歐拉法改進(jìn)歐拉法斐波那契法原理及流程圖

1、1歐拉法求微分方程方法說明Euler法是解常微分方程初值問題必最簡單的數(shù)值方法，其具體做法是，將區(qū)間 a , b進(jìn)行N等分:f I ' J二，步長打.并將式寫成等價(jià)的積分形f Jr"W十方二yM十L 3 G肌幼也()再對式右端積分用矩形公式計(jì)算，那么有広+甸P何+晰懐丿呦+RCO在式右端取 m，舍去余項(xiàng)。那么得片二兀十劃工“升作為'1的近似值在式右端取1 -,舍去余項(xiàng)，那么得?2 = ?1 + ? ( ? ?1 )I ?作為的近似值.一般地，在式右端取 S:舍去余項(xiàng)，那么得兒十L兒+俗亠)用二0丄少-1作為11-的近似值.式為 法計(jì)算公式.我們知道微分方程* '

2、;的解是平面上的一族積分曲線，這族曲線中過點(diǎn)'的積分曲線就是初值問題式的解.歐拉法的幾何意義是，過點(diǎn)引斜率為''-：的積分曲線的切線， 此切線與直線工二"的交點(diǎn)為'，再過點(diǎn)引以丿二為斜率 的切線與直線的交點(diǎn)為 二，依此類推，從出發(fā)，作以為斜率的切線，此切線與直線二交點(diǎn)為于是 便得到過點(diǎn)的一條折線，見圖.過i的積分曲線那么用此 折線來代替.因此，這種方法亦稱 折線法.例：用歐拉法求微分方程y' =y-2x, y(0) =1,h =0.1,區(qū)間為o,l y歐拉法流程圖如下n=1+n歐拉法程序如下:clear;clc;x1=0;x2=1;h=;x0=

3、0;y0=1;N=(x2-x1)/h;% 要計(jì)算的次數(shù)x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);endX=xY=y2改良?xì)W拉法求微分方程方法說明由于歐拉法采用矩形公式計(jì)算積分產(chǎn)生較大截?cái)嗾`差.改良法又稱改良折線法是采取梯形公式來計(jì)算式右端積分，那么有- 在式右端取丁="，舍去余項(xiàng)，那么得h二丹+才/心如+CX »】將門作為 '丄的近似值.在式右端再取二1-，舍去余項(xiàng)，那么得h丹二乃二了佃仍+了兀必】將宀作為，的近似值.一般地，在式右端取匚，舍去余項(xiàng).那么得畑=兒+=

4、0JR PA7-1將“作為"的近似值.式為改良法計(jì)算公式流程圖如下:例：用改良?xì)W拉法求微分方程 y二y-2x, y(0) =1,h = 0.1,區(qū)間為o,l y改良?xì)W拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=；x0=0;y0=1;p(1)=0；N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x (n )+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1);y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1)/2;endX=xY=y3 斐波那契法求極值方

5、法說明斐波那契法原理類似于黃金分割法， 只是搜索區(qū)間的縮短率不再采 用黃金分割數(shù)。如下圖，只要在 a,b 內(nèi)取兩點(diǎn) x1,x2, 并計(jì)算出 f(x1),f(x2), 通過比擬，可將區(qū)間 a,b 縮短為 a,x2 或 x1,b 。因?yàn)?新的區(qū)間內(nèi)包含一個(gè)已經(jīng)計(jì)算過函數(shù)值的點(diǎn)， 所以再從其中取一個(gè)試點(diǎn)， 又可將這個(gè)新區(qū)間再縮短一次， 不斷地重復(fù)這個(gè)過程， 直至最終的區(qū)間 長度縮短到滿足預(yù)先給定的精確度為止?，F(xiàn)在的問題是，怎樣選取試點(diǎn)，在保證同樣精確度的情況下使得計(jì)算f(x)函數(shù)值的次數(shù)最少在計(jì)算函數(shù)值的次數(shù)一定的情況下，最初區(qū)間與最終區(qū)間的長度之比可作為取點(diǎn)方式優(yōu)劣的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算n次函數(shù)值，如何

6、取點(diǎn)使最終區(qū)間最小或者最終區(qū)間長度為1計(jì)算n次函數(shù)值，初始區(qū)間最多為多長為此，引入Fibo nacci數(shù)列：Fo =Fi = 1Fn = Fn- 1 + Fn- 2 , n?2jr01234.567»9101I235«B 213455-設(shè)L.衷示試點(diǎn)個(gè)圾為最終區(qū)間長度為1時(shí)的原始區(qū)間心石 fr的域大叮能氏度*現(xiàn)在找出Ltl的-個(gè)上界.垃撩初的兩個(gè)試點(diǎn)為站利 2且心 < 心.如果極小點(diǎn)位于心內(nèi)I那么至多還有挖-2個(gè)試蟲，因 此叭.壯莖人如果極小點(diǎn)位于心川內(nèi)，那么包松撫衣內(nèi)還可以冇 n 1個(gè)試點(diǎn)，兇此“一心w打一i -囚為fJn = ba=仆一叭+ x a “】+ j所以J* w 厶-1 + L*.工 *顯然，不計(jì)算函數(shù)值或只計(jì)算一次函數(shù)值不能使區(qū)間縮小，故有Ll = Lj = L因此，如果原始區(qū)IhJ長度滿足遞推關(guān)系：厶二厶+ L十,n>2*S =打=I，那么厶是最人原始區(qū)問的K度*這正楚匕述FilrwH數(shù)列應(yīng)満足的關(guān)系假設(shè)廉始區(qū)間為“門,耍求最終的區(qū)間氏度小于等于ee>0,那么 有由此町以確疋試點(diǎn)的個(gè)數(shù)心試點(diǎn)個(gè)數(shù)科確定Z片，區(qū)間縮短片的長度 與縮紺詢的長度之比即藝間縮短率依次為F F.3 21可廠'寸歹亍R有Ff* n - I * »1 - 21r rF + ft =