高等數(shù)學(xué)(電子版)

1、、函數(shù)與極限 21、集合的概念 22、常量與變量 32、函數(shù) 43、函數(shù)的簡單性態(tài) 44、反函數(shù) 55、復(fù)合函數(shù) 66、初等函數(shù) 67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 78、數(shù)列的極限 89、函數(shù)的極限 910、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 11一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母 A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A,記作：

2、aGA,否則就說a不屬于A,記作：a A。、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作 N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作 Q。、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作Ro集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“ ”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說 A 、 B 有包含關(guān)系，稱集合A 為集合 B 的子集，記作A B （或 B A ）。相等：如

3、何集合 A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合 A中的元素與集合B中 的元素完全一樣，因此集合 A與集合B相等，記作A = Bo、真子集：如何集合 A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于 B但不屬于A,我們稱集合A是集合 B 的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A a、對(duì)于集合 A、B、C,如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算、并集：一般地，由所有屬于集合

4、A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為 A與B的并集。記作AUBo （在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 AUB= x|xGA,或 xGB。、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為 A與B的交集。記作An Bo即 AHB= x|xGA,且 xGB。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作 U 。補(bǔ)集： 對(duì)于一個(gè)集合 A ， 由全集 U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡稱為集合 A 的補(bǔ)集，記作CUA 。即 CuA= x|x G U ,且 x A。集合中元

5、素的個(gè)數(shù)、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如 A= a,b,c,則card(A)=3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A n B)我的問題：1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè) A= x|x是參加一百米跑的同學(xué),B= x|x是參加二百米跑的同學(xué),C=x|x是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的 運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、 AUB;、AHBo2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合 C = (x,y)|y

6、=x表示直線y=x,從這個(gè)角度看，集合 D=(x,y)|方程組： 2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合 C、D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合 A=x|1 <x<3, B = x|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù) a使A =B成立？4、對(duì)于有限集合A、B、C,能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A= 1, 2, 3, 4,，n, B= 2, 4, 6, 8,，2n,，你能設(shè)計(jì)一種比較 這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？2、常量與變量、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，

7、常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為 變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我 們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用 區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a< x< ba , b.1Ah X開區(qū)間a<x< b(a, b)b)-J>A半開區(qū)間a<x< b 或 a<x<

8、; b(a, b或a , b)-J&bj1kb戈a, b)iIb ? J以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a, +»)：表示不小于 a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：si< x<+»；(-00, b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-8<x<b；(- 8, +°°)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-OO<x<”注：其中-8和”，分另讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大"，它們不是數(shù)，僅僅是記號(hào)。、鄰域：設(shè)a與S是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 S >0.滿足不等式k - a 1 &l

9、t; S的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)a的6鄰域，點(diǎn)a稱為此鄰域的中心，6 稱為此鄰域的半徑。2、函數(shù)、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱 y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè) 函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y 叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè) 函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用 記號(hào)y=f（x）、y=F（x）等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即 函數(shù)關(guān)系，它們是可以 任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函

10、數(shù)只有一個(gè)確定的值和它 對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng) 關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。、域函數(shù)的表示方法a）：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2b）：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c

11、）:圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表 示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡單性態(tài)、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有1 f（x） <M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān) 的常數(shù)，那么我們就稱 f（x）在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在（-8,+ 8）內(nèi)是有界的.、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)/（門在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)xi 及x2,當(dāng)xvx2時(shí)，有力:工J </（心），則稱函數(shù)/

12、在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)（"）在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而減小,即：對(duì)于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)xi及x2,當(dāng)xi<x2時(shí)，有>“工七 則稱函數(shù) 在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減小 的。例題：函數(shù)a=x2在區(qū)間（-8,0）上是單調(diào)減小的，在區(qū)間（0,+8）上是單調(diào)增加的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)了（元）對(duì)于定義域內(nèi)的任意 x都滿足 /（一幻=/（力，則了。）叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)/（'）對(duì)于定義域內(nèi)的任意 x都滿足*f）=，則/叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)丁 W ,若存在一個(gè)不為零的數(shù)1 ,使得關(guān)系

13、式 小+£）="工）對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則手 叫做周期函數(shù)，1是）（工）的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)州工是以2天為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx是以無為周期的周期函數(shù)。4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義： 設(shè)有函數(shù)尸=,若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值 y0時(shí)，變量x在函數(shù)的 定義域內(nèi)必'有一值 次與之對(duì)應(yīng)，即/（工口）,那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用X二式川）來表 示，稱為函數(shù)）= /（“）的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)V 二/工）也是函數(shù)工二成力的反函數(shù)。、反函數(shù)的存在定理：若，=（芯）在（a , b）上嚴(yán)格增（減），其值域?yàn)?

