結(jié)構(gòu)力學(xué)(I)-03結(jié)構(gòu)靜力分析篇(位移計(jì)算)@@

1、第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院1 / 87HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院2 / 87第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院3 / 871、桿系結(jié)構(gòu)的位移桿系結(jié)構(gòu)的位移桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會(huì)產(chǎn)生變形和位移。桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會(huì)產(chǎn)生變形和位移。 變形變形 是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變；是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變； 位移位移 是指結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)位置產(chǎn)生的變位是指結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)位置產(chǎn)生的變位 線位移（位置移動(dòng)

2、）線位移（位置移動(dòng)） 角位移（截面轉(zhuǎn)動(dòng)）。角位移（截面轉(zhuǎn)動(dòng)）。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院4 / 87形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移 Ay Ax AAAB Ax Bx AB= Ax+ BxAAB無論是線位移還是角位移，無論絕對(duì)無論是線位移還是角位移，無論絕對(duì)位移還是相對(duì)位移統(tǒng)稱位移還是相對(duì)位移統(tǒng)稱廣義位移廣義位移( (Generalized displacement) )。絕對(duì)位移絕對(duì)位移相對(duì)位移相對(duì)位移第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院5 / 872 2 產(chǎn)生位移的

3、原因產(chǎn)生位移的原因荷載作用荷載作用引起材料應(yīng)變，從而產(chǎn)生位移引起材料應(yīng)變，從而產(chǎn)生位移00溫度變化溫度變化引起材料的熱脹冷縮，從而產(chǎn)生位移引起材料的熱脹冷縮，從而產(chǎn)生位移00支座沉降支座沉降剛體位移剛體位移0000？內(nèi)力內(nèi)力 應(yīng)變應(yīng)變 位移位移應(yīng)變應(yīng)變 位移位移第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院6 / 873 3 位移計(jì)算的目的位移計(jì)算的目的(1) (1) 結(jié)構(gòu)剛度驗(yàn)算的要求。結(jié)構(gòu)剛度驗(yàn)算的要求。吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。最大層間位高度。最大層間位移移 1/800

4、層高層高(3) (3) 為分析超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算、動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)為分析超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算、動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算打基礎(chǔ)算打基礎(chǔ). .(2) (2) 施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中往施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施工措施工措施; ; 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院7 / 874 4 體系特征假定體系特征假定(3) (3) 理想聯(lián)結(jié)理想聯(lián)結(jié) ( (Ideal Constraint) )（principle of superposition)(1) (1) 線彈性線彈性

5、 ( (Linear Elastic) )(2) (2) 小變形小變形 ( (Small Deformation) )可以利用虛功概念計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院8 / 871 1 功的概念功的概念功功(Work)(Work)：是能量變化的度量。用定量形式表述：是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程上對(duì)物體作用的效果了力在其作用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程上對(duì)物體作用的效果功功 = = 力力力作用點(diǎn)沿力方向上的位移力作用點(diǎn)沿力方向上的位移FW P 理解為廣義力理解為廣義力( (Generalized force););PF相應(yīng)的廣

6、義位移相應(yīng)的廣義位移( (Generalized displacement) )；廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院9 / 87(Real Work)力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功(1) 常力作功常力作功SFP cosSFW P(2) 變力作功變力作功FPyFyFFWddddPPP )(PP21dFWW y（力與位移有因果關(guān)系）（力與位移有因果關(guān)系）ydO第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院10 / 87虛功虛功

7、( (Virtual Work) ) ：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功作的功（力與位移相互獨(dú)立）（力與位移相互獨(dú)立）121P12FW FP11112FP222（此過程力保持為常量）（此過程力保持為常量）虛功具體有兩種情況：虛功具體有兩種情況： 1 作功雙方其一是虛設(shè)的；作功雙方其一是虛設(shè)的； 2 作功雙方均是實(shí)際存在的，但彼此無關(guān)。作功雙方均是實(shí)際存在的，但彼此無關(guān)。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院11 / 87注意：定義定義“功功”時(shí)對(duì)產(chǎn)生位移的原因沒有給予限時(shí)對(duì)產(chǎn)生位移的原因沒有給予限制，作功的兩個(gè)要素中，若力在其自

