脈沖與數字電路第2章

1、東北石油大學東北石油大學脈沖與數字電路脈沖與數字電路東北石油大學東北石油大學第二章第二章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎東北石油大學東北石油大學邏輯運算：邏輯運算：邏輯函數：邏輯函數： 如果以邏輯變量作為輸入，以運算結果作如果以邏輯變量作為輸入，以運算結果作為輸出。那么當輸入變量的取值確定之后，輸為輸出。那么當輸入變量的取值確定之后，輸出的取值隨之而定。因此，輸入輸出之間是一出的取值隨之而定。因此，輸入輸出之間是一種函數關系，寫作：種函數關系，寫作：,.),(CBAFY 邏輯變量按照指定的某種因果關系進行的邏輯變量按照指定的某種因果關系進行的推理運算。推理運算。東北石油大學東北石油大學邏輯與：邏輯與

2、： BAY輸輸 入入輸出輸出A BY0 00 11 01 10001與邏輯符號與邏輯符號 真值表真值表 V112 V R11kLED1S1Key = SpaceS2Key = Space12345有有0出出0，全，全1出出1基本邏輯：基本邏輯：U1A7408JABY東北石油大學東北石油大學邏輯或：邏輯或： 或邏輯符號 輸輸 入入輸出輸出A BY0 00 11 01 10111真值表真值表 BAYV112 V R11kLED1S1Key = SpaceS2Key = Space1234有有1出出1，全，全0出出0U2A7432NABY東北石油大學東北石油大學 邏輯非：邏輯非： AY非邏輯符號 輸

3、入輸入輸出輸出A Y0110真值表真值表 V112 V R11kLED1S1Key = Space231U3A7406NYA東北石油大學東北石油大學復合邏輯：復合邏輯： )(BAY與非：與非： 或非：或非： A BY0 00 11 01 11110A BY0 00 11 01 11000U2A7402NYABU3A7400NYAB有有0出出1，全，全1出出0有有1出出0，全，全0出出1)(BAY東北石油大學東北石油大學)(DCBAY與或非：與或非： A B C DY0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01

4、0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 11110111011100000CDYAB東北石油大學東北石油大學 異或：異或： 同或：同或： A BY0 00 11 01 10110A BY0 00 11 01 11001U4A4070BT_5VABYU5A4077BD_5VABYBABABAYY=A B=AB+AB 輸入相異，輸出為輸入相異，輸出為1輸入相同，輸出為輸入相同，輸出為1東北石油大學東北石油大學AA 000 AAA 1邏輯代數的基本公式：邏輯代數的基本公式：0-1律律:11 A01 10 東北石油大學東北石油大學ABBACBACBA

5、)()(CABACBA)(交換律：交換律：ABBA結合律：結合律：CBACBA)()(分配律：分配律：)()()(CABACBA東北石油大學東北石油大學AAA0 AAAA)(互補律：互補律：1 AA重疊律：重疊律：AAA還原律：還原律：東北石油大學東北石油大學BABA)(反演律（摩根定理）：反演律（摩根定理）：BABA)(東北石油大學東北石油大學ABAABABAAABABAABAA)(邏輯代數的常用公式：邏輯代數的常用公式： 吸收律：吸收律：ABBAA)(ABABA)(東北石油大學東北石油大學CABACBCABACABADCBCABABABAA)(ABAA)(無名律：無名律：冗余律（多余項定理

6、）：冗余律（多余項定理）：東北石油大學東北石油大學邏輯代數的基本定理邏輯代數的基本定理 代入定理：代入定理： 在任何一個包含變量在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式成立。的位置，則等式成立。例：用代入定理證明摩根定理也適用于多變量的情況。例：用代入定理證明摩根定理也適用于多變量的情況。 BABA)(CBACBA)(由由證明證明東北石油大學東北石油大學反演定理：反演定理：Y換成換成“+”+”，“+”+”換成換成“ ”“ ”，0換成換成1，1換成換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到結果，原變量換成

7、反變量，反變量換成原變量，則得到結果就是就是 ，這個規(guī)律就是反演定理。這個規(guī)律就是反演定理。對于任意一個邏輯式對于任意一個邏輯式Y，若將其中所有，若將其中所有“ “ ”使用反演定理的規(guī)則：使用反演定理的規(guī)則：（1）運算順序不變。）運算順序不變。（2）不屬于單個變量上反號應保留不變。）不屬于單個變量上反號應保留不變。 CDCBAY)(Y例例2 2：已知：已知，求，求例例3 3：已知：已知EDCBAY)(，求，求Y例例1 1：利用反演定理證明同或與異或互為反函數。：利用反演定理證明同或與異或互為反函數。東北石油大學東北石油大學YDYY若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。若兩邏輯式相等，則它們的對

