中心極限定理發(fā)展

1、概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于 正態(tài)分布的一類定理。1920 年，G.波伊亞稱這類定理為中心極限定理。它是概率論中最重要的一類定理， 有著廣泛的實際背景。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨立的隨機因素 的影響，如果每個因素所產(chǎn)生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學上證明了這一現(xiàn)象。獨立隨機變量的中心極限定理歷史上最初的中心極限定理是討論 n重伯努利試驗（見 二項分布）中，事 件A出現(xiàn)的次數(shù)卩n漸近于正態(tài)分布的問題。若記事件 A出現(xiàn)的概率為P（A）=P， 不出現(xiàn)的概率為q=1-p，1716年前后，A.棣莫弗對p= 1/2作了討論，隨后，P.

2、-S. 拉普拉斯推廣到一般情形，得到：當 <a vbvu，有11H1 P0)- 0依),式中是標準正態(tài)分布函數(shù)，這就是棣莫弗-拉普拉斯定理。為討論一般形式的中心極 限定理，a . m.李亞普諾夫改進了 n.八.切比雪夫創(chuàng)立的矩法，給出了獨立隨機 變量序列 Xn服從中心極限定理的李亞普諾夫條件，其結(jié)論稱為李亞普諾夫定-C y _2= 2L理：記數(shù)學期望 宀；:，方差 二 部分和片 另心,S； = £ Xk -（稱為Sn的標準化）。若存在正數(shù)S >0，使當用用一丑| E +砒工+廳、門一Q*-' 那么當nX，的分布漸近于標準正態(tài)分布隨著特征函數(shù)(見概率分布)的引入，中

3、心極限定理的研究得到了很快的發(fā) 展。20世紀20年代，Y.W.林德伯格和P.萊維證明了林德伯格萊維定理：對于 獨立同分布的隨機變量序列xn，當Exk=a及varxk= Z 2有限時，部分和S的標準化-的分布漸近于標準正態(tài)分布。它在數(shù)理統(tǒng)計的大樣本理論中有重要的應用。1935年，林德伯格和 W費勒又進一步解決了獨立隨機變量hm 尸二 Q&), 序列的中心極限定理的一般情形，即林德伯格-費勒定理：(7?Inn max r- = 0且費勒條件 成立，當且僅當林德伯格條件成立，即對任給正實數(shù)n，式中Fk(x)=p(xk <x)。這個結(jié)果使長期以來作為概率論中心議題之一的關于獨立 隨機變量

4、序列的中心極限定理得到根本解決。前述諸結(jié)果都是它的推論。此后中心極限定理的研究基本上圍繞幾個方面進行：一是減弱對隨機變量獨 立性的要求，考慮具有某種相依性的隨機變量；一是討論向標準正態(tài)密度函數(shù)收 斂的問題；再就是估計向正態(tài)分布收斂的速度及有關問題。局部極限定理向正態(tài)密度函數(shù)收斂的問題雖然在概率論的早期工作中就出現(xiàn)了，但是一般性結(jié)果直至20世紀中期才得到。在棣莫弗-拉普拉斯定理形成的過程中，首先 解決的是，在n重伯努利試驗中，事件 A出現(xiàn)的次數(shù)卩n等于k的概率pn (k) 二P(卩n= k)漸近于正態(tài)密度的問題，即所謂棣莫弗-拉普拉斯局部極限定理：在任給的有限區(qū)間c，d中，對于滿足的k, 一致地

5、成立，是標準正態(tài)密b+Nk(N=O, 土 1，,)的獨立隨機變量1948 年 B . B .50年代'，式中'''-T" ”度函數(shù)。這一結(jié)論的推廣就是討論取值為 序列Xk的相應問題，即格點極限定理。對于獨立同分布情形， 格涅堅科給出了相當簡明的充分必要條件；對于獨立非同分布情形，于 也給出了充分條件。當獨立隨機變量序列 xk 的標準化部分和的密度函數(shù)Pn(X)存在時，討論Pn(X)向標準正態(tài)密度函數(shù)r(X)收斂的問題稱為局部極限定 理。格涅堅科也于1953年對獨立同分布情形給出了十分簡潔的充分必要條件， 即：當且僅當存在某N,使PN( x)有界時，成立

6、、一："：1-對于 獨立非同分布情形，也在一定假設下由B. B .彼得羅夫給出了充分必要條件。相依隨機變量的中心極限定理這一問題至今仍是許多概率論學者所注意的課題，其中討論得較多且獲得實 際應用的有m相依隨機變量序列、強平穩(wěn)隨機變量序列、鞅、馬爾可夫過程及其他泛函，以及各種類型的統(tǒng)計量序列。 對于這些序列在附加一定條件時， 中心 極限定理也成立。這便使得許多實際問題中的隨機變量或隨機過程可視為正態(tài) 的。收斂速度的估計為了討論向正態(tài)分布收斂的速度，20世紀40年代，先后由A.C.貝里及C.G. 埃森給出了下述著名的埃森不等式：對于獨立隨機變量序列Xn，記其標準化部 分和的分布函數(shù)為Fn