8、身引起制，作功的兩個(gè)要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則稱的位移上作功，則稱實(shí)功實(shí)功；若力在與其他原；若力在與其他原因引起的位移上作功，則稱因引起的位移上作功，則稱虛功虛功；為便于功的計(jì)算引入廣義力和廣義位移的概念：為便于功的計(jì)算引入廣義力和廣義位移的概念：1. 凡與力相關(guān)的因子均稱凡與力相關(guān)的因子均稱廣義力廣義力（如集中力、（如集中力、分布力，力偶等）分布力，力偶等）2. 凡與位移相關(guān)的因子均稱凡與位移相關(guān)的因子均稱廣義位移廣義位移（如線（如線位移、角位移等）位移、角位移等）第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院12 / 87作功的廣義力可以是單個(gè)力

9、，也可以是力系；作功的廣義力可以是單個(gè)力，也可以是力系；未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變形稱的微小變形稱虛變形虛變形。虛變形是合理的，但。虛變形是合理的，但不一定是真實(shí)的。虛變形各種各樣，但在某不一定是真實(shí)的。虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真實(shí)變形卻是確定的，真實(shí)一原因作用下的真實(shí)變形卻是確定的，真實(shí)變形是虛變形中的一個(gè)。變形是虛變形中的一個(gè)。廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必須具有功的量綱。乘積必須具有功的量綱。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院

10、13 / 872 2 虛功原理虛功原理（1 1）剛體系的虛功原理）剛體系的虛功原理剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有主動(dòng)力何可能的虛位移，作用于剛體系的所有主動(dòng)力所做虛功之和為零。所做虛功之和為零。（2 2）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛變形時(shí)，外力在相應(yīng)虛位移上所作的總一個(gè)虛變形時(shí)，外力在相應(yīng)虛位移上所作的總虛功虛功 We恒等于變形體各微段恒等于變形體各微段內(nèi)力內(nèi)力在微段在微段變形變形上作的虛功之和上作的虛功之和 Wi i。

11、也即恒有如下虛功方程成立：也即恒有如下虛功方程成立： We = Wi第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院14 / 87變形體虛功原理的必要性證明變形體虛功原理的必要性證明: :FNM+dMMqd dd剛體位移變形力狀態(tài)力狀態(tài)（滿足平衡條件）（滿足平衡條件）位移狀態(tài)位移狀態(tài)（滿足約束條件）（滿足約束條件）FN dFNFQFQ dFQ第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院15 / 87 按外力虛功和內(nèi)力虛功計(jì)算按外力虛功和內(nèi)力虛功計(jì)算微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段外力虛功微段外力虛功 + + 微段內(nèi)力虛功微段內(nèi)力

12、虛功所以所以由于變形連續(xù)及相鄰內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系由于變形連續(xù)及相鄰內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系d Wz=d We+d Wi Wz= We+ Wi Wz= We Wi = 0第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院16 / 87 按剛體虛功和變形虛功計(jì)算按剛體虛功和變形虛功計(jì)算微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段剛體虛功微段剛體虛功 + + 微段變形虛功微段變形虛功所以所以基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理d Wz= d Wg+d Wid WZ = d Wid Wg = 0 Wz = Wi故有故有 Wz= We Wi第三章第三章

13、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院17 / 87對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有:虛功方程虛功方程iNQddddWMFF dddQNFFM內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力總虛功內(nèi)力總虛功 dddQNiFFMWsqPWiijiiidqP e外力總虛功外力總虛功sqPiijiiidqP ieWW 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院18 / 87 力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；“虛虛”僅僅表明作功雙方是相互獨(dú)立的。當(dāng)一僅僅表明作功雙方是相互獨(dú)立的。當(dāng)一方是真實(shí)的時(shí)候，另

14、一方即可按要求假設(shè)。方是真實(shí)的時(shí)候，另一方即可按要求假設(shè)。 當(dāng)體系沒有變形時(shí)當(dāng)體系沒有變形時(shí)Wi= 0 ,即即 We= 0。說說明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例; ;原理說明：第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院19 / 87從變形類型看從變形類型看：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪切變形；伸和剪切變形； 虛功原理的虛功原理的結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在：結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在： 從變形因素看從變形因素看：即可以考慮荷載作用引起的位移，：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考慮溫度改變和