8、偶式也相等。 中“ ” 換成“+”，“+”換成“ ”，0換成1，1換成0得到與 互為對偶式DY對偶定理：對偶定理：例：試利用對偶定理求證：例：試利用對偶定理求證：)(CABABCA 使用對偶定理的規(guī)則：使用對偶定理的規(guī)則：（1）運算順序不變。）運算順序不變。（2）所有反號均應保留不變。）所有反號均應保留不變。 東北石油大學東北石油大學邏輯功能的表示法：邏輯功能的表示法：3、邏輯函數式、邏輯函數式2、邏輯真值表、邏輯真值表4、邏輯圖、邏輯圖1、文字描述、文字描述5、時序波形圖、時序波形圖6、卡諾圖、卡諾圖例：設計一個三人表決器，若兩人或兩人以上同意，例：設計一個三人表決器，若兩人或兩人以上同意，

9、 則決議通過。則決議通過。東北石油大學東北石油大學A0tB0tC0tY0tA B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111東北石油大學東北石油大學3333ABCYY=ABC+ ABC+ ABC+ ABC 東北石油大學東北石油大學123123123YA B CYY=ABC+ ABC+ ABC+ ABC =AB+AC+BC東北石油大學東北石油大學邏輯函數的兩種標準形式邏輯函數的兩種標準形式最小項和最小項標準表達式最小項和最小項標準表達式最小項：最小項： mi 在一個邏輯函數中，包含全部變量的全部變量的“乘積項乘積項”為最小項。乘積項中的變

10、量只能以原變量或反變量的形式出現出現 一次一次。性質：性質：（1）唯一對應關系（2）（3）（4）相鄰項之“和”等于相同項之“積”1im0jimm最小項標準表達式：最小項標準表達式： 最小項組成的與或邏輯表達式，即最小項之“和”。 東北石油大學東北石油大學最大項和最大項標準表達式最大項和最大項標準表達式最大項：最大項：Mi 在一個邏輯函數中，包含全部變量的全部變量的“和和”為最大項。和項中的變量只能以原變量或反變量的形式出現出現 一次一次。性質：性質：（1）唯一對應關系（2）（3）（4）相鄰項之“積”等于相同量之“和”最大項標準表達式：最大項標準表達式： 最大項組成的或與邏輯表達式，即最大項之積

11、。 1jiMM0iM 例：求例：求 Y=AB+AC 的兩種標準表達式。的兩種標準表達式。東北石油大學東北石油大學輸入變量輸入變量最小項最小項最大項最大項A B C表達式表達式編號編號表達式表達式編號編號0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7M0M1M2M3M4M5M6M7CBACBACBABCACBACBA CAB ABCCBACBACBACBACBACBACBACBA三變量三變量A、B、C的最小項與最大項的最小項與最大項最小項和最大項的關系最小項和最大項的關系東北石油大學東北石油大學邏輯函數形式的變換邏輯函數形式的變換

12、與非與非-與非表達式與非表達式方法：方法：（1）化為最簡與或式（2）兩次取非例：用與非門實現以下邏輯函數功能例：用與非門實現以下邏輯函數功能 CBABAY)(AC ABY東北石油大學東北石油大學或非或非-或非表達式或非表達式方法：方法：（1）化為最簡或與式 原函數最簡與或式反函數最簡與或式 反函數最簡與或式原函數最簡或與式 或或 原函數最簡與或式對偶式最簡與或式 原函數最簡或與式原函數最簡或與式（2）兩次取非例：用或非門實現以下邏輯函數功能例：用或非門實現以下邏輯函數功能 CBBAY東北石油大學東北石油大學例：實現三人表決電路的設計：例：實現三人表決電路的設計： (1) 試用兩種標準表達式分別

13、表示試用兩種標準表達式分別表示 (2) 分別用與非門和或非門實現電路分別用與非門和或非門實現電路東北石油大學東北石油大學邏輯函數的化簡方法：邏輯函數的化簡方法：與或式最簡標準：與或式最簡標準：1、與項最少、與項最少2、每項中變量最少、每項中變量最少化簡方法：化簡方法：1、公式法化簡、公式法化簡2、卡諾圖化簡、卡諾圖化簡東北石油大學東北石油大學公式法化簡公式法化簡1、基本及常用公式、基本及常用公式 吸收律、反演律、冗余定律2、配項法、配項法 A+A=A ； A+A=1例：用公式法化簡下列邏輯函數。例：用公式法化簡下列邏輯函數。)()()(CBBAACYBBCAABYBCDACBBCAAYCBCA

