2022年數(shù)學(xué)八年級下《二次根式》復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、二 次 根 式復(fù)習(xí)課【知識點匯總】知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0 時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0 時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示 a 的算術(shù)平方根， 也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因為二次根

2、式（）表示 a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多， 如若， 則 a=0,b=0 ； 若， 則 a=0,b=0 ； 若，則 a=0,b=0 。知識點四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，. 知識點五：二次根式的性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

3、- - - 第 1 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于 a 本身，即；若 a是負(fù)數(shù)，則等于a 的相反數(shù) -a, 即；2、中的 a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a 取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，

4、表示一個正數(shù)a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a 的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點： 當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -【歷年考點例析】考點 1、無理數(shù)知識回顧：無限不循環(huán)的小數(shù)，叫做無理數(shù)。

5、知識特點：常見的無理數(shù)：1、以及的有理數(shù)倍數(shù)。2、2、3、5；3、201001000100001考查題型例 1、寫出一個有理數(shù)和一個無理數(shù)，使它們都是小于1 的數(shù)。 （08年自貢市）分析： -1 的絕對值是1，所以，小于1 的數(shù)的絕對值一定要大于1，只要符合這一點，就可以了，所以，本題的答案不是唯一的。解：小于 1 的有理數(shù) -4 、-5 等等，小于 1 的無理數(shù) -2、-3、-5等等。例 2、從實數(shù)2，31，0， 4 中，挑選出的兩個數(shù)都是無理數(shù)的為（）a. 31，0 b. ， 4 c. 2，4 d. 2，（ 08 年湖北省宜昌市）分析：根據(jù)常見的無理數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)只有-2和是無理數(shù)，因此，選

6、項d是正確的。解：選 d。例 3、如圖 1 所示， a，b，c，d四張卡片上分別寫有5237， ，四個實數(shù)，從中任取兩張卡片a b c d （圖 1）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -（1）請列舉出所有可能的結(jié)果（用字母a，b，c，d表示） ；（2）求取到的兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率（08 嘉興市）、分析：用列表的方式，把所有的結(jié)果找出來，

7、后根據(jù)無理數(shù)的定義，作出判斷。解：（1）仔細(xì)觀察上面的四個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)b、d是無理數(shù)， a和 c是有理數(shù)，結(jié)果列表如下：2 仔細(xì)觀察上表，一共有12 種可能性，期中都是無理數(shù)的可能性有2 種，為：61122。因此，兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率考點 2、平方根知識回顧：一般地，如果一個數(shù)x 的平方等于a，即 x2=a，那么這個數(shù)x 叫做 a 的平方根。記作a。讀作“正負(fù)根號a”知識特點：1、 被開方數(shù)a，滿足的關(guān)系式是：a0；2、平方根x 與被開方數(shù)a，滿足的關(guān)系式是：x=a；3、被開方數(shù)a 與平方根x，滿足的關(guān)系式是：a= x2= （a）2= a2= （-a）2；4、兩個平方根之間滿足的關(guān)系式是：a

8、+（-a）=0，即兩個平方根互為相反數(shù)，所以，他們的和為0. 如下說法都是正確的：a的平方根是a；a是a的平方根；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -a是a的平方根；a是a的平方根；其中a是非負(fù)數(shù)。此外， 0的平方根是 0這個特例要記清楚。考查題型例 4、2 的平方根是（）a4 b2c2d2（08 年南京市）分析：根據(jù)平方根的特點，正數(shù)有

9、兩個平方根，且常用“”來體現(xiàn)“兩個”。解：選 d。例 5、9 的算術(shù)平方根是a. 3 b. 3 c. 3 d. 3（08 恩施自治州）分析：算術(shù)平方根是平方根中的正數(shù)根，只有一個，所以，選項a、c都是不正確的；因為， 32=9，所以， 9 的算數(shù)平方根是3。解：選 b. 例 6、化簡：4=（） a2 b 2 c4 d 4（08 年甘肅省白銀市）分析：理解4的意義是解題的關(guān)鍵。4的意義實際上就是求正數(shù)4 的算術(shù)平方根，所以，應(yīng)該只有一個，為正數(shù)，并且這個數(shù)的平方應(yīng)該等于4，這樣只有選項a符合要求。解：選 a?；?4=_。(08 年安徽省 ) 分析： 因為， （-4 ）2=16，24的意義是求正

10、數(shù)16 的算數(shù)平方根，因為，42=16，所以，24=4.考點 3、二次根式知識回顧：形如a（a0）的式子，叫做二次根式。知識特點：1、被開放數(shù)a 是一個非負(fù)數(shù)；2、二次根式a是一個非負(fù)數(shù)，即a0；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -3、有限個二次根式的和等于0，則每個二次根式的被開方數(shù)必須是0. 考查題型例 7、若式子5x在實數(shù)范圍內(nèi)有意

