matlab在科學計算中的應用358267

1、第三章 微積分問題的計算機求解 微積分問題的解析解微積分問題的解析解 函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求解函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求解 數(shù)值微分數(shù)值微分 數(shù)值積分問題數(shù)值積分問題 曲線積分與曲面積分的計算曲線積分與曲面積分的計算3.1 微積分問題的解析解 3.1.1 極限問題的解析解 單變量函數(shù)的極限 格式1： l= limit( fun, x, x0) 格式2： l= limit( fun, x, x0, left 或 right) 例: 試求解極限問題 syms x a b; f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); l=limit(f,x,inf) l = exp(a)*b 例:求解

2、單邊極限問題 syms x; limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x),x,0,right) ans =12 在(-0.1,0.1)區(qū)間繪制出函數(shù)曲線： x=-0.1:0.001:0.1; y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);warning: divide by zero.(type warning off matlab:dividebyzero to suppress this warning.) plot(x,y,-,0,12,o) 多變量函數(shù)的極限：格式： l1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或

3、 l1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是確定的值，而是另一個變量的函數(shù)，如x-g(y)，則上述的極限求取順序不能交換。 例：求出二元函數(shù)極限值 syms x y a; f=exp(-1/(y2+x2) *sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2); l=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)l =exp(a2)3.1.2 函數(shù)導數(shù)的解析解 函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù) 格式： y=diff(fun,x) %求導數(shù) y= diff(fun,x,n) %求n階導數(shù) 例： 一階導數(shù)： syms x; f=sin(x)/(x2+

4、4*x+3); f1=diff(f); pretty(f1) cos(x) sin(x) (2 x + 4) - - - 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)原函數(shù)及一階導數(shù)圖： x1=0:.01:5; y=subs(f, x, x1); y1=subs(f1, x, x1); plot(x1,y,x1,y1,:)更高階導數(shù)： tic, diff(f,x,100); tocelapsed_time = 4.6860 原函數(shù)4階導數(shù) f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4)

5、 - + 4 - - 12 - 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 - - 24 - + 48 - 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 - - 72 - + 24 - 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x +

6、 3) 多元函數(shù)的偏導：格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m) 例： 求其偏導數(shù)并用圖表示。 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zx=simple(diff(z,x)zx = -exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y) zy=diff(z,y)zy =(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y) 直接繪制三維曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2

7、-y.2-x.*y); surf(x,y,z), axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5) contour(x,y,z,30), hold on % 繪制等值線 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 偏導的數(shù)值解 quiver(x,y,zx,zy) % 繪制引力線 例 syms x y z; f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=s

8、imple(df); pretty(df) 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y) 多元函數(shù)的jacobi矩陣:格式：j=jacobian(y,x)其中，x是自變量構成的向量，y是由各個函數(shù)構成的向量。 例：試推導其 jacobi 矩陣 syms r theta phi; x=r*sin(theta)*cos(phi); y=r*sin(theta)*sin(phi); z=r*cos(theta); j=

9、jacobian(x; y; z,r theta phi) j = sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi) sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi) cos(theta), -r*sin(theta), 0 隱函數(shù)的偏導數(shù)：格式：f=-diff(f,xj)/diff(f,xi) 例： syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); pretty(-simple(diff(f,x)/di

10、ff(f,y) 3 2 2 -2 x + 2 + 2 x + x y - 4 x - 2 x y - - x (x - 2) (2 y + x)3.1.3 積分問題的解析解 不定積分的推導：格式： f=int(fun,x) 例：用diff() 函數(shù)求其一階導數(shù)，再積分，檢驗是否可以得出一致的結果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 對導數(shù)積分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1 對原函數(shù)求對原函數(shù)求4 4 階導數(shù)，再對結果進行階導數(shù)，再對結果進行4

11、4次積分次積分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x + 4 x + 3 例:證明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x);

12、simple(f-f1) % 求兩個結果的差ans = -3/16/a4 定積分與無窮積分計算:格式： i=int(f,x,a,b)格式： i=int(f,x,a,inf) 例： syms x; i1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) 無解i1 =1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2) vpa(i1,70) ans = 1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 i2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) i2 =1/2*2(1/2)*pi(1

