2022年經(jīng)典--初中數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練及例題解析

1、初中數(shù)學(xué)三角形綜合第1頁知識(shí)點(diǎn)梳理考點(diǎn)一、三角形1、三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2、三角形的分類. 鈍角三角形直角三角形銳角三角形)(等邊三角形等腰三角形不等邊三角形3、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊, 任意兩邊之差小于第三邊. 4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線, 三條中線交點(diǎn)叫重心三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對(duì)邊相交, 頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段, 三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心三角形的高：頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€ , 頂點(diǎn)和垂足間的線段. 三條高的交點(diǎn)叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點(diǎn)的位置不同) 5

2、、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)角和定理及性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角和等于 180. 推論 1：直角三角形的兩個(gè)銳角互補(bǔ)。推論 2：三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。推論 3：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為 3608、多邊形及多邊形的對(duì)角線正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形稱為凸多邊形； ，若整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊形為 凹多邊形。多邊形的對(duì)角線的條數(shù): a.從 n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n

3、-2）個(gè)三角形。b.n 邊形共有2)3(nn條對(duì)角線。9、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180(n3)。多邊形的外角和等于 360。10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。平面鑲嵌的條件：有公共頂點(diǎn)、公共邊；在一個(gè)頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為 360。考點(diǎn)二、全等三角形1、全等三角形的概念三角形(按角分) 三角形(按邊分) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

4、 - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第2頁能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“ sas” ）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ asa” ）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“ sss ” ） 。直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有 hl 定理（斜邊、

5、直角邊定理） ：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“ hl” ）3、全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折 180，這種變換叫做對(duì)稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換?？键c(diǎn)三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論 1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線

6、、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論 2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于 60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論 1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論 2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論 3：三條中位線將原三角形

7、劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論 4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論 5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。考點(diǎn)四、直角三角形1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4 直角三角形兩直角邊 a，b 的平方和等于斜邊 c 的平方，即精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

8、2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第3頁222cba5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)acb=90 bdadcd?2abadac?2cd ab abbdbc?26、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ab?cd=ac?bc 經(jīng)典例題解析：例 1.如圖，bp平分fbc ，cp平分ecb ，a=40 求bpc 的度數(shù)。分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。解：1=)4(21a) 3(212a)21(180bpc40a111804)322bpcaa70401802

9、1180例 2.如圖，求a+ c+ 3+f的度數(shù)。分析：由已知b=30 ，g=80 ，bdf=130 ，利用四邊形內(nèi)角和，求出3 的度數(shù)，再計(jì)算要求的值。解：四邊形內(nèi)角和為（4-2）180=360 3=360 -30-80-130=120 又a c f是三角形的內(nèi)角a+ c+ f+3=180 +120=300 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - -

10、 - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第4頁例 3已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的41，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。分析：每一個(gè)外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的41，而每個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為 180 。解：設(shè)此多邊形的外角為 x，則內(nèi)角的度數(shù)為4x 418036360103610 xxxn則解得邊數(shù)即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為例 4.用正三角形、正方形和正六邊形能否進(jìn)行鑲嵌？分析：可以進(jìn)行鑲嵌的條件是：一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為 360解：正三角形的內(nèi)角為 60正方形的內(nèi)角為 90正六邊形的內(nèi)角為120可以鑲嵌。一個(gè)頂點(diǎn)處有 1 個(gè)正三角形、2 個(gè)正方形和 1 個(gè)正六邊形。例 5.如圖，在abc 中，a

11、cb=60 ，bac=75，ad bc于 d ，be ac于 e，ad與 be交于 h ，則chd= 解：在abc 中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以 cf ab ，bac=75 ，且 cf ab ，acf=15 ，acb=60 ，bcf=45 在cdh 中，三內(nèi)角之和為 180，chd=45，故答案為chd=45點(diǎn)評(píng)：考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為 180例 6如圖，ad 、am 、ah分別abc 的角平分線、中線和高（1）因?yàn)?ad是abc 的角平分線，所以 = = 1/2；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14

12、頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第5頁（2）因?yàn)?am 是abc 的中線，所以 = = ；（3）因?yàn)?ah是abc 的高，所以 = =90 分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段；（3）根據(jù)三角形的高的定義知，高與高所在的直線垂直解答：解：（1）ad是abc 的角平分線，bad= cad=1/2 bac ；（2）am 是abc 的中線，bm=cm=1

13、/2bc；（3）ah是abc 的高，ah bc ，ahb= ahc=90；故答案是：（1）bad 、cad 、bac ；（2）bm 、cm 、bc ；（3）ahb 、ahc 例 8如圖，ap平分bac 交 bc于點(diǎn) p，abc=90 ，且 pb=3cm，ac=8cm，則apc的面積是 cm2解：ap 平分bac 交 bc 于點(diǎn) p，abc=90，pb=3cm ，點(diǎn) p到 ac的距離等于 3，ac=8cm，apc的面積=832=12cm2例 9. 已知：點(diǎn) p 是等邊abc內(nèi)的一點(diǎn)，bpc150 ，pb2，pc3，求 p a 的長(zhǎng)。分析：將bap繞點(diǎn) b 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60至bcd，即可證得b

14、pd為等邊三角形，pcd為直角三角形。解：bcba，將bap繞點(diǎn) b 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60，使 ba與 bc重合，得bcd，連結(jié) pd。bdbp2，p adc。bpd是等邊三角形。bpd60。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第6頁dpcbpcbpd1506090。dc22222313pdpcpadc13 。例 10.

