2022年計(jì)算方法復(fù)習(xí)題大全

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載計(jì)算方法總復(fù)習(xí)第一章緒論例 1 已知數(shù) x=2.718281828.,取近似值x*=2.7182,那麼 x 具有幾位有效數(shù)字點(diǎn)評(píng)；考查的有效數(shù)字的概念。解；*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效數(shù)字。例 2近似數(shù)*0.01999x關(guān)于真值*0.02000 x有幾位有效數(shù)字解：*41 30.019990.020000.00001110.00005101022exx故有三位有效數(shù)字。例 3數(shù)值 x*的近似值 x=0.1215102，若滿足xx( )，則稱 x 有 4 位有效數(shù)字點(diǎn)評(píng)；已知有效數(shù)字的位數(shù)，反過來考

2、查有絕對(duì)誤差。解；有四位有效數(shù)字則意味著如果是一個(gè)形如1230.na a aa的數(shù)則絕對(duì)誤差限一定為41102，由于題目中的數(shù)2120.10nxa aa,故最終的絕對(duì)誤差為4261110101022例 4有效數(shù)*1233.105,0.001,0.100 xxx，試確定*123xxx的相對(duì)誤差限。點(diǎn)評(píng)；此題考查相對(duì)誤差的傳播。*1()()()nrriiiife ye xxyx故有*112233123123*123123()()()()()()()rrrrex xe xxex xe xe xe xe xxxxxxxxx解：333*123123*123111101010()()()222()3.10

3、50.0010.100re xe xe xexxxxxx=0.0004993 例 5sin1 有 2 位有效數(shù)字的近似值0.84 的相對(duì)誤差限是. 解法 1 ：00625.01016110821112（有效數(shù)字與相對(duì)誤差限的關(guān)系）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解法 2；21100.840.00595242（相對(duì)誤差限的概念）例 6*nx 的相對(duì)誤差為*x的相對(duì)誤差的 -倍。解：根據(jù)誤差傳播公式*1()()()nrriiiife ye xxyx則有*1(*)(*)

4、()/*nnnrrexxe xxxn第二章例 1設(shè)( )f x可微，求( )xf x根的牛頓迭代公式 -。解；化簡得到()0 xfx根據(jù)牛頓迭代格式),2, 1,0()( )(1kxfxfxxkkkk則相應(yīng)的得到1()(0, 1, 2,)1()kkkkkxf xxxkfx例 2： 求方程01)(3xxxf在區(qū)間 1, 1.5內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2 位。思路；用二分法，這里 a = 1, b = 1.5， 且 f (a) 0。取區(qū)間a, b的中點(diǎn)x0 = 1.25將區(qū)間二等分，由于f (x0)0 f (1) = -7 0）的迭代公式，并用以上公式求78265.0解：設(shè)cxxf2)(，

5、（x 0）則 c 就是 f (x) =0 的正根。由為 f (x) = 2x，所以得迭代公式kkkkxcxxx221或kkkxcxx211（2.6）由于 x 0 時(shí)，f (x) 0，且 f (x) 0，根據(jù)定理 3 知：取任意初值cx0，所確定的迭代序列 xk必收斂于c。取初值 x = 0.88，計(jì)算結(jié)果見表k xk 0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3 0.88468 故可取88468.078265.0第三章例 1.用列主元消去法解線性方程組615318153312321321321xxxxxxxxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

6、- - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載計(jì)算過程保留 4 位小數(shù). 解. a b=6111151318153312(選1821a為主元 ) 6111153312151318),(21rr(換行，消元 ) 71 6 6.549 4 4. 071 6 6.10533 3 3.21015131813121811812rrrr(選1667. 132a為主元，并換行消元) 5428.98142.3001667.54944.01667.1015131823321667.11),(rrrr系數(shù)矩陣為上三角形矩陣，于是回代得解0000. 1)18/( 000

7、0.230000.3150000.27166.1/ 0000. 34944.07166.50000.38142.35428.9123xxx方程組的解為 x (1.000 0,2.000 0,3.000 0)t例 2：用列主元高斯消去法求解方程72452413221321321xxxxxxxx由于解方程組取決于它的系數(shù)，因此可用這些系數(shù)（包括右端項(xiàng)）所構(gòu)成的“增廣矩陣”作為方程組的一種簡化形式。對(duì)這種增廣矩陣施行消元手續(xù)：702145241312*第一步將 4 選為主元素，并把主元素所在的行定為主元行，然后將主元行換到第一行得到精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

8、- - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載61005 .025. 010125.15 .0125.5875.0005.025.010125. 15 .01625.15. 1015 .020125. 15. 01702113124524*第三步消元第二步消元第一步消元消元過程的結(jié)果歸結(jié)到下列三角形方程組：65.025.0125.15.0332321xxxxxx回代，得619321xxx例 3：用直接三角分解法解201814513252321321xxx解： （1）對(duì)于 r = 1，利用計(jì)算公式111u212u313ul21 = 2 l 31=