13、/2) 2/ 2( )xfxe202( )xterf xe dt 多重積分問題的matlab求解 例： symssyms x y z; f0=-4 x y z; f0=-4* *z z* *exp(-x2exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *(cos(x2(cos(x2* *y)-y)-1010* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *y y* *x2+.x2+. 4 4* *sin(x2sin(x2* *y)y)* *x4x4* *y2+4y2+4* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *x4x4* *y2-sin(x2y2-sin(x2* *y);y); f1=in

14、t(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=simple(int(f1,x) f1=simple(int(f1,x)f1 =f1 = exp(-x2 exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *sin(x2sin(x2* *y)y) f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2

15、)ans =0 順序的改變使化簡結果不同于原函數(shù)，但其誤差為0，表明二者實際完全一致。這是由于積分順序不同，得不出實際的最簡形式。 例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)ei(n,z)為指數(shù)積分，無解析解，但可求其數(shù)值解： vpa(ans,60) ans = 3.108079402085412722834614647671385210191423063170218

16、634835883.2 函數(shù)的級數(shù)展開與 級數(shù)求和問題求解 3.2.1 taylor 冪級數(shù)展開 3.2.2 fourier 級數(shù)展開 3.2.3 級數(shù)求和的計算3.2.1 taylor 冪級數(shù)展開 3.2.1.1 單變量函數(shù)的 taylor 冪級數(shù)展開例: syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=taylor(f,x,9); pretty(y1) 2 23 3 34 4 4087 5 3067 6 515273 7 386459 8 1/3 x - 4/9 x + - x - - x + -x - - x +- x - - x 54 81 9720 7290 1224

17、720 918540 taylor(f,x,9,2)ans =1/15*sin(2)+(1/15*cos(2)-8/225*sin(2)*(x-2)+ (-127/6750*sin(2)-8/225*cos(2)*(x-2)2 +(23/6750*cos(2)+628/50625*sin(2)*(x-2)3 +(-15697/6075000*sin(2)+28/50625*cos(2)*(x-2)4 +(203/6075000*cos(2)+6277/11390625*sin(2)*(x-2)5 +(-585671/2733750000*sin(2)-623/11390625*cos(2)*(

18、x-2)6 +(262453/19136250000*cos(2)+397361/5125781250*sin(2)*(x-2)7 +(-875225059/34445250000000*sin(2)-131623/35880468750*cos(2)*(x-2)8 syms a; taylor(f,x,5,a) % 結果較冗長，顯示從略ans =sin(a)/(a2+3+4*a) +(cos(a)-sin(a)/(a2+3+4*a)*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a) +(-sin(a)/(a2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a2+3*cos(a)+4*c

19、os(a)*a-4*sin(a)-2*sin(a)*a)/(a2+3+4*a)2*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a)2+例:對y=sinx進行taylor冪級數(shù)展開,并觀察不同階次的近似效果。 x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x; y=sin(x); plot(x0,y0,r-.), axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5); hold on for n=8:2:16 p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1) endp =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7p

20、=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13 p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13-1/1307674368000*x153.2.1.2 多變量函數(shù)的taylor 冪級數(shù)展開 多變量函數(shù) 在

21、的taylor冪級數(shù)的展開12(,)nf x xx12(,)na aa 例：？ syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); f=maple(mtaylor,f,x,y,8)f = mtaylor(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y),x, y,8) maple(readlib(mtaylor);讀庫，把函數(shù)調入內存 f=maple(mtaylor,f,x,y,8) f =-2*x+x2+2*x3-x4-x5+1/2*x6+1/3*x7+2*y*x2+2*y2*x-y*x3-y2*x2-2*y*x4-3*y2*x3-2*y3*x2-y4*x+y*x5+3