15、支座移動(dòng)引起也可考慮溫度改變和支座移動(dòng)引起的位移；的位移；從結(jié)構(gòu)類型看從結(jié)構(gòu)類型看：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)；定結(jié)構(gòu)；從材料性質(zhì)看從材料性質(zhì)看：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。彈性結(jié)構(gòu)。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院20 / 87由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理可有兩個(gè)方面的應(yīng)用：由此原理可有兩個(gè)方面的應(yīng)用： 虛功方程同時(shí)應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，虛功方程同時(shí)應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，因此方程是即可

16、用來代替幾何方程，又可代替平因此方程是即可用來代替幾何方程，又可代替平衡方程的綜合方程。衡方程的綜合方程。 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解位移分析化為平衡問題來求解。 虛力原理虛力原理 實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解平衡問題化為幾何問題來求解。 虛位移原理虛位移原理第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院21 / 87例例. . 求簡支梁端的支座求簡支梁端的支座B的反力的反力FBy 。

17、FPalABFBy待分析平衡待分析平衡的力狀態(tài)的力狀態(tài)FPAB虛設(shè)協(xié)調(diào)的虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)位移狀態(tài)BPAB0PPe FFWBByPPPFlaFFBBy 一、利用虛位移原理求反力一、利用虛位移原理求反力第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院22 / 87虛位移原理求約束力的步驟1 1 拆除與所求未知力相應(yīng)的約束，代之以約束拆除與所求未知力相應(yīng)的約束，代之以約束力力FR ，使原結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)，使原結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)；構(gòu)；2 2 令機(jī)構(gòu)產(chǎn)生符合約束條件的虛位移令機(jī)構(gòu)產(chǎn)生符合約束條件的虛位移( (通常是通常是沿未知力方向虛設(shè)單位位移沿未知力方

18、向虛設(shè)單位位移) ) ；3 3 然后利用幾何關(guān)系求荷載作用點(diǎn)的虛位移；然后利用幾何關(guān)系求荷載作用點(diǎn)的虛位移；4 4 列虛功方程求約束力列虛功方程求約束力FR 。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院23 / 87(1)(1)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程0 BM1 B單位位移法單位位移法(Unit-Displacement Method)(2)(2)由虛位移的任意性由虛位移的任意性, ,故可設(shè)故可設(shè)(3)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位

19、移關(guān)系。求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(4)(4)單位位移法的實(shí)質(zhì)是用幾何法來解靜力平衡問題單位位移法的實(shí)質(zhì)是用幾何法來解靜力平衡問題 主要工作用在幾何關(guān)系推導(dǎo)上；比取隔離體法簡單是由不主要工作用在幾何關(guān)系推導(dǎo)上；比取隔離體法簡單是由不需要先求別的約束力，虛功方程中只出現(xiàn)主動(dòng)力的緣故。需要先求別的約束力，虛功方程中只出現(xiàn)主動(dòng)力的緣故。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院24 / 87注意1 1 只拆除與所求未知力相應(yīng)的約束，目的在于暴露只拆除與所求未知力相應(yīng)的約束，目的在于暴露待求約束力待求約束力FR ，使虛功方程中出現(xiàn)使虛功方程中出現(xiàn)FR

20、R項(xiàng)；項(xiàng)；2 R和和 P是與廣義力是與廣義力FR、 FR對(duì)應(yīng)的廣義虛位移；對(duì)應(yīng)的廣義虛位移；3 3 約束力的方向可以任意假設(shè)；機(jī)構(gòu)的虛位移方向約束力的方向可以任意假設(shè)；機(jī)構(gòu)的虛位移方向亦可假設(shè)，不影響計(jì)算結(jié)果亦可假設(shè)，不影響計(jì)算結(jié)果 。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院25 / 87練習(xí)練習(xí). .用虛位移法求用虛位移法求B 點(diǎn)約束點(diǎn)約束力矩力矩。ABFPaaaaaaa2練習(xí)練習(xí). . 用虛位移法求圖示結(jié)構(gòu)桿用虛位移法求圖示結(jié)構(gòu)桿1 1內(nèi)力內(nèi)力。1FPABCDEFGH第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院26 / 8