14、R,則它的反函數(shù)必然在 R 上確定，且嚴(yán)格增（減）.注：嚴(yán)格增（減）即是單調(diào)增（減）26例題：y=x2,其定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)?,+ 8）.對(duì)于y取定的非負(fù)值，可求得x=± 3'.若我們不 加條件，由y的值就不能唯一確定 x的值，也就是在區(qū)間（-8,+8）上，函數(shù)不是嚴(yán)格增（減），故其沒有反 函數(shù)。如果我們加上條件，要求 x>0,則對(duì)y>0> x="尸就是y=x2在要求x>0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù) 在此要求下嚴(yán)格增（減）.、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，=/與"但）的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。例題：函數(shù)A = *與函數(shù)

15、y = 嘮”互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示:5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：尸=但），而u又是x的函數(shù)：=,且伊（工）的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)，=/日）及"二中（工）復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作 .二力武切 ,其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)刀=01cM ”與函數(shù)=2 +工是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于 廿=2+X。的定義域（-8,+ 8）中的任何 x值所對(duì)應(yīng)的 u值（都大于或等于2）,使產(chǎn)函

16、期口都沒有定義。6、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)： 我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:函 數(shù) 名 稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指 數(shù) 函 數(shù)y - &'(4& u h 1)JX>iVa）:不論x為何值,y總為正數(shù)； b）:當(dāng) x=0 時(shí),y=1.對(duì) 數(shù) 函 數(shù)1y 二臉工UH。3- /出才a）:其圖形總位于y軸右側(cè)，并過（1,0）點(diǎn)b）:當(dāng)a>1時(shí)，在區(qū)間（0,1）的值為 負(fù)；在區(qū)間（ ,+ 8）的值為正；在定義 域內(nèi)單調(diào)增.嘉 函 數(shù)-V = 7 a為任意實(shí)數(shù)令 a=m/

17、na):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，y是偶函 數(shù)；b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)； c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-8,0)無意 義.|o 1L這里只畫出部分函數(shù)圖形的一 部分。角尸=5及，正弦函數(shù))a):正弦函數(shù)是以2元為周期的周期 函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且V = sin x函 數(shù)這里只寫出了正弦函數(shù)sin < 1-1反角 函 數(shù)y = arcsinx(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)1a):由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我 們此函數(shù)值限制在-無/2,無上, 并稱其為反正弦函數(shù)的主值.i°1|、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一

18、個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：y二產(chǎn)+皿次，+3 -2切是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲余弦雙曲正 弦a)：其定義域?yàn)椋?-8,+8)；b):是奇函數(shù)；c):在定義域內(nèi)是單調(diào)增a)：其定義域?yàn)?(-8,+8)；b):是偶函數(shù)；c):其圖像過點(diǎn)(0,1);a）：其定義域?yàn)椋海?8,+8）；b）:是奇函數(shù)；c）:其圖形夾在水平直線 y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別:雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)地。=0/A0 = 1/A0 二。sin 0

19、 = Orcos 0 = 1, tan 0 = 0shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)chx.- 1sin 3 tH- cosa x - 1它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式:£九（工土 廠）=shxchy_ 、 出土出比 上用=r±thxthy、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù) .a）:反雙曲正弦函數(shù)W曲二皿式+J儲(chǔ)+】）其定義域?yàn)椋海?R+8）;心雙曲人西系和即品工二ln（工+ 1）苴城為b）：反雙曲余弦函數(shù)、'，其JE乂域?yàn)椋?,+ 8）;.1 , 1 十 K= Inc）：反雙曲正切函數(shù)2

20、 1走其定義域?yàn)椋海?i,+i）；8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a,第二個(gè)數(shù)a2,，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù) a、那末，我們稱這列有次序的數(shù) ai, a?,，a、為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù) 叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=（*）,它的定義域是全體正整數(shù)、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A;再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積

