第二章 誤差分析

1、第二章 誤差分析數(shù)值計(jì)算中得到的近似值與精確值之差誤差 本章主要研究誤差的來(lái)源和分類(lèi)，誤差的計(jì)算和估計(jì)方法以及如何減小誤差的危害等問(wèn)題。1. 模型誤差誤差的來(lái)源和分類(lèi)例：自由落體運(yùn)動(dòng)忽略了空氣的阻力。2. 觀測(cè)誤差 在數(shù)學(xué)模型中包含的參量一般是通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)確定的，其精度依賴(lài)于儀器和人的操作。抽象,簡(jiǎn)化3. 截?cái)嗾`差 模型的準(zhǔn)確解和數(shù)值方法求出的近似解之差稱(chēng)為截?cái)嗾`差，或叫方法誤差。, .! 5! 3sin53xxxx.! 5)! 3(sin53xxxx等式的右邊就是截?cái)嗾`差。例:如果取等式右邊前兩項(xiàng)為sinx的近似值，則例：指數(shù)函數(shù)ex可展開(kāi)成下列冪級(jí)數(shù)形式但在實(shí)際計(jì)算時(shí)，不可能計(jì)算無(wú)窮多項(xiàng)，

2、只能截取有限項(xiàng)，取用Sn(x)作為ex的近似值，其截?cái)嗾`差為.!.! 212nxxxenx!.! 21)(2nxxxxSnn.! 1)(1nxexSnxn4. 舍入誤差 計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)四舍五入 例: 用3.1415926作為的近似值 模型誤差和觀測(cè)誤差是客觀存在的，而截?cái)嗾`差和舍入誤差是由計(jì)算方法引起的，因此后兩種誤差是我們?cè)谟?jì)算物理課中主要研究的；討論誤差在計(jì)算過(guò)程中的傳遞和對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，并找出誤差的界，對(duì)研究誤差的漸進(jìn)特性和改進(jìn)算法的近似程度具有重大的意義。誤差與有效數(shù)字1.絕對(duì)誤差(error)和絕對(duì)誤差限 設(shè)某物理量的精確值為x*，用某種方法計(jì)算出的近似值為x，則稱(chēng)e= x*- x為

3、x*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。 e顯示出近似值x的準(zhǔn)確程度，在同一量的不同近似值中，e越小，x的準(zhǔn)確度越高。注意：絕對(duì)誤差e可正可負(fù) 一般某一量x*的精確值是不知道的，因而也無(wú)法求出，但是往往可以估計(jì)出e的范圍，即存在，使得xxe* xx*成立 （2-1） 稱(chēng)為x的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限或精度；越小，近似值x的精度越高。 另外一種寫(xiě)法：2.相對(duì)誤差(relative error)與相對(duì)誤差限相對(duì)誤差定義為絕對(duì)誤差與精確值之比，即 稱(chēng)為近似值的相對(duì)誤差。xxxxxxxeer*注意:1.實(shí)際運(yùn)算中x*不可知，此處用x代替。 2.相對(duì)誤差是無(wú)量綱的數(shù)，通常用百分比表示，稱(chēng)為百分誤差。（2-2） 類(lèi)似于絕

4、對(duì)誤差的情況，可以估計(jì)相對(duì)誤差的范圍，若存在r，使得 rxxxxe*稱(chēng)r為近似值x的相對(duì)誤差限。 例：已知| x-x* |1cm，問(wèn)測(cè)量長(zhǎng)度為100m物體與10m物體時(shí)的相對(duì)誤差分別是多少？%01. 010001. 0re%1 . 01001. 0re（2-3）100m物體10m物體交通之誤差 馬里列本火車(chē)站擠滿了回家的旅客。一列又一列的火車(chē)不是誤點(diǎn)就是取消。終于一位憤怒的旅客對(duì)車(chē)站職員說(shuō)：“我不明白英國(guó)鐵路公司干嗎要印時(shí)刻表！”車(chē)站職員說(shuō)：“我也不知道，不過(guò)，要是不印時(shí)刻表的話，你就無(wú)法說(shuō)出火車(chē)究竟誤點(diǎn)多久了，對(duì)嗎？”3.誤差與有效數(shù)字 若近似值x的絕對(duì)誤差限是某一位的半個(gè)單位，就稱(chēng)其“準(zhǔn)確