21、7例例. . 求求B 端支座發(fā)生豎向位移端支座發(fā)生豎向位移 B時(shí)引起時(shí)引起C點(diǎn)的豎向點(diǎn)的豎向位移位移 C 。虛設(shè)平衡的虛設(shè)平衡的力狀態(tài)力狀態(tài)實(shí)際的位移實(shí)際的位移狀態(tài)狀態(tài)laFBy alAB1P FBalABC二、利用虛力原理求位移二、利用虛力原理求位移0PPByBFF BBByPlaFF P由虛外力的任意性，可取由虛外力的任意性，可取1P F單位荷載法單位荷載法 (Unit Load Method)，它是，它是Maxwell 1864和和Mohr 1874提出，故也提出，故也稱為稱為Maxwell-Mohr Method。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程

22、學(xué)院27 / 87(1)(1)單位荷載法所建立的單位荷載法所建立的虛功方程虛功方程，實(shí)質(zhì)上是，實(shí)質(zhì)上是幾幾何方程何方程，是，是用靜力平衡法來解幾何問題。用靜力平衡法來解幾何問題。(2)(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)廣義荷載為單位荷載；廣義荷載為單位荷載；(3)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系；關(guān)系；第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院28 / 87練習(xí)練習(xí). . 已知支座已知支座D發(fā)生沉降發(fā)生沉降 D，用單位荷載法求由此，用單位荷載法求由此產(chǎn)生的產(chǎn)生

23、的A點(diǎn)點(diǎn)豎向位移豎向位移 A 。 DBaaaaaaa2CDE ABaaaaaaa2CDEA第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院29 / 87單位位移法單位位移法的虛功方程的虛功方程 平衡方程平衡方程單位荷載法單位荷載法的虛功方程的虛功方程 幾何方程幾何方程 虛位移原理虛位移原理：一個(gè)給定的力系平衡的充分必要條一個(gè)給定的力系平衡的充分必要條件是：對(duì)任意的、協(xié)調(diào)的、虛設(shè)位件是：對(duì)任意的、協(xié)調(diào)的、虛設(shè)位移，虛功方程恒成立。移，虛功方程恒成立。虛虛 力力 原原 理理：一個(gè)給定的位移是協(xié)調(diào)的充分必要一個(gè)給定的位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對(duì)任意的、平衡的、虛設(shè)條件是

24、：對(duì)任意的、平衡的、虛設(shè)的力系，虛功方程恒成立。的力系，虛功方程恒成立。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院30 / 87協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的力平衡的力 狀狀 態(tài)態(tài)ABk1P FByFAyFAxFc1c2k kFPq(x)AB考察同一結(jié)構(gòu)的兩個(gè)狀態(tài)，欲求考察同一結(jié)構(gòu)的兩個(gè)狀態(tài)，欲求 k 點(diǎn)位移點(diǎn)位移 k第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院31 / 87iNQdddWMFF eR1kiiWFc iikcFFFMRQNddd 外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功由虛功方程由虛功方程eiWW 第三章第三章 結(jié)構(gòu)

25、位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院32 / 87(1)(1)在擬求位移點(diǎn)沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；在擬求位移點(diǎn)沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；(2)(2)在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛反力；反力；(3)(3)由位移計(jì)算公式求相應(yīng)位移。由位移計(jì)算公式求相應(yīng)位移。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院33 / 87求求1點(diǎn)豎向點(diǎn)豎向線位移線位移求求1點(diǎn)絕對(duì)點(diǎn)絕對(duì)角位移角位移求求1、2點(diǎn)的點(diǎn)的相對(duì)線位移相對(duì)線位移廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：11121P F1 M1P

26、F1P F第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院34 / 87求求1、2兩截面的兩截面的相對(duì)角位移相對(duì)角位移求求12桿件的桿件的轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)角位移廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：12aF/ 1P 12aaF/ 1P 1 M1 M第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院35 / 87sEIMddP 線彈性、小變形假設(shè)下：線彈性、小變形假設(shè)下： dddQNFFMk真實(shí)變形真實(shí)變形sGAFkddQP sEAFddNP 虛擬內(nèi)力虛擬內(nèi)力 sGAFFksEAFFsEIMMkdddQPQNPNPP第三章第三章 結(jié)構(gòu)

27、位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院36 / 87例：求結(jié)構(gòu)例：求結(jié)構(gòu)A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移ABCqxxABC121P2Mqx NP0F QPFqx xM0N F1Q F21P2Mql AB段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù)BC段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù)lMxx1N FNPFql QP0F 0Q F第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院37 / 87 llAVEIxqllEIxqxx02210221dd)()( llGAxqxkEAxql00d1d1)()()(2245458185GAlEIkAlIEIql 設(shè)桿件截面形狀為矩形：設(shè)桿件截面形狀為矩形：b

