橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)直線與橢圓的位置關(guān)系

1、2.1.2橢圓的簡(jiǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（單幾何性質(zhì)（3）回憶：直線與圓的位置關(guān)系回憶：直線與圓的位置關(guān)系1.位置關(guān)系：相交、相切、相離位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)=0 直線與圓相切直線與圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)k-3366-k0因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

2、所以，方程（）有兩個(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)是多少？是多少？則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425abxxyyxxxxx x 設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于p1(x1,y1)，p2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線p1p2的斜率為的斜率為k弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：221|1|1|abababkxxyyk知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2：弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式可推廣到任意二次曲線例例1：已知斜率為：已知斜率為1的直線的直線l過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)，的右焦點(diǎn)，

3、交橢圓于交橢圓于a，b兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦ab之長(zhǎng)之長(zhǎng)題型二：弦長(zhǎng)公式題型二：弦長(zhǎng)公式222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).f右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)a x yb xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4abkxxkxxxx85例例 2 2: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)12ff、分別是橢圓分別是橢圓22121xy的左、右的左、右 題型二：弦長(zhǎng)公式題型二：弦長(zhǎng)公式例例 2 2: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)12ff、分別是橢圓分別是橢圓22121xy的左、右的左、右 例例3 ：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)

4、點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題例例 3 已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

5、3：中點(diǎn)弦問(wèn)題：中點(diǎn)弦問(wèn)題點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率112200( ,), (,),(,)a x yb xyabm xy設(shè)中點(diǎn)，0120122,2xxxyyy則有：1212abyykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)a x yb xy在橢圓上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211abyyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓

6、相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求的思想方法 例例3已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而a ,b在直線在直線x+2y-4=0上上而過(guò)而過(guò)a,b兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題例例4、如

7、圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于a、b兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， ab的中點(diǎn)的中點(diǎn)m與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,ab 22oxyabm22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)a x yb x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baabmab ab中點(diǎn)22121 21()4abkxxx x又moakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 練習(xí)練習(xí)：1、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被

8、（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么這弦所在直線方程為（么這弦所在直線方程為（ ）a、x-2y=0 b、x+2y- 4=0 c、2x+3y-12=0 d、x+2y-8=02、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點(diǎn)，則恰有公共點(diǎn)，則m的范圍的范圍（ ） a、（、（0，1） b、（、（0，5 ） c、 1，5）（5，+ ） d、（、（1，+ ） 3、過(guò)橢圓、過(guò)橢圓 x2+2y2=4 的左焦點(diǎn)作傾斜角為的左焦點(diǎn)作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng) |ab|= _ , dc193622yx1522myx165練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為

9、f，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)f且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)a(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以a為中點(diǎn)為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(1)195xy解橢圓(2,0)f2lyx直線 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦長(zhǎng)練習(xí)：練習(xí)： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為f，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)f且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)a(1,1

10、)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以a為中點(diǎn)為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)a在橢圓內(nèi)。1122( ,),(,)amnm x yn x y設(shè)以 為中點(diǎn)的弦為且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy兩式相減得： （） （）1212121259mnyyxxkxxyy 59 51(1)9amnyx 以 為中點(diǎn)的弦為方程為:59140 xy3、弦中點(diǎn)問(wèn)題弦中點(diǎn)問(wèn)題的兩種處理方法：的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，

11、利用韋達(dá)定理； （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。 1、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及判斷方法；、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及判斷方法；2、弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：、弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式： |ab|= = （適用于任何曲線）（適用于任何曲線） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 結(jié)結(jié)解方程組消去其中一元得一元二次型方程解方程組消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交12:( 2,0),(2,0)ff解 橢圓的焦點(diǎn)為200(2,0)60(,)fxyf xy設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)f124 5ffa2 5a2c 4b 2212016所求橢圓方程為：xy122yxbyxm 分析：存在直線與橢圓交與兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上。12ab