22、/2*y2*x4+y3*x3+1/2*y4*x2+y*x6+2*y2*x5+7/3*y3*x4+2*y4*x3+y5*x2+1/3*y6*x syms a; f=maple(mtaylor,f,x=1,y=a,3); f=maple(mtaylor,f,x=a,3)f =(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-1+2*a2+2*a*y+1/2*y2)+exp(-a2-y2-a*y)+(2*a-2)*exp

23、(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)*(x-a)23.2.2 fourier 級數(shù)展開function a,b,f=fseries(f,x,n,a,b)if nargin=3, a=-pi; b=pi; endl=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+l+a); end變量區(qū)域互換a=int(f,x,-l,l)/l; b=; f=a/2; %計算a0for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/l),x,-l,l)/l; bn=int(f*sin(i*pi*x/l),x,-l,l)/l; a=a, an; b=b,bn; f=f+an*cos(i*pi

24、*x/l)+bn*sin(i*pi*x/l);endif a+b, f=subs(f,x,x-l-a); end 換回變量區(qū)域例: syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); a,b,f=fseries(f,x,6,0,2*pi)a = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 b = -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18 f =12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/125*sin(5*x)+1/18*sin(6*x)例: syms x; f=abs(x)/x; % 定義方波信號

25、xx=-pi:pi/200:pi; xx=xx(xx=0); xx=sort(xx,-eps,eps); % 剔除零點 yy=subs(f,x,xx); plot(xx,yy,r-.), hold on % 繪制出理論值并保持坐標系 for n=2:20 a,b,f1=fseries(f,x,n), y1=subs(f1,x,xx); plot(xx,y1)enda = 0, 0, 0b = 4/pi, 0f1 =4/pi*sin(x)a = 0, 0, 0, 0 b = 4/pi, 0, 4/3/pif1 =4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)3.2.3 級數(shù)求和的計算 是

26、在符號工具箱中提供的例:計算 format long; sum(2.0:63) %數(shù)值計算ans = 1.844674407370955e+019 sum(sym(2).0:200) % 或 syms k; symsum(2k,0,200)把2定義為符號量可使計算更精確ans =3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 syms k; symsum(2k,0,200)ans =3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751例:試求解無窮級

27、數(shù)的和 syms n; s=symsum(1/(3*n-2)*(3*n+1),n,1,inf)%采用符號運算工具箱s =1/3 m=1:10000000; s1=sum(1./(3*m-2).*(3*m+1);%數(shù)值計算方法,雙精度有效位16,“大數(shù)吃小數(shù)”,無法精確 format long; s1 % 以長型方式顯示得出的結果s1 = 0.33333332222165例:求解 syms n x s1=symsum(2/(2*n+1)*(2*x+1)(2*n+1),n, 0,inf); simple(s1) % 對結果進行化簡，matlab 6.5 及以前版本因本身 bug 化簡很麻煩ans

28、=log(2*x+1)2)(1/2)+1)/(2*x+1)2)(1/2)-1)%實際應為log(x+1)/x)例:求 syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf)ans =eulergamma vpa(ans, 70) % 顯示 70 位有效數(shù)字ans =.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677 3.3 數(shù)值微分0()( ) ( )limhf xhf xfxh差商型求導公式 由導數(shù)定義1 ()( ) ( )2 ( )() ( )3 ()() (

29、 )2fxhfxfxhfxfxhfxhfxhfxhfxh（ ）向前差商公式（ ）向后差商公式（ ）中心差商公式 （中點方法 ） x-h x x+hbcat f(x) 3.3.1 數(shù)值微分算法 向前差商公式： 向后差商公式兩種中心公式：2342342( )( )( )/ 2!( )/3!()( )2( )( )( )/ 2!( )/3!()2( )( )3!f xtfxt fxt fotf xtf xtfxt fxt fotttfxf %3.3.2 中心差分方法及其 matlab 實現(xiàn) function dy,dx=diff_ctr(y, dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=

30、0 y 0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; yx6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*dt); l0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*dt2);l0=3; 數(shù)值計算diff(x)表示數(shù)組x相鄰兩數(shù)的差 case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*di

