多項(xiàng)式的因式分解

1、多項(xiàng)式的因式分解§1-5多項(xiàng)式的因式分解定理引入課題初等數(shù)學(xué)中的因式分解,何為不能再分?多項(xiàng)式在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的因式分解 在不同的系數(shù)域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多項(xiàng)式（不等于零的常數(shù)）、多項(xiàng)式自身、前兩個(gè)的乘積definition8：（不可約多項(xiàng)式）令的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果中只有平凡因式，就稱f(x)為數(shù)域p上（或在px中）的不可約多項(xiàng)式。（p(x)在數(shù)域p上不能表示成兩個(gè)次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積） 若除平凡因式外，在px中還有其它因式，f(x)就說是在數(shù)域p上（或在px中）是可約的。如果，都小于的次數(shù)。反之，若能寫成兩個(gè)這樣多項(xiàng)式的乘積

2、，那么有非平凡因式；如果px的一個(gè)n次多項(xiàng)式能夠分解成px中兩個(gè)次數(shù)都 小于n的多項(xiàng)式 即 那么在p上可約。由不可約多項(xiàng)式的定義可知：任何一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式的。不可約多項(xiàng)式的重要性質(zhì)：一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域；1.如果多項(xiàng)式不可約，那么p中任意不為零的元素c與的乘積c都不可約。2.設(shè)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而p(x)是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那么或者與p(x)互素，或者整除p(x).3.如果多項(xiàng)式與的乘積能被不可約多項(xiàng)式p(x)整除，那么至少有一個(gè)因式被p(x)整除。theorem5.如果是一個(gè)不可約多項(xiàng)式,p(x)整除一些多項(xiàng)式的乘積,那么一定整除這些多項(xiàng)式之中的一個(gè).證明:對(duì)被除多項(xiàng)式

3、的個(gè)數(shù)s用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時(shí),顯然成立;假設(shè)s=n-1 時(shí),結(jié)論成立;當(dāng)s=n時(shí),令,如果命題成立,如果,從而,即 n-1 多項(xiàng)式的乘積,由歸納法假設(shè)整除其中一個(gè)多項(xiàng)式,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,命題得證.證明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多項(xiàng)式環(huán)px的每一個(gè)次多項(xiàng)式都可以唯一分解成px的不可約多項(xiàng)式的乘積； 所謂唯一性是說，如果有兩個(gè)分解式那么，必有s=t ，并且適當(dāng)?shù)嘏帕幸蚴降捻樞蚝笥袠?biāo)準(zhǔn)分解式（典型分解式）：其中c是f(x)的首項(xiàng)系數(shù)，是不同的、首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，而正整數(shù)。例1：在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式， 。例2：求 。例3.求 分解式. 例4：分別在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分

4、解多項(xiàng)式 突出不同數(shù)域上不同多項(xiàng)式的因式分解的特點(diǎn)和 為不可約多項(xiàng)式的乘積。解: qx在qx上布置作業(yè)p45-15;在rx上;在cx上多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹 1運(yùn)用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)

5、將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)； (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+a

6、n-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù) 運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式 例1 分解因式： (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2 =-2xn-1y

7、n(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2 (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 (a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2 本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(

8、a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc 本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6) 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo) 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c

9、)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 說明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c3-3abc 顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立 如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有 等號(hào)成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論 例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1 分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來

10、分解 解 因?yàn)?x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)， 所以 說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用 2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解 例4 分解因式：x3-9x+8 分析 本題解法很多，這里只介

11、紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧 解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8) 解法4 添加

12、兩項(xiàng)-x2+x2 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8) 說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種 例5 分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1 解 (1)將-3拆成-1-1-1 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+

13、(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3) (2)將4mn拆成2mn+2mn 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1) (3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+

14、(x-1)4-(x2-1)2 =(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3) (4)添加兩項(xiàng)+ab-ab 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1) =a(a-b)+1(ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1) 說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先

15、將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn) 3換元法 換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰 例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12 分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了 解 設(shè)x2+x=y，則 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)

16、(x+2)(x2+x+5) 說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試 例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90 令y=2x2+5x+2，則 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7

17、)(x-1) 說明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ) 例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 解 設(shè)x2+4x+8=y，則 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8) 說明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式 例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6 解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2 =6(x4-2x2+1)+2x

18、2+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2 =2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3) 說明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體 解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36 =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8) =x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8 =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3) 例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2) 分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式 解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則 原式