動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題綜合

1、第1頁(yè)1、如圖，直角梯形OABC 的直角頂點(diǎn)O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上， OA BC，D 是 BC 上一點(diǎn)， BD=41OA=2，AB=3 ， OAB=45 ，E、F 分別是線段 OA 、AB 上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持DEF=45 （ 1）直接寫(xiě)出 D 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）設(shè) OE=x ，AF=y ，試確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系；（ 3）當(dāng) AEF 是等腰三角形時(shí)，將AEF 沿 EF 折疊，得到 EFA，求 EFA與五邊形 OEFBC 重疊部分的面積【答案】解： （1） D 點(diǎn)的坐標(biāo)是)223,223(. （2）連結(jié) OD,如圖（ 1） ，由結(jié)論（ 1）

2、知： D 在 COA 的平分線上，則DOE= COD=45 ,又在梯形DOAB中，BAO=45 , OD=AB=3 由三角形外角定理得：1=DEA-45 ,又 2= DEA-45 1=2, ODE AEF AEODAFOE，即：xyx243y 與 x 的解析式為：xxy324312（3）當(dāng) AEF 為等腰三角形時(shí)，存在EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 種情況 . 當(dāng) EF=AF 時(shí)，如圖（ 2）. FAE= FEA= DEF=45 , AEF 為等腰直角三角形.D 在 AE上（ AE OA ）, B 在 AF上（ AF EF） AEF 與五邊形OEFBC 重疊的面積為四邊形

3、EFBD 的面積 . 22522324CDOAOEOAAE252222545sin0AEAF第2頁(yè)825)25(21AFEF21S2AEF421223)2252(21DEAE)(BD21AEDB梯形S817825-421S-SSAEFAEDBBDEF梯形四邊形（也可用BDAEFAS-SS陰影）當(dāng) EF=AE 時(shí)，如圖（ 3） ，此時(shí) AEF與五邊形OEFBC 重疊部分面積為AEF面積. DEF= EFA=45 ， DEAB ， 又 DB EA 四邊形 DEAB 是平行四邊形AE=DB=2EFAE21SSAEFEFA1)2(21S2EFA/當(dāng) AF=AE 時(shí)，如圖（ 4） ，四邊形 AEA F

4、為菱形且 AEF 在五邊形 OEFBC 內(nèi) . 此時(shí) A EF 與五邊形OEFBC 重疊部分面積為A EF 面積 . 由（ 2）知 ODE AEF,則 OD=OE=3 AE=AF=OA-OE=324過(guò) F 作 FHAE 于 H,則22342232445sin?AFFH448-241223-43-2421FHAE21SSAEFEFA?綜上所述， AEF 與五邊形OEFBC 重疊部分的面積為817或 1 或448-241第3頁(yè)2、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線23454122mxxmxmy與 x 軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O 和點(diǎn) A，點(diǎn) B（2，n）在這條拋物線上（1）求 B 點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn) P

5、 在線段 OA 上，從 O 點(diǎn)出發(fā)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò) P 點(diǎn)作 x 軸的垂線，與直線 OB 交與點(diǎn) E，延長(zhǎng) PE 到點(diǎn) D，使得 ED=PE，以 PD 為斜邊，在 PD 右側(cè)做等等腰直角三角形PCD（當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)， C 點(diǎn)、D 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD 的頂點(diǎn) C 落在此拋物線上時(shí)，求OP 的長(zhǎng)；若 P 點(diǎn)從 O 點(diǎn)出發(fā)向 A 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1 個(gè)單位，同時(shí)線段 OA 上另一個(gè)點(diǎn) Q 從 A 點(diǎn)出發(fā)向 O 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2 個(gè)單位（當(dāng) Q 點(diǎn)到達(dá) O 點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， P 點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）過(guò) Q 點(diǎn)做x 軸的垂線，與直線AB 交與點(diǎn) F，延長(zhǎng) QF 到點(diǎn)

6、M，使得 FM =QF，以 QM 為斜邊，在 QM 的左側(cè)作等腰直角三角形QMN （當(dāng) Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M 點(diǎn)、N 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）若 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 t 秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t 的值【答案】解： （1）拋物線23454122mmxmxmy經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，m23m+2=0. 解的 m1=1，m2=2. 由題意知 m1.m=2，拋物線的解析式為xxy25412點(diǎn) B（2，n）在拋物線xxy25412，n=4. B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）（2）設(shè)直線OB 的解析式為y=k1x求得直線 OB 的解析式y(tǒng)=2xA 點(diǎn)是拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（10

7、，0） ，設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（a， 0） ，則 E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2a） 根據(jù)題意做等腰直角三角形PCD，如圖 1. 可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 3a， 2a） ，有 C 點(diǎn)在拋物線上，1 y x O 1 2 3 4 2 4 3 3 1 2 3 4 4 1 2 第4頁(yè)得 2a=41x（3a）2+25x3a. 即49a2211a=0 解得a1=922，a2=0（舍去）OP=922依題意作等腰直角三角形QMN. 設(shè)直線 AB 的解析式y(tǒng)=k2x+b由點(diǎn) A(10 ，0)，點(diǎn) B（ 2，4） ，求得直線AB 的解析式為y=21x+5 當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t 秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同

