數(shù)值分析小結(jié)及補充PPT課件

1、一、 主要結(jié)果回顧1.函數(shù)插值定義1設(shè)區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)在互異節(jié)點 的函數(shù)值為 .如果不超過n次的多項式 滿足)(xpn niix0 niixf0)( nixfxpiin, 2 , 1 , 0),()( 則稱 是函數(shù) 關(guān)于節(jié)點 的插值多項式， 是插值節(jié)點，式(1.1)是插值條件。)(xpn)(xf niix0 niix0 (1.1)第1頁/共11頁定理1滿足插值條件(1)的插值多項式 唯一存在。 )(xpn定理2插值多項式 有差商型余項 )(xpn).(,.,)()()(00nnnnxxxxxxxfxpxfxR 當(dāng)f(x)在a,b上的n+1階導(dǎo)函數(shù)存在連續(xù)時，則插值函數(shù) 還有導(dǎo)數(shù)型

2、余項 )(xpn),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn 第2頁/共11頁以及誤差估計| )(|)!1(| )(|11xnMxRnnn 其中| )(|max; )()()1(101xfMxxxnbxaninin 2.插值多項式有如下常用的構(gòu)造方法（1）拉格朗日(Lagrange)插值法 niiinxlyxL0)()(kiknikkixxxxxl 0)(第3頁/共11頁（2）牛頓(Newton)插值法)()(,)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN3.埃爾米特(Hermite)插值多項式第4頁/共11頁定理4當(dāng)f(x)在區(qū)間a,b上具有2n+2階連續(xù)

3、導(dǎo)數(shù)，則埃爾米特插值多項式H2n+1(x)的插值余項),(),()!22()()()()(21)22(12baxnfxHxfxRnnn 埃爾米特插值多項式有如下基函數(shù)表達式： niiiiinxyxyxH012)()()( 第5頁/共11頁4.樣條插值定義2：三次樣條函數(shù)a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多項式定義3：三次樣條插值三次樣條函數(shù)+ S(xi) = yi第6頁/共11頁三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造a.三轉(zhuǎn)角方程b.三彎矩方程5.分段低次插值多項式a.分段線性插值多項式b.分段三次插值多項式6.幾種插值多項式的優(yōu)缺點及其關(guān)系見下頁 第7頁/共11頁Lagrange插值形式對稱結(jié)構(gòu)緊湊便于編程增加插值節(jié)點，需重新計算Newton插值基函數(shù)具有承襲性，便于理論分析不能解決帶導(dǎo)數(shù)條件的插值問題第8頁/共11頁埃爾米特插值能構(gòu)造較復(fù)雜插值函數(shù)高次插值可能出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”分段低次插值能較好逼近被插值函數(shù)，且計算簡單光滑性不夠高，且需提供較多導(dǎo)數(shù)值第9頁/共