31、ff(yx3)-6*diff(yx4)+. 7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*dt3); l0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt4); l0=5; end dy=dy(l0+1:end-l0); dx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt;調用格式： y為 等距實測數(shù)據(jù)， dy為得出的導數(shù)向量， dx為相應的自變量向量，dy、dx的數(shù)據(jù)比y短 。,_( , )yxdddiffctr yt n 例：求導數(shù)的解

32、析解,再用數(shù)值微分求取原函數(shù)的14 階導數(shù)，并和解析解比較精度。 h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; y=sin(x1)/(x12+4*x1+3);% 求各階導數(shù)的解析解與對照數(shù)據(jù) yy1=diff(y); f1=subs(yy1,x1,x); yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x); y=sin(x)./(x.2+4*x+3); % 生成已知數(shù)據(jù)點 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1); subplot(2

33、21),plot(x,f1,dx1,y1,:); y2,dx2=diff_ctr(y,h,2); subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,:) y3,dx3=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,:); y4,dx4=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相對誤差： norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans = 3.5025e-0043.3.3 用插值、擬合多項式的求導數(shù) 基本思想：當已知函數(shù)在一些離散點上的函數(shù)值時，該函數(shù)可用插值或擬

34、合多項式來近似，然后對多項式進行微分求得導數(shù)。 選取x=0附近的少量點 進行多項式擬合或插值 g(x)在x=0處的k階導數(shù)為( ,),1,2,1iix yin1121( )nnnng xcxc xc x c()1(0)!0,1,2,knkgckkn 通過坐標變換用上述方法計算任意x點處的導數(shù)值 令 將g(x)寫成z的表達式 導數(shù)為 可直接用 擬合節(jié)點 得到系數(shù) d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1) zxa1121( )( )nnnng xg zdzd zd z d( )( )1( )(0)!0,1,kknkgagdkkn ( )g z(,)iixa yid 例：數(shù)據(jù)集合如

35、下： xd: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053計算x=a=0.3處的各階導數(shù)。 xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3;l=length(xd); d=polyfit(xd-a,yd,l-1);fact=1; for k=1:l-1;fact=factorial(k),fact;end deriv=d.*factderiv

36、 = 1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376 建立用擬合（插值）多項式計算各階導數(shù)的poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c=d(m:-1:1); 去掉常數(shù)項fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact; 例： xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0

37、.9053; a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a)der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.87503.3.4 二元函數(shù)的梯度計算 格式： 若z矩陣是建立在等間距的形式生成的網(wǎng)格基礎上，則實際梯度為,( )xyffgradient z/,/xxyyffxffy( ,)zfx y 例：計算梯度，繪制引力線圖： x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.2; fy=fy/0.2; contour(x,y,z

38、,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy)%繪制等高線與引力線圖 繪制誤差曲面: zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.08) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.11)建立一個新圖形窗口 為減少誤差，對網(wǎng)格加密一倍： x,y=meshgrid(-3:.1:3,-2:.

39、1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.02) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.06)3.4 數(shù)值積分問題 4.3.1 由給定數(shù)據(jù)

40、進行梯形求積sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2 格式： s=trapz(x,y) 例： x1=0:pi/30:pi; y=sin(x1) cos(x1) sin(x1/2); x=x1 x1 x1; s=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2s = 1.9982 0.0000 1.9995 s1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的結果s1 = 1.9982 0.0000 1.9995 例：畫圖 x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; % 這樣賦值能確保 3*pi/2點被包含在內 y=cos(15

41、*x); plot(x,y)% 求取理論值 syms x, a=int(cos(15*x),0,3*pi/2)a =1/15隨著步距h的減小，計算精度逐漸增加： h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001; v=; for h=h0, x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); i=trapz(x,y); v=v; h, i, 1/15-i ;end format long; vv = 0.10000000000000 0.05389175150076 0.01277491516591 0.01000000000000 0.06

42、654169546584 0.00012497120083 0.00100000000000 0.06666541668004 0.00000124998663 0.00010000000000 0.06666665416667 0.00000001250000 0.00001000000000 0.06666666654167 0.00000000012500 0.00000100000000 0.06666666666542 0.00000000000125 3.4.2 單變量數(shù)值積分問題求解 梯形公式 格式：(變步長）(fun:函數(shù)的字符串變量） y=quad(fun,a,b) y=qu