8、一條直線上，有以下三種情況：第一種情況：CD 與 NQ 在同一條直線上，如圖2 所示，可證 DPQ 為等腰直角三角形此時(shí)QP、 OP、AQ 的長(zhǎng)可依次表示為t 、4t、 2t 個(gè)單位PQ = DP = 4t t+4t+2t=10 t=710第二種情況： PC 與 MN 在同一條直線上， 如圖 3 所示可證 PQM 為等腰直角三角形此時(shí) OP、AQ 的長(zhǎng)依次表示為t、2t 個(gè)單位，OQ = 10 2tF 點(diǎn)在直線AB 上FQ=tMQ=2tPQ=MQ=CQ=2tt+2t+2t=10 t=2. 第三種情況：點(diǎn)P、Q 重合時(shí)， PD、QM 在同一條直線上，如圖4 所示，此時(shí)OP、AQ的長(zhǎng)依次表示為t、

9、2t 個(gè)單位t+2t= 10 t=310綜上，符合題意的值分別為710，2，310第5頁(yè)3、已知： 如圖， A與y軸交于 C、D 兩點(diǎn)， 圓心A的坐標(biāo)為 （1，0） ，A的半徑為5，過(guò)點(diǎn) C 作A的切線交x于點(diǎn) B（ 4， 0） （1）求切線BC 的解析式；（2） 若點(diǎn) P是第一象限內(nèi)A上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 A 的切線與直線BC 相交于點(diǎn)G， 且 CGP120 ，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）向左移動(dòng)A（圓心A始終保持在x上） ，與直線 BC 交于 E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)A，使得 AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 解： （1）連接AC，BC是 A 的切線，9

10、0ACB90ACOBCOACB90COACOB，18090ACOCAOCOA，BCOCAOBCOCAO，COBOAOCO即24 14COAO BO，2COC點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0，2） 設(shè)直線BC的解析式為ykxb，該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（ 4， 0）與點(diǎn)C（0，2） ，402kbb解得122kb該直線解析式為122yx（2）連接AG，過(guò)點(diǎn)G作GHAB由切線長(zhǎng)定理知111206022AGCCGP在Rt ACG中，tanACAGCCG，5515tantan6033ACCGAGC在Rt BOC中，由勾股定理得2222422 5BCOCOB152 53BGBCCG第6頁(yè)又90 ,BOCBHGCBOCBHBOCBHG

11、，HGBGOCBC，15(25)233232 5BG OCHGBC則323是點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，312232x，解得2 33x點(diǎn)G的坐標(biāo)2 33(,2)33(3)如圖示，當(dāng)A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)E、F在A上，AEAF若 AEF是直角 三角形，則90EAF，且為等腰直角三角形過(guò)點(diǎn)A作AMEF，在Rt AME中由三角函數(shù)可知210sin5sin 45522AMAEAEM又BOCBMA，OCBCAMBA，102 55 2222BC AMABOC5 242OAOBAB，點(diǎn)A坐標(biāo)是5 2(4,0)2當(dāng)A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)：同理可求點(diǎn)A坐標(biāo)是5 2(4,0)2第7頁(yè)4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交

12、y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)） . 已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）. （1）求此拋物線的解析式；（2） 過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D， 如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和PAC的最大面積 . 【答案】（1）解：設(shè)拋物線為2(4)1ya x. 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3） ，23(04)1a.14a. 拋物線為2211(4)12344yxxx. 3 分(2) 答：l與C相交 . 4 分證明：當(dāng)21

13、(4)104x時(shí)，12x，26x. B為（ 2， 0） ，C為（ 6，0）.223213AB. 設(shè)C與BD相切于點(diǎn)E，連接CE，則90BECAOB. 90ABD，90CBEABO. 又90BAOABO，BAOCBE.AOBBEC. CEBCOBAB.62213CE.8213CE.6 分拋物線的對(duì)稱軸l為4x，C點(diǎn)到l的距離為2. 拋物線的對(duì)稱軸l與C相交 .7 分(3) 解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q. AxyBOCD( 第 23 題) 第8頁(yè)可求出AC的解析式為132yx.8 分設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，21234mm） ，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，132m）. 2211133(23)2

14、442PQmmmmm. 22113327()6(3)24244PACPAQPCQSSSmmm, 當(dāng)3m時(shí)，PAC的面積最大為274. 此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，34）.10 分5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線2yxbxc 與 x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)） ，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E.（）若2b，3c，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（）將（ ） 中 的 拋 物 線 向 下 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 邊 形 ABEC中 滿 足SBCE= SABC，求此時(shí)直線BC的解析式；（）將（）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC中滿足SBCE= 2SAOC，且頂點(diǎn)E恰好