15、 兩個(gè)全等的含 30o，60o角的三角板 ade 和 abc如圖所示放置，e，a，c 三點(diǎn)在一條直線上，連接 bd，取 bd 的中點(diǎn) m，連結(jié) me，mc。試判斷emc是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明 emmc，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)m 是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得： mdmbma。連結(jié) m a后，可以證明mde

16、mac。答：emc是等腰直角三角形。證明：連接 am，由題意得，deac，adab，daebac90o。dab90o。dab為等腰直角三角形。又mdmb，mamdmb，amdb，madm ab45o。mdemac105o，dma90o。mdemac。dmeamc，memc。又dmeema90o，amcema90o。mcem。emc是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一

17、個(gè)熱點(diǎn)。例 11.如圖，等腰直角三角形 abc 中，acb90，ad 為腰 cb上的中線，cead 交 ab 于 e求證cdaedbc e a d m b 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第7頁提示：作 cfab于 f，則acf45，在abc中，acb90，cead，于是，由acgb45，abac ，且易證12，由此

18、得agcceb（asa ） 再由 cddb，cgbe，gcdb，又可得cgdbed（sas ） ，則可證cdaedb例 12.如圖，abc中，12，34，56a60求ecf、fec的度數(shù)略解：因?yàn)?a60，所以 2321（18060）60；又因?yàn)?b、c、d 是直線，所以 4590；于是 fec2360，fce4590，fec60例 13. 在 rtabc中，a90，ce是角平分線，和高 ad 相交于 f，作 fgbc交 ab于 g，求證：aebg略解：作 ehbc于 h，由于 e是角平分線上的點(diǎn)，可證 aeeh ；且又由 aecbecbcadecaafe可證 aeaf，于是由 afeh，af

19、gehb90，bagf可得 afgehb；所以 ageb，即 aeegbgge，所以 aebg反饋練習(xí)1.如圖，ad是abc 的中線，如果abc 的面積是 18cm2，則adc 的面積是cm212abfcdea b c d f g e 1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角

20、形綜合第8頁2.如圖，abc 中，abc= bac=45 ，點(diǎn) p在 ab上，ad cp ，be cp ，垂足 分 別為 d，e，已知 dc=2 ，則 be= 3（2009 ?宜賓）已知：如圖，四邊形 abcd 是菱形，過 ab的中點(diǎn) e作 ac的垂線 ef ，交 ad于點(diǎn) m ，交 cd的延長(zhǎng)線于點(diǎn) f（1） 則 am dm ；（2）若df=2 ，則菱形 abcd 的周長(zhǎng)為4已知 bd ，ce是abc 的兩條高，m 、n分別為 bc 、de的中點(diǎn)，勇敢猜一猜：（1）線段 em 與 dm 的大小有什么關(guān)系？em dm；（2）線段 mn 與 de的位置有什么關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

21、- - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第9頁5如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬 an=5cm，長(zhǎng) nd=10cm，cd上的點(diǎn) b距地面的高 bd=8cm，地面上 a處的一只螞蟻到 b處吃食，需要爬行的最短路徑是 cm 6、已知：如圖， p是正方形 abcd 內(nèi)點(diǎn)， p adpda150求證： pbc 是正三角形7、已知： p是邊長(zhǎng)為 1的正方形 abcd 內(nèi)的一點(diǎn)，

22、求 papbpc 的最小值a p c d b acbpd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第10頁三角形中作輔助線的常用方法舉例常見輔助線的作法有以下幾種：1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角

23、形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、在利用三

24、角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1：d、e為abc 內(nèi)兩點(diǎn) , 求證:abac bd de ce. 證明： （法一） 將 de兩邊延長(zhǎng)分別交 ab 、ac 于 m 、n，在amn 中，am an md de ne;（1）在bdm 中，mb md bd ；（2）在cen 中，cn ne ce ；（3）由（1）（2）（3）得： aman mb md cn ne md de ne bd ce ab ac bd de ec （法二： ）如圖 1-2， 延長(zhǎng)

25、bd交 ac于 f，延長(zhǎng) ce交 bf于 g ，在 abf 和 gfc 和 gde 中有： ab af bddg gf （三角形兩邊之和大于第三邊） （1） gf fc ge ce （同上）（2） dg ge de （同上）（3）由（1）（2）（3）得： ab af gf fc dg ge bd dg gf ge ce de ab ac bd de ec 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，abcdenm11圖abcdefg21圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 14

26、頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第11頁構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 d為abc 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證： bdc bac 。分析： 因?yàn)閎dc與bac不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc處于在外角的位置， bac 處于在內(nèi)角的位置；證法一 ：延長(zhǎng) bd交 ac于點(diǎn) e ，這時(shí) bdc 是edc