28、hA 3121bhI 56 k則：則：101 lh土木工程中桿件一般：土木工程中桿件一般：EG40. 150175011854EIqlAV可見對(duì)以彎曲為主的細(xì)長桿可見對(duì)以彎曲為主的細(xì)長桿結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算可忽略軸向結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算可忽略軸向變形和剪切變形的影響變形和剪切變形的影響第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院38 / 87各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1、梁和剛架：、梁和剛架：PPdkMMsEI 2、桁、桁 架：架：NNPNNPPdkF FsF F lEAEA 3、組合結(jié)構(gòu)：、組合結(jié)構(gòu)：NNPPPddkF FMMssEIEA 4、拱、拱 結(jié)

29、結(jié) 構(gòu)：構(gòu)：拱內(nèi)彎矩較小時(shí)：拱內(nèi)彎矩較小時(shí)：拱內(nèi)彎矩較大時(shí)：拱內(nèi)彎矩較大時(shí)：PPdkMMsEI 荷載引起的位移與桿件的絕對(duì)剛度值有關(guān)NNPPPddkF FMMssEIEA 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院39 / 87 在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方便。下面尋求一種簡單的計(jì)算位移的法。便。下面尋求一種簡單的計(jì)算位移的法。PPdkMMsEI 受彎為主的構(gòu)件位移計(jì)算常遇到積分公式：受彎為主的構(gòu)件位移計(jì)算常遇到積分公式：利用圖形的靜矩原理將利用圖形的靜矩原理將圖形積分圖形積分變?yōu)樽優(yōu)閳D形相乘圖形相乘稱莫爾積分第

30、三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院40 / 87 sEIMMdP sMMEId1P xxMEIdtanP 1tanccxyEIEI xMMEId1P對(duì)于直桿對(duì)于直桿xsdd tanxM 對(duì)直線彎矩圖對(duì)直線彎矩圖PckyEI 對(duì)于等剛度桿對(duì)于等剛度桿constEI tandxEI xcxycxyCABMPM圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生?？畦F路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院41 / 87 方法使用條件方法使用條件注

31、意事項(xiàng)1 1、等剛直桿、等剛直桿2 2、至少有一直線圖、至少有一直線圖 和和 yc為代數(shù)量，為代數(shù)量，若若它們它們?cè)跅U軸線同側(cè)，在桿軸線同側(cè)，則乘積為正；反之為負(fù)則乘積為正；反之為負(fù)； 拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的方式求解；能通過積分的方式求解； 應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。及形心位置。這也是圖乘法的亮點(diǎn)這也是圖乘法的亮點(diǎn)3 3、yc 應(yīng)取自直線圖中應(yīng)取自直線圖中第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院42 / 87常見圖形面積和形心：常見圖形面積和形心：矩矩

32、 形形al lxc21三角形三角形al21 lxc31 拋物形拋物形al31 lxc41 al32 lxc83 al32 lxc21通式lalalaalal第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院43 / 87當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時(shí)，可把它們當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時(shí)，可把它們分解為幾個(gè)簡單圖形的疊加（分解方法不唯一）分解為幾個(gè)簡單圖形的疊加（分解方法不唯一）lablab1y2y1y2ycdy31321 cdy32312 cdy31321 cdy32312 al211 bl212 dc2 1 1 2 dc i，yi是是代數(shù)量代數(shù)量第三章第三章

33、 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院44 / 87 對(duì)折線段要分對(duì)折線段要分成直線段做成直線段做。)(3322111yyyEI 1y2y3yl1y2y3y333222111EIyEIyEIy 對(duì)剛度不同的對(duì)剛度不同的區(qū)段要分段做區(qū)段要分段做1 2 3 l1 2 3 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院45 / 87例例. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移l/2ABl/2EIFP1 MABP/4F lMP1M432212211PlFlEIB ( EIlFlFl16431212212PP )42122

34、PlFll EIlFlFlEIB162142112PP )( 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院46 / 87 取取 yc的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。 不同的圖乘方式，其難易程度不同。不同的圖乘方式，其難易程度不同。 當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，取那個(gè)圖當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，取那個(gè)圖形的面積均可。形的面積均可。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院47 / 87練習(xí)練習(xí).已知已知 EI 為常數(shù)，求中點(diǎn)為常數(shù)，求中點(diǎn)C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移l/2ABEICql/2第三章