21、記為再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A;依次循下去（一般把內(nèi)接正6X2n-1邊形的面積記為 A）可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積： A, A2, A,，An,，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正 多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)， An也無限接近某一確定的數(shù)值（圓的面積），這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù) 列A, A A ，An,當(dāng)n-8 （讀作n趨近于無窮大）的極限。注：上面這個(gè)例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽 （公元三世紀(jì)）的割圓術(shù)。、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列 天/來說，若存在任意給定的正數(shù) £ （不論其多么 ?。偞嬖谡麛?shù)N,使得對(duì)于n>N時(shí)的一切工鵬不等式上一&quo

22、t;卜"都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列又制 的極限，或者稱數(shù)列/收斂于a .“ 如人二，/ 一曰S T記作：花To或M注：此定義中的正數(shù)£只有任意給定，不等式后才能表達(dá)出天制與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù) £是有關(guān)的，它是隨著 £的給定而選定的。、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列 4極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列工并/產(chǎn)'q1 在數(shù)軸上用它 們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的£鄰域即開區(qū)間（a- £, a+e）,如下圖所

23、示：2ga-c- a -a+c4 >T->_ - If* *4 fp-用 mum曲4題+a都x因不等式區(qū)"卜4與不等式"久/<奇+ £等價(jià)，故當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)馬都落在開區(qū) 間（a- £, a+e）內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有N個(gè)）在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。才T7jr、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列 再,若存在著正數(shù) M,使得一切 花都滿足不等式|n 0M則稱數(shù)列R是有界的,若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列 m是無界的定理：若數(shù)列矛收斂，那末數(shù)列 外.一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)

24、列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1 ,-1 , 1, -1 ,，（-1），是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1-8內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a）:自變量無限增大；b）:自變量無限接近某一定點(diǎn) 刈，如果在這時(shí)，函數(shù) 值無限接近于某一常數(shù) A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況， 那么函數(shù)的極限如何呢下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念！、函數(shù)的極限（分兩種情況）a）:自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)

25、的極限定義：設(shè)函數(shù)二）,若對(duì)于任意給定的正數(shù) £ （不論其多么?。?，總存在著正數(shù)X,使得對(duì)于適合不等式A.'的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 /都滿足不等式I/O）一 達(dá)R Ev 一 /fzlim = A那末常數(shù)A就叫做函數(shù)V-八打當(dāng)x-8時(shí)的極限，記作：''下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？ ？試思考之b）：自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子.丁八尸1手（牙）例：函數(shù)工- 1 ,當(dāng)x-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x-1時(shí)函

26、數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出如下圖：x -og o 99 ggg111 -* 1 aoi 1 01 11 fOOp'1.9 1 gg 1 999 ,+- h| *- 2 001 2 01*從中我們可以看出x-1時(shí)，/5）-2.而且只要x與1有多接近，/（工）就與2有多接近.或說：只 要/（工）與2只差一個(gè)微量£ ,就一定可以找到一個(gè) S ,當(dāng)卜一< s時(shí)滿足|/（同一 2 < s定義：設(shè) 函數(shù)J （工）在某點(diǎn)兒的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù) A,如果對(duì)任意給定的 £ （不論其多么小），總存 在正數(shù)S ,當(dāng)0V卜一鼎時(shí)，l/oo-H< £則稱函

27、數(shù)/ 5）當(dāng)x-X 0時(shí)存在極限，且極限為 A,lim. /。）= A記：-o注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻揦-X0的過程，與X=X0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題 是：對(duì)給出的£ ,是否存在正數(shù) 6,使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A,其證明方法是怎樣的呢 ？a）:先任取£ > 0;b）：寫出不等式一國< £ ;c）：解不等式能否得出去心鄰域 0<卜./,若能；d）:則對(duì)于任給的£>0,總能找出S,當(dāng)0<卜一/1<6時(shí)，V（亮）一成立，因此Im

28、i /（j;） - ANT飛10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知xf 0（或xi）時(shí),，T凡虱二TB.lini （力 ± 式域）-A±B lani /（x） -AB則： .h LHm 以包= 4.3。）x” gO） BInn上,，=El 為常物 lim /黑二月，【成為正整數(shù)）推論：'L'1-在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。3工二十x -1加一=-三例題：求工+工一工+3/2_1_丁

29、_1litu 3x2 H-lim r lim 1q , i _ i o島 與+-1= zE e =1十11=:*fl 4x*一 m + 3 lim +界"一li» 工+ljm 3 4+1- 1 + 3 7 解答：,.，,- -Inn 例題：求知十2此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母 都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)