15、落在直線43yx上，求此時(shí)拋物線的解析式. AxyBOCD( 第 23 題) EPQ第9頁(yè)【答案】 解： （）當(dāng)2b，3c時(shí)，拋物線的解析式為223yxx， 即2(1)4yx. 拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ 1，4） 2 分（）將（）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱軸1x上，有2b， 拋物線的解析式為22yxxc （0c） 此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為0()Cc，頂點(diǎn)為1( 1)Ec， 方程220 xxc的兩個(gè)根為111xc ，211xc ， 此時(shí)，拋物線與x 軸的交點(diǎn)為110()Ac，110()Bc，如圖，過(guò)點(diǎn)E作 EFCB 與 x 軸交于點(diǎn)F，連接CF，則 SBCE= SBCF SBCE = S

16、ABC， SBCF = SABC2 1BFABc 設(shè)對(duì)稱軸1x與 x 軸交于點(diǎn)D，則13 12DFABBFc 由 EFCB，得EFDCBO RtEDFRtCOB有EDCODFOB13 111cccc結(jié)合題意，解得54c 點(diǎn)54(0)C，52( 0)B，設(shè)直線BC的解析式為ymxn，則5,450.2nmn解得1,25.4mn 直線BC的解析式為1524yx. 6 分（）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為()E h k， （0h，0k）則拋物線的解析式為2()yxhk ，此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為2(0)Chk，E y x F B D A O C 1x第10頁(yè)與x軸的交點(diǎn)為0()A hk，0()B hk，

17、.（0kh）過(guò)點(diǎn)E作 EFCB 與 x軸交于點(diǎn)F，連接CF，則 SBCE = SBCF.由 SBCE = 2SAOC， SBCF = 2SAOC. 得22()BFAOkh .設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D. 則1322DFABBFkh . 于是，由 RtEDF RtCOB，有EDCODFOB232khkkhhk，即22520hkhk結(jié)合題意，解得12hk 點(diǎn)()E hk，在直線43yx上，有43kh 由，結(jié)合題意，解得1k有1k，12h 拋物線的解析式為234yxx6、如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，矩形OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上，OC 在 x軸的正半軸上，OA=1,O

18、C=2, 點(diǎn) D 在邊 OC 上且 OD= 54。（1）.求直線 AC 的解析式；（2）.在 y 軸上是否存在點(diǎn)p，直線 PD 與矩形對(duì)角線AC 交于點(diǎn) M ，使得 DMC 為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）.拋物線y= 2x經(jīng)過(guò)怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)D 和點(diǎn) E（點(diǎn) E 在 y軸正半軸上） ，且 ODE 沿 DE 折疊后點(diǎn)O 落在邊 AB 上o處？第11頁(yè)【答案】第12頁(yè)第13頁(yè)7、已知拋物線2142yxbx上有不同的兩點(diǎn)E2(3,1)kk和 F2(1,1)kk（1）求拋物線的解析式（2）如圖， 拋物線2142yxbx與 x

19、軸和 y 軸的正半軸分別交于點(diǎn)A 和 B，M 為 AB的中點(diǎn)， PMQ 在 AB 的同側(cè)以M 為中心旋轉(zhuǎn)，且PMQ 45 ，MP 交 y 軸于點(diǎn) C，MQ交 x 軸于點(diǎn) D設(shè) AD 的長(zhǎng)為 m（ m 0） ，BC 的長(zhǎng)為 n，求 n 和 m之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當(dāng) m， n 為何值時(shí)，PMQ 的邊過(guò)點(diǎn)F【答案】11.解 ：（1 ） 拋 物 線2142yxbx的 對(duì) 稱 軸 為122bxb .（1 分）拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E2(3,1)kk和 F2(1,1)kk的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn) E 和點(diǎn) F 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則(3)(1)12kkb，且 k 2拋物線的解析式為2142yxx .（2 分）（2

20、）拋物線2142yxx與 x 軸的交點(diǎn)為A（4，0） ，與 y 軸的交點(diǎn)為B（0，4） ，AB4 2，AMBM2 2.（3 分）在 PMQ 繞點(diǎn) M 在 AB 同側(cè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MBC DAM PMQ45，在 BCM 中， BMC BCM MBC180 ，即 BMC BCM135 ，在直線 AB 上， BMC PMQ AMD 180 ，即 BMC AMD 135 BCM AMD故BCM AMD.（4 分）BCBMAMAD，即2 22 2nm，8nm故 n 和 m 之間的函數(shù)關(guān)系式為8nm（ m0） .（5 分）（3）F2(1,1)kk在2142yxx上，221(1)(1)412kkk，化簡(jiǎn)得，2430kk，k11， k2 3即 F1（ 2，0）或 F2（ 4， 8） .（6 分）B A M C D O P Q x y 第14頁(yè)MF 過(guò) M（ 2，2）和 F1（ 2， 0） ，設(shè) MF 為ykxb，則2220.kbkb，解得，121.kb，直線 MF 的解析式為112yx直線 MF 與 x 軸交點(diǎn)為（2，0） ，與 y 軸交點(diǎn)為（ 0，1） 若 MP 過(guò)點(diǎn) F（ 2， 0） ，則 n413，m83；若 MQ 過(guò)點(diǎn) F（ 2，0） ，則 m4（ 2） 6，n43.（7 分）MF 過(guò) M（ 2，2）和 F1（ 4， 8） ，設(shè) MF 為ykxb，則2248.kbkb，解得，534