5、”到這一位，且從該位直到x的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱(chēng)近似數(shù)x有n位有效數(shù)字。 例：下列各數(shù)358.467，0.00427511，8.000034，8.000034102的具有5位有效數(shù)字的近似值分別是 有效數(shù)字既能表示數(shù)字的大小，又能表示近似值的精確程度。358.47，0.0042751，8.0000，800.00。 knnaaax10)10.1010(2211（2-4） 其中a1，a2，an是09這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)數(shù)，其中a10 ，n是正整數(shù)，k是整數(shù)，且x的絕對(duì)誤差限滿足不等式 則稱(chēng)近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字。 nkxx1021*有效數(shù)字的表示法如下：設(shè)x為x*的近似數(shù)，將x寫(xiě)成（2-5

6、）x*xe1.7011.700.001 21.700.002 31.700.003 41.700.004 51.71-0.005 -0.004 9-0.001例：分別對(duì)以下數(shù)值保留3位有效數(shù)字，得01.021005.0e絕對(duì)誤差限是近似值末尾所在位的單位數(shù)值的一半。有效數(shù)字與絕對(duì)誤差限的關(guān)系有效數(shù)字與相對(duì)誤差限的關(guān)系 定理一 若某數(shù)x*的近似值x具有n位有效數(shù)字， 則其相對(duì)誤差限為 證明：由（2-5）式，可得 再由 （2-4）式可得111021nra111110) 1(10kkaxa1111*1021101021nknkraaxxxknnaaax10)10.1010(2211定理二 若近似值x

7、的相對(duì)誤差限為則x至少具有n位有效數(shù)字。證明:1110) 1(21nra1111*10) 1(2110) 1(nkraaexxx111110)1(10kkaxank1021例：已知x的相對(duì)誤差限r(nóng)=0.3%，問(wèn)x的有效數(shù)字位數(shù)至少有幾位？把a(bǔ)1的最大值9代入公式，得出對(duì)應(yīng)n的最小值分析得，nra1110) 1(21%3 . 0nnn102110102110) 19(21100031003 . 0113n 在混沌學(xué)中有一種稱(chēng)為“蝴蝶效應(yīng)”的奇異現(xiàn)象：一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國(guó)德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。”其原因就是蝴蝶扇動(dòng)翅膀的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其身邊的

8、空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并產(chǎn)生微弱的氣流，而微弱的氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起一個(gè)連鎖反應(yīng)，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。誤差的傳遞 數(shù)值計(jì)算中誤差產(chǎn)生與傳播的情況非常復(fù)雜，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似數(shù)，他們都帶有誤差，而這些數(shù)據(jù)的誤差在多次運(yùn)算中又會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，這就是誤差的傳遞。下面介紹用函數(shù)的Taylor公式來(lái)估計(jì)誤差的一種常用方法。以一元函數(shù)為例： 設(shè)x*的近似值為x，y*=f (x*)的近似值為 y=f(x)，由泰勒展開(kāi)公式，我們得到 )*)()(*)(*xxxfxfxfyyexf)( 兩邊除以 f (x)，得)*()()()()(*)

9、(xxxfxfxfxfxfrexfxf xxxxxfxf x)()()*()()(.)*(! 2)()*)()(*)(2 xxxfxxxfxfxf收斂性與穩(wěn)定性 收斂性與穩(wěn)定性是計(jì)算方法的理論問(wèn)題。一個(gè)計(jì)算方法的好壞成敗，除了與計(jì)算格式的簡(jiǎn)練緊湊有關(guān)外，最本質(zhì)的核心問(wèn)題就是收斂性與穩(wěn)定性問(wèn)題。 收斂性指通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到的近似解是否能夠逼近數(shù)學(xué)模型真解的性質(zhì)；而穩(wěn)定性指在數(shù)值計(jì)算中，誤差的傳播能否得到控制的性質(zhì)。 粗略說(shuō)來(lái)，收斂性主要是研究方法誤差問(wèn)題，而穩(wěn)定性則更關(guān)注舍入誤差問(wèn)題。在一定條件下，兩者又可以是關(guān)聯(lián)的、等價(jià)的。 由于計(jì)算物理的復(fù)雜性，要弄清楚所采用的方法的收斂性和穩(wěn)定性，往往相當(dāng)困

