051數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華及試題精粹1

1、【2019高考沖刺樣本】05-1數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華及試題精粹1知識(shí)要點(diǎn)數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列及函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項(xiàng)公式（）中項(xiàng)（）（）前項(xiàng)和重要性質(zhì)1. 等差、等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中項(xiàng)公式A= 推廣：2=。推廣：性質(zhì)1若m+n=p+q則 若m+n=p+q，則。2若成A.P（其中）則也為A.P。若成等比數(shù)列 （其中），則成等比數(shù)列。3 成等差數(shù)

2、列。成等比數(shù)列。4 ， 5看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：2()(為常數(shù)).看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：注：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.ii. （ac0）為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii. 為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. 且為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).(為非零常數(shù)).正數(shù)列成等比的充要條件是數(shù)列（）成等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和及通項(xiàng)的關(guān)系：注： （可為零也可不為零為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.等差前n項(xiàng)和可以為零也可不

3、為零為等差的充要條件若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件. 非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）2. 等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，3. 常用公式：1+2+3 +n =注：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，； 5，55，555，.4. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：生產(chǎn)部門(mén)中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題. 例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為. 其中第年產(chǎn)量為，且過(guò)年后總產(chǎn)量為：銀行部門(mén)中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題. 例如：一年中每月初到

4、銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過(guò)個(gè)月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率.5. 數(shù)列常見(jiàn)的幾種形式：（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.具體步驟：寫(xiě)出特征方程（對(duì)應(yīng)，x對(duì)應(yīng)），并設(shè)二根若可設(shè)，若可設(shè)；由初始值確定.（P、r為常數(shù)）用轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；逐項(xiàng)選代；消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；（公式法），由確定.轉(zhuǎn)化等差，等比：.選代法：用特征方程求解：.由選代法推導(dǎo)結(jié)果：.6. 幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：一是求使

5、，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和. 例如：兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).2. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。3. 在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m

6、使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。 2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中 是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯(cuò)位相減法:適用于其中 是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。 4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 備注：求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這

7、一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法例1 在數(shù)列中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3），則它的通項(xiàng)公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0 0， 則 ， 逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數(shù)列，其中，且當(dāng)n3時(shí)，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個(gè)等比數(shù)列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數(shù)列，其中，且當(dāng)n3時(shí)，求通項(xiàng)公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個(gè)等差數(shù)列，公差為1.故.。由于又所以，即 四、積差相消法

8、例5設(shè)正數(shù)列，滿足=且，求的通項(xiàng)公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，故有由+ +()得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數(shù)法例6 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時(shí)，求通項(xiàng)公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對(duì)數(shù)法例7 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2019年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ，即.七、平方（開(kāi)方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。因?yàn)?，所以。八、

9、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9 若數(shù)列中，=1，是數(shù)列的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列的通項(xiàng)公式是.解 遞推式可變形為 （1）設(shè)（1）式可化為 （2）比較（1）式及（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列的通項(xiàng)公式是 。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10 在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11

10、在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項(xiàng)公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：4、型，可化為的形式。例12 在數(shù)列中，=6求通項(xiàng)公式.解 式可化為：比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.即 故.九、猜想法 運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法及不動(dòng)點(diǎn)法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令

11、是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，二、形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得此方法又稱不動(dòng)點(diǎn)法例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征

12、方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，試題精粹江蘇省2019年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題13（江蘇天一中學(xué)、海門(mén)中學(xué)、鹽城中學(xué)2019屆高三調(diào)研考試）在等差數(shù)列中，表示其前項(xiàng)，若，則的取值范圍是（4，）12（江蘇省2019屆蘇北四市第一次聯(lián)考）已知等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 S n , T n ,若對(duì)于任意的自然數(shù) n ，都有則 = 8. （常州市2019屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）面積為S的的三邊成等差數(shù)列，設(shè)外接圓的面積為，則10.（常州市2019屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）若在由正整數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮數(shù)列an中，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an an+1，且對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有2k1個(gè)k，則a2019=.45 7（姜堰二中學(xué)情調(diào)查（三）設(shè)a>0，b>0，若是3a及3b的等比中項(xiàng)，則+的最小值是_410. （泰州市2019屆高三第一次模擬考試）數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，若，且，則此數(shù)列的前4項(xiàng)和。10、（南通市六所省重點(diǎn)高中聯(lián)考試卷）已知數(shù)列滿足，（），.若前100項(xiàng)中恰好含有30項(xiàng)為0，則的值為 6或714. （蘇北四市2019屆高三第一次調(diào)研考試）已知數(shù)列，滿足，且對(duì)任意的