27、 的外角，bdc dec ，同理 dec bac ，bdc bac 證法二：連接 ad ，并延長(zhǎng)交 bc于 f bdf是abd的外角bdf bad ，同理， cdf cad bdf cdf bad cad 即： bdc bac 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1：已知 ad為abc的中線，且 12,34,求證： be cf ef 。分析：要證 be cf ef ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把be ，cf

28、，ef移到同一個(gè)三角形中，而由已知 12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把en ，fn ，ef移到同一個(gè)三角形中。證明： 在 da上截取 dn db ，連接 ne ，nf ，則 dn dc ，在dbe 和dne 中：)()(21)(公共邊已知輔助線的作法ededdbdndbe dne （sas ）be ne （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： cf nf 在efn 中 en fn ef （三角形兩邊之和大于第三邊）be cfef 。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全等三角形， 然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段

29、中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1：ad為abc的中線，且 12，34，求證： be cf ef 證明：延長(zhǎng) ed至 m ，使 dm=de，連接cm ，mf 。在bde和cdm 中，)()(1)(輔助線的作法對(duì)頂角相等中點(diǎn)的定義mdedcdmcdbdbde cdm （sas ）又1 2，34 （已知）1 234180（平角的定義 ）3 2=90即：edf 90fdm edf 90在edf和mdf 中)()()(公共邊已證輔助線的作法dfdffdmedfmdededf mdf （sas ）ef mf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在cmf 中，cf cm mf （

30、三角形兩邊之和大于第三邊）be cf ef注：上題也可加倍 fd ，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。abcdefg12圖abcdefn13圖123414圖abcdefm1234精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - -

31、 - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第12頁例如：如圖 5-1：ad為 abc的中線，求證： ab ac 2ad 。分析：要證 ab ac 2ad ，由圖想到： abbd ad,ac cd ad ，所以有 ab ac bdcd ad ad 2ad ，左邊比要證結(jié)論多 bd cd ，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造 2ad ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) ad至 e，使 de=ad ，連接 be ，則 ae 2ad ad為abc的中線（已知）bd cd （中線定義）在acd 和ebd 中)()()(輔助線的作法對(duì)頂角相等已證edadedbadccdbdacd ebd

32、 （sas ）be ca （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在abe 中有： ab be ae （三角形兩邊之和大于第三邊）ab ac 2ad 。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知abc ，ad是 bc邊上的中線， 分別以 ab邊、ac 邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2， 求證 ef 2ad 。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1：在abc中，ab ac ， 12，p為 ad上任一點(diǎn)。求證： ab ac pb pc 。分析：要證： ab ac pb pc ，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊， 從而想到構(gòu)造第三邊 abac ，

33、故可在 ab上截取 an等于 ac ，得 ab ac bn ， 再連接 pn ，則 pc pn ，又在 pnb中， pb pn bn ，即：ab ac pb pc 。證明： （截長(zhǎng)法）在 ab上截取 an ac連接 pn , 在apn 和apc 中)()(21)(公共邊已知輔助線的作法apapacanapn apc （sas ）pc pn （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在bpn 中，有 pbpn bn （三角形兩邊之差小于第三邊）bp pc ab ac 證明： （補(bǔ)短法）延長(zhǎng) ac至 m ，使 am ab ，連接 pm ，在abp和amp 中)()(21)(公共邊已知輔助線的作法apapamabab

34、p amp （sas ）pb pm （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在 pcm 中有： cm pm pc(三角形兩邊之差小于第三邊 ) ab ac pb pc 。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1：已知 ac bd ，ad ac于 a ，bc bd于 b，求證：ad bc 分析：欲證 adbc ，先證分別含有 ad ，bc的三角形全等，有幾種方案： adc 與bcd ，aod 與 boc ，abd 與bac ，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng) da ，cb ，它們的延長(zhǎng)交于 e點(diǎn)，ad ac bcbd （已知）c

35、ae dbe 90 （垂直的定義）在dbe 與cae 中abcde15圖abcdef25圖abcdnmp16圖1 2abcde17圖o精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -初中數(shù)學(xué)三角形綜合第13頁)()()(已知已證公共角acbdcaedbeeedbe cae （aas ）ed ec ebea （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ed ea ec

36、 eb 即：ad bc 。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1：ab cd ，ad bc 求證： ab=cd。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接 ac （或 bd ）ab cd ad bc （已知）1 2，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在abc與cda 中)(43)()(21已證公共邊已證caacabc cda （asa ）ab cd （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1：在 rtabc中，ab ac ，bac 90， 1 2，ce bd的延長(zhǎng)于 e 。求證： bd 2ce 分析： 要證 bd 2ce ，想到要構(gòu)造線段 2ce ，同時(shí) ce與abc 的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng) ba ，ce交于點(diǎn) f。be cf （已知）bef bec 90 （垂直的定義）在bef與bec中，)()()(21已證公共邊已知becbefbebe