35、第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院48 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求距右支座為常數(shù)，求距右支座l/3處處C點(diǎn)點(diǎn)的豎向位移。的豎向位移。2l/3ABEICql/39/2qlMP9/2lM第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院49 / 87求求C 截面豎向位移截面豎向位移 C (方法方法1：相當(dāng)簡支梁：相當(dāng)簡支梁) 當(dāng)當(dāng)C截面位置截面位置x時(shí)，可用于求撓曲方程。時(shí)，可用于求撓曲方程。9232913221922132813232122lqllllqlEIB ( )923291321922138133222lq

36、llllql )( 972114EIql求求C截面豎向位移截面豎向位移 C (方法方法2：相當(dāng)懸臂梁：相當(dāng)懸臂梁)第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院50 / 87 可拋開結(jié)構(gòu)只可拋開結(jié)構(gòu)只對(duì)圖形進(jìn)行圖乘對(duì)圖形進(jìn)行圖乘例例.已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求D鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移 qEIEIEI2/2qlll/2l11221ql283ql281qlMP123MD第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院51 / 872321832233122123328321122212 qllqllqllEI( 22

37、3321 332 32 31 392 283 23 282 2128( )lqlqllqlEI 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院52 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A、B兩點(diǎn)的相對(duì)兩點(diǎn)的相對(duì)位移位移 ABlhABCDq第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院53 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)為常數(shù),求求C鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移角位移 qlllABDCE第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院54 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EA

38、為常數(shù)，求為常數(shù)，求D點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 D以以及及EC桿的轉(zhuǎn)角位移桿的轉(zhuǎn)角位移 ECABCDEFFP2aa只需求出都為非零桿內(nèi)力第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院55 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求B 點(diǎn)豎向位移；點(diǎn)豎向位移；l/2ABlqP再問當(dāng)再問當(dāng)P 為何值時(shí)，為何值時(shí)，B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移為為0。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院56 / 87練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求當(dāng)為常數(shù)，求當(dāng)d = l/2時(shí)時(shí)k 點(diǎn)豎向位移；點(diǎn)豎向位移；ql/2ldlqABCk問：

39、當(dāng)問：當(dāng)d 為多少時(shí)為多少時(shí)k 點(diǎn)的豎向位移為零？點(diǎn)的豎向位移為零？做：根據(jù)彎矩圖繪制變形草圖。做：根據(jù)彎矩圖繪制變形草圖。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院57 / 871 1、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移1t2t溫度改變引起的微段變形溫度改變引起的微段變形中性軸中性軸hxdxt d2 xt d1 xttd212 stsd d d0 shtshttsdddd12 )(第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院58 / 87注：注：1 當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形方向一致時(shí)，當(dāng)溫度變

40、形與虛內(nèi)力變形方向一致時(shí)，乘積為正；乘積為正； 2 由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無關(guān)，所以不能通過增加剛度的方法控關(guān)，所以不能通過增加剛度的方法控制位移；制位移； 3 溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。溫度改變不產(chǎn)生剪切變形溫度改變不產(chǎn)生剪切變形0d stFshtMkdd0Nt N0 FMtht 1t2tABC單位彎矩單位彎矩圖面積圖面積單位軸力單位軸力圖面積圖面積第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院59 / 87000010. 例例. 求求C點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移 C。1cm60ot01

41、ot102ot01m6m6ABCM61FN121010 000016 66 65 1 660 102.()Ct 10 t521000 tm 090. 第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院60 / 872 2下料誤差處理下料誤差處理（將桿件加長看成桿件變形）（將桿件加長看成桿件變形）只須求出下料有變的只須求出下料有變的桿件內(nèi)力桿件內(nèi)力020212C.)( V例例. 桁架上弦桿每桿按設(shè)計(jì)長出桁架上弦桿每桿按設(shè)計(jì)長出0.02米，求米，求由此引起的由此引起的C點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移 C ？ABCDEF2 6 m6 m lFkNCm 020. 起拱起拱第三章第三章