10、難。我們不能等待解決了收斂性、穩(wěn)定性之后再去計(jì)算，而是要在計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行解決。但另一方面，我們又必須對(duì)計(jì)算方法的收斂性、穩(wěn)定性問(wèn)題有所了解，以利于對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。誤差危害的防止 1. 選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播。 在計(jì)算過(guò)程中誤差不會(huì)增長(zhǎng)的計(jì)算公式稱(chēng)為數(shù)值穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的，為了不影響數(shù)值計(jì)算結(jié)果的精確度與真實(shí)性，在實(shí)際中我們應(yīng)盡量選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，避免使用數(shù)值不穩(wěn)定的公式。舉例：求積分101dxexExnn),.,2, 1(nn 1010111011dxexnexdexxnxnxn),.,2 , 1(11nnnEEnn06848. 0,.,367879. 0

11、,19110EEeE*00EE*1*0*01)1 ()(1EEEE 此值錯(cuò)，因?yàn)镋n應(yīng)大于0，以下分析誤差傳遞的過(guò)程，設(shè)E0的誤差為-代入22)21 ()( 2121*2*1*112EEEEE 由此看出公式的每一步計(jì)算過(guò)程中誤差都被放大了，于是我們改用另一種公式進(jìn)行計(jì)算：!)1(*nEEnnn.nEEnn11當(dāng) 時(shí)，n0nE0916123.00920EE設(shè) 由上面的計(jì)算可知，第二個(gè)公式是數(shù)值穩(wěn)定的。2.避免相近數(shù)相減，造成有效數(shù)字位數(shù)銳減例：使用3位計(jì)算機(jī)求 的值。首先計(jì)算 ，這樣計(jì)算結(jié)果為0。 避免方法： 301. 922sin210)2cos1 (10277x321067. 1300. 3

12、01. 0301. 9301. 9301. 9) 301. 9)(301. 9(301. 90016662. 301. 9例：3.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例：對(duì)a、b、c進(jìn)行加法運(yùn)算，其中a=1012， b =10，c-a，若按(a+b)+c的順序編制程序，在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，則其結(jié)果接近于零，原因是a“吃掉”b，且a與c互相抵消，。 解決辦法：按(a+c)+b的順序編制程序，可得到接近于10的真實(shí)結(jié)果。例如研究物體的阻尼運(yùn)動(dòng)，阻尼系數(shù)很小。5.簡(jiǎn)化公式，減少運(yùn)算次數(shù)（減少舍入誤差） 同一個(gè)問(wèn)題選用更為簡(jiǎn)單的計(jì)算公式減少運(yùn)算的次數(shù)，不但可以節(jié)省計(jì)算量，提高計(jì)算速度，還能簡(jiǎn)化邏輯結(jié)構(gòu)，減少誤差累積，這也是數(shù)值計(jì)算所遵循的原則之一。4.絕對(duì)值太小的數(shù)不能做除數(shù) 有可能數(shù)值過(guò)大超范圍，同時(shí)增大誤差。2 .2718001. 07182. 21 .24710011. 07182. 2例：例如：計(jì)算和式 的值 若直接逐項(xiàng)求和，則其運(yùn)算次數(shù)很多，而且誤差累積也不小。 若將該和式簡(jiǎn)化為則整個(gè)計(jì)算就只需一次除法和一次減法。10001)1(1nnn100111111) 1(11000110001nnnnnn小結(jié)誤差的基本概念和分類(lèi)絕對(duì)誤差及絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限的概念誤差與有效數(shù)字的關(guān)系防止誤差危害的