21 13

40、3s s2 23 3s ss s1 1a a) )( (s si i; ;3 3s s2 21 1s sa a) )( (s si i: :2 2. .拉拉氏氏變變換換法法1 11 12 21 11 11/s1/s2 23s3ss s1 1(0)(0)sxsx(0)(0)2x2x(0)(0)x x(0)(0)3)x3)x(s(s2 23s3ss s1 1s s1 11 10 0s s2 21 13 3s s2 23s3ss s1 1(0)(0)x x(0)(0)x xs s2 21 13 3s s2 23s3ss s1 12 22 21 12 21 12 22 22 21 12 2結(jié)結(jié)果果同同

41、積積分分法法 x x( (s s) ) x x( (t t) ), ,2 2s s1 1( (0 0) )2 2x x( (0 0) )2 2x x1 1s s1 1( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x x2 2s s1 1/ /2 2( (0 0) )x x( (0 0) )x x1 1s s1 1( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x xs s1 1/ /2 22 2s s1 11 1s s1 12 2s s1 1/ /2 21 1s s1 1s s1 1/ /2 22 2s s( (0 0) )2 2x x( (0 0) )2 2x x1 1s s( (0 0)

42、 )x x( (0 0) )2 2x x2 2s s( (0 0) )x x( (0 0) )x x1 1s s( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x x2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 11 1l l一一. .解解的的特特點(diǎn)點(diǎn): :) )x x( (t t ) )a a( () )d de ex xp p( (x x( (t t) ) a a( () )d d) )l ln nx x( (t tl ln nx x( (t t) ) ) )l ln n( (x x( () )x x( () )d dx x( (a a( (

43、t t) )d dt tx x( (t t) )d dx x( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )d dt td dx x( (t t) )x x: :標(biāo)標(biāo)量量系系統(tǒng)統(tǒng)0 0t tt tt tt t0 0t tt tt tt t0 00 00 00 0 ) ) )d da a( (e ex xp p( () )t t( (t t, , ) ), ,) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x: :推推廣廣到到向向量量方方程程t tt t0 00 00 00 02.4線

44、性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解 齊次齊次是否可是否可推廣？推廣？ ) ) x x( (t ta a( () )d de ex xp p ) ) )x x( (t tt t( (t t, ,才才有有x x( (t t) )時(shí)時(shí), ,0 0t tt t0 00 00 0a a( (t t) )a a( () )d dd da a( () )a a( (t t) )滿滿足足乘乘法法交交換換條條件件即即a a( () )d d但但只只有有a a( (t t) )和和t tt tt tt tt tt t0 00 00 02.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解 齊次齊次. .成成封封閉閉形形式式，而而是是

45、級級數(shù)數(shù)一一般般很很難難滿滿足足，不不能能寫寫此此條條件件很很苛苛刻刻, ,3 3t tt t2 2t tt tt tt tt tt t0 00 00 00 0) )d da a( (3 3! !1 1) )d da a( (2 2! !1 1) )d da a( (i i) )d da a( (e ex xp pa a( (t t) )成成立立. .) )d da a( () )d da a( (a a( (t t) )須須式式成成立立, ,使使要要比比較較上上兩兩式式, ,t tt tt tt t 0 0 0 00 0 2 2t tt tt tt tt tt t ) )d da a( (a

46、 a( (t t) ) 2 2! !1 1) )d da a( (a a( (t t) )a a( (t t) ) )d da a( (a a( (t t) )e ex xp p: :) )對對上上式式兩兩邊邊左左乘乘a a( (t t0 00 00 0 a a( () )d da a( (t t) )e ex xp p a a( () )d d e ex xp pd dt td dt tt tt tt t0 00 0則則須須) )是是方方程程解解, , x x( (t ta a( () )d d若若e ex xp p : :證證明明0 0t tt t0 0a a( (t t) ) ) )d

47、da a( (2 21 1) )d da a( (a a( (t t) )2 21 1a a( (t t) ) ) )d da a( ( e ex xp pd dt td dt tt tt tt tt tt t0 00 00 02.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解 齊次齊次) )t ta a( (t t) )( (t t, ,) )t t( (t t, ,( (4 4) ). .t t) ), ,( (t t) )t t( (3 3) ). .( (t t, ,i it t) )( (2 2) ). .( (t t, ,) )t t, ,( (t t) )t t, ,) )( (t tt t

48、, ,( (1 1) ). .( (t t) )的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)t t三三. .( (t t, ,0 00 00 01 10 00 02 20 01 11 12 20 0i i) )t t, ,) )和和( (t tt ta a( (t t) )( (t t, ,) )t t( (t t, , 滿滿足足n n非非奇奇異異陣陣, ,n n) ), ,t tt t) )類類似似定定常常系系統(tǒng)統(tǒng)的的( (t t式式中中( (t t, , ) ), ,) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) ) ) )的的解解為為：x x( (t tx x( (t t) )a a( (

49、t t) )x x( (t t) ), ,x x方方程程二二. .線線性性時(shí)時(shí)變變其其次次狀狀態(tài)態(tài)0 00 00 00 00 00 00 00 00 0t tt t0 0(t)a(t)aa a(t)(t)(t)(t)4.4.t)t)( (t)(t)3.3.i i(0)(0)t)t)2.2.(t(t) )(t(t1.1.(t)(t)( () ): :定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1 12.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解 齊次齊次t tt t0 00 00 00 0d d) )b b( () )u u( () )( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,則