42、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院61 / 873 3支座移動(dòng)引起的位移支座移動(dòng)引起的位移利用剛體虛功原理利用剛體虛功原理例例. . 由于由于固端固端支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起k 點(diǎn)點(diǎn)的的豎向位移豎向位移。iikcF Rk1M = lk kl/2ll/2iikcF R)( l說明假設(shè)位移方向說明假設(shè)位移方向與真實(shí)位移方向相與真實(shí)位移方向相反，即位移向上。反，即位移向上。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院62 / 87彈性支座處理：彈性支座處理：方法方法1. 將彈簧看成是結(jié)將彈簧看成是結(jié)構(gòu)中的一個(gè)可變形的構(gòu)件構(gòu)中

43、的一個(gè)可變形的構(gòu)件（拉壓桿）（拉壓桿）方法方法2. 將彈簧支座的變將彈簧支座的變形看成是主體結(jié)構(gòu)的支形看成是主體結(jié)構(gòu)的支座位移。座位移。kFFdFcNNN )(kFFcFcRRiRikFPlaABCEI第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院63 / 87材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)ABFPq 2ABMq 1考察同一結(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)?？疾焱唤Y(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院64 / 87

44、Q1Q2N1N212120()dliF FF FM MWksEIGAEA Q2Q1N2N121210()dliFFFFM MWksEIGAEA 1221WW 功的互等定理功的互等定理：處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)1 1、2 2，狀態(tài)，狀態(tài)1 1 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)2 2 的位移的位移上所作的總虛功等于狀態(tài)上所作的總虛功等于狀態(tài)2 2 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)1 1 的位移上所作的總虛功。的位移上所作的總虛功。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院65 / 87122112P112P22121WF F W 211P21P21

45、212 FFABFP2 2ABFP1 1第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院66 / 872112 位移互等定理位移互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在位置同一結(jié)構(gòu)，在位置1 1 作用作用單位力引起位置單位力引起位置2 2 處的位移，等于在位置處的位移，等于在位置2 2 作用單位力引起位置作用單位力引起位置1 1 處的位移。處的位移。 ij 是廣義位移與產(chǎn)生該位移的力的比值，它乘是廣義位移與產(chǎn)生該位移的力的比值，它乘以力后得位移，故應(yīng)稱以力后得位移，故應(yīng)稱位移影響系數(shù)位移影響系數(shù)（或稱或稱柔度系數(shù)）柔度系數(shù)），注意它不具有位移的量綱。，注意它不具有位移的量綱。 ij

46、ji 表示不僅大小相等，而且量綱相同。表示不僅大小相等，而且量綱相同。（該定理將在力法中應(yīng)用）（該定理將在力法中應(yīng)用）第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院67 / 872111222112WFFWRR 21121R2R1212kFFk 2FR121FR21 2 1第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院68 / 872112kk 反力互等定理反力互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在支座同一結(jié)構(gòu)，在支座1 1 產(chǎn)生產(chǎn)生單位位移引起支座單位位移引起支座2 2 處的反力，等于在支處的反力，等于在支座座2 2 產(chǎn)生單位位移引起支座產(chǎn)生單位位

47、移引起支座1 1 處的反力。處的反力。kij 是反力與產(chǎn)生該反力的位移的比值，它是反力與產(chǎn)生該反力的位移的比值，它乘以位移后得反力，稱乘以位移后得反力，稱反力影響系數(shù)反力影響系數(shù)，注意它注意它不具有力的量綱。不具有力的量綱。kij kji 表示不僅大小相等，而且量綱相同。表示不僅大小相等，而且量綱相同。（該定理將在位移法中應(yīng)用）（該定理將在位移法中應(yīng)用）第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院69 / 8721121221120WFFWPR 211P21R21212kFF FR21212 2FP1 1第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工

48、程學(xué)院土木工程學(xué)院70 / 872112k 位移反力互等定理位移反力互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在位置：同一結(jié)構(gòu)，在位置1 1 處作用單位荷載引起支座處作用單位荷載引起支座2 2 處的反力等于支處的反力等于支座座2 2 處產(chǎn)生單位位移引起位置處產(chǎn)生單位位移引起位置1 1 處的位移，處的位移，唯符號(hào)相反。唯符號(hào)相反。 ij kji 表示不僅絕對(duì)值大小相等，而且量綱表示不僅絕對(duì)值大小相等，而且量綱相同。相同。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院71 / 87 變形體虛功原理的前提是平衡的力系，協(xié)變形體虛功原理的前提是平衡的力系，協(xié)調(diào)的位移，結(jié)論是虛功方程恒成立。它適