11、義, 則x的取值范圍是a.x-5 b.x-5 c.x-5 d.x-5 (08常州市 ) 分析：在這里二次根式的被開方數(shù)是x+5，要想使式子5x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義, 必須滿足條件：x+5 0，所以， x-5 ，因此，選項d是正確的。解：選 d。例 8、若230ab，則2ab （08 年遵義市）分析：因為， |a-2|和3b都是非負(fù)數(shù)，并且它們的和是0，所以， |a-2|=0且3b=0，所以， a=2，b=3，所以， a2-b=4-3=1. 例 9、若實數(shù)xy，滿足22(3)0 xy，則 xy 的值是(08 年寧波市 ) 分析：因為，2x和2)3(y都是非負(fù)數(shù)，并且它們的和是0，所以，2x=0且2

12、)3(y=0，所以， x=-2 ，y=3，所以， xy=-23. 考點 4、二次根式的化簡與計算知識回顧：二次根式的化簡，實際上就是把二次根式化成最簡二次根式，然后，通過合并同類二次根式的方法進(jìn)行二次根式的加減運算。知識特點：二次根式的加減運算：am+bm=（a+b）m， （m 0） ；二次根式的乘法運算：a.b=ab，( a 0, b 0)；二次根式的除法運算：ab=babba，( a 0, b 0) ；二次根式的乘方運算：2)(a=a，( a 0) ；二次根式的開方運算：2a=00,aaaa，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁

13、，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -考查題型例 10、下列計算正確的是（）a2 3426 5b84 2c2733d2( 3)3（08 年聊城市）分析：這就是二次根式化簡的綜合題目，23與 42的被開方數(shù)不相同，所以，它們不是同類二次根式，所以，不能進(jìn)行合并計算，所以，a是錯誤的；因為，22222482，所以， b 也是錯誤的；因為，273=39327，所以， c是正確的；根據(jù)二次根式的開方公式，得到d是錯誤的。解：選 c。例 11、若

14、baybax,，則xy的值為 ( ) aa2 bb2 cba dba（ 08 年大連市）分析： xy=（ba） （ba）=2)(a-2)( b=a-b ，所以， d是正確的。解：選 d。考點 5、最簡二次根式知識回顧：滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式：(1) 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2) 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。知識特點：1、最簡二次根式中一定不含有分母；2、對于數(shù)或者代數(shù)式，它們不能在寫成anm的形式?？疾轭}型例 12、下列根式中屬最簡二次根式的是（）a.21a b.12 c.8 d.27（08 年湖北省荊州市）分析：因為 b中含有分母，所以b不是最簡二次根

15、式；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -而 8=222，27=323，所以，選項c、d都不是最簡二次根式。所以，只有選項a是正確的。解：選 a?？键c 6、估算例 13、估計132202的運算結(jié)果應(yīng)在（） （ 08 年 蕪 湖 市 ）分析：5242016202132因為， 45 9，所以，954，所以， 253, 所以， 4256, 所以，

16、 4+425+46+4, 所以， 825+410, 也就是在8 到 9 之間 . 解: 選擇 c. 【考試題型歸納】一. 基本概念型例 1.二次根式a1中，字母的取值范圍是（）a. a1b. a1c. a1d. a1析解：形如a a()0的式子叫二次根式，其中被開方數(shù)a 的取值范圍是a0。則二次根式a1中，a10，即a1，故選 c。說明：注意二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這個隱含條件是解題關(guān)鍵。例 2.在下列根式45283、abx中，最簡二次根式有（）a. 4 個b. 3 個c. 2 個d. 1 個析解：最簡二次根式的概念是（1）被開方式的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（ 2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的

17、因數(shù)或因式。而2282 23aaaxx、。所以最簡二次根式有45、b兩個，故選c。例 3.下列根式中，與3是同類二次根式的是（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -a. 24b. 12c. 32d. 18析解：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。而242 612233262183 2、，所以

18、與3是同類二次根式的是12，故選 b。二. 性質(zhì)運用型例 4.已知x2，則化簡xx244的結(jié)果是（）a. x2b. x2c. x2d. 2x析 解 ：xxxx224422()|， 因 為x2，x20， 所 以xxx2442。故選 d 例 5.化簡4412322xxx()得（） 。a. 2 b. 44xc. 2d. 44x析解：因為230 x，xxx3223232,()，所以21044121212xxxxx，|故441232123222xxxxx()()。故選 a。說 明 ： 以 上 二例 主 要 應(yīng)用 二 次 根 式 的性 質(zhì) ： （ 1）aaa aa a200| |()()。 （ 2）()(

19、)aa a20。正確應(yīng)用二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵。三. 結(jié)論開放型例 6.先將xxxxx22232化簡，然后自選一個合適的x 值，代入化簡后的式子求值。析解：這是一道結(jié)論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮和創(chuàng)造空間。但要注意x 的取值范圍是x2。原式xxxxxxxx221222222xxxxx222精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -x2

20、,取x4，原式2。四. 大小比較型例 7. 用計算器計算2121313122,，4141515122,，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷pnn211，與qnn()()1111， （n 為大于 1 的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為（）a. pqb. pqc. pqd. 與 n 的取值有關(guān)析解：利用計算器計算得：21213131414151512222，從而可以推斷pnnqnn22111111()()，故選 c。例 8. 設(shè)abc322352,，則 a， b，c 的大小關(guān)系是（）a. abcb. acbc. cbad. bca析解：113232323232a()()，同理123152bc,。因為5223320，所以