43、adl(fun,a,b) % 求定積分 y=quad(fun,a,b, ) y=quadl(fun,a,b, ) %限定精度的定積分求解，默認精度為106。后面函數(shù)算法更精確，精度更高。 例：第三種：匿名函數(shù)(matlab 7.0)第二種：inline 函數(shù)第一種，一般函數(shù)方法函數(shù)定義被積函數(shù)： y=quad(c3ffun,0,1.5)y = 0.9661 用 inline 函數(shù)定義被積函數(shù)： f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x); y=quad(f,0,1.5)y = 0.9661 運用符號工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*ex

44、p(-x2),0,1.5),60) y0 = .966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 y=quad(f,0,1.5,1e-20) % 設置高精度，但該方法失效提高求解精度： y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.9661 abs(y-y0)ans = .6402522848913892e-16 format long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.96610514647531 例：求解繪制函數(shù): x=0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4; y=

45、exp(x.2).*(x2); y(end)=0; x=eps, x; y=0,y; fill(x,y,g)為減少視覺上的誤差，對端點與間斷點（有跳躍）進行處理。 調用quad( ): f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x); i1=quad(f,0,4)i1 = 57.76435412500863 調用quadl( ): i2=quadl(f,0,4)i2 = 57.76445016946768 syms x; i=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4) i = 57.764450125

46、0530103333152353851823.4.3 gauss求積公式 為使求積公式得到較高的代數(shù)精度 對求積區(qū)間a,b，通過變換 有110( )()nkkkfx dxa fx22babaxt110( )()()222222nbkakb ab aa bb ab aa bf x dxftdta ft01010202111,0.5773503,1.00000000;2,0.7745967,0.555555560.00000000,0.88888889;nxxaanxxaaxa 以n=2的高斯公式為例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=

47、h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x)y=cos(x); gauss2(gaussf,0,1)ans = 0.841522babaxt0( )()222nbkakb ab aa bf x dxa ft0210212,0.7745967,0.000000000.55555556,0.88888889;nxxxaaa3.4.4 雙重積分問題的數(shù)值解 矩形區(qū)域上的二重積分的數(shù)值計算 格式： 矩形區(qū)域的雙

48、重積分： y=dblquad(fun,xm,xm,ym,ym) 限定精度的雙重積分： y=dblquad(fun,xm,xm,ym,ym， ) 例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y = 1.57449318974494 任意區(qū)域上二元函數(shù)的數(shù)值積分 (調用工具箱nit），該函數(shù)指定順序先x后y.例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 內積分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 內積分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.

49、2+y),y,x); % 交換順序的被積函數(shù) y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y = 0.41192954617630 解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), y, -sqrt(1-x2/2), sqrt(1-x2/2); int(i1, x, -1/2, 1)warning: explicit integral could not be found. in d:matlab6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)

50、*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2), x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601222112211sin()yxyiexy dxdy222221sin()xxyiexy dxdy例：計算單位圓域上的積分： 先把二重積分轉化： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), x, -sqrt(1-y.2), sqrt(1-y.2);warning: explicit integral could not be found. in d:matlab6p5toolboxsymbol

51、icsymint.m at line 58對x是不可積的，故調用解析解方法不會得出結果，而數(shù)值解求解不受此影響。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 內積分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 內積分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交換順序的被積函數(shù) i=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)integral did not converge-singularity likelyi = 0.536860382697953.4.5 三重定積分的數(shù)值求解 格式: i=triplequad(fun,xm,xm,ym,ym, zm,zm， ,quadl) 其中quadl為具體求解一元積分的數(shù)值函數(shù),也可選用quad或自編積分函數(shù),但調用格式要與quadl一致。 例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,z), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 1.73283.5 曲線積分與曲面積分的計算 3.5.1 曲線積分及matlab求解第一類曲線積分 起源于對不均勻分布的空間曲線總質量的求取.設空間曲線l的密度函數(shù)為f(x,y,z