49、調(diào)的位移，結(jié)論是虛功方程恒成立。它適合于一切變形體。合于一切變形體。 廣義單位力實(shí)質(zhì)上是個(gè)比例系數(shù)，不具備廣義單位力實(shí)質(zhì)上是個(gè)比例系數(shù)，不具備力的量綱。力的量綱。 注意圖乘法的適用條件。一般圖形如何分注意圖乘法的適用條件。一般圖形如何分解為幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形的疊加。解為幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖形的疊加。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院72 / 87 各種條件下的位移計(jì)算公式應(yīng)用，注意正負(fù)各種條件下的位移計(jì)算公式應(yīng)用，注意正負(fù)號(hào)的取用原則。號(hào)的取用原則。 能引起位移的因素很多，但牢記單位荷載法的能引起位移的因素很多，但牢記單位荷載法的實(shí)質(zhì)是虛功這一核心，可以以不變應(yīng)萬變。

50、實(shí)質(zhì)是虛功這一核心，可以以不變應(yīng)萬變。 線彈性小變形結(jié)構(gòu)滿足虛功互等定理，進(jìn)而衍線彈性小變形結(jié)構(gòu)滿足虛功互等定理，進(jìn)而衍生出位移互等定理、反力互等定理和位移反生出位移互等定理、反力互等定理和位移反力互等定理。互等表明不僅數(shù)值相等而且量綱力互等定理。互等表明不僅數(shù)值相等而且量綱相同。相同。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院73 / 87 虛功原理要求力系平衡，位移協(xié)調(diào)，結(jié)論是虛功虛功原理要求力系平衡，位移協(xié)調(diào)，結(jié)論是虛功方程恒成立。當(dāng)改變前提條件時(shí)，結(jié)論也將改變方程恒成立。當(dāng)改變前提條件時(shí)，結(jié)論也將改變 在給定力系時(shí)，如果位移是虛設(shè)的、協(xié)調(diào)的、任在給定力

51、系時(shí)，如果位移是虛設(shè)的、協(xié)調(diào)的、任意的，則可以證明虛功方程恒成立的充要條件是意的，則可以證明虛功方程恒成立的充要條件是力系是平衡的。這一命題稱為虛位移原理。力系是平衡的。這一命題稱為虛位移原理。 在給定位移時(shí)，如果力系是虛設(shè)的、平衡的、任在給定位移時(shí)，如果力系是虛設(shè)的、平衡的、任意的，則可以證明虛功方程恒成立的充要條件是意的，則可以證明虛功方程恒成立的充要條件是位移是協(xié)調(diào)的。這一命題稱為虛力原理。位移是協(xié)調(diào)的。這一命題稱為虛力原理。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院74 / 87 實(shí)際計(jì)算時(shí)，對(duì)于截面高度與曲率半徑的比實(shí)際計(jì)算時(shí)，對(duì)于截面高度與曲率半徑

52、的比值較小的曲桿，按直桿計(jì)算誤差并不大。值較小的曲桿，按直桿計(jì)算誤差并不大。 其原因是曲桿結(jié)構(gòu)中截面形心軸與中性軸不其原因是曲桿結(jié)構(gòu)中截面形心軸與中性軸不重合，荷載作用下的截面彎矩重合，荷載作用下的截面彎矩MP不只引起截不只引起截面轉(zhuǎn)角，也引起形心軸的線位移；面轉(zhuǎn)角，也引起形心軸的線位移；FNP不只引不只引起形心軸的線位移，也引起截面轉(zhuǎn)角，所以起形心軸的線位移，也引起截面轉(zhuǎn)角，所以直桿位移計(jì)算公式不再成立。直桿位移計(jì)算公式不再成立。第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院75 / 87 以矩形截面曲桿為例：以矩形截面曲桿為例：sEAFddNPN FNP引起的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角引起的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角sEARFRdddNPNN MP引起的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角引起的截面相對(duì)轉(zhuǎn)角MP引起的軸向應(yīng)變引起的軸向應(yīng)變sEARMMddP sESRMRMMdddP FNP引起的軸向應(yīng)變引起的軸向應(yīng)變第三章第三章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算哈工大哈工大 土木工程學(xué)院土木工程學(xué)院76 / 87 曲桿結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公