9、 3（2）對(duì)于 r = 2，12212222ulau= 5 2 2 = 1 13212323ulau= 2 2 3 = -4 51)231()(2212313232uulal（3）r = 3 24)4()5(33(5)(233213313333ululau于是lua2441321153121（4）求解：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載ly = b得到y(tǒng)1 = 14 y2 = b2l21y1 = 18 2 14 = -10 y3 = b3 (l31y1 + l32y

10、2) = 20 (3 14 + (-5)(-10) = - 72 從而 y = (14, -10, -72)t由 ux= y得到324723333uyx21)34(10)(2232322uxuyx11)3322(14)(1131321211uxuxuyxtx)3,2, 1(例 5：用雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法解線性方程組877901081119321xxx解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法都收斂。d = diag (9, 8, 9) d-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9) 009/1008/19/19/101adi9/78/79/7

11、1bd雅克比迭代法的迭代公式為：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkxx取 x(0) = (0, 0, 0)t，由上述公式得逐次近似值如下：k 0 1 2 3 4 x (i) 0008889.08750.07778.09753.09723.09738.09993.09993.09942.09993.09993.09993.0高斯賽得爾迭代法：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1

12、(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx迭代結(jié)果為：k 0 1 2 3 4 x(i) 0009753.09722.07778.09993.09993.09942.00000.10000.19998.0000.1000.1000.1例 6考察用高斯賽德爾迭代法解方程組1231231239268888xxxxxxxxx收斂性，并取(0)(1,0,0)tx，求近似解(1)kx，使得(1)( )310kkiixx（i=1，2，3）解法同上（ 1，1，-1）例 7. 設(shè)矩陣 a52111021210， 那么以 a 為系數(shù)矩陣的線性方程組axb 的雅可比迭代矩陣為 ( a ) (a)0

13、4. 02.01.002.01.02. 00(b) 14.02.01. 012.01. 02.01(c) 04.02.01.002.01.02.00(d) 021102120例 8、高斯- 塞爾德迭代法解線性方程組精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載的迭代格式中求例 9、 若則矩陣 a的譜半徑(a)= 第五章第六章1 矛盾方程組112.83.2xx的最小二乘解為 -。2 給出擬合三點(diǎn)(0,1),(1,0)ab和(1,1)c的直線方程。第七章1插值型求積公式的求積系數(shù)之

14、和為1已知1)(2xxf，則差商3 ,2, 1f。3 求積公式31( )2 (2)f x dxf有幾次的代數(shù)精確度？（ 1）4插值型求積公式0( )()nbiiaif x dxa f x的代數(shù)精確度至少是 -次。n5已知 n=4 時(shí)牛頓科茨求積公式的科茨系數(shù),152,4516,907)4(2)4(1)4(0ccc那么)4(3c( ) 903915245169071)d(152)c(4516)b(907)a(6設(shè)求積公式nkkkbaxfaxxf0)(d)(，若對(duì)的多項(xiàng)式積分公式精確成立， 而至少有一個(gè) m+1 次多項(xiàng)式不成立。 則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度 . 7 取 m=4,即 n=8，用復(fù)

15、化拋物線求積公式計(jì)算積分2. 102d)1l n (xx計(jì)算過程保留 4 位小數(shù). 解 n=8, h=15.0802.1,f(x)=ln(1+x2) 計(jì)算列表精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載)(kxf=)1ln(2kxkkx奇數(shù)號(hào)偶數(shù)號(hào)端點(diǎn)0 0.00 0 1 0.15 0.022 3 2 0.30 0.086 2 3 0.45 0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1

16、8 1.20 0.892 0 1.396 1 0.987 0 0.892 0 代入拋物線求積公式)(2)(43d)1ln(6427531802.102fffffffffhxx4225. 0987. 023961.148920.0315. 0第八章例 1 用歐拉法求初值問題000.912()10yyxy xx當(dāng) h = 0.02時(shí)在區(qū)間 0, 0.10上的數(shù)值解。解把yxyxf219.0),(代入歐拉法計(jì)算公式。就得5, 1,021018.01219. 01nyxyxhyynnnnnn具體計(jì)算結(jié)果如下表：n xn yn y(xn) n = y(xn) - yn 0 0 1.0000 1.0000

17、 0 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 例 2.取 h=0.1, 用改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)校正公式求初值問題1)0(12yyxy在 x=0.1, 0.2處的近似值 . 計(jì)算過程保留 3 位小數(shù) .

18、預(yù)報(bào)校正公式為)2(2),(),(2)1(),(211211121kkkkkkkkkkkkkkkxkkyxyxhyyxfyxfhyyyxhyyxhfyyh=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有227.1)2. 11.0102(21.012.1)101(1.0122121yyh=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有528.1)488.12. 0227.11. 02(21. 0227.1488.1)227. 11.01( 1. 0227.122222yy所求為 y(0.1) y1=1.227 y(0.2) y2=1.528 例 3導(dǎo)出用三階泰勒級(jí)數(shù)法解方程22yxy的計(jì)算公式解: 因22),(yxyxfy)(222222yxyxyyxfy)3()(242) (22222222yxyxxyyyyfy)32)(8)53(4462422222222)4(yxyxyyxxyyyyyyyyyyyfy故精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 12 頁 - - -