21、1110cbacba,。故選 a。五. 判斷正誤型例 9. 化簡352時，甲的解法是：3523525252()()()，52，乙的解法是：352525252()()52，以下判斷正確的是（）a. 甲的解法正確，乙的解法不正確b. 甲的解法不正確，乙的解法正確c. 甲、乙的解法都正確d. 甲、乙的解法都不正確析 解 ： 甲 是 將 分 子 和 分 母 同 乘 以52進(jìn) 行 分 母 有 理 化 ， 乙 是 利 用35252()()進(jìn)行約分，所以二人都是正確的，故選c。例 10. 對于題目“化簡并求值：11222aaa，其中a15” ，甲、乙兩人的解答不同。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

22、 - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -甲的解答是：1121111495222aaaaaaaaa()；乙的解答是：112111115222aaaaaaaaa()。誰的解答是錯誤的？為什么？析解：乙的解答是錯誤的。因 為 當(dāng)a15時 ，1510aaa,， 所 以()aaaa112， 而 應(yīng) 當(dāng) 是()aaaa112。六. 規(guī)律探索型例 11. 細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問

23、題。(),1121221s；(),2132222s；(),3143223s；（1）請用含有n（n 是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律。（2）推算出oa10的長。（3）求出ssss122232102的值。析解： （1）通過類比，可推知(),nnsnn2112（2）oaoaoaoa1231012310,，。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 16 頁 - - - - - - - -

24、-（3）ssss122232102()()()()()12223210214123105542222七. 計算說理型例12. 有這樣一道題，計算：xxxxxxxxxx2222244442()的值，其中x1005，某同學(xué)把“x1005”錯抄成“x1050” ，但他的計算結(jié)果是正確的。請回答這是怎么回事？試說明理由。析解：這是一道說理型試題，既然x 的值取錯，計算結(jié)果仍是正確。那么可以猜測此二次根式化簡后與x 的值無關(guān)。這時應(yīng)從二次根式的化簡入手，揭開它神秘的面紗。原式()()()()()()xxxxxxxxxxxxx222222222444444xxxxxxxxxxx22222222242444

25、2444842八. 數(shù)形結(jié)合型例 13. 如圖 1，正方形網(wǎng)格中， 每個小正方形的邊長為1， 則網(wǎng)格上的三角形abc 中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)有（）a. 0 個b. 1 個c. 2 個d. 3 個圖 1 析解：由題意知bc231322，acab34551262222,。所以邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是2 個，故選 c。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 16 頁 - - - - - -

26、- - -例 14.“數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，如圖 2 中數(shù)軸上的點p 所表示的數(shù)是2” ，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（）圖 2 a. 代入法b. 換元法c. 數(shù)形結(jié)合d. 分類討論析解：本題“形” “數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”故選 c。九. 閱讀理解型例 15. 我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為：sa babc142222222() （其中 a、b、c 為三角形的三邊長，s 為面積）。而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：sp papbpc()()()（其中pa

27、bc2）（1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，試分別運用公式和公式，計算該三角形的面積s；（2）你能否由公式推導(dǎo)出公式？請試試。析解： （1）s14575782222222() 12571524810 3222()又p1257810()，s10 105 107)(1081053210 3()()（2）142222222() a babc精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共

28、16 頁 - - - - - - - - -1422222222()()ababcababc1162222() ()cababc1161162222222()()()()()()()()()()cabcab abcabcpapbppcp papbpc142222222() ()()()a babcp papbpc【解題策略】一、二次根式的定義例 1 函數(shù)yx21的自變量x 的取值范圍是（）a xb xc xd x.12121212解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。答案為a。例 2 函數(shù)yxxx1253的自變量x 的取值范圍是（）axbxcxxdxx.2525253253且且解

29、題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，還應(yīng)特別注意分式的分母不能為零。答案為：c。二、二次根式的性質(zhì)例 3 若yyxy24410，則 xy 的值等于（） a. -6 b. -2 c. 2 d. 6 解題策略：緊扣二次根式a a()0是一個非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以得到：()yxy20102，故xy32，。答案為： a 例 4 如果()xx222，那么 x 的取值范圍是（）a xb xc xd x.2222解題策略：運用二次根式a a()0是一個非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知，x20。答案為c。例 5 若 b0，化簡ab3的結(jié)果是（）ab abb babcbabd bab.解題策略：緊緊抓住二次根式被開方數(shù)

30、必須是非負(fù)數(shù)，由二次根式的性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -aaa aa aabab bb ab23200| |()()知答案為： c 三、最簡二次根式例 6 把二次根式xyxy()0化成最簡二次根式為_。例 7 下列各式中屬于最簡二次根式的是（）axbx ycd.22511205解題策略：最簡二次根式必須滿足下列兩個條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。例 6 的答案為：xy，例 7 的答案為： a。四、同類二次根式例 8 在下列二次根式中與2是同類二次根式的是（）abcd.8101227例 9 在下列各