14、CBAY（東北石油大學東北石油大學)()()()()()()()(CDDCBCBACDABABABAYFECACBDABAAYCDBAABCDBABAY東北石油大學東北石油大學卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法010m0m11m2m3AB00 01 11 100 m0m1m3m21 m4m5m7m6ABC卡諾圖表示法卡諾圖表示法2變量變量3變量變量4變量變量0001111000 m0m1m3m201 m4m5m7m611 m12m13m15m1410 m8m9m11m10ABCD東北石油大學東北石油大學用卡諾圖表示邏輯函數用卡諾圖表示邏輯函數方法：方法：（1）將邏輯函數化為最小項之和的形式）將邏輯函數化

15、為最小項之和的形式（2）最小項對應位置填入）最小項對應位置填入1，其余填入，其余填入0例：將以下邏輯函數用卡諾圖表示。例：將以下邏輯函數用卡諾圖表示。CBCBAABY00 01 11 100 00011 0111ABC)7 , 6 , 5 , 2(m東北石油大學東北石油大學用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數依據：依據：合并最小項規(guī)則。合并最小項規(guī)則。（4）選取化簡后的最小項。）選取化簡后的最小項?？ㄖZ圖化簡的步驟卡諾圖化簡的步驟（1）將函數化為最小項之和的形式。）將函數化為最小項之和的形式。（2）畫出表示邏輯函數的卡諾圖。）畫出表示邏輯函數的卡諾圖。（3）找出可以合并的最小項。）找出可以

16、合并的最小項。東北石油大學東北石油大學基本原理：基本原理： 具有相鄰性的最小項可以合并，并消去不具有相鄰性的最小項可以合并，并消去不同的因子。合并的每組最小項個數應為同的因子。合并的每組最小項個數應為2N個。個。基本原則：基本原則： （1）變量最少原則）變量最少原則-圈盡量大圈盡量大 （2）與項最少原則）與項最少原則-圈盡量少圈盡量少 （3）卡諾圈涵蓋函數式中所有最小項，即）卡諾圈涵蓋函數式中所有最小項，即 所有所有“1”在圈中。在圈中。 （4）每個卡諾圈至少包含一個其他圈不包含）每個卡諾圈至少包含一個其他圈不包含 的的“1”東北石油大學東北石油大學100111001010110100ABC1

17、11111000010110100ABC1111ABCD00 01 11 1000 01 11 101111111111ABCD00 01 11 1000 01 11 10CY BCAYDBY BCAADDBABY東北石油大學東北石油大學例：用卡諾圖化簡下列邏輯函數例：用卡諾圖化簡下列邏輯函數)15,12, 6 , 4 , 2 , 1 ()15,13,11,10, 7 , 6 , 3 , 1 ()12,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 2 , 0(MYmYmY東北石油大學東北石油大學CBCBCACAYDCBCACBABAYDCACBADCDCAABDABCY)()()()(CBBAACY

18、BBCAABYCBCACBAY東北石油大學東北石油大學例：將下列邏輯函數式化成最簡與非式例：將下列邏輯函數式化成最簡與非式 和最簡或非式的形式。和最簡或非式的形式。)5 , 4 , 3 , 1 , 0(),(mCBAY用卡諾圖求與非用卡諾圖求與非-與非式的方法：與非式的方法：用卡諾圖求或非用卡諾圖求或非-或非式的方法：或非式的方法：（1）化簡為最簡與或式）化簡為最簡與或式（2）兩次取非）兩次取非（1）化簡為反函數的最簡與或式）化簡為反函數的最簡與或式（2）取非得原函數的最簡或與式）取非得原函數的最簡或與式（3）兩次取非）兩次取非東北石油大學東北石油大學約束項、任意項、無關項約束項、任意項、無關項約束項：約束項：不允許出現的項、不可能出現的項。不允許出現的項、不可能出現的項。任意項：任意項：出不出現均無用的項。出不出現均無用的項。無關項：無關項：約束項和任意項。約束項和任意項。帶無關項的化簡方法帶無關項的化簡方法（1）滿足卡諾圖化簡的基本原則）滿足卡諾圖化簡的基本原則（2）無關項可參與化簡，劃入圈中的作）無關項可參與化簡，劃入圈中的作