2022年數(shù)學(xué)解題方法與技巧數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)解題方法技巧一、換元法“換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，敏捷運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化， 變繁為簡，化難為易，給出簡便、奇妙的解答；在解題過程中，把題中某一式子如 fx ，作為新的變量 y 或者把題中某一變量如 x，用新變量 t 的式子如 gt 替換， 即通過令 fx=y 或 x=gt 進(jìn)行變量代換， 得到結(jié)構(gòu)簡潔便于求解的新解題方法， 通常稱為換元法或變量代換法；用換元法解題，關(guān)鍵在于依據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，挑選能以簡馭繁，化難為易的代換 fx=y 或 x=gt ；就換元的詳細(xì)形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對數(shù)式代換，

2、三角式代換，反三角式代換，復(fù)變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)體會，把握有關(guān)的技巧；例如，用于求解代數(shù)問題的三角代換，在詳細(xì)設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原就： （ 1）全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì)； （2）力求削減變量的個(gè)數(shù)，使問題結(jié)構(gòu)簡潔化； （ 3）便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系；只有全面考慮以上原就，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q；換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡運(yùn)算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求， 以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，一般方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化

3、等問題中，都有著廣泛的應(yīng)用；例1分解因式： x 2-x-3x 2-x-5-3例2 在實(shí)數(shù)集上解方程：3 14x3 14x4例3 設(shè) sinx+siny=1 ，求 cosx+cosy 的取值范疇 .2例4 設(shè) x,y r，且 xy21 ，求函數(shù) fx,y=x 2+2xy+y 2+x+2y 的最小值和最大值；4二、消元法對于含有多個(gè)變數(shù)的問題， 有時(shí)可以利用題設(shè)條件和某些已知恒等式（代數(shù)恒等式或三角恒等式），通過適當(dāng)?shù)淖冃?，消去一部分變?shù)，使問題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法；消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成一般方程等問題中，也有著重要的應(yīng)用；用消元法

4、解題，具有較強(qiáng)的技巧性，經(jīng)常需要依據(jù)題目的特點(diǎn)，敏捷挑選合適的消元方法；45例1解方程組：1x1y1x+1=yx-y-z=6例 2解方程組：y-z-x=0z-x-y= -12例 3、設(shè) a,b,c 均為不等于 1 的正數(shù)，如ax=by=cz1110xyz求證： abc=1三、待定系數(shù)法依據(jù)肯定規(guī)律，先寫出問題的解的形式（一般是指一個(gè)算式、表達(dá)式或方程），其中含有如干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問題的解；這種解題方法，通常稱為待定系數(shù)法；其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)；確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法；一、比較系數(shù)法比較系數(shù)法，是指通過比較恒等式兩邊多項(xiàng)式的對應(yīng)項(xiàng)

5、系數(shù)，得到關(guān)于待定系數(shù)的如干關(guān)系式（通常是多元方程組） ，由此求得待定系數(shù)的值；比較系數(shù)法的理論依據(jù)，是多項(xiàng)式的恒等定理：兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分必要條件是對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等， 即 a0x n+a1x n-1+ +anb0xn+b1x n-1+ +b n 的充分必要條件是a0=b 0,a1=b1,an=bn ；二、特殊值法特殊值法，是指通過取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關(guān)于待定系數(shù)的如干關(guān)系式，由此求得待定系數(shù)的值；特殊值法的理論依據(jù)，是表達(dá)式恒等的定義：兩個(gè)表達(dá)式恒等，是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達(dá)式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的；待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方

6、法，主要用于處理涉及多項(xiàng)式恒等變形問題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確定函數(shù)的解析式和圓錐曲線的方程等；例1設(shè)二次函數(shù)的圖象通過點(diǎn)a （-1 ，0），b （ 7， 0）， c（3， -8），求此二次函數(shù)的解析式；例2以 x-1 的冪表示多項(xiàng)式x3-x 2+2x+2 ；例3分解因式： 6x2+xy-2y 2+x+10y-12.四、判別式法實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0a0 的判別式 =b2 -4ac 具有以下性質(zhì)：0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0，當(dāng)且僅當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根；對于二次函數(shù)y=ax 2+bx+ca0 它的判別式

