33洛必達(dá)法則09[1]1024

1、第三節(jié)洛必達(dá)法則三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00 第三三章 型未定式的洛比達(dá)法則型未定式的洛比達(dá)法則0)(lim)(lim)1( xfxfaxax)()(lim)3(xfxfax 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?) 0)( xf且且定理定理 3.4)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax (洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，在在與與)()()()2(auxfxf00一、一、證證.)(),(處處連連續(xù)續(xù)均均在在則則axxx 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)或或是是，知知由由條條件件)(),()1(xfxfax .可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), 0),()(

2、axaxxfx 令令, 0),()( axaxxfx .)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，必必連連續(xù)續(xù)au)()(axaux 不不妨妨設(shè)設(shè)。.,)(),(件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理?xiàng)l條在在則則axxx 由條件由條件(2), 知知 f (x)，f(x)在在從而從而 (x), (x)均在均在u(a)內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，.)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在au )()(xfxf )()( , aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)affa )()(lim .)()(lim)()(limaffxfxfaax 使使故故),(ax )()()()()()(axaxxx )()( ff ,)()(lim)()(limaxfxfxfxfaxax 而而

3、oxxa .)()(limaxfxfax .)()(lim)()(limaxfxfxfxfaxax .)()(limaxfxfax )()(limxfxfax axfxfax )()(lim即即同理可證：同理可證：1 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則(證明略證明略)適合于任一自變量極限過(guò)程，如：適合于任一自變量極限過(guò)程，如：， ax, ax x甚至甚至，或或的情形，的情形，xx滿足相應(yīng)于定理滿足相應(yīng)于定理3.4的條件的條件)(),(xfxf只要函數(shù)只要函數(shù))()(lim)()(lim)00(xfxfxfxfaxax 注注即可即可. .例例1型型00. xxcotlim0 .coslnlim0 xxxxxx

4、cossin1lim0 解解 原式原式 求求例例2 求求.1arctan2limxxx 型型00解解原式原式 1 11lim22xxx 221limxxx . 1 12333lim221 xxxx266lim1 xxx.123lim2331 xxxxxx求求解解 原式原式 166lim1 x例例2型型00型型00? ?.23 不是未定式不是未定式不能用洛必不能用洛必達(dá)法則達(dá)法則 !注注 2 在連續(xù)使用羅比達(dá)法則時(shí)，在連續(xù)使用羅比達(dá)法則時(shí)，每次使用每次使用前都要檢驗(yàn)極限是否為未定式，否則可能前都要檢驗(yàn)極限是否為未定式，否則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)誤.型未定式的洛比達(dá)法則型未定式的洛比達(dá)法則 )(lim

5、)(lim)1(xfxfaxax)()(lim)3(xfxfax 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?) 0)( xf且且定理定理 3.5)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax (洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，在在與與（)()()()2auxfxf二、二、求求. )0(lnlim nxxnx解解原式原式xxnnx1lim1 nxxn lim. 例例3型型 是否能再用洛必達(dá)法則？是否能再用洛必達(dá)法則？不能！不能！3 應(yīng)用洛比達(dá)法則時(shí)應(yīng)用洛比達(dá)法則時(shí), 是通過(guò)分子與分母是通過(guò)分子與分母分別求導(dǎo)數(shù)來(lái)確定未定式的極限，而分別求導(dǎo)數(shù)來(lái)確定未定式的極限，而不是不是求商的導(dǎo)數(shù)求商的導(dǎo)數(shù).注注)()

6、(lim)()(lim xfxfxfxfaxax4 注意洛比達(dá)法則與其它求極限方法的注意洛比達(dá)法則與其它求極限方法的靈活使用靈活使用.例如，例如，xxxxxeeee limxxxxxeeee lim型型 不定不定xxxxxeeee lim而而用洛必達(dá)用洛必達(dá)法則法則111lim22 xxxee( (恒等變形恒等變形) )例例4解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式220tanlim31xxx 22031seclimxxx .31 )0,(tanxxx型型00型型00注注 5 應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)注意化簡(jiǎn)應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)注意化簡(jiǎn).例例5.sin1ta

7、n1lim20 xxxxx 求求解解301tan1limxxxx 30)1tan1()1()tan1(limxxxxxx 30tan(limxxxx )1tan11xx 原式原式恒恒等等變變形形換換小小量量代代等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮21tanlim30 xxxx30tan(limxxxx )1tan11xx 22031seclim21xxx 220tanlim61xxx .61 非非零零因因子子單單獨(dú)獨(dú)求求極極限限洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則注注 6.,)()(lim時(shí)時(shí)，洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效且且不不存存在在 xfxfax例例6下下列列推推導(dǎo)導(dǎo)是是否否正正確確？求求.sin1sinlim20 xxx