30、則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個(gè)例子：-L / <。£gjl -q0,K = 0例：符號(hào)函數(shù)為LQ °對(duì)于這個(gè)分段函數(shù)，x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概 念。定義：如果x僅從左側(cè)（X<X0）趨近X0時(shí)，函數(shù)/1X）與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)/（X）當(dāng)工T 而Inn（工）=A時(shí)的左極限.記：*3如果x僅從右側(cè)（x >X0）趨近X0時(shí)，函數(shù)/（用與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)J 5）當(dāng)無T /時(shí)蝎*力幻二乂的右極限.記：注：只有當(dāng)X-X0時(shí)，函數(shù)/ （"）的左、右極限存在且相等，方稱

31、J （工）在X-X0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)的一切 x, X0點(diǎn)本身可以除外（或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x）有式0，“貼），且吧產(chǎn)二工吧內(nèi)）5hm 工）那末E。 存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限一：一 X注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045 ” sin n一hm = 1二：人注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們g（1-/例題：求I-' 工解答：令 2 ,則x=-2t ,因?yàn)閄f8

32、,故tf8,2111lim （1-）* = lim （1 + =hm 0+= hm （l + -）?-a =則.二,'一注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時(shí)，若用t代換1/X,則t-0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：上，、I/=_8我們把這種情況稱為趨向無窮大。為已知函數(shù)工，當(dāng)X-0時(shí)，可知八"此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù) y=JX,在x=X0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N（一個(gè)任意大的數(shù)），總可找到正數(shù) 6,當(dāng)T1口時(shí)為無窮大量L/（乃 加十、m 工”將 JZ01 時(shí)，I'尸 成立，則稱函數(shù)當(dāng)lim記為：（表示為無

33、窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng) x-8時(shí)，J【2無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù) y=/5）,當(dāng)x充分大時(shí)有定義， 對(duì)于任意給定的正數(shù) N（一個(gè)任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù) Ml當(dāng)卜卜時(shí)，匕（工）戶”成立，則稱函lim J （工）=co數(shù)當(dāng)X-8時(shí)是無窮大量，記為： 心0無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)/（/），對(duì)于任意給定的正數(shù) £ （不論它多么?。?，總存在正數(shù)6（或正數(shù)M）,使得對(duì) 于適合不等式卜-而K 口（或卜"）的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式/標(biāo)七，則稱函 數(shù)J （工）當(dāng)其T工。（或X-8）時(shí)為無窮小量.血 /= 0111n /= 0

34、記作： ktXq（或 X-0）注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)/（用在/ T工口（或X-8）時(shí)有極限A,則差/（工）一月=出外是當(dāng)工f 丁0 （或 X-8）時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a）:有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b）:有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c）:常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積

35、仍舊是無窮小.那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義：設(shè)a , 0者B是克工口時(shí)的無窮小量，且 0在人的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，lim = 0a）:如果# ，則稱”是0的高階無窮小或0是a的低階無窮??；lim = e 0b）:如果一。B,則稱a和0是同階無窮小；lim -1c）:如果i 5,則稱a和3是等價(jià)無窮小，記作：”S0 （a與0等價(jià)）lim =例：因?yàn)?3益 3,所以當(dāng)x-0時(shí)，x與3x是同階無窮小;11m0因?yàn)?E 泰一,所以當(dāng)x-0時(shí)，x2是3x的高階無窮??；因?yàn)?X ,所以當(dāng)x-0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮

36、小的性質(zhì). ar. a . c/- lim-lim-=lmi -設(shè)aS a , / S# ,且 g存在，則 S Z?f .注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可 以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。sin axkm 例題:1,求X tan及sin 1齊 y ax abm ； = hm 二解答:當(dāng) x-0 時(shí)，sin axsax, tanbxs bx,故：tan bx 3K 力t tan 2l - sinInn 例題:2.求11匕再tan x siti Jr tan x(l cos x)')1lim；= hm；-= hm =一解答: tan

37、3x z tan 3 向 (3a)3541- ce>s x - 2 sin ° 色 s 2-(£產(chǎn)=注：一 一 一注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，*t物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念一一增量設(shè)變量x從它的一個(gè)初值xi變到終值x2,終值與初值的差x2-x 1就叫做變量x的增量，記為：*即： x=x2-xi增量 *可正可負(fù).我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù) '一'(工在點(diǎn)