7、 =b2-4ac 具有以下性質(zhì)：0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x 軸有一個(gè)公共點(diǎn)；0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x 軸沒有公共點(diǎn)；利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，爭論方程的根和函數(shù)的性質(zhì)， 證明不等式，以及爭論圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用；在詳細(xì)運(yùn)用判別式時(shí)，中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式；例1已知關(guān)于 x 的二次方程 x2+px+q=0 有兩正根求證：對于一切實(shí)數(shù) r 0，方程 qx 2+p-2rqx+1-p=0 也必有兩正根；例2、x,y,zr, a r+，且x+y+z=a,2221 2x +y+z =a2試確定 x,y

8、,z 的取值范疇；xa例3、已知 a,x 為實(shí)數(shù)， |a|<2,求函數(shù) y=fx=x2ax的最大值與最小值；1從總體上說，解答數(shù)學(xué)題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種詳細(xì)的方法和技巧進(jìn)行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來，制造性地加以運(yùn)用，才能勝利地解決面臨的問題， 獵取良好的成效；五、 分析法與綜合法分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種摸索方法，在解題過程中具有非常重要的作用；在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的緣由的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由緣由產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法；通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法；詳細(xì)的說

9、，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問題動(dòng)身，一步一步的探究下去，最終達(dá)到題設(shè)的已知條件；綜合法就是從題目的已知條件動(dòng)身，經(jīng)過逐步的規(guī)律推理，最終達(dá)到待證的結(jié)論或需求問題；例 1：設(shè) a,br+，且 ab，求證： a3+b 3 a2b+ab2例 2：已知 a 1,a 2 , ,an 為凸多邊形 a 1a 2an 的內(nèi)角，且lgsina 1+lgsina 2+ +lgsina n=0，試確定凸多邊形的外形；例 3：設(shè)， 0,， x 的一元二次方程 fx=x 2+4ax+3a+1=0 的兩個(gè)根為 tg,tg，求 a 的取222值范疇；六、 數(shù)學(xué)模型法例（哥尼斯堡七橋問題） 18 世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡有

10、條普萊格河，這條河有兩個(gè)支流，在城中心匯合后流入波羅的海；市內(nèi)辦有七座各具特色的大橋，連接島區(qū)和兩岸；每到傍晚或節(jié)假日，很多居 民來這里漫步，觀看漂亮的風(fēng)光；年長日久，有人提出這樣的問題：能否從某地動(dòng)身，經(jīng)過每一座 橋一次且僅一次，然后返回動(dòng)身地？數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的爭論， 使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法；利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問題（包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題），一般要做好三方面的工作：（1） 建模；依據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；從總體上說，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法；建模的詳細(xì)過程，大體包括以下幾個(gè)步驟：1o 考察實(shí)際問題

11、的基本情形；分析問題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；明白其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問題所及的詳細(xì)系統(tǒng)；2o 分析系統(tǒng)的沖突關(guān)系；從實(shí)際問題的特定關(guān)系和詳細(xì)要求動(dòng)身，依據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要沖突，考察主要因素和量的關(guān)系；3o 進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象；對事物對象及諸對象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號和表達(dá)式去刻畫事物對象及其關(guān)系；假如現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以依據(jù)實(shí)際情形，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型；（2） 推理、演算；在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行規(guī)律推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果；（3） 評判、說明；對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深化爭論，

12、作出評判和說明，返回到原先的實(shí)際問題中去，形成最終的解答；例 1：把一根直徑為的圓木，加工成橫截面為矩形的柱子，問何鋸法可使廢棄的木料最少？例 2：有一隧道處于交通擁擠、事故易發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定，隧道內(nèi)的車距d 正比于車速 v（千米 /時(shí)）的平方與車身長（米）的積，且車距不得小于半個(gè)車身長；假定車身長為l（米），當(dāng)車速為 60（千米 / 時(shí)）時(shí)，車距為 1.44 個(gè)車身長，在交通繁忙時(shí)， 應(yīng)規(guī)定臬的車速成，可使隧道的車流量最大？ 例 3、（ 1998 年保送生綜合試題）漁場中魚群的最大養(yǎng)殖為m 噸；為保證魚群生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必需留出適當(dāng)?shù)拈e暇量；已知魚群