7、(x)，當一-丄上八J(k=l，2，,)時，便有 沙&)-玲淞必其中 a是常數(shù)，幾F召聊小這一不等式給出了向正態(tài)分布收斂時誤差的精確估計。這方面的研究已相當深入。大偏差定理2 2對于獨立同分布的隨機變量序列Xn，若，則對標準化部分和 E及任意的M>Q當0WX< M時，一致地成立:lim血 s)1(一兀)如果X的上界M隨著n的增大而單調(diào)趨于無窮，則與上述結(jié)果類似的定理稱為大偏差定理。這類結(jié)果在諸如重對數(shù)律（見大數(shù)律）的研究中是很重要的。確切地說,li m A/* = co設M隨n單調(diào)上升，且“ 如果成立：lim并一sup1-為&)1 = 0,limn->

8、7;sup05%-1 = 0,則稱對Mn大偏差定理成立。1938年，H.克拉默在漸近展開的基礎上證明，若存 在正常數(shù)H,使當| t | <H時，亠則對I、丿11"-大偏差定理成立。a-L1以后，!0 . B .林尼克等又給出了對 - '（其中b）為正常數(shù)，大偏差定理成立的充分必要條件。大偏差定理還有種種重要的推廣，正吸引著一 些概率論學者的注意。普遍極限定理早在20世紀30年代，就開始注意到如下普遍極限問題：考察在每一行內(nèi)獨（=乞*誕伍=12），立的隨機變量陣列1? ' '' -的行和*對于適當選取的常數(shù)An,隨機變量Sn-An的極限分布有哪些？

9、收斂的充分必要條件是什么？ 這是獨立隨機變量和的極限定理的最一般提法，到40年代中期，已獲得較完滿的解決?？梢宰C明，在適當條件下，這一類極限分布是無窮可分分布。記分布函數(shù)F（x）的特征函數(shù)為？（t），若對任一正整數(shù)n，有特征函數(shù)？ n（x）使得？ （t）= ? n（t）n ，就稱分布函數(shù)F（x）（對應地，特征函數(shù)？）為無窮可分的。單點分布、 泊松分布、正態(tài)分布、柯西分布（見 概率分布）等都是無窮可分分布。無窮可分 的特征函數(shù)？（t）有著名的萊維一辛欽表示式中參數(shù)y是實數(shù)，G(u)是滿足G(- s)=0的有界非降函數(shù)，稱為？(t)的萊維- 辛欽譜函數(shù)。？(t)的另一表示是2此公式稱為萊維表示若對

10、隨機變量xnk不加任何限制，則任一分布都可作為某個陣列的行和Sn的極限分布。按照物理學的啟示，在 30年代就提出了無窮小條件的概念，這一 條件要求S的每一個別加項xnk，當n很大時，所起的作用都很微?。杭磳θ魏?#163; > 0, limmax1“隔刃.辛欽于1937年證明，滿足無窮小條件的獨立隨機變量陣列xnk的行和Sn,對于適當?shù)某?shù)A, S-An的可能的極限分布 的全體，就是無窮可分分布族。隨后，1944年格涅堅科利用萊維-辛欽表示，給 出了 Sn的分布函數(shù)收斂于無窮可分分布函數(shù) F(x)的充分必要條件是：百匚歆曲叫亠曲嘆二葉嚴込耳丘)二尸(AeW尤)n是任給的常數(shù);y及G (x

11、)分別是F(x)的特征函數(shù)的萊維一辛欽表示式中的參數(shù)及譜函數(shù), 是指在 G(x)的一切連續(xù)點上 Fn(x) -G (x)，且 Fn( + s) - G(+s)，F(xiàn)n( s) f G(s) o 1947獨立隨機變量陣列的行和依分布收斂于某無窮可分分布的充分必要條件。由普遍極限定理，可列出向正態(tài)分布、泊松分布及退化分布收斂的最一般條 件。例如，滿足無窮小條件的獨立陣列的行和向正態(tài)分布N( a，Z 2)收斂的充分必要條件是：對任給£>0, lim|>r)= 0,2=1存在£ >0,使lim左*k=lM誡|半瓷怒存在£ >0,使這是中心極限定理的最

12、一般結(jié)果。林德伯格-費勒定理等都可由它推出。在討論普遍極限定理的同時，辛欽于 1936年考慮了限于獨立隨機變量序列 xn的“普遍極限問題”，就是討論對適當選取的常數(shù)B>0與A,S：二丄E耳-心的極限分布族及依分布收斂的條件。在無窮小條件的限制下，這類'的極限分布族是無窮可分分布族的一個子族，叫做L族。萊維在1946年運用無窮可分特征函數(shù)的萊維表示給出了F(x)屬于L族的充分必要條件。隨后，格涅堅科等又給出了'的分布向L族某分布收斂的充分必要條件。當隨機變量序列Xn限于獨立且同分布時，的極限分布族就稱為穩(wěn)定律 族B,顯然9是L族的子族。萊維與辛欽于1936年通過特征函數(shù)的另一種特定 的表示給出了分布函數(shù)F (X)為穩(wěn)定律的充分必要