38、xo的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x在領(lǐng)域內(nèi)從xo變到xo+Ax時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從/優(yōu))變到了(% +4© ,其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：0寶0。事現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)*趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量Ay也趨向于零，即:lim Ay = 0那末就稱函數(shù)y=x5）在點(diǎn)近處連續(xù)函數(shù)連續(xù)性的定義:設(shè)函數(shù)A = /a）在點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有研 /W=/Co）*力而稱函數(shù)，二/（幻在點(diǎn)X0處連續(xù)，且稱X0為函數(shù)的=/（工）的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下 函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù),（工）在區(qū)間（a,b，即： .1- 二 L

39、,那末我們就稱函數(shù)4二lim于小如果右極限足釗 存在且等于，即：a右連續(xù).連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間lim f（x）/ 小內(nèi)有定義，如果左極限E-。存在且等于八門在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)75）在區(qū)間a,b）內(nèi)有定義，4-0' ,那末我們就稱函數(shù)/在點(diǎn)一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則為在（a,b）a , b連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù)注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情

40、形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).它包括三種情形：a） :/在X0無定義；b） : 丁在X- x 0時(shí)無極限；c）：在x-x0時(shí)有極限但不等于I凡）;下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：布砥X 工例1：正切函數(shù)”施工在2處沒有定義，所以點(diǎn) 2是函數(shù)方=施工的間斷點(diǎn)，因lim tan x = oo/nrX F,我們就稱2為函數(shù)1y二tan工的無窮間斷點(diǎn)；1p = sin 例2:函數(shù)五在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次，我1p = sin 們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)式的振蕩間斷點(diǎn)；“工-Lx&l

41、t;0y （xj = * （X x = ov +1 T>nlim f（x） = -1 Um /= 1例3:函數(shù)L" * .'當(dāng)xfo時(shí)，左極限而TO,右極限,從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下：間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果近是函數(shù)/（工）的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)J （工）的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)f出）婀/（大）

42、/ 若京是函數(shù)了 的間斷點(diǎn)，但極限tt辦存在，那末次是函數(shù)/的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函 數(shù)不連續(xù)原因是：八助不存在或者是存在但期/&）。我們令八幾戶現(xiàn)了，則 可使函數(shù)在點(diǎn)xo處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn) W稱為可去間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a）:有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b）:有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c）：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)1y=了a）在某區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）

43、且連續(xù)，那末它的反函數(shù)月二心也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 上單調(diào)增（單調(diào)減）且連續(xù)例：函數(shù)A = E1n K在閉區(qū)間 2 2上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù),=選匚sm工在閉區(qū)間-1,1上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性_、lain儼=a_ 工設(shè)函數(shù)”一町I個(gè)當(dāng)X-X0時(shí)的極限存在且等于a,即：Eq.而函數(shù)町在點(diǎn)u=av_證力火力二（G連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)刀一八叭?川當(dāng)x-近時(shí)的極限也存在且等于,即：eqlun cosfl + 鏟例題：求10Ilim COsH-F = coslim n + xV = COSS解答：一 L' -IJ12注：函數(shù)卅=8m+幻可看作尸二匚g遼與修=（l+»5復(fù)合而

44、成，且函數(shù)A 二 8四在點(diǎn)u=e 連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)”=好（外在點(diǎn)X=X0連續(xù)，且雙為”附，而函數(shù)N =S在點(diǎn)u=U0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)，=1）在點(diǎn)x=X0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的； 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下： 最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不彳證明）例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間0 , 2無上連續(xù)，則

45、在點(diǎn)x=%/2處，它的函數(shù)值為1 ,且大于I區(qū)間0 ,2nt上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn) x=3無/2處，它的函數(shù)值為-1,且小于閉區(qū)間0, 2無上其它各點(diǎn)出的函 數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：（=Ct /（功=£，”在a、0之間，則在a , b間一定有一個(gè)z ,使/® = H 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，1=/（工）,求質(zhì)點(diǎn)在3的瞬時(shí)速度？我

46、們知道時(shí)間從 t0有增 量時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 k =也）,這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段At的位移。因止匕，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：&E,若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在壓的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段At無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在10時(shí)的瞬時(shí)速度 r f（/o + AO小 k tai ;= lim=3&ar" 人為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)？二,（工）在點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x在X0處有增量xlx+x也 在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量