13、的年增長量y 噸和實(shí)際養(yǎng)殖量 x 噸與閑暇的乘積成正比，比例系數(shù)為k （ k>0 ）（1） 寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2） 求魚群年增長量的最大值；例 4：某公司有資金 100 萬元，董事會打算全部投資到甲、乙兩工廠，投資甲廠可獲得的利潤為投資額的1620%；投資乙廠可獲得的利潤由公式m=5x19 m 為利潤額， x 為投資額，單位均為萬元 確定，問公司如何安排 100 萬元資金投資這兩個(gè)工廠，使獲得利潤最大？最大利潤是多少？作業(yè)：1、 設(shè) x 的二次方程 x2-2x+lg2a2-a=0 有一正根和一負(fù)根，求a 的范疇；2、（ 1994 年高考題）在測量

14、某物理的過程中，因儀器和觀看的誤差，使得n 次測量分別得到 a1,a2, , an 共 n 個(gè)數(shù)據(jù)；我們規(guī)定所測物理量的“正確近似值”a 是這樣一個(gè)量：與其它近似值比較，a 與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1 ,a2 , an，推出的 a 的值；3、 塑料廠銷售科方案出售一種塑料鞋，經(jīng)營人員不是僅僅依據(jù)估量的生產(chǎn)成原來確定塑料鞋的銷售價(jià)格， 而是通過對經(jīng)營塑料鞋的零售商進(jìn)行調(diào)查，看看在不同的價(jià)格下會進(jìn)多少貨；通過一番調(diào)查，確定的需求關(guān)系是 p=-750x+15000 （ p 為零售商進(jìn)貨的總數(shù)量， x 為每雙鞋的出廠價(jià)） ， 并求得工廠生產(chǎn)塑料鞋固定成本是 7000 元，估量生產(chǎn)每雙塑

15、料鞋的材料和勞動(dòng)生產(chǎn)費(fèi)用為4 元，為了獲得最大利潤， 工廠應(yīng)把每雙鞋的出廠價(jià)定為多少元？4、建筑一個(gè)容積為2400 米 3 ，深為 6 米的長方體蓄水池，池壁每平方米的造價(jià)為a 元，池底每平方米粉的造價(jià)為 2a 元，就如何建造才能使總造價(jià)為最?。?、 某一信托公司，考慮投資1600 萬元建造一座涉外賓館；經(jīng)猜測，該賓館建成后，每年年底可獲利600萬元，假設(shè)銀行每年復(fù)利計(jì)息，利率為10%；如需要在三年內(nèi)收回全部投資，每年至少應(yīng)當(dāng)收益多少萬元（結(jié)果保留一位小數(shù)）？七、試驗(yàn)法解答數(shù)學(xué)題，需要多方面的信息；數(shù)學(xué)中的各種試驗(yàn)，經(jīng)常能給人以有益的信息，為分析問題和解決問題供應(yīng)必要的依據(jù)；用試驗(yàn)法處理數(shù)學(xué)問

16、題時(shí)， 必需從問題的實(shí)際情形動(dòng)身，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)問，恰當(dāng)挑選試驗(yàn)的對象和范疇；在制定試驗(yàn)方案時(shí)，要全面考慮試驗(yàn)的各種可能情形，不能有所遺漏；在實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，要講究試驗(yàn)技巧，充分利用各次試驗(yàn)所供應(yīng)的信息，以縮小試驗(yàn)范疇，削減試驗(yàn)次數(shù)，盡快找出原題的解答； 任何試驗(yàn)都和觀看相聯(lián)系；觀看依靠于試驗(yàn)，試驗(yàn)離不開觀看；因此，要用好試驗(yàn)法，必需勤于觀看，善于觀看，有目的、有方案、有條理地進(jìn)行觀看；例 1：在正整數(shù)集 n+上解方程： xy+3x-5y=3例 2、已知方程 x2+m+1x+2m-1=0 的兩個(gè)根都是整數(shù)，求m 的整數(shù)值；例 3、求全部的實(shí)數(shù) k，使得方程 kx2+k+1x+k-1=0的根都