8、x解解)(sin)1sin(lim)()(lim200 xxxxfxfxx錯(cuò)錯(cuò)xxxxxxxcos)1(1cos1sin2lim220 也不存在也不存在. .xxxxxcos1)1cos1sin2(lim0 不存在不存在)()(limsin1sinlim020 xfxfxxxxx 正確解正確解: :010sin1sinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx注注 7 對(duì)數(shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則對(duì)數(shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則.如：如：011limlnlim nnnnn .)(lim,),(:)(limaxfaxnaxxaxfnnnnnax 有有系系：數(shù)數(shù)列列極極限限與與函函數(shù)數(shù)極

9、極限限關(guān)關(guān)正確解：正確解：xxxlnlim .0lnlim nnn011lim xx型型 注注 8)(),()()(lim)()(limxfxfxfxfxfxfaxax 中中，在在對(duì)極限變量對(duì)極限變量 x 求導(dǎo)求導(dǎo).例例7.)(2)()(lim20hxfhxfhxfih 存存在在，求求設(shè)設(shè))(xf 型型00解解)( )(2)()(lim20 hxfhxfhxfihhhhxfhxfh20)1()()(lim0 hhxfhxfh)()(lim210 )()()()(lim210hxfhxfhxfhxfh )()()(21xfxfxf 型型00思考思考 下列推導(dǎo)是否正確？下列推導(dǎo)是否正確？)( )(

10、2)()(lim20 hxfhxfhxfihhxfhxfhxfh2)(2)()(lim0 )()()()(lim210hxfhxfhxfhxfh 0)()(21 xfxf不正確不正確，極限變量為，極限變量為h .hhxfhxfih)()(lim210 =1)()(lim210hxfhxfh )()()(21xfxfxf =？不正確不正確.連續(xù)的條件。連續(xù)的條件。沒(méi)有沒(méi)有)(xf 三、其他未定式的極限三、其他未定式的極限關(guān)鍵關(guān)鍵: 將其他類型未定式將其他類型未定式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為洛必達(dá)法則可為洛必達(dá)法則可 解決的類型：解決的類型： 有有5 種：種：,0 .,1,000 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型未未定定

11、式式的的，是是針針對(duì)對(duì) 00其其他他類類型型的的常常見(jiàn)見(jiàn)未未定定式式,00 .對(duì)于其他對(duì)于其他未定式，不能直接使用未定式，不能直接使用. .解決方法解決方法:gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 00 000,1,0 求求).0(lnlim0 xxx解解 原式原式 xxxlnlim0110lim xxx. 0 )(lim0 xx 例例8 型型 0型型 . )tan(seclim2xxx 解解 原式原式)cossincos1(lim2xxxx xxxcossin1lim2 xxxsincoslim2 . 0 求求例例9型型 型型00 求求.)(lnlimln11exxx 解解

12、.e1 例例10yyxxlnlimlneeeelim 原式原式xxyxxln1)ln(lnlimlnlimee xxxx1ln1lime 型型 1型型00,)(lnln11xxy 令令xxln1lime , 1 (方法方法1)(方法方法2)xxxln11e)(lnlim 11ln1e)1(ln1lim xxx1ln xu110)1(lim uuu.e1 求求.)cos1(lim0 xxx 解解0e . 1 例例11)cos1ln(lim0exxx xxx)cos1(lim0 xxxxxx1)cos1ln(lim)cos1ln(lim00 )(cos1(sinlim20 xxxx, 021lim

13、230 xxx型型00型型 .)1(lim1nnn 求求 用洛必達(dá)法則時(shí)用洛必達(dá)法則時(shí), 必須先求必須先求.)1(lim1xxx xxx 12lim, 0 xxx21 11 lim xxx)1ln(lim 例例12型型0 解解)1ln(lim1xxx , 1e)1(lim01 xxx. 1 故原式故原式型型 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則的應(yīng)用洛必達(dá)法則的應(yīng)用 000,1,0 通分通分00 取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)取倒數(shù)取倒數(shù)當(dāng)當(dāng),)()()(lim時(shí)時(shí)不存在不存在 xfxf例如例如,xxxxxsinsinlim xxxcos1cos1lim xxxxxsin1sin1lim . 1 極限不存在極限不存在洛必

14、達(dá)法則失效！洛必達(dá)法則失效！能不能斷言能不能斷言?不不存存在在思考題思考題不能不能! !)()(limxfxfxxxxxsinsinlim 而而解解達(dá)達(dá)法法則則求求型型不不等等式式，可可利利用用洛洛必必本本例例為為00n 21.2)1( nn.1lim21 xnxxxnx求求1lim21 xnxxxnx121lim11 nxnxx 備用題備用題例例2-1xxxxsine4e4lim220 xxxxcose8e8lim220 .16 xxxxcos14e2e2lim220 例例2-2型型00型型00型型00.sin4eelim220 xxxxxx 求求解解 原式原式 求求解解原式原式xnxxn