50、則x x( (t t) )分分段段連連續(xù)續(xù), ,t t 內(nèi)內(nèi), ,b b( (t t) )的的元元在在 t t設(shè)設(shè)a a( (t t) ), ,b b( (t t) )u u( (t t) ), ,a a( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x次次狀狀態(tài)態(tài)方方程程的的解解四四. .線線性性時(shí)時(shí)變變系系統(tǒng)統(tǒng)非非齊齊2.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解 非齊次非齊次 1 1 u u0 00 0u u0 00 00 0( (t t) ) _ _ _x x) ) ) x x( (t tt t( (t t, , ( (t t) ) )x xt t( (t t, ,) ) )x

51、 x( (t tt t( (t t, ,則則x x( (t t) ), ,線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)滿滿足足疊疊加加原原理理b b( (t t) )u u( (t t) ), ,a a( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x xb b( (t t) )u u( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x) )t t( (t t, ,( (t t) ) x x) ) ) x x( (t tt ta a( (t t) )( (t t, ,b b( (t t) )u u( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )( (t

52、t) )x x) )t t( (t t, ,( (t t) ) x x) ) ) x x( (t tt t( (t t, ,u u0 0u u0 00 0u u0 0u u0 00 0 d d) )b b( () )u u( () )( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,d d) )b b( () )u u( () ), ,( (t t) )t t( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) )t tt t0 00 0t tt t0 00 00 00 00 00 0t t) )b b( (t t) )u u( (t

53、t) ), ,( (t t) )b b( (t t) )u u( (t t) )t t( (t t, ,( (t t) )x xb b( (t t) )u u( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x) )t t( (t t, ,a a( (t t) )x x( (t t) )0 00 01 1u uu u0 00 0) )( (t t得得x x代代入入t t用用t t) ), ,( (t tx xd d) )b b( () )u u( () ), ,( (t t( (t t) )x x0 0u u 1 1 0 00 0u ut tt t0 0u

54、 u0 02-4線性時(shí)變非齊次狀態(tài)方程的解線性時(shí)變非齊次狀態(tài)方程的解證明證明t tt t0 0t t1 1t t2 22 21 10 0t tt t0 0t t1 11 10 0t tt t0 00 00 00 01 10 00 00 00 00 0d dd d) )d da a( () )a a( () )a a( (d d) )d da a( () )a a( (a a( () )d di i) )t t( (t t, ,則則不不滿滿足足該該條條件件, ,一一般般, , t tt t3 3t tt t2 2t tt tt tt t0 00 0t tt t0 00 00 00 00 00 0

55、0 0a a( () )d d 3 3! !1 1a a( () )d d 2 2! !1 1a a( () )d di i a a( () )d de ex xp p ) )t t即即( (t t, ,) ) x x( (t ta a( () )d de ex xp p ) ) )x x( (t tt t( (t t, ,才才有有x x( (t t) )a a( (t t) )時(shí)時(shí), ,a a( () )d dd da a( () )交交換換條條件件即即a a( (t t) )滿滿足足乘乘法法a a( () )d d只只有有a a( (t t) )和和t tt tt tt tt tt t0

56、00 00 02-4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算2 22 2t t0 0t t0 0t t2 21 1t tt tt t2 21 1d dt t1 11 1t ta a( () )d d: :求求( (t t, ,0 0) )t t1 11 1t ta a( (t t) ) 例例1 1?t t0 0t t0 0a a( () )d da a( (t t) )a a( (t t) )a a( () )d d2-4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算t t1 11 1t tt t2 21 1t tt tt t2 21 1t t

57、t t2 21 1t t2 23 3t t2 23 3t tt t2 21 1t t2 21 1t tt tt t2 21 1t t1 11 1t t2 22 23 32 22 23 32 22 2可可寫寫為為封封閉閉形形式式a a( () )d da a( (t t) )a a( (t t) )a a( () )d d即即t t0 0t t0 0,4 42 23 33 34 42 22 22 22 22 22 2t t0 0t t8 81 1t t1 1t t2 21 1t tt t2 21 1t tt t8 81 1t t1 1t t2 21 1t tt tt t2 21 12 21 1t

58、 t2 21 1t tt tt t2 21 11 10 00 01 1 a a( () )d de ex xp p ( (t t, ,0 0) )2-4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算t tt t3 3t tt t2 2t tt tt tt t0 00 00 00 00 0a a( () )d d 3 3! !1 1a a( () )d d 2 2! !1 1a a( () )d di i a a( () )d de ex xp p ) )t t即即( (t t, ,表表達(dá)達(dá). .( (t t, ,0 0) )只只能能級級數(shù)數(shù)a a( (t t) ), ,a

59、 a( () )d da a( () )d da a( (t t) )t t0 0t t0 0a at t2 2t t0 0a at tt t0 0e ea a1 10 02 2t t0 0d de e0 0t t0 0a a( () )d d: :求求( (t t, ,0 0) )x x, ,e e0 0t t0 0 x xa at t2-4線性時(shí)變系統(tǒng)的解線性時(shí)變系統(tǒng)的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算2 2a at ta at ta at t2 2a at tt t0 0e ea a1 10 0t te ea a1 10 0e ea a1 10 02 2t t0 0e e0 0t t

60、0 0a a( () )d da a( (t t) )?t t0 0t t0 0a a( () )d da a( (t t) )a a( (t t) )a a( () )d d2 2a at t2 2a at t3 32 22 2a at t2 23 3a at t2 20 0a a2 20 0t t0 0a a0 0a at t2 2e e2 2a a1 1e ea a1 11 10 01 1) )( (a at ta a1 1t t2 21 11 1e e2 2a a1 10 01 1) )( (a at ta a1 10 0e ea a1 10 02 2t t0 01 10 00 01