47、切=/（%+&）7（1口）,若勺與心之比當(dāng)時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為小二,在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：'f還可記為：上23 , 丁?？冢┖瘮?shù) H 在點(diǎn)xo處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù) / 在點(diǎn)x0處可導(dǎo),否則不可導(dǎo)。若函數(shù),（X）在區(qū)間（a,b） 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù) 丁°）在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)' = /（'）對(duì)于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個(gè)確 定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)， 這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù) V = /（工）的 導(dǎo)函數(shù)。注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出

48、左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限 “必.Ax存在，我們就稱它為函數(shù)丫 ='在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限wd Ax存在，我們就稱它為 函數(shù)A = / （工）在X=X0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)尸二（K）在X0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù) y = f（X）在X0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差）.用公式可寫為： 例士仍'二±3。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。下二工+ / +7 f例題：已知 工，求F爐=（1）'+（一）'十°） 二一5"+5X4 +0=-+54解答：&#

49、39;例題：已知"弱工-kgd+1，求V爐二（sin x）1 Qog r / + Q 上 二 cos 工, -5 十 第解答：!函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可百成.（時(shí)二M例題：已知尸§加元+日/,求V解答：】一 一一一一：3-. .:一 一,函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：''' ' ''''例題：已知/(x)r =

50、 (,£) "in x 十 五(sin x)r = sin x + 五cos x解答：,注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：例題：已知JU)二碗匕求'解答：,sin x(sin 勸匕口5工一 win 工cosa j +sin a x 1/w = a 以= q)= -T-=y=一COSXC0£ XCOS 工 COS 7復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子！例題：求(而=?解答：由于(曲工)&#

51、39;=C0SA,故1 2工)f = cos2x這個(gè)解答正確嗎？這個(gè)解答是錯(cuò)誤的， 正確的解答 應(yīng)該如下：(sin 2歲 =(2 sin. jcos 寸 =2(sin x)fcosjt + sin i(cos x)f= 2cos 2工我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是 1出2工)是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的 導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：力心檢擊 4d工，其中u為中間變量亦 r例題：已知» 51n。求心解答：設(shè)遼二池萬，則，二加工可分解為,口二加入因此=- = (u

52、3)?sin x)f = cost = 2 sin xcost = sin 2x dx da dx注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。無例題：已知y =必汕工，求去dy .f1.cosk=(In sin jt) =(sm x) = =cot x解答：一:一 .'二一反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù) y=/（）為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù) 工=wU）,它也是單調(diào)連續(xù)的為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下（我們以定理的形式給出）：定理：若方=孤是單調(diào)連續(xù)的，且 就負(fù)W°,則它的反函數(shù)y = 在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有:1注:通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn):反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

53、注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對(duì)它作記號(hào)變換即：軻是對(duì)y求導(dǎo)，/G）是Kx求導(dǎo)例題：求y = arc sin工的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為 工=sin尸，故芯'=則：,11 1 1k，cosy Jjin ” y J1 一爐例題：求y = arctan f的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為工=tany,故M = 5。/y則:,1111y -/ sec2 y 1+tan3y 1 + x2高階導(dǎo)數(shù)dsp =我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v（t）是位置函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： d£ ,dv d （dC0=而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t

54、的導(dǎo)數(shù)：出 出1或人或次=（£丫d （港、這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)1沒J叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義:定義：函數(shù)V = /（"）的導(dǎo)數(shù)V二尸仍然是x的函數(shù).我們把V=/（幻的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)d2yd_ _ d 作、的二階導(dǎo)數(shù)，記作/或d# ,即：/ = 3')'或投右而J,相應(yīng)地，把1y =/(工)的導(dǎo)數(shù) /=/fW叫做函數(shù) >=/5)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：2，*或加,加,，au二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱 高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就

55、是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階 導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知二其+匕，求解答：因?yàn)椤?=a，故V"=0例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)少二必(1 +工)的n階導(dǎo)數(shù)。141 nr 1,2J4；112 1 3J J V V 爐 J 解答：'一T77,("力("療，。+以，一般地，可得1 1 ' 1隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx ,y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫 顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程 F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了 x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式， 叫做隱函數(shù)的 顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來解決這個(gè)問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0 ,求 改 時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a