15、elim1 xnxxnn e)1(lim22 . )0, n(elim nxxnx例例3-1 xnxn e!lim . 0 型型 型型 型型 . 1112 xxxxcosseclim20 xxxxxxsintansec2lim0 .cossec)1ln(lim20 xxxx 求求0lim xx2xxtansec)sin(x 例例4-1型型00原式原式解解等價(jià)無(wú)窮小代換等價(jià)無(wú)窮小代換令令,12xy 則則yyy elim50原式原式 =yyyelim50 . 0 yyye50lim49 .elim100102xxx 求求yye!50lim 例例4-2型型 解解解解無(wú)無(wú)窮窮小小代代換換”法法型型不不

16、等等式式，選選用用“等等價(jià)價(jià)這這是是00例例4-3比較簡(jiǎn)單比較簡(jiǎn)單. .,;, 1;, 0nmnmnm當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)).,()(sinarctanlim0為整數(shù)為整數(shù)求求nmxxnmxnmxxx0lim nmxx 0lim原式原式解解.sincossinlim222220 xxxxxx 求求等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小量量代代換換例例5-1xxxxxx222220sincossinlim 42220cossinlimxxxxx 恒恒等等變變形形40)cos)(sincos(sinlimxxxxxxxx 型型00.32 300cossinlim)cos(sinlimxxxxxxxxxx 203sincos

17、coslim2xxxxxx xxxsinlim320 洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則非非零零因因子子單單獨(dú)獨(dú)求求極極限限30cossinlim2xxxxx .sine2e2eelim2220 xxxxxxxxx 求求3002e2elim.elimxxxxxxxx 203e21eelimxxxxxx xxxxxx6e2e2elim0 .616elim0 xx例例5-2等價(jià)無(wú)窮小量代換等價(jià)無(wú)窮小量代換非零因子單獨(dú)求極限非零因子單獨(dú)求極限洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則解解 原式原式型型00型型00例例5-3.sin3arcsinlim320 xxxxx 求求xxxxxx3020sinarcsinlim31lim 原原式

18、式解解30arcsinlim31xxxx 2203111lim31xxx 型型00型型00非非零零因因子子單單獨(dú)獨(dú)求求極極限限等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小量量代代換換洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型00 xxxx6)1(lim312320 361 2203111lim31xxx 型型00解解例例8-1).1sin1(lim2xxxx 求極限求極限211sin1limxxxx 原式原式=倒倒代代換換）（令令,1tx 20sin11limtttt 30sinlimtttt 203cos1limttt ttt6sinlim0 .61 型型 0型型00例例8-2. 1, 0),(lim211 aaaannnn其其中中

19、常常數(shù)數(shù)求求極極限限：解解xaaaaxxxxxxx1lim)(lim221111 )00(taatttxt201lim )00(12)(lnlnlim20taaaattt aln .ln)(lim211aaannnn 解解例例9-1).11ln(lim2xxxx 求求tx 11.21 原式原式ln)1(111lim21tttt 21)1(ln1lim tttt)1(211lim1 ttt21lim21tt (方法方法1)型型 型型00(方法方法2).21 )11ln(lim2xxxx tx 1)1ln(11lim20tttt 20)1ln(limtttt ttt2111lim0 )1(21li

20、m0tt 型型 型型00解解).1(lim323xxxxx 求求xt1 令令例例9-2原式原式=)11111(lim332 xxxxxxxxxx111111lim332 ttttx11lim3320 型型 1)321()1(31lim232032tttttx 型型00.31 解解有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf, 0)(lim0 xxfx, 4)0( f例例10-1.)(1lim10 xxxfx 求求xxxfx1)(1lim0 .e)(1ln(1lim0 xxfxx ，由于由于0)(lim0 xxfx因此因此xxxfx)(1ln(lim0 xxxfx)(lim0 且且型型 1

21、型型00.)(lim20 xxfx 在在點(diǎn)點(diǎn)因因此此)(xf有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，由由于于函函數(shù)數(shù))(xf,0處處連連續(xù)續(xù) x0)(lim0 xxfx0)(lim0 xfx從而從而. 0)0( f, 2 .e2 故故原原式式xxfx)(lim0 xfxfx)0()(lim0 20)(limxxfxxxfx2)(lim0 2)(lim0 xfx ).0(f 例例10-2.00,e0,e)1()(2111處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)討討論論 xxxxxfxx解解 )0(f xxxx110e)1(lime)1 (ln1lim10 xxxx 而而)00(xxxx1)1ln(lim10 e1)1(l