17、是整數(shù) ；八、分類法分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對于提高解題才能，進(jìn)展思維的縝密性，具有非常重要的意義；不少數(shù)學(xué)問題，在解題過程中，經(jīng)常需要借助規(guī)律中的分類規(guī)章，把題設(shè)條件所確定的集合，分成如干個(gè)便于爭論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求解，直到獲得完滿的結(jié)果；這種把規(guī)律分類思想移植到數(shù)學(xué)中來，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱為分類或分域法；用分類法解題，大體包含以下幾個(gè)步驟：第一步：依據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對象，確定需要分類的集合a ；其次步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸愐罁?jù)，依據(jù)分類的規(guī)章，把集合a 分為如干個(gè)便于求解的非空真子集a1， a 2，an;第三步：在子集 a 1，a 2， an 內(nèi)逐類爭

18、論； 第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論；以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類的依據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作；從總體上說，分類的主要依據(jù)有：分類表達(dá)的定義、定理、公式、法就，具有分類爭論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類爭論條件等；在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些仍不夠，仍需要有較強(qiáng)的分類意識，需要思維的敏捷2lg 2 x性和縝密性，特殊要善于挖掘題中隱含的分類條件；例 1：求方程的實(shí)數(shù)解，其中alg xa為實(shí)參數(shù)；例 2： abc 中， ad bc 于點(diǎn) d，m 是 bc 的中點(diǎn)，且 b=2 c；求證： dm= 1 ab2-|2例 3：解方程： 2|x+2|x+1-1|=2x+1+1

19、九、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合，是爭論數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義；懂得并把握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的才能；數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石； 數(shù)學(xué)就是環(huán)繞這兩個(gè)概念進(jìn)展起來的；在數(shù)學(xué)進(jìn)展的進(jìn)程中，數(shù)和形經(jīng)常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在肯定條件下可以相互轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在爭論問題的過程中，留意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的詳細(xì)情形， 把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡潔化，抽象問題詳細(xì)化，化難為易，獲得簡便易行的勝利方案

20、；中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角學(xué)問，通過對數(shù)量關(guān)系的爭論， 去處理幾何圖形問題；二是運(yùn)用幾何學(xué)問，通過對圖形性質(zhì)的爭論，去解決數(shù)量關(guān)系的問題；就詳細(xì)方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等；后者常用的方法主要是圖解法；x例：方程 sinx=解的個(gè)數(shù)為2a 、1b、2c、3d、4例：已知實(shí)數(shù) x,y 滿意 3x+4y-1=0 ，求 x1 2 y22的最小值；2例：設(shè) x r，求x2 x17x8x80 的最小值；2例：對每個(gè)實(shí)數(shù)x，記 -x,x2 ,x+2 三者中的最大者為 fx ，求 fx及 fx的最小值；例：假如方程 |x2-4x+3|=px 有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求p 的取值范疇十、反證法與同一法反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用；（一）反證法是一種重要的證明方法；這里主要爭論反證法的規(guī)律原理、解題步驟和適用范疇；反證法的解題步驟：第一步：反設(shè)；假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；其次步：歸謬；由反設(shè)和已知條件動(dòng)身，經(jīng)過一系列正確的規(guī)律推理，得出沖突結(jié)果；這里所說的沖突結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式?jīng)_突，與已知條件沖突，與暫時(shí)假設(shè)沖突， 以及自相沖突等各種情形；第三步：存真；由沖突結(jié)果，確定反設(shè)不真，從而確定原結(jié)論成立；反證法的三個(gè)步驟是相互聯(lián)系的；反設(shè)是前提